基本不等式简单题
基本不等式练习(最值问题)
基本不等式—最值问题1．已知1x >，则41x x +-的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 2．设,x y R +∈,且191x y +=,则x y +的最小值为（ ） A ．6 B ．12 C ．14D ．16 3．若正数x ，y 满足32x y xy +=，则3x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．10D ．84．若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-5．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值是( ) A ．1 B ．2C ．4D ．8 6．甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均相同，则（ ）A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定7．已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( )A. B. C. D.8．若0,0a b >>，223ab a b ++=，则2a b +的最小值是( )A ．1B ．32 C D ． 29．若实数x,y 满足x 2y 2+x 2+y 2=8，则x 2+y 2的取值范围为________.10．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是_________.11．函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为________. 12．已知直线1ax by +=经过点()1,2，则24a b +的最小值为_________.13．已知0,0,2=32,x y x y xy >>+-，则2x y +的最小值为_________.14．已知不等式240x mx ++>对一切[]1,3x ∈恒成立，则实数m 的取值范围为________．15．若对任意0x >，都有241x a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 16．若,0a b >，且3ab a b =++，求（1）ab 的取值范围；（2）a b +的取值范围.再接再厉题组17．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y ++的最小值为_________. 18．设0,1a b >>，若4121a b a b +=+-，则的最小值为_________. 19．ABC ∆中， ()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，若4b c +=，则a 的取值范围是_______.20．2241sin cos x x+的最小值为_________. 21．已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则111a b c ++的最小值是________． 22．在ABC △中，π3B =，若ABC △3，则ABC △周长的最小值为_________． 23．△ABC 三边a,b,c ，满足a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，则三角形ABC 是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.直角三角形24．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 勇攀高峰题组25．若0x >，0y >，21x y +=，则2xy x y+的最大值为_________. 26．已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为_________. 27．设01x <<，a ，b 都为大于零的常数，则221a b x x+-的最小值为（ ）。
基本不等式练习题(基础、经典、好用)
基本不等式一、选择题1．若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝()A．1＋ 2 B．1＋ 3 C．3 D．42．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．(2013·潮州模拟)已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()A．2 B．2 2 C．4 D．54．(2012·湖北高考)设a，b，c均大于0，则“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的()A．充分条件不必要条件B．必要条件不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要的条件5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3 B．4 C.92 D.112二、填空题6．(2013·深圳调研)已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．8．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．三、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．10．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵x ＞2，∴x －2＞0，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 （x －2）·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时等号成立， ∴a ＝3.【答案】 C2．【解析】 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1. 【答案】 B 3．【解析】 1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥441ab ·ab ＝4. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，1ab＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立， 因此1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4.【答案】 C4．【解析】 1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab abc ，当abc ＝1时， ∴bc ＋ca ＋ab abc≤12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )] ＝a ＋b ＋c .故abc ＝1⇒1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c . 反过来，取a ＝b ＝1，c ＝4有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1， ∴“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件． 【答案】 A5．【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x 2x ＋2>0， ∴0<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2 （x ＋1）·9x ＋1－2＝4， 当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1. 【答案】 B二、填空题 6．【解析】 因为|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4b 2＋4ab ≥8ab ＝20，当且仅当a 2＝4b 2时取等号，所以|a ＋2b |的最小值是20.【答案】 207．【解析】 由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)． 又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.