数列的应用(1).ppt
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高考数学一轮总复习课件：数列的综合应用
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6. 所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6，
15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．
(1)证明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an＋1间 的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利用an＋1＝ Sn＋1－Sn消去Sn进行证明． (2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ，进 而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
【解析】 (1)证明：由已知，得bn＝2an>0. 当n≥1时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列． (2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x －a2)，它在x轴上的截距为a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1，所以an＝n，bn＝2n，anbn2＝n·4n.
比数列．所以an＋1＝45＋－25190n.
(3)因为an＋1>60%，即
4 5
＋
－25
9 10
n
>
3 5
，则
9 10
n
<
1 2
，所以
n(lg9－1)<－lg2，n>1－lg22lg3≈6.572 1.
数列ppt课件
判断一个数列是否为混合数列；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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详细描述
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
数列ppt课件
等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
高三数学二轮复习数列的综合应用课件
P2
P1
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，
求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1
所围成的区域的面积Tn．
O
x 1 x2
x3
x4
x
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．
（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
（1）求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn ＝
Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝
xn＋1所围成的区域的面积Tn．
y
P4
P3
P2
P1
O
x1 x2
x3
x4
x
数列求和的
基本方法
01
公式法
02
分组求和法
03
错位相减法
04
倒序相加法
05
裂项相消法
考点2：数列与不等式综合问题
已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．
1
7
≤|Tn|≤ ．
3
9
−1
，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，
等差数列及其应用37页PPT
②第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为
9×20199/9/+239=90），它是179.
35
2019/9/23
36
2019/9/23
5
例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是， 请指明公差，若不是，则说明理由.
①6，10，14，18，22，…，98；
②1，2，1，2，3，4，5，6；
③ 1，2，4，8，16，32，64；
④ 9，8，7，6，5，4，3，2；
⑤3，3，3，3，3，3，3，3；
⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
2019/9/23
19
练一练
求从1到2000的自然数中，所有偶 数之和与所有奇数之和的差.
2019/9/23
20
练一练
根据题意可列出算式：
（2+4+6+8+…+2000）-（1+3+5+…+2019）
解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一
个公差为2的等差数列，1，3，5，…，2019也是
2019/9/23
8
对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1小 于a2，则显然a2-a1=a3-a2=...=an-a(n-1)=d,因此
a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d ...
由此可知：an=a1+(n-1)×d (1) 若a1大于a2，则同理可推得:an=a1-(n-1)×d (2) 公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式，利用通项公式， 在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一 项.
数学：21《数列》课件(苏教版必修
总结词
详细描述
总结词
详细描述
等比数列是一种常见的数列 ，其相邻两项的比是一个常 数。
等比数列的定义是每一项与 它的前一项的比等于同一个 常数的一种数列。这个常数 被称为公比，通常用字母q 表示。例如，数列1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，公比 q=2。
等比数列的性质包括无限性 、变号性和无界性。
数列在实际生活中的应用
金融领域
数列在金融领域的应用非常广泛，如计算复利、 评估投资风险、计算保险费等。
自然现象
数列在自然界中也有很多应用，如蜂房的结构、 植物生长的规律等都与数列有密和解密信息 、设计算法等。
数列的数学建模与解决实际问题
建立数学模型
通过观察和分析实际问题的规律和特征，可以建立数列的数学模 型，从而将实际问题转化为数学问题。
等差数列的定义与性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性和递减性。
详细描述
等差数列的对称性是指如果一个数列是等差的，那么它的任意一项和它对称位置 的项的和是一个常数，这个常数等于首项和末项的和。递增性是指如果公差d>0 ，那么数列是递增的；递减性是指如果公差d<0，那么数列是递减的。
等比数列的定义与性质
和应用这些公式。
数列求和与其他知识点的结合
02
如数列求和与不等式、方程等的结合，需要综合运用各种知识
点来解决问题。
数列求和在实际问题中的应用拓展
03
除了传统的等差数列和等比数列问题，还可以拓展到解决一些
新颖的实际问题，如预测股票价格等金融问题。
05
数列的综合应用
数列与其他数学知识的结合
数列与函数
在日常生活方面，等差数列和等比数列的应用包括计算存款利息、评估投资风险、编制预算等等。在科学研究方 面，等差数列和等比数列的应用包括研究物理现象（如振动、波动）、生物繁殖、化学反应等等。此外，在计算 机科学、统计学、信息论等领域中也有广泛应用。
数列在日常经济生活中的应用第一课时 ppt课件
三个月 半年 一年 二年 三年 五年
整存整取 零存整取 整存零取 存本取息
其他
利率
活期 0.4
3.00 3.90 2.60 2.60 2.60 一天通知
0.85
4.50 5.00 2.80 3.00 2.80 3.00 2.80 3.00 七天通知
1.39
问题3 “整存整取”是怎么回事?
