古希腊证明几何学的成因之谜
第9讲 1.古希腊三大几何作图难题的非尺规解法
数学名题欣赏第9讲1 . 古希腊三大几何作图难题的非尺规解法公元前四世纪，古希腊的智人学派(也称巧辩学派)提出并研究了三大几何作图问题：立方倍积问题、三等分角问题和化圆为方问题.立方倍积问题: 已知一个立方体. 仅用圆规和直尺, 作一个立方体, 使其体积等于已知立方体的体积的两倍.三等分角问题: 任意给定一个角. 仅用圆规和直尺, 把该角三等份.化圆为方问题: 已知一个圆. 仅用圆规和直尺, 作一个正方形, 使其面积等于已知圆的面积.直到十九世纪, 人们才证明了, 用圆规和直尺不可能解决上述三个几何作图问题. 1837年，旺策尔(P．Wantzel)证明了立方倍积和三等分角的不可能性. 1882年，林德曼(C. Lindemann)证明了 的超越性，从而推断，只用圆规和直尺不能化圆为方.虽然著名数学家克莱茵于1895年已经对三大作图问题作了总结，严格证明了, 仅用尺规绝不可解这些问题，彻底解决了两千多年的悬案，但用其他几何方法还是可以准确地(非测量地)解决这三个问题的.一立方倍积问题的丝线解法历史传说关于立方倍积问题的提出，传说很多. 埃拉托塞尼(Eratosthenes，公元前226年——公元前195年)在名著《柏拉图》一书中写道：太阳神阿波罗向提洛岛的人们宣布, 瘟疫即将流行. 为了摆脱灾难，必须把德里安祭坛的体积扩大，使之变为现在这个立方体祭坛的体积的两倍，而且要求仍然是一个立方体. 工匠们百般努力，百思不得其解，于是去请教柏拉图. 柏拉图提醒大家，神发布这个谕示，并不是想得到一个体积加倍的祭坛，而是以此难题来责难希腊人对数学的忽视和对几何学的冷淡.埃拉托塞尼是国王托勒密(Ptolemy)之子的家庭教师，他把自己关于立方倍积的工作上报给托勒密国王，引起了国王的重视，并在全国悬赏征解.又有一个传说, 说的是古代一位希腊悲剧诗人, 他描述过一位名叫弥诺斯的匠人为皇族格劳科斯修坟的故事. 弥诺斯说，原来设计的每边都是百尺的立方体坟墓，对于殉葬者众多的皇家而言还嫌太小，皇家要求他把其体积加倍.当时古希腊关于立方倍积的传说满天飞，可见人们对这一问题的重视和兴趣. 设k 是已知立方体的棱长，x 是所求立方体的棱长，于是, 332x k =.解法一 希腊数学家梅纳奇马斯(Menaechmus ，前375——前325)考虑了两条抛物线2x ky =和22y kx =的交点. 由于42232x k y k x ==，所以332x k =. 于是, 这两个抛物线的交点(非原点)的横坐标即为所求的立方体之棱长.解法二 笛卡儿(Descartes ，1596—1650)只用上面两条抛物线中的一条就求得了x . 事实上，上述两条抛物线的交点(), x y 满足222x y ky kx +=+, 此为中心在, 2k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭、的圆. 此圆过两抛物线的交点，所以为求两抛物线的交点的横坐标x ，只需求上述圆与两条抛物线之一的交点即可(圆比抛物线容易作出).解法三 在上述方法中要作抛物线，这件事用尺规不能完成. 下面介绍一种巧妙的“丝线作图法”.1. 作边长为k 的正三角形ABC ，延长CA 到D ，使得AD k =;2. 作直线DB 和AB ;3. 取丝线一条, 在其上标出两点E 和F ，使EF k =;4. 拉直丝线，使其通过C 点，且点E 和F 分别落在DB 和AB 上. 于是可证:x =，即x 为体积加倍的立方体的棱长.注 x 的求法如下. 由上图, ||GC BE ,故2x k ky=. 在BCF ∆中使用余弦定理, 得()2222222cos3x k k y ky k y ky π+=+-=++, 即222x kx y ky +=+. 于是得332x k =. 故x =.二 用木工尺三等分任意角木工尺就是图中所示的直角尺. 设尺的拐角内点为B , 在和BD 垂直的尺边上取一点C , 使BC 等于尺宽AB . 任意给定一角EOF ∠. 用木工尺作一条与OE 相距为尺宽AB 的平行线l . 令尺边上的点A 落在l 上, C 落在OF 上, 尺边DB 过点O , 则沿DB 画出的直线l '与OF 的夹角等于13EOF ∠.事实上, Rt CBO Rt ABO Rt AGO ∆≅∆≅∆, 于是αβγ==.三 用割圆曲线化圆为方割圆曲线是古希腊数学家希庇亚斯为解决化圆为方问题而发明的. 设点A 是已知圆的圆心,AB 为一条半径.把线段AB 绕点A 顺时针匀速旋转90 到AD 的位置,同时, 与AD 平行的直线BC 匀速平移到AD 位置, 且AB 和BC 同时到达AD . 可以证明, 在运动过程中, 线段AB 和直线BC 始终相交. 它们的交点的轨迹称为割圆曲线(图中的粗实线).由于此曲线把以A 为圆心、以AB 为半径的14圆切割成两块, 所以该曲线称为割圆曲线. 如图建立坐标系, 设AB a =, 则割圆曲线的方程为tan2yx yaπ=.于是002lim limtan2y y y aAG x yaππ→→===. 由于我们利用割圆曲线, 所以AG 是已知线段. 于是,我们可用尺规作出线段2222AB a al a AG ππ===和线段b , 使得222b al a π==. 于是, 以b 为一边的正方形的面积等于已知圆的面积2a π.注1 证明: 在运动过程中, 线段AB 和直线BC 始终相交.设AB 旋转的角速度为ω,BC 平移的速度为v ,则因AB 和BC 同时到达AD , 所以2a vπω=. 于是2v a ωπ=.在t 时刻, B ''的纵坐标cos a t ω=.B C ''的纵坐标221. ()y a vt a at a t ωωππ⎛⎫=-=-=-* ⎪⎝⎭今证2cos 1t t ωωπ>-. 令t ωα=, 则要证2cos 10. ()2παααπ⎛⎫>-<<** ⎪⎝⎭22cos 1sin ααααππ'⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭.当20arcsin απ<<时, 2cos 10αααπ'⎛⎫+-> ⎪⎝⎭; 当2arcsin 2παπ<<时, 2cos 10αααπ'⎛⎫+-< ⎪⎝⎭. 又在0α=或2π时, 2cos 10ααπ+-=, 所以2cos 1002παααπ⎛⎫+-><< ⎪⎝⎭. 即 ()**成立. 所以线段AB和直线BC 始终相交.注 2 由 ()*, 得22y t aππω=-, 所以22y t aππϕω=-=, 于是割圆曲线的方程为tan2yx yaπ=.2 . 捆绑立方体若把橡皮筋套在一个立方体的顶点A 的近旁， 使此橡皮筋成一个三角形，那么只要一松手，则橡皮筋会向A 的方向滑过去而脱落. 再看与此立方体的一个面平行的平面, 它截得的正方形MNPQ 若是橡皮筋，我们将它弄成不与立方体的面平行，它仍然会凭它的“收缩成面积最小的特性”而恢复成一个与该立方体的面平行的正方形. 可见, 与立方体的面平行的正方形MNPQ 是稳定的捆绑.上述这种与立方体的面平行的正方形橡皮筋共三族，每个面上有两族橡皮筋垂直地分布于该面上. 在立方体表面上的每个点处, 都通过两条稳定(最牢靠)捆绑的橡皮筋. 除此之外，是否还可能有牢靠捆绑的橡皮筋呢? 有!-的棱长为1. 考虑其表面上的六边形ABCDEF, 并设其六边分别在立方体的六个面上. 若ABCDEF是一条橡皮筋且是稳定的捆绑，则其长度将在弹力作用下变为最短. 考虑立方体的侧面展开图. 由于ABCDEF达到了最短, 故A、B、C、D、E、F、A共线. 于是, 直线ABCDEFA与AQ夹45 角, 六边形ABCDEF 的各边与所在面上的一条对角线平行. 这些对角线组成了展开图中的两条平行虚线, 它们是ABCDEFA的两个极端位置. 对应在正方体上，这两个极端位置是PRX∆和QWU∆.显然, 六边形ABCDEF的周长为32正方体的一个面的对角线长度23倍).另外, AB CD EF ==, BC DE FA ==, ||AB DE , ||BC EF , ||CD FA , 且ABCDEF 是每个角都是120 的平面六边形, 它所在的平面平行于平面QWU 和平面PRX .稳定的捆绑ABCDEF 的位置是可变的, 它所在的平面可以平行于平面QWU 而在平面QWU 和平面PRX 之间平移(但ABCDEF 的周长始终保持为常数而各边也在自身所在的面内平移且保持平行于同一条对角线. 在平面展开图上, 两条虚线之间的带状区域被缠绕在立方体上(三棱锥S PRX -以外的各面上).若把稳定捆绑的六边形ABCDEF 的各边延长，则可形成两个中心重合且对应边平行的正三角形, 它们所围成的区域的公共部分的边界即六边形ABCDEF .一共有四族捆绑六边形，每族所在的平面互相平行，且平行于立方体的三个面上的三条对角线. 