故当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.【答案】 18 8．【解析】 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立． 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．【答案】 20三、解答题9．【解】 ∵x ＞0，y ＞0，2x ＋8y －xy ＝0，(1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ，∴xy ≥8，∴xy ≥64.故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )(2y ＋8x )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.10．【证明】 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2 b a ·a b ＋2 c a ·a c ＋2 c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴1a ＋1b ＋1c ≥9.11.【解】 (1)设每件定价为x 元，依题意得(8－x －251×0.2)x ≥25×8，整理得x 2－65x ＋1 000≤0，解得25≤x ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
高一数学基本不等式试题
高一数学基本不等式试题1.设且,则的最小值为________．【答案】4【解析】由，当且仅当时等号成立．故答案为4．【考点】均值不等式的应用．2.当时，函数的最小值为 .【答案】6【解析】由于，所以函数【考点】基本不等式的应用.3.已知，，则的最小值为．【答案】4【解析】,由基本不等式得【考点】基本不等式的应用．4.设二次函数的值域为[0，+∞），则的最大值是（）A．B．2C．D．【答案】C【解析】由二次函数特点可知，在定义域R上其值域为，则,且,即. 欲求的最大值，利用前面关系，建立，由，故选C.【考点】（1）二次函数性质；（2）函数最值；（3）基本不等式.5.已知，则x + y的最小值为．【答案】【解析】，，由，可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为.【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用.6.若，则下列不等式正确的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由基本不等式得，则；又，.【考点】基本不等式.7.若,则的最小值是( )A．B．1C．2D．4【答案】C【解析】．【考点】基本不等式．8.已知等比数列，，则其前三项和的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，当公比时，；当公比时，，.【考点】利用基本不等式求最值。
9.（1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当时，等号成立．②结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．（2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）①若，只有当__________时，有最小值__________．②若，只有当__________时，有最小值__________．（3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4 m的小路（如图所示）。
问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
【答案】（2）①1 ，2：②3，10（3）游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648【解析】（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得，整理运用所给结论，可求面积的最值．（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10．（3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得，整理．当且仅当即取“=”．此时所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648【考点】基本不等式在最值问题中的应用；进行简单的合情推理10.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，化简后可得：，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式．11.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】因为且，所以，当且仅当即时取。
高中基本不等式练习
高中基本不等式练习1．若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 （ ） A ．8 B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】试题分析：因为，直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆228210x y x y ++++=的周长，所以圆心（-4，-1）在直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>上，从而，4a+b=1，所以，14a b +1416(4)()88816b a a b a b a b =++=++≥+=，故选C 。
考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。
点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。
应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。
2．已知正数,x y ，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则y x z )21(4⋅=-的最小值为( )A ．1B ．3241C ．161D ．321【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于正数,x y ，满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，而可知y x z )21(4⋅=-=22x y --，可知当过点(1,2)时函数z=2x+y 最大，此时22x y --最小，且为116，故选C. 考点：均值不等式点评：解决的关键是根据不等式的表示的平面区域，来结合均值不等式来求解，属于基础题。
3．若a>1, 则 112-+-a a a 的最小值是 ( )A ．2 B.4 C.1 D.3【答案】D【解析】试题分析：根据题意，一正二定三相等可知，a>1, 则221(1)(1)11113111a-1a a a a a a a -+-+-+==++≥=---,当且仅当a-1=1,a=2取得等号，故答案为D. 考点：均值不等式点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题。
高二数学基本不等式试题
高二数学基本不等式试题1.下列结论中正确的是A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．当时，无最大值【答案】B【解析】使函数有意义，则，当且仅当，即取到等号；对于可能小于0，对于当且仅当，即时取等号，但的最大值为1，错；对于在上为增函数，因此有最大值.【考点】基本不等式的应用.2.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.3.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ( )A．1B．5C．D．【答案】D【解析】由题可知直线进过圆心，即有.为求，可以利用前面的条件换掉,得,但考虑到不好求值，另寻它法.即将“1”.“2”换成,则有,故选D.【考点】巧用“1”和基本不等式证明不等式.4.已知，且，则的最小值是_______.【答案】9【解析】∵a+b=ab，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.【考点】基本不等式求最值.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围【答案】【解析】由题，则，则恒成立即恒成立，则【考点】基本不等式，恒成立问题6.已知x，y，z均为正数．求证：．【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。
