古希腊证明几何学的成因之谜

贯穿于希腊古典民主政治、商品经济和理性文化之中的是希腊的自由精神，
这是在世界上其他任何民族都没有出现的。 这种自由精神最终演化为学术思想上
的自由探索精神。 正是这种“百家争鸣” 的希腊研究之风， 才迎来了“百花齐放” 的希腊科学之春。
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独具特色的希腊语言文化也是希腊理性主义起源的 1 个重要诱发因素。最早 对语法现象进行研究的是希腊人。公元前 10 世纪前后，希腊人在闪语字母的基 础上，经过 1 番改造，首次创造了音位文字字母， 并且还把闪语文字自右向左的 书写规则改为自左向右。 到公元前 775年左右，希腊人把他们用过的各种象形文 字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母， 建立起了希腊语言文字系统。 在此基础
梭伦当权后，所做的第 1 件事，同时也是最大的 1 件事，就是对“法律”制 度的改革。 他认为，无法和内乱是人类最大的灾难， 而法律和秩序则是人类最大
的幸福。梭伦改革的目标是企图建立 1 个为新的、旧的势力都能接受的民主和谐
的政治，以保证社会各种势力的平衡和政治稳定。为此，梭伦建立了新的法律，
史称“梭伦”立法。其中最大的举措是加强了公民大会的权力，凡年满
出：“当动词‘是’被用来作为句子中的第 3 种因素时，会产生两种肯定命题与 否定命题。如在句子中‘人是公正的’中， ‘是’这个词被用作第 3 种因素，无 论你称它是动词，还是名词。 ”[4] 系动词“附图”在希腊语中不同凡响，它是人 们进行言语对话，进行思想交流，进行陈述和判断不可缺少的词语。同时，在人 们的语言表达中最容易产生歧义的也是这个中词。在“他在这儿”这个句子中，
这 3 者的关系问题。 1 个事物的逻辑就是：其 1，事物自身的原则、本质、显著 标志或事物本身的组成部分；其 2，我们认为它所是的东西；其 3，对事物（语 言上的）正确描述、说明或定义。这些都提出了是什么的问题。事物的逻辑在第
1 项下是指事物是什么；在第 2 项下是指人们认为它指的是什么；在第 3 项下是
是“理性之光”，它能照亮人前进的道路。其 3，法的功能和目的在于实现正义。 所谓正义，就是基于公共幸福的合理安排，就是人在社会中“得其所哉” ，即享 受人应该享受的权力和平等地承担义务，法律面前人人平等。其 4，法律作为 1 种社会的行为准则能使人们辨是非、 知善恶，自然法就是人们不断追求的终极性 的价值目标。
题，以及审判过程中的“事实、理由、证据、推理”等法学的逻辑问题。要从根
本上弄清楚这些法理问题，人们就必须在思想上进行 1 种“分析”的理性思考。
立法者告诫人们：法律是规则的、普遍的，并对 1 切人都是相同的；法律所需要
的是公平， 诚实与有用； 他们欲求为 1 普遍的规律对于 1 切人都是 1 样，因为种 种理由所有的人都要服从法律。
之 1，是探讨何以古希腊人有这样的才气和创造性。 ”[1] 本文试图对“克莱因问 题”进行探索求解， 以破解长期困扰着数学史研究中的希腊论证几何学的成因之
谜。反观“中国古代为什么没有产生证明几何学”也就容易找到答案了。
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古希腊是 1 个移民的社会，从开始就没有像东方民族所具有的以血缘关系为
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纽带的宗法式的社会结构。 这种以地缘关系为基础的社会共同体， 加上希腊所处
指人们说它是什么。 归根到底，从最高意义上讲， 也就是思维和存在的关系问题。 苏格拉底向人们指出，要解决这个问题， “最好求助于罗各斯，从中考查存在的 真理。”
至少有 10 种含义的希腊字“附图”成为苏格拉底时代希腊哲学发展的突破 口。独特的希腊系动词“是” （附图）引起了理论家们的注意，成为哲学家思考 和研究的对象，由此而开创了哲学本体论的研究领域。作为哲学范畴的“附图”