这四族捆绑线和开头讲的三族捆绑线（平行于立方体的面）合起来, 共有七族捆绑线.在立方体的表面上的每一点处, 恰有四条捆绑线通过. 于是, 在立方体的表面上，共编织了四层捆绑线.若要把棉纱绕在一个立方体上且不致使棉纱松脱，则应垂直于立方体的棱缠绕或缠在三棱锥S PRX∆所在的平面平行. 共有七种缠-以外的表面上，每圈线与PRX绕方式. 用垂直于棱的方式(三种)缠了两层之后改用平行于PRX∆等三角形的方式(四种)再缠两层，以后周期性地重复进行，则可缠绕成一个十分别致而结实的线团.3 . 糕点售货员的打包技术顾客买了一盒点心，要求售货员把长方体的点心盒用尼龙绳捆紧，便于携带. 售货员至少有两种捆绑方式.一是正交十字法. 如图. 这是一种牢固的包扎方法.二是上下压角法(这与前面讲的捆绑立方体很类似). 如图. 捆扎的尼龙绳形成了一个空间八边形ABCDEFGH. 要使捆扎最紧, 必须使该空间八边形的周长最短. 我们从纸盒的平面展开图上来分析.在展开图上, 仅当A、B、C、D、E、F、G、H共线时, 封闭折线ABCDEFGHA(尼龙绳)才最短. 设上述八点共线. 则直线AB可在一定的范围内平移. 图中的两条虚线是AB 的极限位置, AB 可在这两条虚线所夹的范围内平移. 设纸盒的长、宽、高分别为a 、b 、c , 则不论AB 在上述范围内的哪个位置, 八边形ABCDEFGH 的周长都是同一值L =周长的最小值), 相应的捆扎都是牢固的.这种别致、最优的捆扎方式, 样式新颖, 使得绳子不仅可以沿着自身的走向移动, 而且可在盒子的表面平移, 平移时, 绳子的总长还保持不变, 恒为L =另外, 该方法所用的绳子的长度L =字法所用的绳子的长度224a b c ++.绳子的第一个极端位置 绳子的一般位置绳子的第二个极端位置 以上三个位置画在同一图上在绳子的一般位置的图示中, 注意||AB FE 且AB FE =, ||DC GH 且DC GH =,AH ED =且68AHP EDP ∠=∠, BC FG =且68BCP FGP ∠=∠.如用多条绳子捆紧盒子, 并使各条绳子的位置不同（彼此平行），则图示如上. 把上述平面展开图中的两条虚线所夹的区域视为一条宽带子, 则可用该带子牢固地捆紧纸盒, 这就好像用多条绳子捆扎一样.4 . 怎样判断一个自然数能否被2，3，5，7，9，11和13整除？设n 是自然数, 则(1)n 可以被2(或5)整除⇔n 的个位数可以被2(或5)整除.换言之, n 可以被2(或5)整除⇔n 的个位数是偶数(或0和5之一).例如, 9034可以被2整除, 但21537不能被2整除. 24910和7729215可以被5整除,但28849不能被5整除.该方法的意义(实用价值)在于: 不需要实际做除法即可判断一个数n 能否被2或5整除, 这比计算2n ÷和5n ÷简便.(2)n 可以被3(或9)整除⇔n 的各位数字之和可以被3(或9)整除.例如, 80274可被3整除, 但不能被9整除, 因为8027421++++=可被3整除, 但不能被9整除. 直接验证：80274326758÷=，8027498919÷=余3.35441不能被3整除, 因为3544117++++=不能被3整除. 直接验证: 35441311813÷=余2.2041857可被9整除, 因为204185727++++++=可以被9整除. 直接验证:20418579226873÷=.该方法的意义(实用价值)在于: 用较小的计算量即可判断一个数n 能否被3或9整除, 这比计算3n ÷和9n ÷简便. 以下各方法的用处类此.(3)n 可以被11整除⇔n 的偶位数字之和与奇位数字之和的差可以被11整除.例如，6283706可以被11整除，因为()()687623022+++-++=可以被11整除.52416不能被11整除, 因为()()5462112++-+=不能被11整除.(4)判断n 能否被7(或11, 13)整除的方法 方法一 n 可以被7(或11, 13)整除⇔n 的最后三位数字组成的数和其余各位数字组成的数的差可以被7(或11, 13)整除.例如, 30445828可以被7整除, 因为3044582829617-=可被7整除.208832不能被7整除, 因为832208624-=不能被7整除.575344可以被11整除,因为575344231-=可被11整除. 39901不能被11整除, 因为90139862-=不能被11整除.58513可以被13整除, 因为51358455-=可以被13整除.78310不能被13整除,因为31078232-=不能被13整除. 注意 上述方法可以反复使用, 能达到简化计算的效果. 如判断30445828可否被7整除时, 先求出3044582829617-=, 然后, 对29617, 再计算61729588-=, 它可以被7整除, 从而29617也可以被7整除, 于是,30445828可以被7整除. 方法二 从n 的个位起, 每3位分为一段, (例如,28702448n =可以写成28,702,448n =), 则n 能被7(或11, 13)整除⇔奇数段数字之和与偶数段数字之和的差可以被7(或11, 13)整除.例如, 3,998,460,228可以被7整除, 因为()()9982283460763+-+=可以被7整除.4,879,201,421不能被7整除,因为()()87942142011095+-+=不能被7整除. 9,880,409,341可以被11整除, 因为()()8803419409803+-+=可以被11整除.125,789,641,237不能被11整除, 因为()()789237125641260+-+=不能被11整除.801,139,985,200,009可以被13整除,因为()()80198591392001456++-+=可以被13整除. 5,784,269,131,458不能被13整除, 因为()()7841315269458183+-++=不能被13整除. 注意 上述方法也可以反复使用, 以达到简化计算的目的. 如上面判断801,139,985,200,009可以被13整除时, 先计算出()()80198591392001456++-+=, 然后, 可以对1,456, 计算4561455-=, 它可以被13整除, 所以1,456也可以被13整除, 从而801,139,985,200,009可以被13整除.5 . 消九验算法例1 56385215⨯=对不对？ 利用下面讲的消九验算法可以简便地加以验证.对乘数56，有5696÷=余2. 对乘数385, 有385942÷=余7.两个余数的乘积为14，1491÷=余5. 对乘积21560，有2156092395÷=余5.最后两个余数相同，我们可以基本．．断定5638521560⨯=是正确的(事实上, 此计算确实正确).说基本．．断定5638521560⨯=是正确的, 而不说肯定正确, 是因为可能有这种情况出现, 就是计算虽然有错, 但用上述方法仍然得到最后两个余数相同的结果.比如, 2417318⨯=显然是错的, 但2492÷=余6, 1791÷=余8, 6848⨯=, 4895÷=余3, 318935÷=余3. 最后两个余数相同.由此可见, 上述方法不是绝对可靠的!例2 38227103⨯=对不对?382942÷=余4, 2793÷=余0, 400⨯=, 090÷=余0, 1031291145÷=余7. 因07≠, 所以断定3822710312⨯=是错的.这就是说, 如果最后的两个余数不同, 则一定可以断定计算出错.例3 把消九验算法灵活变通一下, 可以简化验算时的计算.检验例1中的5638521560⨯=是否正确.对56: 5611+=;+=,112对385: 38516+=;++=,167+=;⨯=, 1452714对21560: 2156014+=.++++=,145最后的两个计算结果相同, 可基本断定5638521560⨯=正确.道理: 56被9除所得的余数=“5611+=”被9除所得的余+=”被9除所得的余数=“112数. 对385，14和21560有类似结果.我们看到, 本例中的方法比前两个例子中的方法在计算上简便多了!例4检验例2中的3822710312⨯=是否正确.对382: 38213+=;++=, 134对27: 279+=, 削去9, 得0;⨯=;400对10312: 103127++++=.最后的两个计算结果不同: 07≠, 于是可以断定3822710312⨯=是错的.6 . 素数的故事(1)名不符实的冠名素数并不素(朴素). 它的定义和名称似乎给人一种印象，认为素数是质朴简单的一种最基本的数. 其实, 算术中的麻烦事大都是由它惹起的. 例如，我们知道的哥德巴赫猜想和孪生素数的黎曼猜想就是典型的例子. 1989年，Amdabl Six小组在美国加利福尼亚圣克拉大学用Amdabl 1200超级计算机捕捉到一对孪生素数: 11235⨯±. 