【解析】证明：∵x，y，z都是为正数，∴． 4分同理，可得，． 6分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 8分【考点】均值不等式点评：主要是考查了均值不等式的求证不等式的运用，属于中档题。
7.已知，，，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，，，所以，=，当且仅当且时，的最小值为。
【考点】均值定理的应用点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。
8.已知函数在时取得最小值,则__________.【答案】36【解析】根据题意，由于函数在时取得，即时取得最小值故可知36，故答案为36.【考点】函数的最值点评：主要是考查了函数的最值的求解，属于基础题。
基本不等式题真题答案解析
基本不等式题真题答案解析在数学中，不等式是解决实际问题和证明数学定理的重要工具之一。
基本不等式是这一领域中最基础、最常见的类型之一。
本文将对几个典型的基本不等式题目进行真题答案解析，探讨解题思路和方法。
1. 题目：已知a > b > 0，证明a^2 > b^2。
解析：要证明a^2 > b^2，我们可以通过将不等式两边同时平方来达到目的。
由于a > b > 0，所以a和b都是正数。
当两个正数平方后，它们的大小关系仍然保持不变。
即a > b等价于a^2 > b^2。
因此，根据已知条件和等价性，我们可以得出结论a^2 > b^2。
2. 题目：证明(1 + a)(1 + b)(1 + c) > 1 + ab + bc + ca，其中a，b，c > 0。
解析：首先，我们注意到等式右边的部分和它的左边十分相似。
通过观察可以发现，右边的部分是通过两两相乘/相加得到的。
因此，我们可以尝试将左边展开并与右边进行比较。
将左边展开得到(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (ab + ac + bc) + (a + b + c) + abc。
然后，我们将右边的1 + ab + bc + ca与展开后的左边进行比较。
可以看到右边的部分包含有ab + ac + bc，并且右边还有1，bc和ca分别是1和ac，1和ab相加得到。
因此，我们可以将右边的1 + ab + bc + ca拆分为1 + (ab + ac + bc) + (ac + ab)。
与左边展开后的式子进行比较，我们可以发现右边的式子是左边展开后的一部分。
根据等式左边的展开式和右边的式子，我们可以得出结论(1 + a)(1 + b)(1 + c)大于右边1 + ab + bc + ca。
3. 题目：已知x > 0，证明5x + 7/x ≥ 12。
解析：首先，我们注意到等式右边是一个固定的数值12。
高三数学基本不等式试题
高三数学基本不等式试题1.当x>3时，不等式x+≥恒成立，则实数的取值范围是（）A．（－∞，3]B．[3，+∞）C．[，+∞）D．（－∞，]【答案】D【解析】因为当x>3时，不等式x+≥恒成立，所以有，记，设x-1=t，则在上是增函数，所以得，故选Ｄ．【考点】函数的恒成立．2.实数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是________________.【答案】6【解析】3x＋9y＝3x＋32y≥2考点:基本不等式3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. （1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．【答案】【解析】∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是5.若函数f(x)＝（b≠1)在x＝1处有极值，则ab的最大值等于。
基本不等式 基础练习题
基本不等式基础练习题1．若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是．2．已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．3．设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为．4．若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为．5．已知x＞2，则+x的最小值为．6．已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为．7．已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为．8．已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为．9．若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．10．若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为．11．已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是．12．已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．13．已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为．14．已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．15．设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为．16．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．17．已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是．18．已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．19．已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为．20．已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为．21．已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．22．己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是．23．若正数x，y满足x+3y=5xy，则x+y的最小值为．24．已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为．25．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．26．在等比数列{an }中，若S7=14，正数a，b满足a+b=a4，则ab的最大值为．27．已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是．28．实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．a b参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•资阳模拟）若两个正实数x，y满足=1，则x+2y的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据=1可得x+2y=（x+2y）（），然后展开，利用基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件．解答：解：∵两个正实数x，y满足=1，∴x+2y=（x+2y）（）=4+≥4+2=8，当且仅当时取等号即x=4，y=2，故x+2y的最小值是8．故答案为：8．点评：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是“1”的活用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2．