1.4数列在日常经济生活中的应用课件ppt(北师大版必修五)
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高中数学第1章数列14数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
1 个月后 2 个月后 3 个月后
… 23 个月后 24 个月后
10 000 元贷款的本金与它的利息之和 10 000×1.004 575 元 10 000×1.004 5752 元 10 000×1.004 5753 元 … 10 000×1.004 57523 元 10 000×1.004 57524 元
第22页
(2)第 1 期付款 x 元后，过 10 个月款全部付清，所付款连同 利息之和为 x×1.00810 元．同理得第 2，3，4，5，6 期所付款额 全部付清时连同利息的和为 1.0088x(元)，1.0086x(元)，1.0084x(元)， 1.0082x(元)，x(元)．
(3)x＋1.0082x＋1.0084x＋…＋1.00810x＝5 000×1.00812.
第12页
最后根据到期偿还贷款的含义，即各所付款额连同到贷款付 清时所生利息之和，等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，计 算每月应付款额．也就是说，
x ＋ 1.004 575x ＋ … ＋ 1.004 57522x ＋ 1.004 57523x ＝ 10 000×1.004 57524，
即 (1 ＋ 1.004 575 ＋ … ＋ 1.004 57522 ＋ 1.004 57523)·x ＝ 10 000×1.004 57524.
第18页
错误解答三中，主要是期数没有弄清，由于是在贷款后的第一个 月才分期付款，到贷款全部付清时，历时整整 24 个月(24 期)， 10 000 元增值到了 10 000×1.004 57524 元，而不是 10 000×1.004 57523 元．
第19页
例 3 顾客购买一件售价为 5 000 元的商品时如果采取分期 付款，一年内分 6 次付清，每 2 个月付 1 次款，月利率为 0.8%， 每月利息按复利计算，每期应付款多少，总共应付款多少，按下 列步骤逐步探究(假定每期付款 x 元)．
高中数学课件-1-4数列在日常经济生活中的应用 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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重点难点 重点：“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付
款”等几种模型，利用它们解决实际问题. 难点：利用几种模型解决一些实际问题.
第一章 数列
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预习篇01
新知导学
第一章 数列
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零存整取模型
(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利
息，对本金所产生的利息 航
【尝试解答】 依题意每一年的本息和构成数列 {an}，则
2005年2月1日存入的a元钱到2006年1月31日所得本息 和为a1＝a(1＋r)．
同理，到2007年1月31日所得本息和为 a2＝[a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)2＋a(1＋r)， 到2008年1月31日所得本息和为 [a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1 ＋r)，
第一章 数列
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【解析】 解法一：设每期付款x元， 第1期付款及其所生利息的和为x(1＋0.008)11(元)， 第2期付款及其所生利息的和为x(1＋0.008)10(元)， …… 第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为 x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝11.0.000881－2－11x.
第一章 数列
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第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－ (1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.
x＝2 010.000×8112.－001812≈176(元)． 1.008－1
即每期应还款176元．
第一章 数列
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增长率问题
【例4】 已知某地今年年初拥有居民住房的总面 积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地 有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住 房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
数列在日常经济生活中的应用 课件(北师大版必修五)
政共需支付多少亿元？(精确到亿元)
解 (1)设从 2011 年底起以后每年的已退耕还林的土地依次为(单
位：万亩)a1，a2，a3，…，an，….
则 a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，
…，an＝515×(1＋12%)n， h
19
研一研·问题探究、课堂更高效
§4
… Sn＝a1＋a2＋…＋an＝515×1＋1－0.112.121－1.12n＝6 370－515， ∴515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，即 1.12n≈2.218.