可见素数名不符实.170659521还有一个在数学史上贻笑大方的、名不符实的故事，它是关于威尔逊定理的. 有一个关于素数的定理，用英国法官威尔逊(J．Wilson，1741——1793)的名字冠名.威尔逊定理 若2p ≥为自然数，则p 是素数p ⇔整除()1!1p -+.事实上，这条定理是莱布尼茨首先发现，后经拉格朗日证明的. 但威尔逊的一位擅长拍马屁的朋友沃润(E ．Waring)在1770年出版的一本书中, 却吹嘘说是威尔逊发现的这一定理，而且还宣称这个定理永远不会被证明，因为人类没有好的符号来处理素数. 这种话传到高斯的耳朵里. 当时, 高斯也不知道拉格朗日证明了这一定理，他在黑板前站着想了五分钟，就向告诉他这一消息的人证明了这一定理! 高斯批评威尔逊说：“他缺乏的不是符号而是概念.”两百多年来，全世界的数论教科书上都照样把这一定理称为威尔逊定理. 看来还历史以本来面貌，更换本定理的冠名已无必要，也不易纠正这么多年来文献与教材上的称呼了.威尔逊定理应用很广. 例如, 对较大的素数p ，我们虽然无力算出()1!p -的值，但却知道()1!p -被p 除的余数是1p -.由于威尔逊定理的戏剧性的冠名以及它的内容的重要性，有人戏称：“如果一个人不知道威尔逊定理，那他就白学了算术.”(2)不能实施的素数判别法从字面上看，威尔逊定理已经明白无误地给出了一个简洁的四则运算算法，可以判断任何一个正整数是不是素数. 可惜()1!p -太无情了，它使得我们没有那么的多时间和抄写空间(纸张或计算机内存)来弄清()1!p -是几! 例如，1876年，法国数学家卢卡斯(A ．Lucas)用手和笔发现了一个39位的素数12721170141183460469231731687303715884105727p =-=.若用威尔逊定理来判断p 是否是素数, 就需要计算()()1271!211!p ⎡⎤-=--⎣⎦，以每页书可排2000个阿拉伯数字计算，()127211!⎡⎤--⎣⎦可以印成500页的书至少33210⨯本，这比全世界的总藏书量还多得多! 因此, 用威尔逊定理去判断一个大数是否是素数, 这是行不通的! 可见，威尔逊定理只有理论价值，它是一个无实施价值的判别法，或者说，它是一个无效的坏算法.我们渴望设计出一个有效算法, 来判别任给的正整数是否是素数. 这种迫切性从费马数和哥德巴赫猜想等问题上可以感觉到.所谓费马数，是指形如221n n F =+的数，其中0, 1, 2, n = . 03F =, 15F =, 217F =, 3257F =, 465537F =, 54294967297F =.从0F 到4F , 容易判定它们都是素数，5F 是42亿多的大数，费马当年无力判断5F 是否是素数，他只是大胆地猜想, 一切n F 都是素数. 1732年，欧拉算出56416700417F =⨯，从而否定了费马关于费马数素性的猜想.1880年，法国数学家卢卡斯算出627417767280421310721F =⨯.1971年，有人对7F 得出素因子分解.1981年，有人得出8F 的素因子分解.1980年，有人得出9448F 的一个因子是94501921⨯+.1984年，有人得出23471F 的一个因子是23473521⨯+.1986年，有人用超级计算机连续运算十天, 得知20F 是合数.人们至今知道的素费马数还只是03F =, 15F =, 217F =, 3257F =, 465537F =.这个问题不能彻底解决的要害, 是人们至今没有搞出判别素数的有效算法.也有一种潜在的厄运，那就是判定一个数是否是素数和移动河内塔上的盘子一样，本质上就不存在有效算法!(3)素数病毒越来越多把π的小数点删去，π就改写成了一个阿拉伯数字的无穷序列. 问：长几的前缀是素数? 例如，3与31是素数；314159是第三个素前缀；1979年美国数学家贝利(R ．Baillie)等人发现π上的第四个素前缀31415926535897932384626433832795028841. 敢问：π还有第五个素前缀吗? 第六个，第七个,……呢?把π换成 2.71828e =…,…, lg 2, lg 3,…, 再问同类问题，又该怎么解答呢? 即使是温和一些的问题，例如下面的问题, 其解答仍然是悬案!()121111110101011019n n n n --=++++=- 个. 问: 当n 为素数时，1111n 个是否是素数? 真是心血来潮! 随便一问就会难倒人! 这样提出问题会使人对素数产生一种反感. 在形形色色应接不暇的问题当中，似应首选那些具有重要应用背景或理论背景，又有能力解决的问题去研究.(4)重要的问题是落实算术基本定理算术基本定理告诉我们，任一大于1的整数n 都可以唯一地表成某些素数的乘积，即12m n p p p = , 其中1p , 2p , …, m p 是被n 唯一确定的素数.问题是，如何由n 具体地求出1p ,2p , …, m p ? 这是一个有重要实用背景和计算机计算的时间复杂度理论背景的大问题. 是数论的中心课题之一，也是计算机科学的主攻方向之一. 假设某年某人设计出了一个有效算法，能在多项式时间内求得12m n p p p = 中的1p , 2p , …, m p 的值，那么当n 是素数时，n 就是1p ，即此算法可以有效地判定素数，从而可以在多项式时间内解决前面提出的诸多问题. 例如, 费马数n F 是否为素数(n是任意给定的自然数)，无理数(例如π)的前缀是否是素数等问题. 这里说的“多项式时间”是指对一个问题，存在一个多项式()p n ，n 是要判定的整数的输入长，即它的位数的一个倍数.在实用上，例如在保密通讯与密码破译当中，需要对大合数进行素因子分解. 一般地, 这种大合数有百位之大，所以, 目前各军事大国都集中大量人力物力，研究这种合数的素分解问题，但至今并未听说有明显进展.如果真搞出素分解算法，则对任给定的大偶数，可以在多项式时间内把它表成两个素数之和或发现哥德巴赫猜想的反例.我们期望的这种素分解的有效算法能解决这么多非常之难的问题，可见设计出它的难度是诸多数论难题难度之集大成! 即使这种算法存在，也是很难设计出来. 我们甚至还应想到它根本就不存在，以免望梅止渴，水中捞月!7 . 蚂蚁在砖上爬行的最佳行迹一只蚂蚁从一块砖的一个顶点爬向对角顶点，它应沿着怎样的路线爬行，才能使其行迹(所用时间)最短？''''-. 蚂蚁欲从点A爬向对角顶点C'.它可以有种种不同的爬行方式. 如图所示. 不失一般性, 我们设蚂蚁沿路径A F C'→→爬行, 最后到达C'. 设AB a=, AD b=, AA c'=. 在长方体的侧面展开图上, 显然当点F使A、F、C'共线时，路径A F C'→→最短. 此时, 该路径的长度同理，AEC'=,AGC'在图示的从A 到C '的所有六条路径中, 最短者即为所求的最短路径. 另一方面, 由平面展开图可知,AHC AFC ''=且AFC H '是平行四边形, AJC AEC ''=且AEC J '是平行四边形, AIC AGC ''=且AGC I '是平行四边形. 因此, 我们只需考虑路径AFC '、AEC '和AGC ', 并从中挑选最短者. 设a b c >>, 则易知AFC '(也就是AHC ')是最短路径且AFC AHC ''=.一般地, 在展开图是平面图形的立体表面上，蚂蚁从一点爬向另一点时，其最省时的行迹皆为展开图上连接此两点的各直线段中的最短者对应的立体上的那条曲线段.例如, 在圆柱上，蚂蚁要从A点爬向B点. 把此圆柱的侧面展开, 则图中的两个线段AB中的较短者对应的圆柱面上的曲线(圆柱螺线)即为从A到B的最短路径.蚂蚁在圆锥上爬行的最佳路线也可用前面的展开图方法加以解决. 有趣的是，如果它是从圆锥底面圆周上一点A爬向此圆周上的另一点B，则最短路径不是沿圆周爬行，而是先向上爬，到达一个最高点后再向下爬行. 其最佳爬行路线在展开图上是直线段AB.对于不可展开成平面的曲面，寻求蚂蚁从其上一点爬向另一点的最佳路线就不像上面的解法那么方便了. 一般而言，不能用初等数学的方法来讨论. 例如在球面上，蚂蚁从一点A爬向另一点B，则应沿A、B所在的大圆上的劣弧AB爬行. 沿大圆爬行时，路径弯曲的程度最小，最接近直线段，但证明这一点并非易事.设在某曲面上存在一条蚂蚁的最佳行迹l ，使它从A 点爬到B 点, 所走路径最短. 现在l 上穿一个洞(点洞), 蚂蚁爬行时不能从该洞上走过, 则这时可能已不存在最佳行迹了. 事实上，设无洞时最佳行迹是唯一的. 因蚂蚁爬到洞附近时必须绕行，因此有无穷条行迹，都与无洞时的最佳行迹相差无几，且越来越接近于原最佳行迹，但哪一条也不是最佳的，都可以再缩短，可见这时已找不到最短行迹了.。
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
古希腊三大几何难题
古希腊三大作图难题北京化工大学 殷光中概述：尺规作图，即只用直尺和圆规作几何图形，其来源于《几何原本》，以后在一个时期内成为数学中的重要研究课题[1]。