2021/2/5
0.85
4.50 5.00 2.80 3.00 2.80 3.00 2.80 3.00 七天通知
1.39
2021/2/5 你知道银行存款的利息是怎么计算吗?
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
数列在日常经济生活中 的应用
2021/2/5
1
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
最新农业银行存款利率表（更新日期：2016-2-9） 年利率（%） 三个月 半年 一年 二年 三年 五年
整存整取 零存整取 整存零取 存本取息
其他
利率
2.60 2.80
利率
活期 0.4
3.00 3.90 2.60 2.60 2.60 一天通知
10
§4 数列在日常经济生活中的应用（一）
若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月, 试 推导出到期整取是本利和的公式:
第一个月存入的x元,到期利息为: x•r•n 元
第二个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-1）元
第三个月存入的x元,到期利息为: x•r•（n-2）元
……
……
人教版高中数学选择性必修2第四章《数列》PPT课件
三、等差、等比数列的性质及应用
1.等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的 性质，利用性质求数列中某一项等.试题充分体现“小”“巧”“活” 的特点，题型多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档. 2.借助等差、等比数列的性质及应用，提升逻辑推理、数学运算等核心 素养.
例3 (1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn
2 由SS奇偶＋∶SS偶奇＝＝6114∶0，9， 解得 S 奇＝288，S 偶＝352.
因此 d＝S偶－8 S奇＝684＝8，aa98＝SS偶奇＝191.
(2)在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前 13项和为
A.13
√B.26
C.52
D.156
解析 3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24， ∴6a4＋6a10＝24，∴a4＋a10＝4，
(2)求 f 12，并说明 f 12<2.
解 由(1)知f(x)＝x＋2x2＋…＋nxn，
所以 f 12＝12＋2×212＋3×213＋…＋n×21n，
①
1 2
f
12＝212＋2×213＋3×214＋…＋(n－1)21n＋n×2n1＋1，
②
由①－②得12 f 12＝12＋212＋…＋21n－n×2n1＋1＝1－21n－2nn＋1，
与奇数项和之比为 11∶9，则公差 d，aa98的值分别是
A.8，190
B.9，190
C.9，191
√D.8，191
解析 设S奇＝a1＋a3＋…＋a15，S偶＝a2＋a4＋…＋a16， 则有S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a16－a15)＝8d，
数列的概念和简单表示法ppt
递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：数列在日常经济生活中的应用课件
§4 数列在日常经济生活中的应用
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点] 要点一 三种常见的应用模型 (1)零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约 定日期，可以取出全部__本__利_和___，这是整取，规定每次存入的钱不计 复利(暂不考虑利息税)． (2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例 如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利 和，则银行按存款到期时的1年定期存款利率自动办理转存业务，第2 年的本金就是第1年的_本__利__和___． (3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数
[基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行储蓄中，本金与月利率均相同，存期1年，则使用复利计算 应大于使用单利计算所得的本利和．( √ ) (2)某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这
两年的平均增长率是 1 + p% 1 + q% －1.( √ )
3．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成
本是( )
A．a(1＋q%)3
B．a(1－q%)3
C．
a 1−q%
3
D．
a 1+q%
3
答案：C
解析：设现在的成本为x元，则有x(1－q%)3＝a.
