介绍反证法及举例(课堂PPT)

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与①矛盾∴结论成立
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练习2
练习2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0， abc > 0， 求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
题;(4)结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。
作业:课本 P102 练习 1,2
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选做作业:
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内
引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC .
求证： PO .
P
A E
2.已知 f ( x) x2 px q ，
• M：一天，有个旅游者回答—— • 旅游者：我来这里是要被绞死。 • M：这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他
就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他 就说对了，就不应该绞死他。
• M：为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想 了好久，国王才说——
• 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。
∴ RtOFH RtOEH ∴ FOH EOH
因此，OH 是 AOB的平分线。同理可证，OH 是 AOC的平
分线。但是，OB 和 OC 是两条不重合的直线，OH 不可能同
时是 AOB和 AOC的平分线，产生矛盾.∴ PO .11
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有 一个不小于 1 。
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
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( 课本例5)
(自学课本例5)例2.求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
2 分析：设| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ，
2 观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤| f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | < 1 +2× 1 + 1 =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
练习1,2
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练习1.设0 < a, b, c < 1， 求证:(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于1/4
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幻灯片切换
方法小结:
1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!)
由⑵因分导析果法:─(已─知转)化A尝试B(1执果L索因,B妙n 在转 B (化结!论) )
执果索因:(结论) B B1 L Bn A (已知)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
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说谎者悖论
• M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。下面是 它的最简单的形式。
• 甲：这句话是错的。 • M：上面这个句子对吗?如果是对的，这句话就
是错的！如果这句话是错的，那这个句子就对 了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普 遍得多。
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唐·吉诃德悖论
• M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一 条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问， 你来这里做什么？M：如果旅游者回答对了。一切都 好办。如果回答错了，他就要被绞死。
2 22 解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
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A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎.
证：设(1 a)b > 1
4
, (1 b)c > 1 4
, (1 c)a > 1 4
则三式相乘:(1a)b•(1b)c•(1c)a >
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①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 0(1a)a≤(1a2)a214
同理： (1 b)b ≤ 1 (1 c )c ≤ 1
4
4
以上三式相乘:(1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤
O
H
a
CF B
求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。 2
作业:课本 P102 练习 1,2
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1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点O 在平面 内引直 线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . P
求证： PO .
证明：假设 PO 不垂直平面 。
A
作 PH 并与平面 相交于 H，
E
此时 H、O 不重合，连结 OH。 由 P 作 PE OA于 E，
O
H
a
CF B
PF OB 于 F，根据三垂线定理可知，
HE OA， HF OB .∵ POA POB，PO 是公共边，
∴ RtPOE RtPOF ∴ OE OF 又 OH OH
P
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛C 盾。
B
所以，弦AB、CD不被P平分。
反 证法是一 种重要的 数学思想 方法， 对于那些 含有否 定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?
用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与
假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．
(3)适宜使用反证法的情况: 正难则反!
(1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----
,” ,“至少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问
命题的结论正确.
结论
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举例(课本例4)
( 课本例5)
例1:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦
不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且
AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A
证明： 假设弦AB、CD被P平分，
O
D
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径
定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
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你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
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什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
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反证法
故事引入
思维体会
介绍反证法 及举例
练习1,2
本课小结
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反证法
阅读下面的故事,体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没 了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”