对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上
f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,则
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设
f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c 是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设
a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式 一．填空题（共10小题） 1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________． 2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________． 3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________． 4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________． 】 5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________． 6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________． 7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________． 8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________． . 10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________． 二．选择题（共2小题） 11．已知，，，则的值是（） A．B．C．D． 12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750 三．解答题（共1小题） & 13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．
因式分解易错题和经典题型精选
因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。
1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值
因式分解16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
对称式与轮换对称式
对称式与轮换对称式公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
竞赛专题-------对称式与轮换对称式 1．基本概念 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，， 那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是： 222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++ 【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。 由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： 333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。 【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，， 那么就称这个代数式为n 元交代式。
因式分解练习题库100题(经典、精心整理)
因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2 -(x+q) 2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2
17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y) 2-(x+2y) 2 33、1+10t+25t2
34、m2-14m+49 35、y2+y+0.25 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2
数学奥林匹克竞赛轮换与对称
因式分解对称式交代式和轮换式 1、基本概念 (1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。如a b +,22a ab b ?+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。 一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++???，3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的对称式。 (2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。如把a b ?，22a b ?中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b ?=??，2222()b a a b ?=??则a b ?，22a b ?就叫做关于,a b 的交代式。 (3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++?等都是关于,,a b c 的轮换式。 2、齐次对称式的一般形式 (1)二元齐次对称式 二元一次齐次对称式：)(b a L +； 二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22； 二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。 (2)三元齐次对称式 三元一次齐次对称式：)(c b a L ++； 三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++； 三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。其中L，M，N 都是待定的常数，不含有,,a b c 。 3、基本性质 (1)对称式一定轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如a c c b b a 222++是轮换式，但把,a b 互换，得到b c c a a b 222++，显然它不是关于,a b 的对称式。
因式分解练习题(超经典)
因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x
自招竞赛 数学讲义：轮换对称式的最值问题(讲师版)
自招竞赛 数学讲义 轮换对称式的最值问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 在不等式和求最值的问题中，轮换对称式是十分常见的。自招、竞赛中出现的不等式证明或代数式求最值问题以轮换对称式为主，而这一类有关轮换对称式的问题也以其简洁优美的数学形式和较为灵活多变的解决方法成为自招竞赛中的一大难点。 本章节列举了处理几类轮换对称式问题和几种常见处理方法，希望同学们在考场上见到这类问题时能够有思路有针对性地着手处理，而不是盲目地尝试变形求解（证）。 知识梳理 1. 不等式对称和轮换对称式的定义 在一个不等式中,若把其中任何两个字母(),,1,2,...,i j a a i j n i j =≠且对调位置后,这个不等式不变(如① 32 a b c b c c a a b ++≥+++,其中,,0a b c >), 我们便称此不等式是关于12,,...,n a a a 对称的。如果把不等式中的字母12,,...,n a a a 按一定顺序依次轮换（如1a 换成2a ，2a 换成3a ，...，1n a -换成n a ）后不等式不变（如② 222222 0,,,0c a a b b c a b c b c c a a b ---++≥>+++其中），我们便称此类不等式是关于12,,...,n a a a 轮换对称的。 2. 对称式与轮换对称不等式的性质 由定义易知，对称的不等式一定是轮换对称的（如①），而轮换对称的不等式却不一定是对称的（如②就不是对称的）。 关于12,,...,n a a a 对称的不等式，由于,i j a a 互换后原不等式不变，因此要想怎么排列他们的大小顺序，只要调换其位即可，故我们可任意排列12,,...,n a a a 的大小顺序（如在①
因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
因式分解的16种方法
因式分解の16種方法 因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。 如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。 如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。 提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の 一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式； ③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。 口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21變成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2 b a ±
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 对称式的因式分解 在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解. 解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. ∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2] =2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方
便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为 f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0. 因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上 f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, 若f(a)=0,则 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
因式分解 典型例题及经典习题
14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】 把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 【例4】 把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为：一提、二套、三查． 【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
经典因式分解练习题100道
For personal use only in study and research; not for commercial use 1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 14．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25
