高中数学必修三秦九韶算法
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显然，采用第二种算法，计算机能够更快地得到结果。
那么，有没有更有效的算法呢？
《数书九章》——秦九韶算法
设 f (x) 是一个n 次的一元多项式
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
对该多项式按下面的方式进行改写
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 ( a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 ) x a 0 ( ( a n x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法二：先计算x2的值，然后依次计算
x2·x、（ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法2：
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
f ( x ) 5 x 5 2 x 4 3 . 5 x 3 2 . 6 x 2 1 . 7 x 0 . 8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值.
解： 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 5 v 1 5 5 2 2 7 v 2 2 7 5 3 . 5 1 3 8 . 5 v 3 1 3 8 . 5 5Hale Waihona Puke Baidu 2 . 6 6 8 9 . 9 v 4 6 8 9 . 9 5 1 . 7 3 4 5 1 . 2
v 5 3 4 5 1 . 2 5 0 . 8 1 7 2 5 5 . 2
所以,x = 5时，多项式的值为17255.2
练习：教材P48、 2
vv0k
an vk1x
ank
(k 1,2, ,n)
课后必做作业：
请同学们课后阅读教材38页，理解并能识别秦九韶 算法的程序。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的流程图及程序
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v 2 v 1 x a n 2
v v 3 v 2 x a n 3
0
v k
an vk1x ank
v n v n 1 x a 0 (k 1,2, ,n)
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
例2 已知一个五次多项式为
( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
省略了若干 个半括号
省略了若干项
f ( x ) ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v 1 a n x a n 1
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算
算法2：
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１4次的乘法运算,5次的加法运算
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
1.3.2 案例2、秦九韶算法
复习
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和
（ ）.
辗转相除法 更相减损术
2、两个数21672，8127的最大公约数是（A ）
A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x =
5的值
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
那么，有没有更有效的算法呢？
《数书九章》——秦九韶算法
设 f (x) 是一个n 次的一元多项式
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0
对该多项式按下面的方式进行改写
f ( x ) a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 ( a n x n 1 a n 1 x n 2 a 1 ) x a 0 ( ( a n x n 2 a n 1 x n 3 a 2 ) x a 1 ) x a 0
=5x5x5x5x5＋5x5x5x5＋5x5x5＋5x5＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906
算法二：先计算x2的值，然后依次计算
x2·x、（ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x 的值
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法2：
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
f ( x ) 5 x 5 2 x 4 3 . 5 x 3 2 . 6 x 2 1 . 7 x 0 . 8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值.
解： 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 5 v 1 5 5 2 2 7 v 2 2 7 5 3 . 5 1 3 8 . 5 v 3 1 3 8 . 5 5Hale Waihona Puke Baidu 2 . 6 6 8 9 . 9 v 4 6 8 9 . 9 5 1 . 7 3 4 5 1 . 2
v 5 3 4 5 1 . 2 5 0 . 8 1 7 2 5 5 . 2
所以,x = 5时，多项式的值为17255.2
练习：教材P48、 2
vv0k
an vk1x
ank
(k 1,2, ,n)
课后必做作业：
请同学们课后阅读教材38页，理解并能识别秦九韶 算法的程序。
课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的流程图及程序
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v 2 v 1 x a n 2
v v 3 v 2 x a n 3
0
v k
an vk1x ank
v n v n 1 x a 0 (k 1,2, ,n)
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法,称为秦九韶算法
例2 已知一个五次多项式为
( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
省略了若干 个半括号
省略了若干项
f ( x ) ( ( a n x a n 1 ) x a n 2 ) x a 1 ) x a 0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v 1 a n x a n 1
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１
=5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x = 5的值
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１
= 3906 10次的乘法运算,5次的加法运算
算法2：
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１4次的乘法运算,5次的加法运算
=5×（5４＋5３＋5２＋5＋１） ＋１ =5×（5×（5３＋5２＋5 ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5２＋5 ＋１） ＋１ ）＋１ ） ＋１ =5×（5×（ 5× （5× （5＋１ ） ＋１ ） ＋１ ）＋１ ） ＋１
1.3.2 案例2、秦九韶算法
复习
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和
（ ）.
辗转相除法 更相减损术
2、两个数21672，8127的最大公约数是（A ）
A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
案例2、秦九韶算法
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们加起来。
计算多项式ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x =
5的值
算法1：因为ｆ（ｘ） =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１