2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题

2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题

一、选择题（每小题7分，共42分）

1、221217223－＋－＝＿＿。A 5－42 B42－1 C5 D1

2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。A0 B1 C3 D5

3、若函数y ＝kx(k ＞0)与函数y ＝x －1的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为＿＿。A1 B2 Ck Dk 2

4、满足等式x 2003xy 2003y 2003x y x y ＋－－＋＝2003的正整数对的个

数是＿＿。A1 B2 C3 D4

5、设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且AD ∶AB ＝1∶3。若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为4

3，则EA

EC 的值为＿＿。A 21

C 4

1 D 5

1

6、如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于

E ，且与CD 相切，若AB ＝4，BE ＝5，则ED 的长为＿＿。A3 B4 C

4

15

D

5

16 二、填空题（每小题7分，共28分）

1、抛物线y ＝

ax ＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C 。若△ABC 是

直角三角形，则ac ＝＿＿＿＿。 2、设m 是整数，且方程3x 2＋mx －2=0的两根都大于－

59而小于3

，则m=_______。 3、如图，AA 1、BB 1分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA 1＝BB 1＝AB ，则∠BAC 的度数为＿＿。

4、已知正整数a 、b 之差为120数的105倍，那么a 、b 中较大的数是＿＿。 三、（本题满分20分）

在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE ＝DF ；过E ，F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N 。求证：①△DEM ≌△DFN ；②∠PAE ＝∠PBF 。

1

F

四、（本题满分20分）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且a ＋a 1＝b ＋b 1＝c ＋c

1＝d+d

1

＝x ，试求x 的值。

五、已知：四边形ABCD 的面积为32，AB 、CD 、AC 的长都是整数，且它们的和为16。①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值。

试题说明：这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。

2003年全国初中数学联赛答案： 第一试

一、1、(D)；

2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。

3、(A)；设A(y x ,)，则1=xy ，故11

22ABO S xy ∆==。又因为△ABO 与△CBO

同底等高，因此，21ABC ABO S S ∆∆=⨯=

4、(B)

；由已知等式可得0=

0>

0=。故2003=xy

又因为2003为质数，必有1

2003x y =⎧⎨=⎩或20031x y =⎧⎨=⎩

5、(B)；如图3，连结BE ，31144

ADE S ∆=-

= 设CE

x AC

=，则1ABE S x ∆=-。 111,344ADE x S x ∆-===。故1

3

CE EA =

6、(D)；如图4，连结AC 、CE 。

由AE ∥BC ，知四边形ABCE 是等腰梯形。故AC ＝BE ＝5。

又因为Dc ∥AB ，DC 与圆相切，所以，∠BAC ＝∠ACD ＝∠ABC 。

E

D

C

B

A E D C

B

A

则AC ＝BC ＝AD ＝5，DC ＝AB ＝4

因为2

DC AD DE =⋅，故216

5

DC DE AD == 二、1、－1；设A 12(,0),(,0)x B x 。由△ABC 是直角三角形可知12,x x 必异号。则120c

x x a

=

< 由射影定理知2

OC AO BO =⋅，即212c

c x x a

=⋅=

；故1,1ac ac ==- 2、4；由题设可知，22

99320553332077m m ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-->⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

⎨⎛⎫

⎛⎫⎪⨯+⨯-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭

⎝⎭⎩ 解得813

342145

m <<。故4m =

3、12º；设∠BAC 的度数为x

因'AB BB =，故∠'2,4B BD x CBD x =∠=又'AB AA =，则

∠''AA B ABA =∠＝∠CBD ＝x 4。因为∠1

'(180)2

A A

B x =︒-

故1

(180)441802

x x x ︒-++=︒，解得12=x º 4、225；设(b a ,)＝d ，且md a =，nd b =，其中n m >，m 与n 互质。于是b a ,的最小公倍数为mnd 。依题意有

120

105md nd mnd

d -=⎧⎪

⎨=⎪⎩

，即3()235(1)357(2)

m n d mn -=⨯⨯=⨯⨯

又m n >，据式(2)可得1051m n =⎧⎨=⎩353m n =⎧⎨=⎩215m n =⎧⎨

=⎩157m n =⎧⎨=⎩ 根据式(1)，只能取15

7m n =⎧⎨=⎩，可求得15=d

故两个数中较大的数是225=md 。 第二试