古希腊三大作图难题：1.作一立方体，其体积为所知立方体体积的两倍；2.画圆为方，即作一正方形使其面积为已知圆的面积；3.尺规三等分任意角）之一。
众所周知，二等分任意给定角用尺规很容易就能解决。
而充满探索与挑战精神的人们又会想到用尺规如何三等分任意给定角，此后，许多数学家纷投入这一问题的解决。
直到十九世纪，人们才严格证明了三等分任意角仅凭尺规不可能实现。
到此，这一问题才告一段落。
期间，有许多超越了尺规限制的作图方法：比如：希皮阿斯发明的割圆曲线，阿基米德螺线和尼科梅德斯蚌线等[2]。
人们万万也不会想到但他们在潜心研究一些未解决的问题的时候，许多新的发现也会应运而生……1、三等分任意角科学需要大胆的想象,或许引入数学公式可以实现超越尺规而三等分角,于是我想到了倍角的相关公式,引发了以下一系列的思考: 1.1.1 n 倍角的正切值展开通式tan1α=t tan2α=212t t- tan3α=23313t t t --tan4α=4236144tt t t +-- tan5α=42535101105t t t t t +-+-tan6α=64253151516206t t t t t t -+-+- tan7α=64275373521121357t t t t t t t -+--+-tan8α=86427532870281856568t t t t t t t t +-+--+-…… 有如下特征：① 分子分母各项均是“+，-”交替出现，且分子上为t 的奇次幂，分母上为t 的偶次幂。
② 我们将分子分母上相同序项对齐，则分子上的次数比分母上依次高一，且其系数有如下关系： 若tann α=...1......8463422194735231++-+-++-+-t m t m t m t m t n t n t n t n nt ; 则有，tan(n+1) α=...)()(1...)()()1(42121522311-+++--+++-+t m n t m n t m n t m n t n .即：对正相加分别作为下式相应项的分子系数；由下往上左偏相减作为下式相应项的分母系数 。
数学史三大难题
古希腊的成绩：欧氏几何最初的几何概念，来源于生活。
自从人类有了意识，人类所接触的物体，都为咱们提供了这些概念的来源。
尤其是古代的经活动，包括土地的丈量（用来决定税收，古代是按照土地的大小来纳税的），各类衡宇的建造，各类物品工具的制造，使得人们有了几何概念的大体雏形。
目前较为一致的观点是，一个较为系统的几何学的产生是从古代埃及进展起来的（由于尼罗河水的按期泛滥冲垮农田，人们为了从头丈量土地，产生了“测地术”，英文中的,geometry一词中的“geo-”有大地的意思，而“-metry”又有测量的意思，而中文中的“几何”则是“geo-”的译音。
）虽然几何学的产生起源于古代的埃及而从科学进展的历程来看，数学的进展，真正从一门比较完善学科学科的形成来讲，几何学的进展较为迅速，而且也较早形成一个完整的学科体系。
对于几何概念的科学，能够追溯到古希腊文明。
泰勒斯，比达格拉斯的老师，被誉为世界上第一个科学家和数学家，对那时从经验得来的事实进行了理论解释，朝几何学的系统化迈出了第一步。
他研究了图形全等、图形相似的概念，将实际的经验归纳为抽象的原理，使得原来的经验，能够有更广漠的应用。
他还提出了一个逻辑推理系统。
而物理空间的提出，成为以后几何研究的一个重要内容。
研究了平方数、三角形数。
更重要的一个发现是比达格拉斯定理，也就是中国古代的勾股定理：直角三角形的两个直边长度的平方和，等于斜边长度的平方。
在研究正方形对角线长度时，比达格拉斯已经发现这个数无法精确表示。
这已经很接近无理数的概念，可惜他放弃了，只好由两千多年后的德国数学家康托来完成无理数理论的基础。
几何学的一个里程碑是欧几里德的《几何原本》的出版。
《几何原本》集当时几何学研究的大成，对希腊人所了解的几何学知识进行了条理化和系统化。
《几何原本》首先定义了几何学中的概念和符号，使得几何学便于交流。
同时，《几何原本》开创现代科学研究的公理化系统：基于有限的公理，一门学科中其他的定理都可以被推导出来。
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题
旺策尔（Wantzel）给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明——古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题提出者：智者学派展开雅典有一个智者学派，代表人物有希比阿斯、安提丰、普罗泰格拉等。
智者学派以诡辩著称，当时流行几何，哲学家、数学家常常看口闭口都是几何。
于是三大几何难题就诞生了。
（1）化圆为方：作一个正方形，使其面积与已知圆面积相等。
（2）倍立方：作一个正方体，使其体积是已知正方体的2倍（3）三等分角：三等分任意角于是呢，有一堆数学家就开始做。
题目规则是尺规作图。
可他们没做出来，于是就做，做呀做呀，他们殚精竭虑、千方百计，就是没做出来，一个都没有，但是一直有人做，于是阿基米德螺线诞生了，于是圆锥曲线诞生了……但是这么多几何线诞生，也没把题目做出来，于是两千年过去了。
19世纪有一个人叫旺策尔，证明了这个题目光用尺规是作不出来的。
证明这个几何题目的方法，竟然是代数。
推理方法很值得借鉴。
简单说一下---------------------------------------------------------------------------------推理第一步：尺规作图可以怎么折腾归纳只有5点：①做连接两点的直线段，或延长此线段；②作两直线的交点；③以已知点为圆心；④作圆与直线交点；⑤作两圆交点；第二步：只用尺规可以作出什么样的线段设a1、a2、a3、a4、…… an是已知线段，同时用ai表示它们的长度，并设a1=1. 则光用尺规只能将之进行＋、一、×、÷、√（根号），即进行加、减、乘、除、开偶次方根。
ai＋aj没问题，ai －aj没问题，若x=ai× aj，则有1/ai=aj/x ，作一个相似三角形即可。
同样，若x=ai÷aj则1/x=ai/aj，若x=√（ai），则x^2=ai/×a1，x 是ai/与a1的比例中项，仿照射影定理的模型可以作出。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
古希腊三大几何问题简介
古希腊三大几何问题简介几何学作为数学的一个重要分支，在古希腊时期就已经引起了学者们的广泛兴趣。
在这个时期，有三个问题尤为著名，它们分别是“三平方和问题”、“倍立方问题”和“黄金分割问题”。
本文将对这三个问题进行简要介绍。
首先，我们来谈谈“三平方和问题”。
这个问题最早由古希腊数学家毕达哥拉斯开始研究。
问题的核心是，是否存在三个整数a、b、c，使得a^2+b^2=c^2成立？换句话说，是否存在一个直角三角形，其三条边的长度都是整数？这个问题被证明是可行的，即存在无数个满足条件的三个整数。
接下来，我们将讨论“倍立方问题”。
这个问题的起源可以追溯到古希腊的柏拉图学派。
问题的关键在于，是否存在一个正整数n和正整数m，使得n^3=2m^3成立？换句话说，是否存在一个立方数的两倍是另一个立方数？然而，通过数学推理和证明，这个问题被证明是不可行的，即不存在满足条件的整数解。
这一结果被称为“倍立方问题的无解性”。
最后，我们将探讨“黄金分割问题”。
这个问题源自于古希腊建筑中的黄金分割比例的运用。
黄金分割比例是指将一条线段分割为两部分，使得整条线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。
古希腊学者希波克拉底认为这是一种美学比例，因此引起了广泛的研究和讨论。
然而，黄金分割问题是否存在唯一解仍然是一个待解决的问题，至今仍有数学家在进行深入研究和探索。
通过本文的简要介绍，我们对古希腊三大几何问题有了一定的了解。
其中，“三平方和问题”存在无数个满足条件的三个整数解，“倍立方问题”被证明是不可行的，而“黄金分割问题”仍然是一个待解决的问题。
这些问题不仅仅是古希腊数学的瑰宝，也是后世数学研究的重要课题。
它们的探索与研究推动着数学领域的发展与进步。
古希腊三大几何谜题
巧辩学派代表人物安蒂丰：穷竭法
用囿的内接正多边形逼 近囿面积的方法来化囿 为方
求囿面积近似值
古希腊穷竭法始祖
Байду номын сангаас
倍立方
解决三大几何问题的早期努力
• 希波拉克底：倍立方问题可以转化为求一 线段与它的二倍长线段之间的双重比例中 项问题 • a : x = x : y = y : 2a • 满足 的 x 即为倍立方的解 （没能从几何方面解决）
• 解析几何
• 笛卡儿的解析几何创立之后，尺规作图的 可能性才有了准则
三大几何问题的解决