初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积为 b(单位：
本
m2)的旧住房．
课 (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．
时
栏 (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积
目
开 增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？(计算时取
关
1.15＝1.6)
解 (1)第一年末的住房面积为
－1)，…，xr.组成一个等差数列，又每月本金都是 x 元，共
本
课 n 个月，所有本金为 nx 元，所以 n 个月后本利和为
时 栏 目
nx＋xr(1＋2＋3＋…＋n)＝nx＋nn＋2 1rx(元)．
开
关
h
8
研一研·问题探究、课堂更高效
§4
探究点二 定期自动转存模型
问题 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，
本
期数
1
2
3
… m－1 m
课 时 栏 目
本息 和
x(1＋r)m－1
x(1＋r)m－2
x(1＋r)m－3 … x(1＋r) x
高中数学北师大版必修5第1章4《数列在日常经济生活中的应用》ppt同步课件
欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花
()
• A．1105元
B．1255元
• C．1305元
D．1405元
• [答案] B
[解析] 购买时付 150 元，欠 1000 元，每月付 50 元，分 20 次付清．设每月付款数构成数列{an}，则
a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(10000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， … ∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)， ∴{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， ∴S20＋150＝20×60＋20×2 19×(－0.5)＋150＝1255， ∴买这件电器实际花 1255 元．
• [答案] 200
[解析]
由题意，得36aa11＋ ＋36× ×2236－ －11dd＝ ＝2600
，
解得a1＝490 d＝290
.
所以 S12＝12×490＋12×212－1×290＝200.
课堂典例讲练
等差数列模型应用问题
•
甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规
模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．
• 甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上 升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
• 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个 养鸡场．请您根据提供的信息回答：
• (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
• (2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是 缩小了？请说明理由．
物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银 行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方 式好呢？
()
• A．1105元
B．1255元
• C．1305元
D．1405元
• [答案] B
[解析] 购买时付 150 元，欠 1000 元，每月付 50 元，分 20 次付清．设每月付款数构成数列{an}，则
a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(10000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， … ∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)， ∴{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， ∴S20＋150＝20×60＋20×2 19×(－0.5)＋150＝1255， ∴买这件电器实际花 1255 元．
• [答案] 200
[解析]
由题意，得36aa11＋ ＋36× ×2236－ －11dd＝ ＝2600
，
解得a1＝490 d＝290
.
所以 S12＝12×490＋12×212－1×290＝200.
课堂典例讲练
等差数列模型应用问题
•
甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规
模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．
• 甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上 升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
• 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个 养鸡场．请您根据提供的信息回答：
• (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
• (2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是 缩小了？请说明理由．
物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银 行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方 式好呢？
高中数学 第一部分 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用课件 北师大版必修5
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累
计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的
比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36，
1.085≈1.47,1.086≈1.59)
解：(1)设中低价房面积成数列{an}，由题意可知{an}是等 差数列． 其中 a1＝250，d＝50， nn－1 则 Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋225n. 2 令 25n2＋225n＝4 750，即 n2＋9n－190＝0，而 n∈N＋， 则 n＝10. 故到 2020 年底， 该市历年所建中低价房的累计面积将首 次不少于 4 750 万平方米．
甲方案净获利 42.62－25.94≈16.7(万元)．
(6 分)
1 乙方案获利构成等差数列，首项为 1，公差为 ，前 10 2 1 1 1 项和为 T10＝1＋(1＋ )＋(1＋2× )＋…＋(1＋9× ) 2 2 2 11 10 ＋1 2 ＝ ＝32.50(万元)， 2 而贷款本息总数为
[精解详析]
法一：设每年还款x万元，需10年还
清，那么各年还款利息情况如下： 第10年付款x万元，这次还款后欠款全部还清； 第9年付款x万元，过一年欠款全部还清时，所付 款连同利息之和为x(1＋10%)万元； 第8年付款x万元，过2年欠款全部还清时，所付款 连同利息之和为x(1＋10%)2万元；
…
建模的重要方式．
[例1]
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住
房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月 这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%， 若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个 月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清 后，买这40套住房实际花了多少钱？ [思路点拨] 明确储蓄类型，构建等差数列求解．
北师版数学高二北师大版必修5课件1.4数列在日常经济生活中的应用
明目标、知重点
跟踪训练3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从 2012年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变， 并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出， 共取回多少元？ 解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元， 设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元， 则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p).
