潮流计算问题

潮流计算的定义（课后题）各种潮流计算模型和算法的特点、适用范围以及相互之间的区别和联系（课后题） 影响潮流收敛性的因素，以及如何改善潮流计算的收敛性（课后题）通过功率方程说明为什么潮流计算的数学模型是非线性的？应该采用什么样的数学方法求解？（03A 、05A ）电力系统的潮流计算有哪些常规算法？有哪些扩展算法？（05B ）潮流计算的目的是什么？其数学模型是什么？有何特点？（06B ）简要说明潮流计算的概念、模型及计算方法。

（07B ）高斯赛德尔迭代法和牛顿拉夫逊迭代法是常规的潮流计算方法，请介绍一下最优潮流（OPF ）算法的原理及其应用。

（04电科院）潮流计算的目的：常规潮流计算的目的是在已知电力网络参数和各节点的注入量的条件下，求解各节点电压。

目的1：1. 在电网规划阶段，通过潮流计算，合理规划电源容量和接入点，合理规划网架，选择无功补偿方案，满足规划水平年的大小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。

2. 在编制年运行方式，在预计复合增长及新设备投运基础上，选择典型方式进行潮流计算，发现电网中的薄弱环节，供调度人员异常调度控制参考，并对规划、基建部门提出改进网架结构，加快基建进度的建议。

3. 正常检修及特殊运行方式下的潮流计算，用于日常运行方式的编制，指导发电厂开机方式，有功、无功调整方案及负荷调整方案，满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。

4. 预想事故、设备退出运行对静态安全分析的影响及做出预想的运行方式调整方案。

目的2：A. 检查电力系统各元件是否过负荷；B. 检查电力系统各节点的电压是否满足电压质量的要求；C. 根据对各种运行方式的潮流分布计算，可以正确的选择系统接线方式，合理调整负荷，以保证电力系统安全、可靠地运行，向用户供给高质量的电能；D. 根据功率分布，可以选择电力系统的电气设备和导线截面积，可以为电力系统继电保护整定计算提供必要的数据等；E. 为电力系统扩建和规划提供依据；F. 为调压计算、经济运行计算、短路计算等提供必要的数据。

数学模型：数学模型为：潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。

普遍采用节点法，I YU =来建立潮流计算的数学模型。

在实际工程中，节点注入量不是电流，而是节点功率，因此节点电压方程要进行修改：*,(1,2,...,)i ii P jQ I i n U -==，进一步得到**1,(1,2,...,)n i iij j j i P jQ Y U i n U =-==∑，上式为电压的非线性隐函数，无法直接求解，必须通过一定的算法求近似解。

这是潮流计算问题最基本的方程式，是一个以节点电压U •为变量的非线性代数方程组，采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。

对于每个节点，要确定其运行状态，需要四个变量，P Q U θ、、、，n 个节点共4n 个运行变量需要确定，如果将节点电压方程式的实部和虚部拆开，形成2n 个实数方程，在潮流计算前，必须先确定2n 个变量作为已知量。

这样潮流方程就可解。

根据节点电压表示方式的不同（i i i U e jf =+，j i i i U U e δ=），可以得到直角坐标系和极坐标系下的潮流方程。

()()()()111101,2,,0n n i i ij j ij j i ij j ij j j j n ni i ij j ij j i ij j ij j j j P e G e B f f G f B e i n Q f G e B f e G f B e ====⎫---+=⎪⎪=⎬⎪--++=⎪⎭∑∑∑∑直角坐标系下功率方程：（）n i i j ij i j ij i j j 1n i i j ij i j ij i j j 1P U U G cos()B sin()01,2,,Q U U B cos()G sin()0i n δδδδδδδδ==⎫⎡⎤--+-=⎪⎣⎦⎪=⎬⎪⎡⎤+---=⎣⎦⎪⎭∑∑极坐标系下功率方程：（）常规算法有：高斯-赛德尔法、牛顿-拉夫逊法、快速解耦法扩展算法有：保留非线性潮流算法、最小化潮流算法、最优潮流、直流潮流法、随机潮流法、三相潮流高斯-赛德尔法：高斯-赛德尔法的迭代格式为：(1)()*()*11[](2,3,...,)k k n i i i ij j k j ii j ii P jQ U Y U i n Y U +•=≠-=-=∑， 收敛判据为：(1)()max k k i i U U ε•+-<优点：原理简单，程序设计容易。

导纳矩阵是一个对称且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。

缺点：收敛速度很慢，算法收敛所需的迭代次数与所计算网络的节点数目有密切关系，在系统病态的情况下，收敛困难。

1) 重负荷节点；2) 负电抗支路 ；3) 较长辐射型线路；4) 长短线路接在同一节点上；5) 且长短线路的比值很大；牛顿-拉夫逊法：该算法实际上是非线性方程或非线性方程组的多次线性逼近。

牛顿法的迭代格式为：'()()()(1)()()()()k k k k k k f x x f x xx x +⎧∆=-⎪⎨=+∆⎪⎩ 修正方程有极坐标形式和直角坐标形式：/P H N Q M L U U θ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦和2P H N e Q M L f R S U ⎡⎤∆⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦⎣⎦ 修正方程的特点：1) 在PV 节点所占比例不大时，两者方程的数目都接近2(1)n -。