• 1837年：法国数学家旫策尔证明三等分角 及倍立方不可能用尺规作图 • 1882年：德国数学家林德曼证明了π的超 越性——否定了用尺规化囿为方的可能性
• 超越性： π不可能是任何整系数代数方程的根
伽罗瓦的群论与三大几何问题
解决三大几何问题的早期努力
化圆为方
- 希波克拉底：化月牙形为方 - 安蒂丰：穷竭法
希波克拉底: 化月牙形为方
月牙形区域面积 等于三角形面积
证明： 如图3，Ⅰ、Ⅱ表示月牙形面积，Ⅲ、Ⅳ表示弓形 则： Ｉ+Ⅲ=1/2π(AC/2)2= 1/8πAC2 (1) Ⅱ + Ⅳ=1/2π(BC/2)2= 1/8πBC2(2) （1）＋(2)等于：Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋Ⅳ＝1/8πAC2+1/8πBC2 即：Ⅲ＋Ⅳ=1/8πAC2+1/8πBC2－Ⅰ－Ⅱ……………(3) 又：Ⅲ＋Ⅳ＋ΔABC面积＝1/2π(AB/2)2=1/8πAB2……(4) 将(3)代入(4)，得： 1/8πAC2+1/8πBC2－Ⅰ－Ⅱ+ΔABC面积＝1/8πAB2 因为：AB2=AC2+ BC2（由毕达哥拉斯定理得知） 所以：ΔABC面积＝Ⅰ + Ⅱ
文物中的数学知识
文物中的数学知识数学是一门古老而又神奇的学科，它贯穿于人类文明的各个方面。
在世界各地的文物中，也能找到许多展现数学知识的痕迹。
本文将从古代文物中挖掘出一些有关数学的知识，并进行简要介绍。
一、埃及金字塔与三角形的奥秘埃及金字塔是古代埃及人的杰作，它们不仅令人叹为观止的外观，还蕴含着许多数学的奥秘。
其中，三角形的应用尤为突出。
埃及人通过精确的测量和计算，建造了各种形状的金字塔。
这些金字塔的底面都是正方形，而侧面则是由四个等腰三角形组成的。
埃及人借助这些三角形的性质，成功地建造了稳定而耐久的金字塔。
二、古希腊的几何学之谜古希腊是数学几何学的发源地，文物中也能找到许多关于几何学的证据。
最著名的就是古希腊的柏拉图立体。
柏拉图立体是由正多边形组成的凸多面体，其中最有名的有五个：四面体、八面体、十二面体、二十面体和六十面体。
这些立体在古希腊文物中被广泛应用，展示了古希腊人对几何学的深刻理解和造诣。
三、中国古代的算盘与计算术中国古代的算盘是一种用来进行计算的工具，它是中国古代数学的重要产物。
算盘的出现极大地推动了中国古代数学的发展。
算盘上的珠子代表着数字，通过移动珠子的位置来进行计算。
算盘上的珠子分为两类，一类是地珠，代表个位数；另一类是天珠，代表进位数。
通过算盘的运算，中国古代人民能够进行复杂的加减乘除运算。
算盘的发明和使用，使得中国古代的商业和科学活动得以迅速发展。
四、阿拉伯数学的传承阿拉伯数学在文物中也有着重要的地位。
阿拉伯数学家通过对古希腊、印度等数学知识的吸收和整理，创造出了阿拉伯数字和十进制计数法。
阿拉伯数字是目前世界上广泛使用的数字系统，它的特点是简单易懂、易于计算。
阿拉伯数学的传承使得数学成为一门更加普及和实用的学科，并对现代科学和技术的发展产生了深远影响。
五、数学与艺术的交融在一些文物中，我们还能看到数学与艺术的结合。
例如，菱形花纹在古代建筑和艺术品中经常出现，它们是由一系列平行线和相交线组成的。
勾股定理的来源故事
勾股定理的来源故事关于勾股定理的历史源于古代，它是由古希腊哲学家几何学家皮拉斐特发现的。
皮拉斐特是古希腊的学者，也是著名的哲学家。
他尝试描述和探索有关几何图形的所有未解之谜，以及为什么它们有如此奇怪的形状。
他探索了矩形、三角形和圆形，他有时先通过数学原理来证明某些几何图形非常特殊。
然而，他最重要的发现是勾股定理（也称为勾股定理），这也是他对几何的发现的一个特殊的例子。
勾股定理的发源于古代。
当时，皮拉斐特试图解决一个特殊的几何图形。
他详细调查了一个三角形，几何图形的属性很容易被困扰。
然而，皮拉斐特决定通过一种新的方法，发现几何中的一些普遍性和连接性。
他想弄清楚每条边都有多长，以及它们是如何相互作用的，并以一种简单的形式表达出来。
于是，他发明了勾股定理，并将其写入他的“几何”中。
他发现，一个正方形边长的平方等于它们之间两个直角边边长的平方之和，即：a2 + b2 = c2。
他在描述三角形时，也发现了这一事实。
因此，皮拉斐特的发明通过它能够让三角形的几何图形得以被解释，而且这个规律也能被用来描述更复杂的几何图形。
他证明了这一发现的实质，也就是勾股定理，它在现代几何学的教科书中也被被引用。
从此开始，勾股定理就成为古希腊几何图谱的一个非常关键的部分。
此外，它也影响了现代几何，线性代数和几何学。
它对几何定理也有着重要的意义，尤其是有关角的定义。
自从古希腊几何家特瑞斯发现勾股定理之后，科学家们就在不断努力将它的应用范围扩大到无限大，它的发现也影响了我们生活的方方面面。
勾股定理利用简单的数学运算，证明了自然界中这些普遍适用的物理法则。
古希腊几何三大问题——康明昌
古希腊几何三大问题康明昌▪ 1.前言▪ 2.几何三大问题简介▪ 3.为什么这些问题无解？▪ 4.超越数简介▪ 5.几何三大问题不是几何学研究的主流1.前言古希腊人在几何学的研究开创了一个辉煌的时代。
Euclid（欧基里德，约纪元前300年）的《几何原本》(Elements) 总结了当时希腊数学发展的成果。
由于几千年经验的累积，人类已经能够掌握许多几何知识。
如何有效的运用、正确的认识、以及更进一步的发展这些知识，促使希腊人有系统的去整理它们。
这个工作的结果，就是《几何原本》的纂成。
《几何原本》是希腊文明结晶品之一。
《几何原本》把纷杂的知识变成一个演绎系统，推演出来有条不紊的定理；而这个系统所根据的（也就是没有加以证明的）只是少数几个看来相当明显并且合乎人类经验的现象。
这几个「不证自明」的现象叫做「公理」(axioms 或postulates)；由这些公理出发，Euclid 可以推演出当时人类已经获得的几何知识。
几何作图是几何学研究的一个课题。
正如希腊人整理《几何原本》秉持的一贯精神，他们把几何作图的「竞赛规则」定得清清楚楚。
希腊人的几何作图只准用（没有刻划的）直尺和圆规。
据说，在纪元前351年的 Menaechmus 曾经建议把拋物线的制图仪也列入合法的作图工具，结果（根据 Plutarch 的说法）被Plato（柏拉图）痛斥一顿，Plato 认为使用陋俗工匠制造的仪器来作图，是在污辱几何学。
古希腊人在研究几何作图时，有三个问题无法解决，这就是通称的古希腊几何三大问题。
这些问题直到十九世纪才证明是无解的。
所谓无解并不是数学家不能答复这些问题，而是数学家能够证明这些作图问题是办不到的，就像一般人能够证明方程式x2+1=0没有实数根的情况一样。
既然这些问题是无解的，那么几何学家岂不是没事干了？事实恰恰相反，从十八世纪末期以来，几何三大问题就已经不是几何学研究的主流；十九世纪几何学研究的主流是，射影几何、非欧几何、微分几何与代数几何。
【精品】古希腊三大几何难题
【精品】古希腊三大几何难题古希腊是数学的发源地之一，许多重要的数学理论和问题都起源于古希腊。
在古希腊数学中，有三个著名的几何难题，分别是“倍立方问题”、“平方圆问题”和“黄金分割问题”。
这三个问题在古希腊数学中被认为是难以解决的难题，直到近代才被完全解决。
第一个问题是“倍立方问题”，也就是如何构造一个体积是已知立方体两倍的立方体。
根据欧几里得的《几何原本》，这个问题可以被转化为如何求解一个立方根。
然而，古希腊人发现无法通过直尺和圆规来完成这个任务。
这个问题一直困扰着古希腊的数学家，直到16世纪，意大利数学家费拉里解决了这个问题，他证明了立方根是无法用直尺和圆规来作图的。
第二个问题是“平方圆问题”，也就是如何构造一个面积等于给定圆面积的正方形。
这个问题的困难之处在于圆周长和正方形边长之间的关系。
古希腊数学家发现，无法通过直尺和圆规来构造一个面积等于给定圆面积的正方形。
这个问题一直没有被解决，直到19世纪，法国数学家阿贝尔证明了平方圆问题是无法解决的，即无法用直尺和圆规来作图构造一个面积等于给定圆面积的正方形。
第三个问题是“黄金分割问题”，也就是如何将一条线段分割成两段，使得整条线段与较短的一段之比等于较短的一段与较长的一段之比。
这个问题在古希腊数学中被广泛研究，许多数学家试图通过直尺和圆规来解决这个问题。
然而，他们发现无法用有限次的直尺和圆规作图来实现黄金分割。
这个问题一直困扰着数学家们，直到19世纪，法国数学家阿贝尔证明了黄金分割问题是无法用直尺和圆规来解决的。
这三个几何难题的解决对古希腊数学的发展有着重要的影响。
这些问题的无解性证明了直尺和圆规的局限性，进一步推动了数学研究的发展。
在这些问题的研究中，古希腊数学家们使用了精确的几何推理和严密的证明方法，为后来的数学研究奠定了基础。
总之，古希腊三大几何难题——倍立方问题、平方圆问题和黄金分割问题，是古希腊数学中的重要难题。
这些问题在古希腊时期被认为是无法解决的，直到近代才被完全解决。