为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
明目标、知重点
探究点二 定期自动转存模型 例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某 日存入一笔1年定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银 行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定 期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来讨论以下 问题： (1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n 年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得本利和的公式；
明目标、知重点
解得
x
＝
5 000×1.00812 1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810
≈880.8(元).
答 小华每期付的金额为880.8元.
明目标、知重点
反思与感悟 求解数列应用问题，必须明确属于哪 种数列模型，是等差数列，还是等比数列；是求通 项问题，还是求项数问题，或者是求和问题.然后将 题目中的量建立关系，利用数列模型去解决.
n＋ 2 r
答 每月应存入163.48元.
明目标、知重点
反思与感悟 当应用问题中的变量的取值范围是正 整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数 列模型来解决.例如存款、贷款、购物(房、车)分期 付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型.
跟踪训练3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从 2012年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变， 并按复利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出， 共取回多少元？ 解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元， 设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元， 则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p).
为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1).
明目标、知重点
探究点二 定期自动转存模型 例2 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某 日存入一笔1年定期存款，1年后，如果储户不取出本利和.则银 行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定 期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来讨论以下 问题： (1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n 年后，再取出本利和，试求出储户n年后所得本利和的公式；
明目标、知重点
解得
x
＝
5 000×1.00812 1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810
≈880.8(元).
答 小华每期付的金额为880.8元.
明目标、知重点
反思与感悟 求解数列应用问题，必须明确属于哪 种数列模型，是等差数列，还是等比数列；是求通 项问题，还是求项数问题，或者是求和问题.然后将 题目中的量建立关系，利用数列模型去解决.
n＋ 2 r
答 每月应存入163.48元.
明目标、知重点
反思与感悟 当应用问题中的变量的取值范围是正 整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数 列模型来解决.例如存款、贷款、购物(房、车)分期 付款、保险、资产折旧等问题都属于数列问题模型.
北师大版高中数学必修5课件1.4数列在日常经济生活中的应用 课件
例2 定期自动转存模型
银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存。
例：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务
，第2年的本金就是第1年的本利和。按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来
讨论以下问题 (1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和。试求出储户n
点评：由于各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息和，等于商品售价 及从购买到最后一次付款的利息和。由题意可知，小华要在12个月后还给商场的 金额总值为5 000×(1＋0.008)12元，其中包括电脑价格和一年的利息。这样，假 定小华每期还款x元，则有x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)＝5 000×1.00812。 这是一个关于x的一次方程，利用等比数列求和公式及计算器可求得x≈880.8。这
(2)每月存入500元，月利率为0.3%，根据 ①式，本利和 (1) 若每月存入金额为 x个月存入的 元，月利率 r保持不变，存期为 n 个月，试推导出 解： (1) 根据题意，第1 x元，到期利息为 x•r•n；第 2 个月存入的x元， y＝ 500 ×(36 ×37)/2 × 0.3%) ＝ 18 (3) 依题意，在①式中， ＝ 2 000 ， r＝ 0.3%， 到期利息为 x•r•(n －＋ 1)(36 元…… 第ny 个月存入的 x 元，到期利息为 xr元。不难看出，这 到期整取时本利和的公式； 999( 元 )。 n＝ 12 。500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和 是一个等差数列求和的问题。 (2) 若每月初存入 x＝y/(n＋ n(n+1)r/2) ＝ 各月利息之和为 xr(1 ＋2＋…＋ n)＝n(n+1)r/2 x (元)， 是多少？ 2000/(12+(12 ×(12+1)×0.3%)/2)≈163.48(元 而本金为 nx元，这样 就得到本利和公式 y＝nx＋n(n+1)r/2 x (元)， (3) 若每月初存入一定金额，月利率是 )。 即 y＝[n＋ n(n+1)r/2]x (元)(n∈N＋)。① 0.3%，希望到第12个月末整取时 取得本利和2 答：每月应存入 000元。那么每月初应存入的金额是多少？ 163.48元。
北师大版高中数学必修5课件1.4数列在日常经济生活中的应用课件(数学北师大版必修5)
A4 A2 1 0.008 x
2
[[[[ 5000 1 0.008 1.008 x x
4 2
......