∴x＝
a 1−q%
3.故选C.
4．李明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年 后共得本息和为__6_._2_46___万元．(精确到0.001)
解析：10年后的本息：a10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．
题型探究·课堂解透
数列在日常生活中的应用PPT课件
• [例1] 某人有七位朋友．第一位朋友每天 晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个 晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上 去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去 他家做客，依次类推，直至第七位朋友每 隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚 在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在 主人家中碰面吗？
• 解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第 二位朋友以后在主人家的天数为第： 2,4,6,8，„，这些数构成以2为首项，公差 为2的等差数列，通项公式为：an＝2n；第 三位朋友以后在主人家的天数为第：3,6,9 ，„，这些数构成以3为首项，公差为3的 等差数列，通项公式为：an＝3n；第四、 五、六、七位朋友晚上在主人家的天数构 成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、6 、7的等差数列，通项公式分别为an＝4n， an＝5n，an＝6n，an＝7n；他们要在同一 晚上出现，这个数应为这七个数列的公共
• (1)等差数列的实际应用 • 在数列应用题中，若an＋1与an的关系满足 an＋1－an＝d(d为常数)时，则可以应用等差 数列模型解决． • 说明：要通过对题意的分析，说明数列为 等差数列，然后设出有关符号，如an，d等 的意义，这样才能使阅卷者迅速了解你的 解答思路．
(2)等比数列的实际应用 在数列应用题中，通过阅读题目题意，发现 an＋1 与 an an＋1 之间的关系满足 ＝q(q 为常数，且 q≠0)，则数列{an} an 为等比数列．故这一类题目可用等比数列的模型解决． 说明：解题时，可通过不完全归纳法，先列出一些简 单的具体的情况，然后再写出一般关系式！
• 5．模型法 • 模型法就是在实际问题中，构造数列模型 或其他模型，再进而构造数学模型，通过 构造模型使问题顺利得到解决． • 运用模型法来解决问题时，应广泛搜集信 息，抓住关键词，准确理解题意，要善于 抓主要矛盾，类比联想，从而建立相应模 型． • (1)解决数列的应用问题必须准确探索问题 所涉及的数列的模型(如等差数列、等比数 列、或与等差、等比数列有关的数列)，或
等差数列的综合应用 课件
等差数列前n项和的最值问题
数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始有 an<0； (2)求此数列的前 n 项和的最大值． 【思路探究】 (1)怎样求 an？an<0 的含义是什么？不等式 的解集的含义是什么？ (2)能否用二次函数的方法处理前 n 项和的最值问题？由 an 的变化可以推测吗？
(2)S 偶－S 奇＝50d＝100，∴d＝2.
【答案】 (1)9 (2)2
等差数列前 n 项和性质小结： 1．等差数列{an}中，公差为 d，前 k 项的和为 Sk，则 Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…，Smk－S(m－1)k，…构成公差为 k2d 的等差数 列． 2．等差数列{an}中，公差为 d： (1)若共有 2n 项，则 S2n＝n(an＋an＋1)； S 偶－S 奇＝nd；S 偶∶S 奇＝an＋1∶an. (2)若共有 2n＋1 项，则 S2n＋1＝(2n＋1)an＋1； S 偶－S 奇＝－an＋1；S 偶∶S 奇＝n∶(n＋1)．
(2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以 将这些项相加即得 Sn 的最大值.
等差数列前n项和的性质
(1)在等差数列{an}中，若 S4＝1，S8＝4，则 a17＋ a18＋a19＋a20＝________.
(2)有一个共有 100 项的等差数列，其奇数项与偶数项之和 分别为 100 和 200，则公差 d＝________.