古希腊的数学成就，其实来自于古埃及？考古发现重要证据
古希腊的数学成就，其实来自于古埃及？考古发现重要证据谈及人类古代数学，古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是怎么也绕不过去的一本书，其对近代科学的影响之大，怎么说都不过分。
很多人由此赞叹地认为，人类的认知起源于古希腊，古希腊是科学精神的摇篮地。
但从古希腊早期数学家泰勒斯、毕达哥拉斯到欧几里得，不过区区300余年，古希腊就突兀地迎来古代几何学的巅峰——《几何原本》，之前没有漫长的积累与发展过程，至少如今古希腊考古没有发现，这种违背规律的突变式发展是不是不可思议？尽管西方学者将古希腊视为“特殊文明”，或“希腊特殊论”，人类文明史上的特殊现象，但还是难免让人怀疑。
随着地下文物不断挺身而出，古希腊几何来源的真相也慢慢浮出水面，至少从目前各方面证据来看，几何学乃至古希腊文明的很多成就并不起源于古希腊。
古希腊几何始于何时，如今已经不可考证，但据说公元前7世纪时，泰勒斯游学古埃及，把点线面圆等几何素材引入古希腊。
关于泰勒斯的事迹，只在亚里士多德书中留下2句话。
大约公元6世纪时，古希腊出了一位“大数学家”，他叫毕达哥拉斯，被中国人称为“勾股定理”的定理，在西方被称之为“毕达哥拉斯定理”。
毕达哥拉斯也没有留下任何著作与只言片语，数十年后《历史》的作者希罗多德介绍说：他曾去古埃及留过学，并将古埃及灵魂不朽、转世投胎等的学说带回希腊，并在意大利南部的希腊殖民地建立宗教派系。
需要注意的是，当时资料没有人说他是数学家，也没有人说他懂几何，不过在他去世之后，他建立的宗派中一个分支主张“万物皆数”。
从这些描述中不难推测，毕达哥拉斯应该从古埃及学习了代数与几何，并将之引入古希腊。
大约公元前500年，毕达哥拉斯之后，古希腊恩诺皮德斯在天文与几何上造诣很深，发现了“黄赤交角”的大小，强调几何学“定理”和“实际问题”的区别，但根据公元前1世纪的史学家Diodorus Siculus记载，恩诺皮德斯曾向古埃及祭司那边学习了天文与几何。
恩诺皮德斯有一个徒弟叫希波克拉底，据说写过最早版本的《几何原本》。
古希腊三大几何问题
古希腊三大几何问题在数学的历史上有三个问题始终以可惊的力量坚廿了两千多年。
初等几何学到现在至少已有了三千年的历史，在这期间努力于初等几何学之发展的学者们曾经遇到过很多的难题，而始终绞着学者脑汁的却就是这三个问题。
问题是「立方倍积」，「化圆为方」和「三等分角」，由于这三个问题的屹立不移，现在就被合称为「三大问题」。
立方倍积关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。
”由此可见这神是很喜欢数学的。
居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一棱的长度都是旧祭坛棱长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。
结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。
」大家都觉得这个说法很对，于是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟疫仍不见消灭。
人们困扰地再去问神，这次神回答说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状仍是正方体。
」居民们恍然大悟，就去找当时大学者柏拉图（Plato）请教。
由柏拉图和他的弟子们热心研究，但不曾得到解决，并且耗费了后代许多数学家们的脑汁。
而由于这一个传说，立方倍积问题也就被称为提洛斯问题。
化圆为方方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人开始研究。
有名的阿基米得把这问题化成下述的形式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。
由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。
由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。
但是如何作这直角三角形的边。
即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。
数学的趣味历史揭秘古希腊数学家的几何研究成果
数学的趣味历史揭秘古希腊数学家的几何研究成果数学作为一门古老而又神秘的学科，历经千年发展，揭示了许多隐藏在自然界中的规律。
而在数学的发展过程中，古希腊数学家作出了重要贡献，尤其是在几何学领域。
本文将揭秘古希腊数学家的几何研究成果，并探讨他们的奇思妙想给现代数学带来的启示和影响。
一、几何学的起源几何学的起源可以追溯到古埃及和古巴比伦时期，然而，正是古希腊数学家为几何学的发展提供了坚实的基础。
在古希腊时期，几何学被广泛研究和应用于建筑、天文学等领域。
古希腊数学家的研究成果为后世的数学学者提供了重要的启示。
二、毕达哥拉斯定理众所周知，毕达哥拉斯定理是古希腊数学家毕达哥拉斯的伟大发现。
这一定理表明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
这一发现不仅使得几何学更具有实用价值，而且为代数学的发展提供了新的视角。
毕达哥拉斯定理不仅在几何学中得到了广泛应用，而且在其他学科中也发挥了重要作用。
三、欧几里德的《几何原本》欧几里德是古希腊最著名的数学家之一，他所著的《几何原本》是世界上最重要的数学著作之一。
这本书系统地阐述了几何学的基本概念和定理，对后世的数学发展产生了巨大影响。
欧几里德的《几何原本》被翻译成多种语言，在欧洲乃至全世界范围内广泛流传，并成为几何学教材的基石。
四、阿基米德的浮力定律阿基米德是古希腊数学和物理学家，他的浮力定律被誉为现代物理学的开端。
据传，当阿基米德洗澡时，他发现自己在浴缸中的体重似乎比在水中轻。
他随即得出浮力定律，即在液体中浸泡的物体所受到的浮力等于其排开的液体的重量。
这一定律在几何学和物理学的研究中起到了重要作用，并推动了科学的进步。
五、希帕索斯的杰作希帕索斯是古希腊数学家，他所创造的希帕索斯线圈装置被认为是古代最早的机械计算器。
这个杰作由一系列的齿轮和滑轮组成，可以实现加法、减法、乘法和除法等运算。
希帕索斯的杰作成为了机械计算和工程学领域的里程碑，为现代科学技术的发展奠定了基础。
希腊几何学的社会文化根源
希腊几何学的社会文化根源【内容提要】本文从古希腊独特的社会文化形态作为切入点，探索求解了数学思想史上著名的“克莱因问题”，从而破解了希腊证明几何学的成因之谜。
古希腊社会在从氏族社会向民族社会转轨变形的过程中，爆发了一场绵延数世纪的思想启蒙运动。
希腊人从宗教神学中解放了出来，开始了对世界的理性思考，他们为了解决社会秩序的重组问题，提出了以法治国的政治主张。
从此希腊社会走上了法制的轨道。
在古典的民主政治和商品经济形成的同时，古希腊民族也孕育出了一种独特的文化形态——古典的理性文化或科学文化。
希腊几何学正是在这种以法律文化为核心、以语言文化为生长点的理性文化中诞生、形成和发展起来的。
希腊哲学文化则是使公理几何学最终定型的关键因素。
【关键词】希腊几何学/法律文化/语言文化/哲学文化【正文】希腊几何学是数学史上一颗璀璨的明珠。
她作为一种科学研究的范式，直接影响过西方数学，乃至整个科学的发展。
著名数学史学家克莱因在《古今数学思想》一书中曾经指出过：“希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。
”并且他提出了数学思想史上非常重要的一个问题，这就是“文明史上的重大问题之一，是探讨何以古希腊人有这样的才气和创造性。
”[1]本文试图对“克莱因问题”进行探索求解，以破解长期困扰着数学史研究中的希腊论证几何学的成因之谜。
反观“中国古代为什么没有产生证明几何学”也就容易找到答案了。
一古希腊是一个移民的社会，从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为纽带的宗法式的社会结构。
这种以地缘关系为基础的社会共同体，加上希腊所处的独特地理位置，为希腊古典的民主政治和商品经济——希腊城邦制的出现提供了必要的条件。
在此基础上，古希腊社会孕育出了一种独特的文化形态——古典的理性文化或科学文化。
希腊几何学正是在这种理性文化中诞生、形成和发展起来的。
古希腊是法学的发源地，法律文化得到了充分的发展。
公元前11世纪——9世纪是希腊的荷马时代，也就是史称的“英雄时代”。
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论希腊几何学的社会文化根源希腊几何学是数学史上一颗璀璨的明珠。