由题意年底还清,所以 解得：
A12 0
5000 1.008
12
x
1 1.008 1.008
2 4
1.008
x
1 [(1 p) ] 1 (1 p)
m n
m n
n
a (1 p ) m
x
a 1 p 1 p 1
m n
m
1 p 1
m
练习：
分组讨论计算某个组员利用自己零花钱分期付款
购买自己最想要的某种商品，并由小组代表到讲台 上用投影仪来谈谈组里给他的方案意见。
每期所付款 额
付款总 额
与一次性 付款差额
2
6次
3 注
12 次
规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。
分析方案2：（选择次数中间的方案进行举例分析，进一步巩 固数列知识） 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个 月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则：
设每期还款x元,第k个月末还款后 的本利欠款数为Ak元,则
每期所 付款额
付款 总额与一次性 付款差额2 Nhomakorabea6次
3 注
12 次
第 2 次付款，……购买后 12 个月第 12 次付款。 规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。
可见：方案3使得付款总额较少， 结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。
请同学们总结： 分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月 还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则求x的数学模型 ：
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a1＋p2 a1＋p 是以 ∴bn＋ 为首项， (1＋p)为公比的等比数列， p p
a ＋ 于是 bn＝ [(1＋p)n 1－(1＋p)]． 即这个家庭到 2022 年年初本利 p a 可达 [(1＋p)11－(1＋p)]元． p
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题型三 等差、等比数列的综合应用
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2， 其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新 建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那 么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%? 审题指导 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数 列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的 最小正整数解．
3．分期付款问题
贷款 a 元，分 m 个月将款全部付清，月利率为 r，各月所付款 额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那
ar1－r m 1＋r m－1 么每月付款款额为：___________.
想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种 数列对应？ 提示 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单 利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
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自学导引
1． 有关增长率、利率等的计算
增长量 增长前的量 (1)增长率＝____________；
购买商品获得的优惠额 商品标价 (2)优惠率＝_______________________；
利息 存款额 (3)存款利率＝_________.
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课堂讲练互动
试一试：什么情况下建立数列模型？ 提示 根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正 整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来 解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资 产折旧等问题都属于数列问题模型． 2．有关储蓄的计算 储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本 公式是：利息＝本金×存期×利率． 根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算 公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q， nApq nAp 则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出 nAp(1－q)＋A 金额为：_____________.
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有 水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全 部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一 个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放 水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关 闭的这个水龙头放水多少时间？ 解 设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依 次为x1，x2，…，xn. 由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1， ∴数列{xn}成等差数列，
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【解题流程】
[规范解答] (1)设中、低价房面积形成数列{an}，由题意 可知{an}是等差数列， nn－1 其中 a1＝250，d＝50，则 Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋ 2
225n，(2 分)
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数， ∴n≥10.(4分) ∴到2021年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次 不少于4 750万 m2.(5分)
§4
数列在日常经济生活中的应用
【课标要求】 正确理解储蓄及利息的计算方法． 1． 了解并掌握购房贷款中的相关知识． 2． 明确现行银行的还款方式． 3．
【核心扫描】 能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题．(重点、 1． 难点) 了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经 2． 济行为的含义．(重点)
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题型一
等差数列模型(单利问题)
【例1】 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购 买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购 房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后 为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款 全部付清后实际共付多少元？ [思路探索] 先将实际问题转化为数学问题，这是一个等 差数列问题，用等差数列来解决．
≈7 141(元)．∴每年需付款 7 141 元．
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规律方法 求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列 问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运 算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要 符合题设中实际问题的需要．
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【训练2】 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年 起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复 利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回 多少元？
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(2)定期存入零存整取储蓄 每期初存入金额 A，连存 n 次，每期利率为 p，税率为 q，则到第 n 1 1 n(n＋1)Ap n(n＋1)Apq 期末时， 应得到全部利息为：2 __________， 应纳税为：2 _____________，
1 n(n＋1)Ap(1－q) 2 实际受益金额为_________________．
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2．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x， 则本利和y＝a(1＋xr)．
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1 每个水龙头 1 min 放水 (这里不妨设水池的容积为 1)， 24n 1 ∴ · ＋x2＋…＋xn)＝1， (x 24n 1 nx1＋xn ∴ ＝24n，∴x1＋xn＝48. 2 又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40(min)， 故最后关闭的水龙头放水 40 min.