在形式逻辑的主宾式语句中 “附图”是 1 个典型的多义词。 它可以表示“＝” （等于）、“∈”（隶属）和“附图”（包含） 3 种关系。例如： (1) “欧几里得是 《几何原本》的作者”与“ 《几何原本》的作者是欧几里得” ，这里的两个“是” 具有可逆性，他们是 1 种等价的关系（＝），可解释成关系“＝” （等于）。(2) “欧几里得是古希腊的数学家”中的“是”为“∈” （隶属）。即个体和集合之间 的隶属关系、层次关系，因而不可逆。可解释成关系“∈” （隶属）。(3) “数学 家是科学家”中的“是”被解释成关系“附图” （包含），即集合与集合之间的包 含关系， 1 般来说也是不可逆的。科学家不 1 定是数学家。
的独特地理位置，为希腊古典的民主政治和商品经济——希腊城邦制的出现提供 了必要的条件。 在此基础上， 古希腊社会孕育出了 1 种独特的文化形态——古典
的理性文化或科学文化。 希腊几何学正是在这种理性文化中诞生、 形成和发展起
来的。
古希腊是法学的发源地， 法律文化得到了充分的发展。 公元前 11 世纪—— 9
史进程。《荷马史法》作为调整社会关系、重建社会秩序的法典，确立了 1 种政
治民主制：其中包括议事会、人民大会和首长选举等内容。因此可以说，希腊文 化的源头或逻辑起点是《法典》 ，由此铸成希腊民族的“法律”意识和“法制”
观念。尔后的德拉古立法， 直到公元前 594 年梭伦立法， 最终确立起古希腊的法
律体系，推动了希腊民族法律文化的繁荣发达。 希腊人唯“法”是从，遇事讲“理”，
上理论家们开始了为语言“立法”——语法的研究。赫拉克利特指出过： “如果 要想理智地说话， 那就必须用这个人人共有的东西武装起来， 就像城邦必须用法 律武装起来 1 样，而且要武装得更牢固。 ”[3]
希腊哲学、法学、逻辑学与希腊语言文字的关系密切。 哲学中的许多派别的 理论观点时常牵涉到对语言的认识。 法学中的论战、 法律条文的制定， 也往往涉
生活在梭伦立法时代的泰勒斯，与梭伦同为希腊“ 7 贤”里的人物。他受希 腊法律文化（社会立法）的深刻影响，尤其是受自然法理论研究的启发，创造性 地运用法学的思想和方法为知识“立法” 。泰勒斯对经验几何学知识进行了卓有 成效的理性研究。 作为数学思想家的泰勒斯， 他突破了以往几何知识仅仅 “是什 么”的认识水平，将几何知识提升到了“为什么”的认识层次。由此开几何命题 的证明之先河。 泰勒斯在进行几何学研究的过程中， 不仅发现了 “任何圆周都要 被其直径平分；等腰 3 角形的两底角相等；两直线相交时，对顶角相等；若已知 3 角形的 1 边和两邻角，则此 3 角形完全确定；半圆周角是直角”等 5 个几何命 题，而且还从理论上证明了这些命题。 [2]
毕达哥拉斯继承和发扬了泰勒斯的证明几何学， 并且将数学概念抽象化， 进 1 步推动了演绎数学的发展。毕达哥达斯的“数是万物的本质，宇宙的组织在其 规定中通常是数及其关系的和谐体系” 的数理宇宙观对古希腊的数学思想产生了
极其深刻的影响。毕达哥拉斯学派因发现“无理数” （不可公度的量）而引起的 第 1 次数学危机， 充分证明了几何证明的必要性， 在 1 定程度上进 1 步推动了人 们对几何命题的理论证明。
世纪是希腊的荷马时代，也就是史称的“英雄时代” 。这 1 时代是希腊社会发生
重大变革的时代， 首先表现在希腊人自我意识的觉醒。 希腊人开始从宗教神学中
解放出来，以“人为 1 切事物的尺度”来审视世间的 1 切。荷马时代实质上是希
腊历史上的 1 次思想启蒙运动， 是古希腊文明的开端。 从此，希腊民族完成了从 神秘主义文化向理性主义文化的转变， 开创了以法律文化为轴心的科学文化的历
正是由于希腊语言中的这种多义词，也往往容易产生语言思维中的歧义性， 由此引发了语言文化史上的 “希腊景观” ——观念的战争。 正如科学哲学家被波 普尔所指出的那样 “观念的战争是希腊人的发明， 它是曾经作出的最重要的发明 之 1。实际上用语词战争代替刀剑战争的可能性，还是我们文明的基础。特别是 我们文明的 1 切立法和议会机构的基础。 ”[5]
先是语言和语言的领域，包括发言、演说、描述、陈述、 （用语言表达的）论证
等等；其次是思想和思维过程的领域，包括思考、推理、解释、说明等等；第
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是世界，即我们所言说、所思想的对象，包括构造原理、公式、自然法则等等。