（2013•东莞二模）已知x＞0，y＞0，且，则2x+3y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把代入可得，2x+3y=（2x+3y）（）=+29，由基本不等式可得答案．解答：解：由题意可得2x+3y=（2x+3y）（）=+29≥2+29=29+6当且仅当，即x=，y=时取等号，故2x+3y的最小值为：故答案为：点评：本题考查基本不等式的应用，把代入原式构造可利用基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．3．（2015•中山市二模）设a＞0，b＞0．若是2a与2b的等比中项，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：由题意知，∴的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．4．（2015•德阳模拟）若两正数a，c满足a+2c+2ac=8，则ac的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：两正数a，c满足a+2c+2ac=8，利用基本不等式的性质可得，化为，解出即可．解答：解：∵两正数a，c满足a+2c+2ac=8，∴，化为，∴≤0，解得，∴ac≤2，当且仅当a=2c=2取等号．∴ac的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．5．（2015•恩施州一模）已知x＞2，则+x的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x＞2，∴+x=+（x﹣2）+2≥=4，当且仅当x=3时取等号．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．6．（2015•金家庄区模拟）已知x∈（0，3），则函数y=+的最小值为3．考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：利用，当且仅当时取等号，x，y，m，n都为正数．解答：解：∵x∈（0，3），∴函数y=+≥=3，当且仅当，即x=1时取等号．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．7．（2015•杭州一模）已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+2y的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，利用△≥0，解出即可．解答：解：设x+2y=m，则x=m﹣2y代入x2+y2+xy=1，可得3y2﹣3my+m2﹣1=0，∴△=9m2﹣12（m2﹣1）≥0，解得﹣2≤m≤2，∴x+2y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于基础题．8．（2015•衡阳模拟）已知x，y∈R+，且xy2=8，则4x+y的最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵xy2=8，∴x=，∵x，y∈R+，∴4x+y=+≥3=6，当且仅当x=，y=4时取等号．∴4x+y的最小值为6．故答案为：6．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．9．（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：本题考查基本不等式，属基础题．10．（2014•德州一模）若正数x，y满足2x+y﹣3=0，则的最小值为3．分析：由题意可知2x+y=3，所以想到把要求最小值的式子分子分母同时乘以3，把分子的3同时换成2x+y，展开后利用基本不等式可求最小值．解答：解：由2x+y﹣3=0，得2x+y=3，又∵x，y为正数，所以=．当且仅当x=y时取等号，因为2x+y﹣3=0，所以此时x=y=1．所以的最小值为3．故答案为3．点评：本题考查了基本不等式的应用，训练了学生灵活变形和处理问题的能力，解答此题的关键是对已知条件的灵活运用，属中档题．11．（2014•阳泉二模）已知f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，则m+n的最小值是7．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由题意得m＞2，n＞1，（m﹣2）（n﹣1）=4，再由基本不等式得=2≤=，变形可得m+n的最小值．解答：解：∵f（x）=log2（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=3，m＞2，n＞1，∴log2（m﹣2）+log2（2n﹣2）=3，log2（m﹣2）2（n﹣1）=3，（m﹣2）2（n﹣1）=8，（m﹣2）（n﹣1）=4，∴=2≤=（当且仅当m﹣2=n﹣1=2时，取等号），∴m+n﹣3≥4，m+n≥7．故答案为：7．点评：本题考查对数的运算性质，基本不等式的应用．考查计算能力．12．（2014•日照一模）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），则的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过点（0，1），∴1=2a+b，∵a＞0，b＞0．∴==3+=，当且仅当，b=时取等号．故答案为．点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．13．（2014•镇江一模）已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9．分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解答：解：∵正数x，y满足x+2y=2，∴===9，当且仅当x=4y=时取等号．∴的最小值为9．故答案为：9．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（2014•温州三模）已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a﹣b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a﹣b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．解答：解：∵a＞b＞0，ab=1∴a﹣b＞0∴=当且仅当a﹣b=时取等号故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15．（2014•江西一模）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为16．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将等式左边通分，化简等式后，使用基本不等式，化为关于的一元二次不等式，解出的范围．解答：解：∵x、y均为正实数，且，进一步化简得xy﹣x﹣y﹣8=0．x+y=xy﹣8≥2，令t=，t2﹣2t﹣8≥0，∴t≤﹣2（舍去），或t≥4，即≥4，化简可得xy≥16，∴xy的最小值为16．点评：本题考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．16．（2014•浙江模拟）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是4．考点：基本不等式；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号）则x+2y的最小值是 4故答案为：4．点评：此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．17．（2014•宿州三模）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（2014•苏州一模）已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．19．（2014•宝山区二模）已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为2．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值．解答：解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；点评：本题考查了对数的运算性质以及基本不等式的应用问题，解题时应注意基本不等式的应用条件是什么，是基础题．20．