等差数列前n项和Sn的最值
【问题导思】 1．你能把等差数列的前 n 项和公式写成 Sn 关于 n 的二次 函数的形式吗？ 【提示】 能，Sn＝d2n2＋(a1－d2)n. 2．这个关系式有何特点？ 【提示】 是二次项系数为2d，图象过原点的二次函数．
人教版中职数学(基础模块)下册6.4《数列的应用》ppt课件2
2019/7/31
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解 设每年他们存入 x 元，一年后存的本利和为 x (1 + 5%)，
两年后的本利和为 x (1 + 5%)+ x (1 + 5%)2， ……
5 年后的本利和为 x (1+5% )+ x (1+5%)2 +…+ x (1+5%)5．
例 3 一对夫妇为了 5 年后能购买一辆车，准备每年 到银行去存一笔钱．假设银行储蓄年利率为 5% ，按复利 计算，为了使 5 年后本利和共有 10 万元，问他们每年约 需存多少钱？（精确到元）
1 3
≈ 0.693．
因此，x≈1－0.693≈31%．
5 年后能购买一辆车，准备每年 到银行去存一笔钱．假设银行储蓄年利率为 5%，按复利 计算，为了使 5 年后本利和共有 10 万元，问他们每年约 需存多少钱？（精确到元）
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
中职数学数列PPT课件
解答
根据等差数列的求和公式$S_n = na_1 + frac{n(n1)}{2}d$，代入$n = 10$，$a_1 = 1$，$d = 2$， 得到$S_{10} = 10 times 1 + frac{10 times 9}{2} times 2 = 100$。
解答
根据等差数列的性质一，有$a_3 + a_8 = a_1 + a_{10} = 2a_6$，代入已知条件$a_3 + a_8 = 10$， 得到$2a_6 = 10$，解得$a_6 = 5$。
3
等差数列与等比数列的通项公式 an=a1+(n-1)d（等差数列），an=a1*q^(n-1) （等比数列）。
其他类型数列简介
递推数列
由递推公式确定的数列，如斐波那契 数列。
复合数列
由两种或两种以上类型数列组合而成 的数列。
周期数列
具有周期性规律的数列，如三角函数 值数列。
数列在实际问题中应用
等差数列性质探讨
性质一
等差数列中任意两项之和等于它们前后两项之和，即$a_i + a_j = a_{i+1} + a_{ j-1}$（$i,j$为正整数，且$i neq j$）。
性质二
等差数列中任意一项的值都等于其前后两项值的平均数，即$a_i = frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$（$i$为正整数，且$i neq 1, n$）。
查找等问题。
数列在生物学中的应用，如利 用数列的模型描述生物种群的
增长、衰减等问题。
THANKS
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实际问题中的数列模型
01
将实际问题抽象为数列模型，如人口增长模型、贷款还款模型
数列在日常经济生活中的应用_PPT课件
所以第二种方案付款总额较少．
[题后感悟] 分期付款问题，其关键是将现实
问题转化为数列问题，化归为等比数列或等差
数列求和．在建立数学模型时，应抓住数量关 系，联想数学方法适当引入参变量，将文字语 言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表 示．
2．某家用电器一件现价2000元，实行分期付 款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一 个月开始付款，每月付款1次，共付12次，购 买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计 算，那么每期应付款多少？
2．三种应用模型
(1)“零存整取”模型
每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存； 到约定日期，取出全部本利和，这是整取，规 定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)“定期自动转存”模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转 存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存 款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行 自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的 本利和．
用分期付款购买价格为25万元的住房一套， 如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上 欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再 过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年 利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全
部付清后实际共付多少元？
每次付款数构成数列{an} ―→ 求a1，a2，a3 ―→ 找出规律求an ―→ 判断{an}是等差数列 ―→ 求a5，S10
[题后感悟] 如果容易找到该数列任意一项an 与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式， 那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．
解析： 设2010年1月份产值为a， 则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，
则a(1＋r)11＝pa，∴r＝11 p－1.
答案： 11 p－1.