她作为一种科学研究的范式，直接影响过西方数学，乃至整个科学的发展。
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着名数学史学家克莱因在《古今数学思想》一书中曾经指出过：希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。
并且他提出了数学思想史上非常重要的一个问题，这就是文明史上的重大问题之一，是探讨何以古希腊人有这样的才气和创造性。
[1]本文试图对克莱因问题进行探索求解，以破解长期困扰着数学史研究中的希腊论证几何学的成因之谜。
反观中国古代为什么没有产生证明几何学也就容易找到答案了。
古希腊是一个移民的社会，从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为纽带的宗法式的社会结构。
这种以地缘关系为基础的社会共同体，加上希腊所处的独特地理位置，为希腊古典的民主政治和商品经济希腊城邦制的出现提供了必要的条件。
在此基础上，古希腊社会孕育出了一种独特的文化形态古典的理性文化或科学文化。
希腊几何学正是在这种理性文化中诞生、形成和发展起来的。
古希腊是法学的发源地，法律文化得到了充分的发展。
公元前11世纪9世纪是希腊的荷马时代，也就是史称的英雄时代。
这一时代是希腊社会发生重大变革的时代，首先表现在希腊人自我意识的觉醒。
希腊人开始从宗教神学中解放出来，以人为一切事物的尺度来审视世间的一切。
荷马时代实质上是希腊历史上的一次思想启蒙运动，是古希腊文明的开端。
从此，希腊民族完成了从神秘主义文化向理性主义文化的转变，开创了以法律文化为轴心的科学文化的历史进程。
《荷马史法》作为调整社会关系、重建社会秩序的法典，确立了一种政治民主制：其中包括议事会、人民大会和首长选举等内容。
因此可以说，希腊文化的源头或逻辑起点是《法典》，由此铸成希腊民族的法律意识和法制观念。
尔后的德拉古立法，直到公元前594年梭伦立法，最终确立起古希腊的法律体系，推动了希腊民族法律文化的繁荣发达。
希腊人唯法是从，遇事讲理，依法办事，他们以法的眼光审视社会、审查自然、审理知识，创造出了独具特色的古希腊文明。
论证几何”的先行者是( ),他开启了古希腊几何公理系统的先河
“论证几何”的先行者古希腊开论证几何学先河的是爱奥尼亚学派，代表人物:泰勒斯爱奥尼亚学派通过大胆的思索和猜想，认为一切表面现象的千变万化之中有一种始终不变的东西，他们抛弃了古老的神话传说，试图用合理的解释代替诗人的想象和神圣的神秘的力量，敢于用人类的理智来面对宇宙。
当然这种观点不是来源于广泛的细微的科学研究的结果，而是来自一系列大胆思索，巧妙的猜测和聪敏的直观。
尽管如此，爱奥尼亚学派的这种自然哲学也可算作理性主义的早期表现。
作为创始人，泰勒斯对数学有划时代的贡献。
他开始了命题的证明。
他是第一个几何学家，确立并证明了第一批几何定理。
泰勒斯出生于小亚细亚(今土耳其)西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河.遗憾的是关于泰勒斯并没有确凿的传记资料流传下来，我们对他在数学上的贡献最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图派哲学家普洛克鲁斯所著《欧儿里得<原本>第一卷评注》一书。
普洛克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多谟斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：（1）圆的直径将圆分为两个相等的部分；（2）等腰三角形两底角相等；（3）两相交直线形成的对顶角相等；（4）如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。
传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。
关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。
根据这些传说,泰勒斯早年经商，因做橄榄榨油机生意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高：利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器，并预报了公元前585年的一次日蚀，等等。
虽然没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。
泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著作评注者们将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯（约公元前580一前500）学派。
“安提基特拉之谜
“安提基特拉之谜在古希腊的文字记载中，人们经常能读到一些有关奇异的机械装置的描述，但真正的实物却并不多见。
传说古罗马将军马塞卢斯带领他的军队进攻叙拉古时，他原以为能很顺利地攻克这座位于西西里岛的希腊城堡，然而他遇到了阿基米德。
为了保卫自己的国家，年迈的阿基米德发明了各种机械装置，如灵巧的投石器、弓弩、镖枪等，在机械的帮助下，这些武器可以打到很远的地方，马塞卢斯的水军经常被这些装置发射的密集石块和镖枪打得丢盔卸甲，狼狈不堪。
据说，阿基米德还发明了一种铁钩，也由机械操纵，十分灵活，将它从城上放下常能钩住罗马军舰的船头，使军舰倒扣在水里，人们称之为“阿基米德抓钩”。
西塞罗笔下的神秘装置公元前212年，古罗马人终于趁希腊人因祭祀他们的月亮和狩猎女神阿耳忒弥斯松懈了防务的时候攻取了叙拉古，这时他们已为攻克这座城市耗费大约两年时间了。
马塞卢斯原本并不想杀害阿基米德，但他的士兵却在混乱中杀害了他，根据历史上的记载，阿基米德当时正在证明一条几何学原理。
不过据说马塞卢斯还是得到了一件由阿基米德制造的装置，并把它带到了罗马，这个装置是一个铜制的球体，能显示太阳、月亮和行星的运行，与人们从地球上看到天幕的情形相符合。
传说马塞卢斯很珍惜这个装置，把它作为家族的宝贝传给后代。
到了公元前1世纪，这个宝贝被古罗马作家西塞罗亲眼所见并在他的文字中进行了描述。
西塞罗写道：“这件由阿基米德发明的东西非常了不起，因为只要旋转这个球体，就能带动一系列齿轮，从而准确地表现一种依照不同比率而设计的运动。
”他还写道：“在这件铜器的装置上，月亮总是随着太阳旋转许多圈，与太阳出现在天空上显示的天数相一致。
”在那段时期，西塞罗还访问了位于爱琴海东南端的罗德斯岛。
古希腊天文学家喜帕恰斯曾在这个岛上居住和过。
这位天文学家测量过太阳和月亮的大小和距离，还用一个固定的偏心圆轨道解释太阳的运动，用一个移动的偏心圆轨道解释月亮的运动。
后来古希腊哲学家波西多尼乌斯又来到罗德斯岛，西塞罗则在那里遇到了他并看到了另外一个表现天体运动的铜质装置，这回西塞罗又写道：“波西多尼乌斯制造了一种装置，每一次旋转都能模拟太阳的运动，还能显示每个白天和晚上月球和五大行星在天幕上的运动。
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这是在世界上其他任何民族都没有出现的。 这种自由精神最终演化为学术思想上
的自由探索精神。 正是这种“百家争鸣” 的希腊研究之风， 才迎来了“百花齐放” 的希腊科学之春。
2
独具特色的希腊语言文化也是希腊理性主义起源的 1 个重要诱发因素。最早 对语法现象进行研究的是希腊人。公元前 10 世纪前后，希腊人在闪语字母的基 础上，经过 1 番改造，首次创造了音位文字字母， 并且还把闪语文字自右向左的 书写规则改为自左向右。 到公元前 775年左右，希腊人把他们用过的各种象形文 字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母， 建立起了希腊语言文字系统。 在此基础
上理论家们开始了为语言“立法”——语法的研究。赫拉克利特指出过： “如果 要想理智地说话， 那就必须用这个人人共有的东西武装起来， 就像城邦必须用法 律武装起来 1 样，而且要武装得更牢固。 ”[3]
希腊哲学、法学、逻辑学与希腊语言文字的关系密切。 哲学中的许多派别的 理论观点时常牵涉到对语言的认识。 法学中的论战、 法律条文的制定， 也往往涉
毕达哥拉斯继承和发扬了泰勒斯的证明几何学， 并且将数学概念抽象化， 进 1 步推动了演绎数学的发展。毕达哥达斯的“数是万物的本质，宇宙的组织在其 规定中通常是数及其关系的和谐体系” 的数理宇宙观对古希腊的数学思想产生了