（2014•淮安模拟）已知正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，则x+y的最小值为8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式即可得出．解答：解：∵正实数x，y满足（x﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．21．（2014•重庆三模）已知x，y∈R，且x+2y=1，则2x+4y的最小值是．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：首先判断2x＞0，4y＞0，然后知2x+4y≥2 =，即得答案．解答：解：由2x＞0，4y＞0，∴2x+4y≥2 =．所以2x+4y的最小值为故答案为：．点评：本题考查均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用．22．（2014•淄博三模）己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+y++=5，∴=（x+y）+，令x+y=t＞0，上述不等式可化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4，当且仅当x=y=2时取等号．因此t即x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题．专题：常规题型；函数的性质及应用．分析：将x+3y=5xy转化为=1，再由x+y=（x+y），展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴．∴x+y=（x+y）≥．当且仅当，即时取等号，此时结合x+3y=5xy，得∴x+y≥，可知x+y的最小值为．故答案为．点评：本题为2012年浙江文科试题第（9）题的一个变式．容易做错，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．24．（2014•咸阳二模）已知a，b，c，d∈R，且a2+b2=2，c2+d2=2，则ac+bd的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式即可得出．解答：解：==2，当且仅当a=c=b=d=1时取等号，∴ac+bd的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．25．（2014•荆州模拟）已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式求出xy≥8，然后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，∴x+2y=xy，平方得（xy）2≥8xy，解得xy≥8，∴log4（x+2y）=log4（xy），故答案为：点评：本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算，考查学生的计算能力．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等比数列的通项公式和基本不等式即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．∵S7=14=+=a4≥a4×（2+2+2+1），∴a4≤2．∵正数a，b满足a+b=a4，∴2≥a4=a+b，解得ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号．此时ab的最大值为1．故答案为：1．点评：本题考查了等比数列的通项公式和基本不等式，属于中档题．27．（2014•淮南二模）已知函数f（x）=2x﹣1+1过定点A，且点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，则的最小值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用20=1可得函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由于点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（1）=20+1=2，∴函数f（x）=2x﹣1+1过定点A（1，2），由点A在直线l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，∴m+2n=1．∴=（m+2n）=2+=4，当且仅当m=2n=取等号，∴的最小值是4．故答案为：4．点评：本题考查了指数的运性质和基本不等式的性质，属于中档题．28．（2014•宁波模拟）实数x、y满足x2+y2=4，则x+y﹣xy的最大值为．考点：基本不等式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由实数x、y满足x2+y2=4，利用三角函数代换x=2cosθ，y=2sinθ．令t=sinθ+cosθ=（θ∈[0，2π）），，可得2sinθcosθ=t2﹣1．x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：∵实数x、y满足x2+y2=4，∴可设x=2cosθ，y=2sinθ．则t2=1+2sinθcosθ，可得2sinθcosθ=t2﹣1．∴x+y﹣xy=2cosθ+2sinθ﹣4sinθcosθ=2t﹣2（t2﹣1）=，当且仅当时，x+y﹣xy取得最大值为．故答案为：．点评：本题考查了圆的参数方程、三角函数代换、三角函数基本关系式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法和计算能力，属于中档题．29．（2014•济南二模）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于直线ax+by=1经过点（1，2），可得a+2b=1．再利用基本不等式和指数的运算性质即可得出．解答：解：∵直线ax+by=1经过点（1，2），∴a+2b=1．∴2a+4b≥==2．当且仅当2a=4b，a+2b=1，即a=，b=时取等号．∴2a+4b的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式和指数的运算性质，属于中档题．30．（2013•石景山区二模）已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为即可得出．解答：解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴，化为，∴，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4，+∞）．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c==．∵ab≥4，∴，∴．∴c的取值范围是．故答案为．点评：恰当变形利用基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．。
基本不等式例题
1、已知正数a, b满足a + b = 1，则下列不等式中成立的是？A. ab ≤ 1/4B. ab ≥ 1/4C. ab < 1/4D. ab > 1/2（答案：B）2、设x, y为正实数，且x + y = 2，则下列不等式中正确的是？A. xy ≤ 1B. xy ≥ 1C. xy < 1D. xy > 2（答案：A）3、若a, b, c为正数，且a + b + c = 3，则下列不等式中不成立的是？A. a2 + b2 + c2 ≥ 3B. abc ≤ (a + b + c)3 / 27C. (a + b + c)/3 ≥√(abc)D. a3 + b3 + c3 ≥ 9（答案：D）4、已知x > 0, y > 0，且x + y = 4，则下列不等式中错误的是？A. 1/x + 1/y ≥ 1B. xy ≤ 4C. √(xy) ≤ (x + y)/2D. x2 + y2 ≥ 8（答案：A）5、设a, b为正实数，且a + b = 5，则下列不等式中正确的是？A. ab ≤ 25/4B. ab ≥ 25/4C. ab < 25/4D. ab > 10（答案：A）6、若x, y为正数，且xy = 100，则下列不等式中不成立的是？A. x + y ≥ 20B. x2 + y2 ≥ 200C. 1/x + 1/y ≤ 1/10D. x + y ≤ 50（答案：D）7、已知a, b, c为正数，且a + b + c = 1，则下列不等式中正确的是？A. a3 + b3 + c3 ≥ 3(abc)2B. a2b + b2c + c2a ≤ 1/3C. abc ≥ (a + b + c)3 / 27D. 1/a + 1/b + 1/c ≤ 1（答案：B）8、设x, y为正实数，且x + y = 6，则下列不等式中错误的是？A. xy ≤ 9B. x2 + y2 ≥ 18C. √(xy) ≥ 3D. 1/x + 1/y ≤ 1/3（答案：D）9、若a, b为正数，且ab = 8，则下列不等式中不成立的是？A. a + b ≥ 4B. a2 + b2 ≥ 16C. 1/a + 1/b ≤ 1/2D. √(a) + √(b) ≤ 4（答案：D）10、已知x, y, z为正数，且x + y + z = 3，则下列不等式中正确的是？A. xyz ≤ 1B. x2 + y2 + z2 ≥ 3C. √(xyz) ≥ (x + y + z)/3D. 1/x + 1/y + 1/z ≥ 3（答案：B）。