[题后感悟] 分期付款问题，其关键是将现实
问题转化为数列问题，化归为等比数列或等差
数列求和．在建立数学模型时，应抓住数量关 系，联想数学方法适当引入参变量，将文字语 言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表 示．
2．某家用电器一件现价2000元，实行分期付 款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一 个月开始付款，每月付款1次，共付12次，购 买后一年还清，约定月利率为0.8%，按复利计 算，那么每期应付款多少？
2．三种应用模型
(1)“零存整取”模型
每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存； 到约定日期，取出全部本利和，这是整取，规 定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．
(2)“定期自动转存”模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转 存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存 款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行 自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的 本利和．
用分期付款购买价格为25万元的住房一套， 如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上 欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再 过1年又付款一次，直到还完后为止．商定年 利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全
部付清后实际共付多少元？
每次付款数构成数列{an} ―→ 求a1，a2，a3 ―→ 找出规律求an ―→ 判断{an}是等差数列 ―→ 求a5，S10
[题后感悟] 如果容易找到该数列任意一项an 与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式， 那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．
解析： 设2010年1月份产值为a， 则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，
则a(1＋r)11＝pa，∴r＝11 p－1.
答案： 11 p－1.
等比数列的性质及其应用精PPT课件
(2 )求 数 列 a n 的 通 项 公 式 .
最新课件
10
当堂巩固：
最新课件
11
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bmqnm
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+ an-k.
8
三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于 7
12
解：设三个正数为
，求这三个数.
a , a, a q.
q
a aaq 21， a(1 1q) 21，
q
q
得
q1 1 7， a a aq 12
1(q11) 7 .
a
q 12
a2 36. a 6,
最新课件
q 2或1 . 29
变式：
已知数列an满足a1 1,an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
=
q(常数)
首项a1, 公差d
首项a1, 公比q(q≠0)
d与{an} q与{an}
d＞0 d＜0 d＝0
{an }递增 {an }递减 {an }为常数列
q＞0 q＜0 q＝1
{an }中各项同号 {an }中的项正负相间 {an }为非零常数列
通项 公式
an= a1+（n-1）d
an= a1·qn-1
若bn-k,bn,bn+k
则2an=an+k+ an-k.
是{bn}中的三项， 则 bn2 bnk bnk .
性质３： 若n+m=p+q，
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当堂巩固：
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小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bmqnm
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项， 则2an=an+k+ an-k.
8
三个正数成等比数列，他们的和等于21，
倒数的和等于 7
12
解：设三个正数为
，求这三个数.
a , a, a q.
q
a aaq 21， a(1 1q) 21，
q
q
得
q1 1 7， a a aq 12
1(q11) 7 .
a
q 12
a2 36. a 6,
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q 2或1 . 29
变式：
已知数列an满足a1 1,an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
=
q(常数)
首项a1, 公差d
首项a1, 公比q(q≠0)
d与{an} q与{an}
d＞0 d＜0 d＝0
{an }递增 {an }递减 {an }为常数列
q＞0 q＜0 q＝1
{an }中各项同号 {an }中的项正负相间 {an }为非零常数列
通项 公式
an= a1+（n-1）d
an= a1·qn-1
若bn-k,bn,bn+k
则2an=an+k+ an-k.
是{bn}中的三项， 则 bn2 bnk bnk .
