小升初奥数—排列组合问题

小升初奥数—排列组合问题
一、 排列组合的应用
【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（1）七个人排成一排；
（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.
（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.
（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】 （1）775040P =（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.
（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6
6P =1440(种)．
（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.
（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，
那么确保打开保险柜至少要试几次？
【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，
3，3；2，2，2，3六种。

第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，
其余位置放1，共有4种选择；
第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有
4312⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的
情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．
综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．
【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5
个数字都不相同的时刻一共有多少个?
【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不
同的数字，所以有26P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有2
7P 种选法，所以共有26P ×2
7P =1260种选法。

从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。

【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端； ⑶ 男、女生分别排在一起； ⑷ 男女相间．
【解析】 ⑴ 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随
意排，也就是8个元素全排列的问题，有8
88765432140320P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)选择．由乘法原
理，共有640320241920⨯=(种)排法．
⑵ 甲、乙先排，有22212P =⨯=(种)排法；剩下的7个人随意排，有
7776543215040P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2504010080⨯=(种)排法．
⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212P =⨯=(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有 44432124P =⨯⨯⨯=(种)和5554321120P =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．
由乘法原理，共有2241205760⨯⨯=(种)排法．
⑷ 先排4名男生，有44432124P =⨯⨯⨯=(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有
5554321120P =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，一共有241202880⨯=(种)排法。

【例 5】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：
⑴当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列的问题，有
7 77!76543215040
P==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)方法．第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节
目全排列的问题，有4
44!432124
P==⨯⨯⨯=(种)方法．
根据乘法原理，一共有504024120960
⨯=(种)方法．
⑵首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是6个元素全排列的问题，一共有
6 66!654321720
P==⨯⨯⨯⨯⨯=(种)方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于
从7个“×”中选4个来排，一共有4
77654840
P=⨯⨯⨯=(种)方法．
根据乘法原理，一共有720840604800
⨯=(种)方法。

【例 6】⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）
⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？
⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？
⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？
⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？
⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？
【解析】⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有3
8
P种．
⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有3
8
P种．
⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一
种号码即对应一种坐法，有3
8
P种．
⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有3
8
P种．
⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有3
8
P种．
⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有3
8
P种。

【例 7】某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？
【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛2
665
15 21
C
⨯
==
⨯
场，共8个小组，有
158120
⨯=场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛2
443
6 21
C
⨯
==
⨯
场，共4个小
组，有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理，整个赛程一共有120244148++=场比赛。

【例 8】 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮
必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？
【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留
给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑
只满足第一、三个条件的站法总数为：321
237
2423P P P 3360C C ⨯⨯⨯⨯=（种） 同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：3
222262322P P P P 960C ⨯⨯⨯⨯=（种）
因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400-=（种）。

【例 9】 某池塘中有A B C 、、三只游船，A 船可乘坐3人，B 船可乘坐2人，C 船可乘坐1人，今有3个成
人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐C 船．
⑴若这5人都不乘坐C 船，则恰好坐满A B 、两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此
时A 船上还必须有1个成人，有1
3
3C =种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在A B 、两船上，则B 船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有12
2C =种选择，1个成人有1
33C =种选择，所以有236⨯=种方法．故5人都不乘坐C 船有369+=种安全方法；
⑵若这5人中有1人乘坐C 船，这个人必定是个成人，有1
3
3C =种选择．其余的2个成人与2个儿童，①若两个儿童在同一条船上，只能在A 船上，此时A 船上还必须有1个成人，有1
2
2C =种方法，所以此时有326⨯=种方法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B 船上有1个儿童和1个成人，此时1个
儿童和1个成人均有1
2
2C =种选择，所以此种情况下有32212⨯⨯=种方法；故5人中有1人乘坐C 船有61218+=种安全方法．所以，共有91827+=种安全乘法．
【例 10】 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？
⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选； ⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。

【解析】 ⑴恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为35
8
1014112C C ⨯=种；
⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：
8871181010843758C C C C --⨯=；
⑶4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人，有4
14
1001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的4
14C 种： 84181443758100142757C C -=-=．
⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：
817261441441434749C C C C C +⨯+⨯=。