高一基本不等式典型例题
高一基本不等式典型例题咱们可以从简单的说起，比如说“算术几何不等式”，这就像是把两个世界放在一起。
想象一下，你和你的朋友比赛，谁能吃掉更多的冰淇淋。
你有个平整的碗，他却用一个歪歪扭扭的杯子，这可就显现出你们之间的差距了吧。
算术不等式就像在告诉我们，平均水平不一定是最好的。
追求均匀反而会让我们失去更多的乐趣。
大家都知道“冰淇淋越多越好”，但如果你的朋友吃到了一堆融化的冰淇淋，那可真是让人心疼了。
再来看看“柯西施瓦兹不等式”，哎，这个名字听起来就很高大上。
它的意思简单得不能再简单了。
想象你和你的另一半一起去逛街，你们买了两样东西。
结果，你买了很多小东西，他却只买了一个大包包。
你可能会觉得你们的选择有点不太对等。
这个不等式就像是在说，两个变量的乘积，其实不一定比各自的和要小。
听起来复杂，其实就是告诉我们，合作的力量比单打独斗要强大得多。
接着说说“赫尔德不等式”，这真的是个妙不可言的东西。
咱们假设有个小团队，大家各自分工，最后合力把事情做好。
就像一群小蚂蚁，虽然每只蚂蚁的力量微不足道，但它们合在一起，简直能搬起比自己大好几倍的东西。
赫尔德不等式就是在提醒我们，团结的力量是无限的，简直就是“众人拾柴火焰高”的真实写照。
不等式的世界里，总是充满了惊喜。
想象一下，如果有一天你发现你的成绩居然能通过不等式来提升，那感觉简直爽翻了。
只要你能掌握这些不等式，仿佛打开了一个新的大门，所有的数学问题都在向你招手，等待着你去探索。
说不定，这些公式和定理还能帮你在考试中逆袭，成为大家口中的“数学天才”。
理解不等式并不容易。
学习的过程就像走在沙滩上，脚下的沙子不断滑动，让你时而有点失去平衡。
不过没关系，咱们都知道，走路嘛，总是要有跌跌撞撞的。
重要的是，别放弃，要勇敢地走下去。
毕竟，“不经历风雨，怎能见彩虹”嘛！每一次的尝试都是一次成长，每一个错误都是一次进步。
想说的是，不等式就像是一把钥匙，打开了通往数学王国的大门。
只要你用心去理解，去感受，那些原本复杂的公式，都会变得简单明了。
基本不等式 带答案
基本不等式1．若x ＞0，则x ＋4x的最小值为( )．A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析 ∵x ＞0，∴x ＋4x≥4.答案 D2．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b的最小值为( )A.256 B.83C.113D ．4解析 由a >0，b >0,2a ＋3b ＝6得a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )(a 3＋b 2)＝23＋32＋b a ＋a b ≥136＋2 b a ·a b ＝136＋2＝256. 当且仅当b a ＝a b 且2a ＋3b ＝6，即a ＝b ＝65时等号成立．即2a ＋3b 的最小值为256. 答案 A3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为⎝ ⎛⎭⎪⎫n 10＋4.9，n ∈N *元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n 10＋4.9n2n＝32 000n ＋n20＋4.95， 当且仅当32 000n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去． 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析 依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是( )． A ．0B ．1C ．2D ．4解析 由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥xy 2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7. 已知a b 、都是正实数， 函数2x y ae b =+的图象过（0,1）点，则11a b+的最小值是（ ）A．3+ B．3- C ．4D ．2答案 A8. 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析 ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝2.时xy 取得最大值3.答案 39．若a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则2ab|a |＋2|b |的最大值为________．解析 a 是1＋2b 与1－2b 的等比中项，则a 2＝1－4b 2⇒a 2＋4b 2＝1.∵a 2＋4b 2＝(|a |＋2|b |)2－4|ab |＝1.∴2ab |a |＋2|b |＝2ab1＋4|ab |，这个式子只有当ab >0时取得最大值，当ab >0时，∴2ab 1＋4|ab |＝2ab 1＋4ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab 2＋4ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋22－4，由于a 2＋4b 2＝1，故4ab ≤1，即1ab≥4，故当1ab＝4时，2ab |a |＋2|b |取最大值232＝24.答案2410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析 由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1， 即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析 假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍． 假设P 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号． 答案 413．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0， 求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 ∵x ＞0，y ＞0,2x ＋8y －xy ＝0， (1)xy ＝2x ＋8y ≥216xy ， ∴xy ≥8，∴xy ≥64. 故xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y ＝xy ，得：2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2xy＋8yx≥10＋8＝18.故x ＋y 的最小值为18.14．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc都是正数． ∴bc a ＋cab≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2(bc a ＋ca b ＋abc)≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。
基本不等式入门练习题
27．已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为__________．
28．已知 ，则 的最小值为_____．
29．已知 ，且 ，则 的最小值为_______
30．函数 的最小值为_______
31．若a、b、c>0且 ，则2a＋b＋c的最小值为________
【详解】
由 可得出 ，
由于 、 为正实数，则 ，可得 ，
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解答的关键就是对所求代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.