性质３： 若n+m=p+q，
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公差的等差数列 an ，直到 an =0 为止。
由 an= 750+(n-1)(-6.25)=0 , 得 n =121
利息总和为
S121
121
750
121
(121 1) 2
(6.25)
45375
现把利息平均加到每月还款额上，所以每月还款额为
1250 45375 1628元 1012
解答数列应用题的基本步骤： 1. 建立变量关系，将实际问题转化为数列模型
解： 汽车总价为 20 万元，首付 5 万，贷款 15万元 110年内每月应付欠款 150000 1250元
1012
第一月利息为 1500000.5% 750元
第二个月利息为 (1500001250)0.5% 743.75元
第三 个月利息为 (150000 21250)0.5% 737.5元 可知 ，10 年中每月所付利息是以750为首项，-6.25为
课堂练习: P25
五、作业：P25
a4 1200 (1 20%)3
a5 1200 (1 20%)4
因此 an 是公比为 q=1.2 ,首项为 a1=1200 的等比数列
故 五年的总产值为
S5
a1 a1q5 1 q
1200 (11.25) 1 1.2
8929.92
所以 五年的总产值是 8929.92 万元。
例4 某人购买一辆20万元的车，首付5万元，其余车款按 月分期付款，10年付清，如果欠款按月利率为0.5%计算， 并把利息平均加到每月还款额上，那么此人每月应付款多 少元？（精确到1元）
6.4 数列的实际应用
课题பைடு நூலகம்
1 学习目标 2 回顾旧知 3 新授 4 小结 5 作业
由 an= 750+(n-1)(-6.25)=0 , 得 n =121
利息总和为
S121
121
750
121
(121 1) 2
(6.25)
45375
现把利息平均加到每月还款额上，所以每月还款额为
1250 45375 1628元 1012
解答数列应用题的基本步骤： 1. 建立变量关系，将实际问题转化为数列模型
解： 汽车总价为 20 万元，首付 5 万，贷款 15万元 110年内每月应付欠款 150000 1250元
1012
第一月利息为 1500000.5% 750元
第二个月利息为 (1500001250)0.5% 743.75元
第三 个月利息为 (150000 21250)0.5% 737.5元 可知 ，10 年中每月所付利息是以750为首项，-6.25为
课堂练习: P25
五、作业：P25
a4 1200 (1 20%)3
a5 1200 (1 20%)4
因此 an 是公比为 q=1.2 ,首项为 a1=1200 的等比数列
故 五年的总产值为
S5
a1 a1q5 1 q
1200 (11.25) 1 1.2
8929.92
所以 五年的总产值是 8929.92 万元。
例4 某人购买一辆20万元的车，首付5万元，其余车款按 月分期付款，10年付清，如果欠款按月利率为0.5%计算， 并把利息平均加到每月还款额上，那么此人每月应付款多 少元？（精确到1元）
6.4 数列的实际应用
课题பைடு நூலகம்
1 学习目标 2 回顾旧知 3 新授 4 小结 5 作业
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即每月应还 440.91
思考：一般地，采用上述分期付款的方式a元，m个 月将款全部付清，月利率为r，那么每月付款款额的计算 公式是什么？
设每月付款x元，则：
x
ar(1 r)m (1 r)m 1
练习
用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150 元，购买当天先付150元，以后每月这一天都加付当时 欠款的利息，并交付50元；月利率1%为，共交20次， 若从交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1月， 问：分期付款的第10各月该交付多少钱?全部贷款付清 后，买这件家店实际花费了多少钱
……
过10年住房总面积为
1.110 a 1.19 x 1.18 x
1.110 a 1.110 1 x 1.1 1
2.6a 16x
1.1x x
由题意，得 2.6a 16x 2a
解得
x 3 a(m2 ) 80
（2）
a 3 a 10
2 80
1
6.3%
2a
16
练习
某企业经过调整后，第一年的资金增长率为300%,
答案：原计划每年生产的件数分别为４，６，８件
（二）增长率问题
某地现有居民住房的总面积为 a m2，其中需要拆除的旧住房 面积占了一半．当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的 情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房． （１）如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一翻，那么每 年应拆除的旧房总面积 x 是多少？（提示：计算时可取1.110为2.6）