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解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设 第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1 ＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为 a1＋p a1＋p bn＋1＋ ＝(1＋p)bn＋ ， p p
a1＋p a1＋p2 其中 b1＋ ＝ . p p
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百 分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公 an＋1－an 比，其一般形式是： ×100%＝q(常数)． an
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例如：①银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期 为x，则本利和y＝a(1＋r)x. ②产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y ＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列 的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加 (或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型 为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
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解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还 清，每次付款数组成数列{an}， 则a1＝2＋(25－5)· 10%＝4(万元)； a2＝2＋(25－5－2)· 10%＝3.8(万元)； a3＝2＋(25－5－2×2)· 10%＝3.6(万元)； …；
n－1 an＝2＋[25－5－(n－1)· 10%＝4－ 2]· (万元)(n＝1,2， …， 5
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(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，(8分) 由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)50>400×(1.08)n－1×0.85.(10 分) 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6， ∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于85%.(12分) 【题后反思】 解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审 题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知 识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型 还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.
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名师点睛
1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
1 10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－ 的等差数列．a5＝4 5 5－1 － ＝3.2(万元)． 5
1 10×10－1×－ 5
S10＝10×4＋
2
＝31(万元)．
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31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付 清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决 该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额； (2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额 相同； (3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内 利息的计算公式．
a ＋ 于是 bn＝ [(1＋p)n 1－(1＋p)]． 即这个家庭到 2022 年年初本利 p a 可达 [(1＋p)11－(1＋p)]元． p
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题型三 等差、等比数列的综合应用
【例3】 (本题满分12分)假设某市2012年新建住房400万 m2， 其中有250万 m2是中、低价房．预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新 建住房中，中、低价房的面积均比上一年增加50万 m2.那 么，到哪一年底， (1)该市历年所建中、低价房的累计面积(以2012年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万 m2? (2)到哪年，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%? 审题指导 第(1)问是等差数列求和问题；第(2)问由等比数 列通项公式求出bn表达式，解不等式an>0.85bn，求得n的 最小正整数解．
3．分期付款问题
贷款 a 元，分 m 个月将款全部付清，月利率为 r，各月所付款 额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那
ar1－r m 1＋r m－1 么每月付款款额为：___________.
想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种 数列对应？ 提示 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单 利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
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自学导引
1． 有关增长率、利率等的计算
增长量 增长前的量 (1)增长率＝____________；
购买商品获得的优惠额 商品标价 (2)优惠率＝_______________________；
利息 存款额 (3)存款利率＝_________.
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试一试：什么情况下建立数列模型？ 提示 根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正 整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来 解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资 产折旧等问题都属于数列问题模型． 2．有关储蓄的计算 储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本 公式是：利息＝本金×存期×利率． 根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算 公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q， nApq nAp 则到期时，所得利息为：_____，应纳税为______，实际取出 nAp(1－q)＋A 金额为：_____________.