15．8
【分析】
首先设 ，得到 ，从而得到 ，利用基本不等式得到 的最小值是 ，即可得到答案.
不等式 恒成立，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了基本不等式的灵活运用能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
17．
【分析】
先利用基本不等式，求得 ，结合 恒成立，得出不等式 ，即可求解.
【详解】
由题意知 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
又因为不等式 恒成立，所以 ，
16．已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数 的范围是______.
17．已知 ， ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是____
18．已知函数 的图象恒过定 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为____
19．在 中，角 的对边分别为 ， 且 面积为 ，则面积 的最大值为_____．
20．已知函数 ，在 中，内角 的对边分别是 ，内角A满足 ，若 ，则 的面积的最大值为_______.
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
基本不等式典型例题
基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。
- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。
- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。
- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。
- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。
所以y的最小值为2。
2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。
- 解析：因为x<0，则-x>0。
- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。
- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。
- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。
所以y的最大值为-2。
二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。
- 篱笆的周长C=2(x + y)。
- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。
- 则C = 2(x + y)≥slant40。
- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。
基本不等式练习题(带答案)
基本不等式1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123a b c++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x=+Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCDCABCCC二．填空题 11.12 12.3600 13. 212- 14.对 三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。
高一数学基本不等式试题
高一数学基本不等式试题1.已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（）.A．xy+有最小值4B．xy+有最小值3C．x+2y+有最小值11D．xy﹣7+有最小值11【答案】C【解析】由，得，由得，则（当且仅当，即时取等号），；令，则在上为增函数，，排除A,B; 而选项D:;选项C：（当且仅当，即或时取等号;故选C.【考点】基本不等式.2.已知，则x + y的最小值为．【答案】【解析】，，由，可得，当且仅当时等号成立，故，故答案为.【考点】对数的性质运算；均值不等式的应用.3.若，则下列不等式正确的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由基本不等式得，则；又，.【考点】基本不等式.4.若正数满足，则的取值范围是________________.【答案】【解析】，；可化为，，即，，即.【考点】基本不等式.5.在下列函数中，最小值为2的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A中不满足x＞0；B中，因为0＜sinx＜1，故“=”取不到；C中，因为0＜lgx＜1，故“=”取不到；D中 y=3x+3-x≥2，当且仅当 3x=3-x时取等号，此时x存在；故选D．【考点】基本不等式.6.对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据选项可知,所以此时不等式左边两项都是正数．根据基本不等式有,因为恒成立,所以,消掉,解得．所以．【考点】不等式恒成立;基本不等式．7.已知正数满足，则的最小值为．【答案】【解析】.【考点】基本不等式.8.在分别是角A、B、C的对边,若,则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，化简后可得：，∴，又∵，∴，即周长的范围为．【考点】1、余弦定理；2、基本不等式．9.设实数满足：,则取得最小值时，．【答案】121【解析】∵，∴，上述等号成立的条件依次为：，∴a=1，b=c=10，d=100，a+b+c+d=121．【考点】1、基本不等式；2、不等式的放缩．10.下列各函数中，最小值为2的是 ()．A．y＝x＋B．y＝sin x＋，x∈C．y＝D．y＝＋【答案】D【解析】（1）函数：当时，，当且仅当即时取；当时，，此时，即，当且仅当即时取。
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1
-
4 ab
+
1
≤
1 4
×
1 2
2
+
1
=
17 16
，
2a + b = 1
当且仅当
ab
=
1 64
时，取 “ = ”，
4. A
0
<
a
<
1 2
，故
1
-
2a
>
0，则
a1
-
2a
=
1 2
2a
1 - 2a
≤ 21 ·
2a+1-2a 2
2
=
1 8
，当
a
=
1 4
时取
“
=”
5. D
由
x
>
-1，即
x
+
1
>
0，所以
≥
2
+
2
x y
⋅
y x
=
4，当且仅当
x
=
y
=
1
时等号成立，而
x,y
∈
R+,x + y
1 x
+
1 y
≥ a 恒成立，故 a ≤ 4，也即 a 的最大值为 4.
8. C
x + y
2 x
+
1 y
=
2y x
+
x y
+
3
≥
2
2y x
×
x y
+ 3 = 2 2 + 3
, 故选 C.