t (n 1)d 7t
nt n(n 1) d 24n 2
(n 1)d 6t
即 2t (n 1)d 48
解之，得 t=6 答：第一台工作了42小时
Байду номын сангаас
练习：
某服装厂的三年生产计划,每年比前一年增产的 服装件数相同，如果第三年比原计划多生产10000 件,那么每一年比上一年的增长率相同，而且第三 年生产的件数恰等于原计划生产件数的一半，求原 计划生产服装的件数．
……
……
……
……
23个月后 10000×1.00457523元 23个月后还x元 1.004575x 元
24个月后 10000×1.00457524元 24个月后还x元
x元
最后根据到期偿还贷款的含义，即各月所付款额连同贷款付 清时所生利息之和，等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和. 所以：
x＋1.004x+…+1.00457522x+1.00457523x=10000×1.00457524
1000元贷款的本金与它 的利息之和
1个月后 10000×1.004575元
各月所付款额与 它的利息之和
1个月后还x元 1.00457523x元
2个月后 10000×1.0045752元 2个月后还x元 1.00457522x元
3个月后 10000×1.0045753元 3个月后还x元 1.00457521x元
（２）过十年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分 比是多少？（保留到小数点后第１位）
解:(1)过1年住房总面积为 1.1a x(m2 )
过2年住房总面积为
1.1(1.1a x) 1.12 a 1.1x x(m2 )
过3年住房总面积为
1.1(1.12 a 1.1x x) x 1.13a 1.12 x 1.1x x(m2)
1
以后每年的资金增长率都是前一年增长率的
3
(1)经过4年后，企业的资金是原来资金的多少倍？
(2)如果由于某种原因,每年损失资金的5%,那么经过 多少年后企业的资金开始下降？
320
答案：（１）
27
（２）经过４年，从第五年起企 业的资金开始下降
(三)储蓄和分期付款问题
例1.零整取储蓄是指分期存入后一次取出的一种储蓄方式.如 果某人从1月起,每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部 本金及其利息.以知月率是1.165%,那么他实际取出的本利和是多 少?(利息税的税率为20%)
即: x+1.004575+…+1.00457522+1.00457523=10000×1.00457524
x 11.00457524 100001.00457524 11.004575
x
10000
1.00457524 (11.004575) 1 1.00457524
算得： x 440.91
分析:分别计算每个月月末所存金额产生的利息,然后相加即得 总利息,从中扣取利息税再加上本金即可
解:由题意,本金共为1200元,且各月存款的利息如下.
第1月存款100元的利息: 100×0.165% ×12
第2月存款100元的利息: 100×0.165% ×11
……
第11月存款100元的利息: 100×0.165% ×2
第12月存款100元的利息: 100×0.165% ×1
于是,应得的全部利息就是上面各期利息之和:
Sn=100×0.165%+100 × 0.165×2+…+100×0.165% × 11+100×0.165%×12
=100 × 0.165% × (1+2+…+12)
=0.165 × 78 = 12.87
2
10
A n
2 5
n(n
1) p
例四:某银行设立了教育助学贷款,其中规定一年期以上贷款月 均等额还本付息.如果贷款10000元,两年内还清,月利率为0.475%, 那么每月应还多少钱?（利息按月以复利计算）
分析：1.到贷款两年付清时,10000元贷款的本金与它的利息之和 是多少? 2.设每月还x元,到贷款两年付清时,各月所付款 额与它的 利息之和是多少?
XX市XX中数学科组
(一)等差数列的应用问题
例1.造纸厂用若干台效率相同的抽水机从河里往蓄水池灌 水，若所有机械同时开动，则需24小时灌满水池．若一台一 台的开动，每相临两台启动时间间隔都相同，那么到灌满水 池时，第一台的工作时间是最后一台的七倍，问第一台的工 作了多少时间？
解：设有n台抽水机．每相临两台启动的时间间隔为d小时， 最后一台工作时间为t小时，依题意，得方程组：
应纳税: 12.87 × 20%≈2.75(元)
实际取出时,本利和为: 1200+12.78-2.57=1210.30(元)
? 设每期期初存入金额a,连存n次,每期的利率为p,那么
到第n期期末将存款全部取出时,本利和共有多少?(利息
税的税率为20%)
nA 1 n(n 1) Ap 1 n(n 1) Ap