词汇、思想和事物之间究竟是 1 种什么关系？这成为智者们思考的 1 个重要
问题。1 旦人们把这 3 者区分开来，同时仍然坚持作为获得真理和知识的必要条 件，3 者之间应该具有某种 1 致性，由此人们就面临着如何最恰当的理解逻辑与
及到对语言的修辞和准确的表达。 逻辑学与语言学， 特别是与语法学的关系更是 密切相关。语言是思维的物质外壳，是思维的工具。思维要通过语言来表达，它
是否合乎逻辑就成为语言表达中的 1 个重要问题。语言家要利用逻辑学的术语和 方法来研究语言中的结构意义； 另 1 方面，研究逻辑的也往往牵涉到语言的问题。
它所表示的是 1 种物理位置；在“天使是白色的”这个句子中，它表示天使的 1
种与位置或物理存在无关的属性；在“那个人正在跑”这个句子中，这个词所表 示的是动词的时态；在“ 2 加 2 等于 4”这个句子中，它的形式被用于表示数字 上的相等；在“人是两足的能思维的哺乳动物”这个句子中，它的形式被用来断 言两组之间的等同。
希腊的语言结构复杂。 希腊语言中的动词更是变化多端， 它有人称、时、态、 体、式的变化。 特别是由系动词附图变来的 （附图）1 词，具有多种的语言意义， 表现出多种的语法关系。 正是这种奇特的语言现象引起了理论家们的关注， 成为 “智者”们思考和研究的对象。
当希腊语中使用“附图” 1 词时，就有多种不同的意义。亚里士多德曾经指
辩术(Sophistry) 的 1 个方面或 1 种类型就是进行某种语言审查，称为反驳论证 (Elenchis) ，要求把 1 切行为都置于理性批判和理性推论的基础之上。 希腊论辩 术除了论点和论据以外，还涉及到逻辑，即语言处理法。 “逻辑”这个概念，在 古希腊语言文化的使用中有多种含义：发言、演说、陈述、论证等等。但概括起 来讲，逻辑 1 词主要有 3 个应用领域， 它们之间有着潜在的概念上的统 1 性。首
依法办事，他们以“法”的眼光审视社会、审查自然、审理知识，创造出了独具
特色的古希腊文明。
希腊几何学的证明思想导源于法律文化， 论证几何发凡于梭伦立法时代。 希
腊的法学称 “正义学”。人们在立法的过程中首先遇到的是： “什么是正义？为什 么有罪？”等法理问题。其中包括“公理、公设、前提、条件”等法学的基础问
古希腊证明几何学的成因之谜
希腊几何学是数学史上 1 颗璀璨的明珠。 她作为 1种科学研究的范式， 直接
影响过西方数学， 乃至整个科学的发展。 著名数学史学家克莱因在 《古今数学思
想》1 书中曾经指出过：“希腊人在文明史上首屈 1指，在数学史上至高无上。 ”
并且他提出了数学思想史上非常重要的 1 个问题，这就是“文明史上的重大问题
20 岁的
雅典公民均可参加，会议定期举行。 400人组成议会。他创建了宏大的人民法院
依利艾阿，总人数达 6000 人，任何人都可以谴责执政官的无理决定。 公元前 6 世纪雅典陪审法院的建立， 这不仅标志着希腊民主政治的进 1 步完
善，而且更为重要的是促进了整个希腊学术思想的繁荣与发达。 古希腊的法律文 化发展到 1 个新的阶段。首先是推动了自然法的理论研究。 强调其法律存在的客 观性和同 1 性，认为不同国家和不同时代的法律有其共同的根源和价值目标， 这 就是人的本性和规律，就是理性，就是正义所综合的 1 系列价值目标，如自由、 平等、秩序等。因此，自然法学者特别重视探索法律的终极目标和客观基础。其 2，法根源于人的永恒不变的本性：社会性和理性。真正的法律或自然法应与之 相符，特别是与理性相符合， 或者说法是人的理性所发现的人的规律和行为准则，
由此可见，当我们探索追踪古希腊论证几何学的成因的时候， 我们不能不考 察独特的古希腊语言文化方面的根源。
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古希腊哲学——本体论、知识论和逻辑学是希腊理性文化中的精品。 “爱智 者”们从深层次的根基问题上开始了对法学和语言学中所提出的带普遍性的诸如 “自然规律”、罗各斯、真理等知识理论问题进行理性思考。公元前 5 世纪出现 的智者运动， 对希腊哲学的发展以及几何学的发展产生了重大的影响。 当时，雄