【例 11】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音
响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案？
【解析】 按具有双项技术的学生分类：
⑴ 两人都不选派，有35543
10321
C ⨯⨯=
=⨯⨯(种)选派方法；
⑵ 两人中选派1人，有2种选法．而针对此人的任务又分两类： 若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有2554
1021
C ⨯=
=⨯(种)选法，而另外会安装音响设备的3人全选派上，只有1种选法．由乘法原理，有10110⨯=(种)选法；
若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有2332
321
C ⨯=
=⨯(种)选法，需从5人中选3人安装电脑，有3
5543
10321
C ⨯⨯=
=⨯⨯(种)选法．由乘法原理，有31030⨯=(种)选法．
根据加法原理，有103040+=(种)选法； 综上所述，一共有24080⨯=(种)选派方法． ⑶ 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：
①两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有515⨯=(种)选派方案；
②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有22535432
602121
C C ⨯⨯⨯=
⨯=⨯⨯(种)选派方案； ③两人全安装音响设备，有3
5543
3330321
C ⨯⨯⨯=⨯
=⨯⨯(种)选派方案．
根据加法原理，共有5603095++=(种)选派方案． 综合以上所述，符合条件的方案一共有108095185++=(种)．
【例 12】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？
【解析】针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：
⑴多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41
555
C C
==种选择，需从4名日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有515
⨯=种选择．
⑵多面手中有一人入选，有2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：
如果参加英文翻译，则需从5名英语翻译员中再选出3人，有3
5543
10 321
C
⨯⨯
==
⨯⨯
种选择，需从4名
日语翻译员中选出4人，有1种选择．由乘法原理，有210120
⨯⨯=种选择；
如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有41
555
C C
==种选择，需从4名日语翻
译员中再选出3名，有31
444
C C
==种选择．由乘法原理，有25440
⨯⨯=种选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有204060
+=种选择．
⑶多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：
①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．
情况①中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有2
554
10 21
C
⨯
==
⨯
种选择．需从4名日语翻译员中
选4人，1种选择．由乘法原理，有110110
⨯⨯=种选择．
情况②中，需从5名英语翻译员中选出4人，有41
555
C C
==种选择．还需从4名日语翻译员中选
出2人，有2
443
6 21
C
⨯
==
⨯
种选择．根据乘法原理，共有15630
⨯⨯=种选择．
情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人，
有3
5543
10 321
C
⨯⨯
==
⨯⨯
种选择，需从4名日语翻译员中选出3人，有31
44
4
C C
==种选择．由乘法原
理，有1210480
⨯⨯⨯=种选择．
根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有103080120
++=种选择．综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出560120185
++=张．
二、 几何计数
【例 13】 下图中共有____个正方形。

【解析】 每个44⨯正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个； 边长为3的正方形
有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222432130+++=(个)正方形．现有5个44⨯的正方形，它们重叠部分是4个22⨯的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130⨯-⨯=。

【例 14】 在图中(单位：厘米)：
①一共有几个长方形?
②所有这些长方形面积的和是多少?
3
74218
12
5
【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；
②所求的和是
[][]
51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯
+++++++++++++++++++
1448612384=⨯=(平方厘米)。

【例 15】 由20个边长为1的小正方形拼成一个45⨯长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形
(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。

(第六届走美决赛试题)
【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)
含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)
所以总共长方形有6848⨯=个，面积总和为(12233445)(122334)360+++++++⨯+++++=。

【巩固】 图中共有多少个三角形？
【解析】 显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6
类
（1）最大的三角形1个(即△ABC )， （2）第二大的三角形有3个 （3）第三大的三角形有6个 （4）第四大的三角形有10个 （5）第五大的三角形有15个 （6）最小的三角形有24个
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形2×59=118（个）。

【例 16】 一个圆上有12个点A 1，A 2，A 3，…，A 11，A 12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个
三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
【解析】 我们采用递推的方法．
☆ ☆
☆ ☆
☆ ☆ ☆
☆
☆
☆
☆
☆
☆
☆
I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．
Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个
点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这
时有可能的连法。

Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
①A1所在三角形的一个边所对的弧上；
②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．
在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．
如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；
如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．
共有12种连法．
Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
①9个点都在同一段弧上：
②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．
共有12×3+3×6+1＝55种．
所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。

课后练习：
练习1.如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。

【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+
18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664。

练习2.有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？
【解析】初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：
1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10=1+9=2+8=……=9+1；
当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考．不妨从具体的例子入手来分析，比如这10块糖分4天吃完：
第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．
我们可以将10个“○”代表10粒糖，把10个“○”排成一排，“○”之间共有9个空位，若相邻两
块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线(如下图)．
○○|○○○|○|○○○○
比如上图就表示“第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块．”
这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个‘|’的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这9个空位中插入若干个“|”的方法数。

由于每个空位都有画‘|’与“不画‘|’两种可能：
根据乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”的方法数有：9
9
22222512
⨯⨯⨯==
L
1442443，这也就说明吃完10颗糖共有512种不同的吃法。

练习3.用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成
一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么
一共要用多少根火柴?
【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：
最上一层只用了3根火柴；
从上向下数第二层用了3×2=6根；
从上向下数第二层用了3×3=9根；
……
从上向下数第二层用了3×20=60根；所以总共要用火柴3×（1+2+3+……+20）=630。

练习4. 如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?
【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根
共需1996×4+1997×3=13975根。

每个空位都有画“|”与不画“|”两种可能
练习5. 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。

现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）
解析：如右图，四把椅子排成一个圆圈。

当甲坐在①号位时，乙只能坐在②或④号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在②、③、④号位上时，各有4种排法。

所以，一共有16种排列法。

练习6. 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出______种不同的挑法来。

（挑出的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
解析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。

要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。

从五个奇数中，取3个数共有10种方法；
从四个偶数中，取3个数共有4种方法。

但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。

经检验，共有26种排法。