波动方程第三章

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W
dW
W
4 3 r 3
2C 1 4 3 lim 2 ( r ) r 0 t 3 0
左端的第二项，按奥斯特洛斯公式：任意一个矢量场，若 在空间域W中该场的一阶导数是存在，则该场边界S上的 通量等于在W域中散度的体积分。即：
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divgraddW grad ndS
显 然 ，r
x2 y2 z2
轴之间的夹角
为矢量r和z轴之间的夹角，
为矢量r在 xoy平面上的投影与x
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
各种算子在球坐标系中的表达式为：
gradu u 1 u 1 u er e e r r r sin u u 对于球面纵波，位移只存在r方向上，即 只是( r , t )的函数，则 u u 0 u u r er r r r
3 波动方程的解及地震波的特点
本章包括：

无限大、均匀各向同性介质中的平面波 无限大、均匀各向同性介质中的球面波 地震波的动力学特点 地震波的运动学特点
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3 波动方程的解及地震波的特点
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波 SH波
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
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3 波动方程的解及地震波的特点
因为是纵波，只存在 r方向的分量，即 grad , 则上式变为： r 1 lim dS 2 1 ( t ) r 0 r Vp S 再将特解带入左端项， 则有：
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' C1 C1 1 r ' lim dS lim 2 C 1 ) dS dS lim 2 ( C 1 r 0 r 0 r 0 r rV p Vp r S S S r r ' lim 4 ( C 1 C 1 ) r 0 V
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3.1
无限大、均匀各向同性介质中的平面波
若 k1 x k2 y k3 z Vt c 为常数，t固定，该方程代表一个 以 k k1 , k 2 , k 3 为法向量的平面，波在每个这样的平面上 必然有相同的相位，即平面波是垂直于 k1 x k2 y k3 z 平面传播的。不同的t，有不同的波前面。平面波的波 前面是平行的。
t0 0 t t t t
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（初始条件）
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波

当t<0时，整个空间位函数有：
x , y , z , t 0 ,

( x , y , z , t ) 0 t
在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δ t；


t>△t时，点震源作用完毕。
4C 1 带回原式，则得： r 1 r C1 ( t ) 1 ( t ) 2 Vp 4V p Vp 再将C 1带到特解式中，则得
（ r , t ) C 1 ( t
1 r
r 1 r ) 1 ( t ) 2 Vp 4rV p Vp
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2.2.1

胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a 0 或 相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力 位函数或者震源函数可以表示为
0 ( t ) ( t ) 0
VP2 ( 2 ) / VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2 VP2 2 2 t
2 V 2 t 2
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3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍 规律。波动方程的求解通常是和定解问题 联系起来考虑。波动方程的解就是波函数。 在不同的情况下可以得到不同的解， 即波函数有不同的形式。
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3 波动方程的解及地震波的特点
地震波的运动特点 惠更斯-夫列涅尔原理 射线积分理论-克希霍夫积分

费马原理和波的射线 时间场和视速度定理
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3 波动方程的解及地震波的特点
在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为： 2U 2 U ( ) grad F 2 t 两边取分别散度和旋度，并且令
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
3、球面纵波的位移解
球面纵波的位移为：
1 1 r 1 ' r r U p grad [ 2 1 ( t ) 1 ( t )] ) 2 4V p r Vp rV p Vp r
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3.1
无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
直接用位移向量所表示的波动方程式求解 2i k1 x k2 y k3 z Vt d U A exp Aei Acos i sin 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ 为波的相位. 2π f/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 k1 x k2 y k3 z Vt c 为传播项。 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
U A1 exp( vw0
i ( x V p t )) V
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位 移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。 第二组解：当 V Vs / 时，
u0 v A2 exp[ i ( x Vs t )] V i w A3 exp[ ( x Vs t )] V
r 0 W
t
r 0
W
r 0
W
若令： 1 ( t ) lim ( t )dW
r 0 W
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左端的第一项，其特解带入则得，
2 1 2C 1 lim 2 dW lim dW 2 r 0 r 0 t r t W W 1 2C 1 lim r 0 r t 2
W S
由此可得出： lim divgrad dW lim grad ndS
r 0 W r 0 S
将左端一、二项带回可 得： 1 1 lim grad ndS 2 lim ( t )dW 2 1 ( t ) r 0 Vp r 0 W Vp S
力位函数不为零的波动方程的达郎贝尔解为： 1 ( r ,t ) 1 ( t r / Vp ) 2 4rV p 该式为用震源函数表示的波动方程的位移位解。 在实际工作中，人们不可能接收到质点的位移 位，而只能接收到质点的位移。 地震记录上地震波的振幅A值就是反映质点的位 移。所以必须把位移位转换成位移。
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
2 VP2 2 0 t 2 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球坐标系中，即
x r sin cos y r sin sin z r cos ( 0 r ,0 ,0 2 )
拉普拉斯算子： 1 u 1 1 u 2u 2 ( r 2 ) (sin r r r r sin r u u 0
2 1 u 2 u 2 u 2 u 2 ( 2r r ) 2 2 r r r r r r
k x
）
将上式代入波的Navier方程
2U U ( ) grad F 2 t
2
整理简化，并令体力F=0，可得
2 A1 V 2 A1 0
A2 V 2 A2 0 A3 V 2 A3 0
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无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解：当 V V p ( 2 ) / 时，


1
r

1 r c1 ( t ) r VP
该式是齐次方程的解，只反映了波的传播特点。当力位 函数不为零时，需求非齐次方程的解，即达朗贝尔解。
2 2 V p2 2 2 V p2 divgrad ( t ) 2 t t
将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。 2 lim 2 dW V p2 lim divgraddW lim ( t )dW

k1 , k2 , k3 是平面的法线方向数。有
2 k12 k 2 k32 1
取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪 切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分 量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波， 11 称为SH波。
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋 转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
1 2u ) 2 2 r sin
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 2 1 2 1 VP 0 2 2 t r
1 r
其解为
r r 1 r c1 ( t ) c2 ( t ) VP VP
位移方程(P74)
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力 物理含义
无限大、各向同性 介质中的球面波
源 性 旋转力
质
旋转点震源——球面横波
位移方程
物理含义
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3 波动方程的解及地震波的特点
球面纵波的传播特点 视波长λ 波剖面 视波数k 振动图（实际记录） 视周期T 视频率f 地震波的动力学特点 能量密度 能量和球面扩散 能流密度 球面扩散 地震波的谱分析（傅立叶变换 ） 应用 识别不同的地震波 识别岩性 关 系
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二、沿X轴方向传播的平面波（即
k1 1 , k 2 0 , k 3 0 2i x Vt d U A ex p 2i x Vt u A1 ex p 2i x Vt v A2 ex p 2i x Vt w A3 ex p
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r 为常数，则t 随 r 增大而增大，( t r )代表了沿 c VP VP r r向“外”传播的波，称为发散波。t c2 ( ) 代表了沿-r向“内”传 VP
如果使 t
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为
负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
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因此，上式又可写为：
边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不 存在任何弹性分界面，故无边界条件。

球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点， 就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波