极其深刻的影响。毕达哥拉斯学派因发现“无理数” （不可公度的量）而引起的 第 1 次数学危机， 充分证明了几何证明的必要性， 在 1 定程度上进 1 步推可参加，会议定期举行。 400人组成议会。他创建了宏大的人民法院
依利艾阿，总人数达 6000 人，任何人都可以谴责执政官的无理决定。 公元前 6 世纪雅典陪审法院的建立， 这不仅标志着希腊民主政治的进 1 步完
善，而且更为重要的是促进了整个希腊学术思想的繁荣与发达。 古希腊的法律文 化发展到 1 个新的阶段。首先是推动了自然法的理论研究。 强调其法律存在的客 观性和同 1 性，认为不同国家和不同时代的法律有其共同的根源和价值目标， 这 就是人的本性和规律，就是理性，就是正义所综合的 1 系列价值目标，如自由、 平等、秩序等。因此，自然法学者特别重视探索法律的终极目标和客观基础。其 2，法根源于人的永恒不变的本性：社会性和理性。真正的法律或自然法应与之 相符，特别是与理性相符合， 或者说法是人的理性所发现的人的规律和行为准则，
的独特地理位置，为希腊古典的民主政治和商品经济——希腊城邦制的出现提供 了必要的条件。 在此基础上， 古希腊社会孕育出了 1 种独特的文化形态——古典
的理性文化或科学文化。 希腊几何学正是在这种理性文化中诞生、 形成和发展起
来的。
古希腊是法学的发源地， 法律文化得到了充分的发展。 公元前 11 世纪—— 9
先是语言和语言的领域，包括发言、演说、描述、陈述、 （用语言表达的）论证
等等；其次是思想和思维过程的领域，包括思考、推理、解释、说明等等；第
3
是世界，即我们所言说、所思想的对象，包括构造原理、公式、自然法则等等。
词汇、思想和事物之间究竟是 1 种什么关系？这成为智者们思考的 1 个重要
问题。1 旦人们把这 3 者区分开来，同时仍然坚持作为获得真理和知识的必要条 件，3 者之间应该具有某种 1 致性，由此人们就面临着如何最恰当的理解逻辑与
正是由于希腊语言中的这种多义词，也往往容易产生语言思维中的歧义性， 由此引发了语言文化史上的 “希腊景观” ——观念的战争。 正如科学哲学家被波 普尔所指出的那样 “观念的战争是希腊人的发明， 它是曾经作出的最重要的发明 之 1。实际上用语词战争代替刀剑战争的可能性，还是我们文明的基础。特别是 我们文明的 1 切立法和议会机构的基础。 ”[5]
之 1，是探讨何以古希腊人有这样的才气和创造性。 ”[1] 本文试图对“克莱因问 题”进行探索求解， 以破解长期困扰着数学史研究中的希腊论证几何学的成因之
谜。反观“中国古代为什么没有产生证明几何学”也就容易找到答案了。
1
古希腊是 1 个移民的社会，从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为
纽带的宗法式的社会结构。 这种以地缘关系为基础的社会共同体， 加上希腊所处
出：“当动词‘是’被用来作为句子中的第 3 种因素时，会产生两种肯定命题与 否定命题。如在句子中‘人是公正的’中， ‘是’这个词被用作第 3 种因素，无 论你称它是动词，还是名词。 ”[4] 系动词“附图”在希腊语中不同凡响，它是人 们进行言语对话，进行思想交流，进行陈述和判断不可缺少的词语。同时，在人 们的语言表达中最容易产生歧义的也是这个中词。在“他在这儿”这个句子中，
世纪是希腊的荷马时代，也就是史称的“英雄时代” 。这 1 时代是希腊社会发生
重大变革的时代， 首先表现在希腊人自我意识的觉醒。 希腊人开始从宗教神学中
解放出来，以“人为 1 切事物的尺度”来审视世间的 1 切。荷马时代实质上是希
腊历史上的 1 次思想启蒙运动， 是古希腊文明的开端。 从此，希腊民族完成了从 神秘主义文化向理性主义文化的转变， 开创了以法律文化为轴心的科学文化的历
在形式逻辑的主宾式语句中 “附图”是 1 个典型的多义词。 它可以表示“＝” （等于）、“∈”（隶属）和“附图”（包含） 3 种关系。例如： (1) “欧几里得是 《几何原本》的作者”与“ 《几何原本》的作者是欧几里得” ，这里的两个“是” 具有可逆性，他们是 1 种等价的关系（＝），可解释成关系“＝” （等于）。(2) “欧几里得是古希腊的数学家”中的“是”为“∈” （隶属）。即个体和集合之间 的隶属关系、层次关系，因而不可逆。可解释成关系“∈” （隶属）。(3) “数学 家是科学家”中的“是”被解释成关系“附图” （包含），即集合与集合之间的包 含关系， 1 般来说也是不可逆的。科学家不 1 定是数学家。
辩术(Sophistry) 的 1 个方面或 1 种类型就是进行某种语言审查，称为反驳论证 (Elenchis) ，要求把 1 切行为都置于理性批判和理性推论的基础之上。 希腊论辩 术除了论点和论据以外，还涉及到逻辑，即语言处理法。 “逻辑”这个概念，在 古希腊语言文化的使用中有多种含义：发言、演说、陈述、论证等等。但概括起 来讲，逻辑 1 词主要有 3 个应用领域， 它们之间有着潜在的概念上的统 1 性。首
这 3 者的关系问题。 1 个事物的逻辑就是：其 1，事物自身的原则、本质、显著 标志或事物本身的组成部分；其 2，我们认为它所是的东西；其 3，对事物（语 言上的）正确描述、说明或定义。这些都提出了是什么的问题。事物的逻辑在第
1 项下是指事物是什么；在第 2 项下是指人们认为它指的是什么；在第 3 项下是
指人们说它是什么。 归根到底，从最高意义上讲， 也就是思维和存在的关系问题。 苏格拉底向人们指出，要解决这个问题， “最好求助于罗各斯，从中考查存在的 真理。”
至少有 10 种含义的希腊字“附图”成为苏格拉底时代希腊哲学发展的突破 口。独特的希腊系动词“是” （附图）引起了理论家们的注意，成为哲学家思考 和研究的对象，由此而开创了哲学本体论的研究领域。作为哲学范畴的“附图”
是“理性之光”，它能照亮人前进的道路。其 3，法的功能和目的在于实现正义。 所谓正义，就是基于公共幸福的合理安排，就是人在社会中“得其所哉” ，即享 受人应该享受的权力和平等地承担义务，法律面前人人平等。其 4，法律作为 1 种社会的行为准则能使人们辨是非、 知善恶，自然法就是人们不断追求的终极性 的价值目标。
古希腊证明几何学的成因之谜
希腊几何学是数学史上 1 颗璀璨的明珠。 她作为 1种科学研究的范式， 直接
影响过西方数学， 乃至整个科学的发展。 著名数学史学家克莱因在 《古今数学思
想》1 书中曾经指出过：“希腊人在文明史上首屈 1指，在数学史上至高无上。 ”
并且他提出了数学思想史上非常重要的 1 个问题，这就是“文明史上的重大问题
依法办事，他们以“法”的眼光审视社会、审查自然、审理知识，创造出了独具
特色的古希腊文明。
希腊几何学的证明思想导源于法律文化， 论证几何发凡于梭伦立法时代。 希
腊的法学称 “正义学”。人们在立法的过程中首先遇到的是： “什么是正义？为什 么有罪？”等法理问题。其中包括“公理、公设、前提、条件”等法学的基础问
题，以及审判过程中的“事实、理由、证据、推理”等法学的逻辑问题。要从根
本上弄清楚这些法理问题，人们就必须在思想上进行 1 种“分析”的理性思考。
立法者告诫人们：法律是规则的、普遍的，并对 1 切人都是相同的；法律所需要
的是公平， 诚实与有用； 他们欲求为 1 普遍的规律对于 1 切人都是 1 样，因为种 种理由所有的人都要服从法律。
史进程。《荷马史法》作为调整社会关系、重建社会秩序的法典，确立了 1 种政
治民主制：其中包括议事会、人民大会和首长选举等内容。因此可以说，希腊文 化的源头或逻辑起点是《法典》 ，由此铸成希腊民族的“法律”意识和“法制”
观念。尔后的德拉古立法， 直到公元前 594 年梭伦立法， 最终确立起古希腊的法
律体系，推动了希腊民族法律文化的繁荣发达。 希腊人唯“法”是从，遇事讲“理”，
梭伦当权后，所做的第 1 件事，同时也是最大的 1 件事，就是对“法律”制 度的改革。 他认为，无法和内乱是人类最大的灾难， 而法律和秩序则是人类最大
的幸福。梭伦改革的目标是企图建立 1 个为新的、旧的势力都能接受的民主和谐
的政治，以保证社会各种势力的平衡和政治稳定。为此，梭伦建立了新的法律，
史称“梭伦”立法。其中最大的举措是加强了公民大会的权力，凡年满
生活在梭伦立法时代的泰勒斯，与梭伦同为希腊“ 7 贤”里的人物。他受希 腊法律文化（社会立法）的深刻影响，尤其是受自然法理论研究的启发，创造性 地运用法学的思想和方法为知识“立法” 。泰勒斯对经验几何学知识进行了卓有 成效的理性研究。 作为数学思想家的泰勒斯， 他突破了以往几何知识仅仅 “是什 么”的认识水平，将几何知识提升到了“为什么”的认识层次。由此开几何命题 的证明之先河。 泰勒斯在进行几何学研究的过程中， 不仅发现了 “任何圆周都要 被其直径平分；等腰 3 角形的两底角相等；两直线相交时，对顶角相等；若已知 3 角形的 1 边和两邻角，则此 3 角形完全确定；半圆周角是直角”等 5 个几何命 题，而且还从理论上证明了这些命题。 [2]