21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121
对称式与轮换对称式教案资料
， ， ， ， ， ， ， x n ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 例如， x - y ，x - y)( y - z )( z - x)， 八年级实验班竞赛专题 -------对称式与轮换对称式 1． 基本概念 【定义 1】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n 式不变，即对于任意的 i ，j （1 ≤ i < j ≤ n ），都有 f ( x gg g ，x ggg ，x ggg ，x ) = f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n 那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。 例如， x + y ，xy ， + y ，x 2 + y 2 + z 2，xy + yz + zx 都是对称式。 xy 如果 n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为 n 元对称多项式。 由定义 1 知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式 f ( x ，y ，z ) 中 ，若 有 ax 3 项 ，则 必有 ay 3，az 3 项 ； 若有 bx 2y 项 ， 则必 有 bx 2 z ， by 2 z ，by 2 x ，bz 2 x ，bz 2 y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。 根据对称多项式的定义，可以写出含 n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三 个字母 x ，y ，z 的二次对称多项式的般形式是： a( x 2 + y 2 + z 2 ) + b ( x y + yz + zx) + c( x + y + z ) + d 【定义 2】如果一个 n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ，那么称这个多项式 为 n 元 r 次齐次多项式。 由定义 2 知， 元多项式 f ( x ，x ggg ，x ) 是 r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数 t 有 1 2 n f (tx ，tx gg g ，tx ) = t r f ( x ，x ggg ，x ) 。 1 2 n 1 2 n 例如，含三个字母的三元三次齐对称式为： a( x 3 + y 3 + z 3 ) + b ( x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y) + cxyz 。 【定义 3】一个 n 元代数式 f ( x ，x ggg ，x ) ，如果交换任意两个字母的位置后，代数 1 2 n 式均改变符号，即对于任意的 i ，j (1 ≤ i < j ≤ n )，都有 f ( x gg g ，x ggg ，x ggg ，x ) = - f ( x ggg ，x ggg ，x ggg ，x ) 1 i j n 1 j i n 那么就称这个代数式为 n 元交代式。 ( x - y x + y 均是交代式。
最新初中数学因式分解经典测试题及答案
最新初中数学因式分解经典测试题及答案 一、选择题 1．把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ） A ．2（x 2﹣9） B ．2（x ﹣3）2 C ．2（x +3）（x ﹣3） D ．2（x +9）（x ﹣9） 【答案】C 【解析】 试题分析：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可． 解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）． 故选C ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式． 3．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a+b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ） A ．2x B ．﹣4x C ．4x 4 D ．4x 【答案】A 【解析】 【分析】 分别将四个选项中的式子与多项式4x 2+1结合，然后判断是否为完全平方式即可得答案. 【详解】
对称式和轮换对称式及答案
对称式与轮换对称式 一.填空题(共10小题) 1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:_________. 2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为_________. 3.已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=;=,=,则(a+c+e)﹣(b+d+f)得值为_________. 4.已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c=_________. 5.x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3.则y12+y22=_________. 6.设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则=_________. 7.已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式得m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c=_________. 8.设2(3x﹣2)+3=y,2(3y﹣2)+3=z,2(3z﹣2)+3=u且2(3u﹣2)+3=x,则x=_________. 9.若数组(x,y,z)满足下列三个方程:、、,则xyz=_________. 10.设x、y、z就是三个互不相等得数,且x+=y+=z+,则xyz=_________. 二.选择题(共2小题) 11.已知,,,则得值就是() A. B. C. D. 12.如果a,b,c均为正数,且a(b+c)=152,b(c+a)=162,c(a+b)=170,那么abc得值就是() A.672 B.688 C.720 D.750 三.解答题(共1小题) 13.已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d得最大值. 答案与评分标准 一.填空题(共10小题) 1.已知,a,b,c就是△ABC得边,且,,,则此三角形得面积就是:. 考点:对称式与轮换对称式。 分析:首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得:++=+++,再整理,配方即可得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0,则可得此三角形就是边长为1得等边三角形,则可求得此三角形得面积. 解答:解:∵a=,b=,c=, ∴全部取倒数得:=+,=+,=+, 将三式相加得:++=+++, 两边同乘以2,并移项得:﹣+﹣+﹣+3=0, 配方得:(﹣1)2+(﹣1)2+(﹣1)2=0, ∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0, 解得:a=b=c=1, ∴△ABC就是等边三角形, ∴△ABC得面积=×1×=. 故答案为:. 点评:此题考查了对称式与轮换对称式得知识,考查了配方法与等边三角形得性质.此题难度较大,解题得关键就是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形就是边长为1得等边三角形. 2.已知实数a、b、c,且b≠0.若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22得值为. 考点:对称式与轮换对称式。 分析:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③.首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2得值代入①,通过化简就可以求出结论. 解答:解:∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③. 由②,得 ④, 把④代入③,得 ⑤
因式分解经典题目
第三讲:因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3．分解因式的一些注意点 （１)结果应该是的形式;（2）必须分解到每个因式都不能为止； （3)如果结果有相同的因式,必须写成的形式。 4.公因式 多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的. 5.提公因式法 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法. 6．确定公因式的方法 (1)系数公因式:应取多项式中各项系数为; (2）字母公因式：应取多项式中各项字母为． 《重点辨析》 提取公因式时的注意点
【学堂练习】 1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? （1))11(22x x x x +=+; (2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3）22))((n m n m n m -=-+ (４)22)2(44+=++x x x (５))23(232y x x x xy x -=+- （6)32)1)(3(2--=+-x x x x 2.把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- ? 【经典例题】 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- (3）32)2()2(2x y b y x a -+- （４)32)3(25)3(15a b b a b -+- （5)432)(2)(3)(x y x y y x -+---?(6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+
因式分解的高级方法(解析版)
因式分解的高级方法 一．双十字相乘法 1．双十字相乘法原理 计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-． 从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。 2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤： （1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式； （2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ． 二．对称式与轮换对称式 【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ， ，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。 例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy ++++++，，，，都是对称式。 如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。 由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ， 2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。