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【训练1】 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有 水龙头同时放水，那么24 min可注满水池．如果开始时全 部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一 个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放 水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关 闭的这个水龙头放水多少时间？ 解 设共有n个水龙头，每个水龙头放水时间从小到大依 次为x1，x2，…，xn. 由已知可知x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1， ∴数列{xn}成等差数列，
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【解题流程】
[规范解答] (1)设中、低价房面积形成数列{an}，由题意 可知{an}是等差数列， nn－1 其中 a1＝250，d＝50，则 Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋ 2
225n，(2 分)
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数， ∴n≥10.(4分) ∴到2021年底，该市历年所建中、低价房的累计面积将首次 不少于4 750万 m2.(5分)
§4
数列在日常经济生活中的应用
【课标要求】 正确理解储蓄及利息的计算方法． 1． 了解并掌握购房贷款中的相关知识． 2． 明确现行银行的还款方式． 3．
【核心扫描】 能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题．(重点、 1． 难点) 了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经 2． 济行为的含义．(重点)
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题型一
等差数列模型(单利问题)
【例1】 用分期付款购买价格为25万元的住房一套，如果购 买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购 房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后 为止．商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款 全部付清后实际共付多少元？ [思路探索] 先将实际问题转化为数学问题，这是一个等 差数列问题，用等差数列来解决．
≈7 141(元)．∴每年需付款 7 141 元．
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规律方法 求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列 问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运 算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要 符合题设中实际问题的需要．
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【训练2】 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2012年 起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复 利计算，到2022年年初将所有存款和利息全部取出，共取回 多少元？
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(2)定期存入零存整取储蓄 每期初存入金额 A，连存 n 次，每期利率为 p，税率为 q，则到第 n 1 1 n(n＋1)Ap n(n＋1)Apq 期末时， 应得到全部利息为：2 __________， 应纳税为：2 _____________，
1 n(n＋1)Ap(1－q) 2 实际受益金额为_________________．
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2．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定 的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是 公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． 例如：银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x， 则本利和y＝a(1＋xr)．
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1 每个水龙头 1 min 放水 (这里不妨设水池的容积为 1)， 24n 1 ∴ · ＋x2＋…＋xn)＝1， (x 24n 1 nx1＋xn ∴ ＝24n，∴x1＋xn＝48. 2 又∵xn＝5x1，∴6x1＝48，∴xn＝40(min)， 故最后关闭的水龙头放水 40 min.
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解 从2012年年初到2013年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设 第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1 ＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为 a1＋p a1＋p bn＋1＋ ＝(1＋p)bn＋ ， p p
a1＋p a1＋p2 其中 b1＋ ＝ . p p
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定百 分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公 an＋1－an 比，其一般形式是： ×100%＝q(常数)． an
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例如：①银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期 为x，则本利和y＝a(1＋r)x. ②产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y ＝N(1＋p)x. (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列 的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加 (或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)，称该模型 为生长模型，如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
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解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还 清，每次付款数组成数列{an}， 则a1＝2＋(25－5)· 10%＝4(万元)； a2＝2＋(25－5－2)· 10%＝3.8(万元)； a3＝2＋(25－5－2×2)· 10%＝3.6(万元)； …；
n－1 an＝2＋[25－5－(n－1)· 10%＝4－ 2]· (万元)(n＝1,2， …， 5
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(2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，(8分) 由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)50>400×(1.08)n－1×0.85.(10 分) 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n＝6， ∴到2015年底，当年建造的中、低价房的面积占该年建造住房面 积的比例首次大于85%.(12分) 【题后反思】 解答等差、等比数列综合应用问题的关系是通过审 题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知 识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型 还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn.
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1．解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征，要求什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 具体解题步骤为下框图：
1 10)．因而数列{an}是首项为 4.公差为－ 的等差数列．a5＝4 5 5－1 － ＝3.2(万元)． 5
1 10×10－1×－ 5
S10＝10×4＋
2
＝31(万元)．
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31＋5＝36(万元)，因此第5年该付3.2万元，购房款全部付 清后实际共付36万元． 规律方法 按单利分期付款的数学模型是等差数列，解决 该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额； (2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额 相同； (3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内 利息的计算公式．