2) 雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。

3) 按节点序号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。

4) 雅可比矩阵不是对称矩阵。

牛顿法的核心就是反复形成并求解修正方程式。

提高牛顿法性能：采用稀疏技术，排零存储，排零运算。

求解过程边形成、边消元、边存储。

节点编号优化，采用半动态法。

（静态法：按节点静态连接支路的多少顺序编号；半动态法：按节点动态连接支路的多少顺序编号；动态法：按节点动态增加支路的多少顺序编号；） 牛顿法的性能和特点：1) 平方收敛，开始时收敛比较慢，在几次迭代后，收敛得非常快，其迭代次数和系统的规模关系不大，如果程序设计良好，每次迭代的计算量仅与节点数成正比。

2) 对初值很敏感，有时需要其他算法为其提供初值。

如果初值选择不当，可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的解点上。

3) 对函数的平滑性敏感，所处理的函数越接近线性，收敛性越好，为改善功率方程的非线性，实用中可以通过限制修正量的幅度来达到目的。

但幅度不能太小。

4) 对以节点导纳矩阵为基础的G-S 法呈病态的系统，N-L 法一般都能可靠收敛。

快速解耦法：N-L 法的J 阵在每次迭代的过程中都要发生变化，需要重新形成和求解，这占据了N-L 法的大部分计算时间，这也是N-L 法速度不能提高的原因。

N-L 法可以简化成为定雅可比矩阵法，如果固定的迭代矩阵构造得当，定雅可比矩阵法可以收敛，但只有线性收敛速度。

由/P H N Q M L U U δ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 第一步假设：由于R X <<，有功无功解耦00//P H P H Q L U U Q L U U δδ∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤∆=⋅∆⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆∆=⋅∆⎩⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 第二步假设：一般线路两端电压相角差ij δ较小（一般10~20度），且ij ij G B <<，有：ij cos 1δ≈，ij ij ij ij G sin B cos δδ<<，得到：ij i j ij H U U B =-，ij i j ij L U U B =-第三步假设：2ii i i ii H Q U B =--，2ii i i ii L Q U B =-为正常情况下节点i 的注入无功功率；此时其他节点未接地：2i ii U B 为除i 节点外其他节点接地时, 由节点i 注入的无功功率；所以2i i ii Q U B <<，得： 2ii i ii H U B =-，2ii i ii L U B =-。

修正方程缩写为：P/U B U Q/U B Uδ'=-⋅⎧⎨''=-⋅⎩△△△△ 继续简化： 1) 形成'B 时略去那些主要影响无功功率和电压幅值，而对有功功率及电压相角关系很少的因素。

这包括输电线路的充电电容以及变压器非标准变比。

2) 为了减少迭代过程中无功功率及电压幅值对有功迭代的影响，将式上式1右端的电压均置为标幺值1.0。

3) 形成'B 时，略去串联元件的电阻。

最终表达式为：'''ΔP/U=-B ΔδΔQ/U=-B ΔU⎧⎪⎨⎪⎩ 算法特点：（等斜率法，从平方收敛退化为线性收敛，所以迭代次数比牛顿法多）1) 用两个阶数几乎减半的方程组代替原方程组，显著减少了内存量和计算量；2) 迭代矩阵为常数阵，只需形成求解一次，大大缩短每次迭代所需时间；3) 迭代矩阵对称，可上（下）三角存储，减少内存量和计算量；基于以上原因，该算法内存需要量为N-L 法的60%，每次迭代所需时间为N-L 法的1/5。

4) 线性收敛，收敛次数多于N-L 法，但总的计算速度任能大幅度提高。

5) 对R/X 过大的病态条件以及线路特别重载的情况下，可能不收敛，一般适用于110kV及以上的电网。

6) 由于算法的精确程度取决于ε，P-Q 分解法的近似处理只影响计算过程，并不影响结果的精度。

关于元件大R/X 比值病态问题，采用补偿法或者对算法加以改进：在于对'B 和''B 元件电阻的取舍问题：若在'B 中不计串联元件电阻，仅用其电抗值X ，而在''B 中仍用精确的电纳值B ，或者在'B 中忽略串联元件电阻而用精确的电纳值B ，而在''B 中采用元件电抗值X ，分别称其为XB 方案和BX 方案。

保留非线性潮流计算法：潮流问题其实是求解一个不含变量一次项的二次方程组，泰勒级数只要取三项就能够得到一个没有截断误差的精确展开式。

在初值(0)x 附近展开，可得到如下没有截断误差的精确展开式： (0)(0)2(0)1111()()||2!nn n i i i i j j k j j k j j k y y y y x x x x x x =====∂∂=+∆+∆∆∂∂∂∑∑∑x x x x x x 写成矩阵形式：12(0)12s n x x x x ∆⎡⎤⎢⎥∆⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦Δx Δx y y(x )J ΔH Δx ，迭代格式为：()()1()()(1)1(0)2()()1[]2k k k k k s k k n x x x +-⎡⎤∆⎢⎥∆⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎣⎦Δx Δx Δx J y y(x )H Δx ，但H 的计算非常复杂和耗时，研究表明有简便的方法进行计算。