9. C
解：因为 ab = 10，所以 a + 2b ≥ 2 2ab = 2 2 ⋅ ab = 4 5 ，当且仅当 a = 2 5 ,b = 5 时，等号成立，所
A. 3 5
B. 3 10
C. 4 5
(
)
D. 2 10
10. 若 a、b 都是正数，则
1
+
b a
1
+
4a b
的最小值为
A. 5
B. 7
C. 9
11.
直线
ax
+
by
+
1
=
0(a，b
>
0)
过点
(
-1,
-
1),
则
1 a
+
4 b
的最小值为
A. 9
B. 1
C. 4
12.
已知
x
>
5 4
，则函数
y
=
4x
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
7. 设 x,y ∈ R+,x + y
1 x
+
1 y
≥ a 恒成立，则实数 a 的最大值为
A. 2
B. 4
C. 8
8.
已知
x,y
都是正数,
且
2 x
+
1 y
=
1，则
x
+
y
的最小值等于
A. 6
B. 4 2
C. 3 + 2 2
(
)
D. 16
(
)
D. 4 + 2 2
9. 已知正数 a,b 满足 ab = 10，则 a + 2b 的最小值是
以 a + 2b 的最小值为 4 5 .
２
10. C
因为 a、b 都是正数，所以
1
+
b a
1
+
4a b
=
5
+
b a
+
4a b
≥
5
+
2
时取等号 )，故本题选 C.
b a
⋅
4a b
=
9，(
当且仅当
b
=
2a
>
0
11. A
将点的坐标代入直线方程：a + b = 1，
1 a
+
4 b
=
(a1
+
4b )
=
0
得
x
=
1
或
x
=
3 2
，
当
5 4
<
x
<
3 2
时
y'
<
0
函数单调递减，
当
x
>
3 2
时
y'
>
0
函数单调递增．
所以当
x
=
3 2
时函数取得最大值为：4
×
3 2
+
1
4
×
3 2
-
5
=
7.
３
解：∵ x > 0，y > 0，且 2x + y = 2，
∴
xy
=
1 2
(2x•y)
≤
1 2
(2x2+y
)2
=
1 2
，当且仅当
x
=
1 2
，y
=
1
时取等号
，
故则
xy
的最大值为
1 2
，
3. D
解：∵ ab > 0，2a + b = 1，∴ a > 0，b > 0，
∴
1
-
4ab
+
ab
=
1 4
⋅
4 ab
基本不等式 - 简单题
1.
已知
x,y
∈
(0,
+
∞)，且
1 x
+
4 y
=
1，则
x
+
y
的最小值为
A. 8
B. 9
C. 6
(
)
D. 7
2. 已知 x > 0,y > 0,2x + y = 2, 则 xy 的最大值为
A.
1 2
B. 1
C.
2 2
3. 若 a,b ∈ R，ab > 0，2a + b = 1，则 1 - 4ab + ab 的最大值为
yபைடு நூலகம்
=
x
+
1 x+1
=
x
+
1
+
1 x+1
-
1
≥
2
取 “ = ”，所以正确选项为 D
x + 1 ·x+11 - 1 = 1，x = 0 时
6. C
a
>
1
则
a
-
1
>
0，a
+
1 a-1
=
a
-
1
+
1 a-1
+
1
≥
3，当
a
=
2
时取
“
=
”，所以正确选项为
C
7. B
由于 x + y
1 x
+
1 y
=
2
+
x y
+
y x
1 4x - 5
的最小值为
____
D. 13 D. 10
(
)
(
)
１
参考答案
1. B
因为
x,y
∈
(0,
+
∞)，且
1 x
+
4 y
=
1，
所以 x + y =
1 x
+
4 y
x + y
=
1
+
4
+
y x
+
4x y
≥
5
+
2
当且仅当
y x
=
4x y
，即
xy
= =
3 6
时，等号成立，
y x
⋅
4x y
=
9，
2. A
A.
1 4
B.
15 16
C. 1
4.
若
0
<
a
<
1 2
，则
a1
-
2a
的最大值是
A.
1 8
B.
1 4
C.
1 2
5. 已知 x > -1，求函数
y
=
x
+
1 x+1
的最小值是
A. 4
B. 3
C. 2
6.
若
a
>
1，则
a
+
1 a-1
的最小值是
A. 1
B. 2
C. 3
D.
1 4
D.
17 16
D. 1
D. 1 D. 4
(a
+
b)
=
5
+
b a
+
4a b
≥
9，当且仅当
b
=
2a
=
2 3
时取等号
12. 7
∵
x
>
5 4
，∴
4x
-
5
>
0，
y
=
4x
+
1 4x - 5