八年级初二数学第二学期勾股定理单元检测试卷

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(人教版)济南市八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测(含答案解析)

一、选择题1．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（） A ．30，40，50B ．8，12，13C ．5，9，13D ．3，4，62．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（）A ．1B ．65C ．5 D ．23．如图所示，在Rt ABC 中，90,3,5C AC BC ∠=︒==，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ，则线段CD 的长是（）A ．85B ．165C ．175D ．2454．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．如图，将一根长为20cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（）A ．13cmB ．8cmC ．7cmD ．15cm6．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（）． A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对7．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（）．A ．21cmB ．22cmC ．42cmD ．23cm8．如图，在等腰Rt △ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，42OB =，6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（）A ．10B ．16C ．40D ．809．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)450a b c -+-+-=，则ABC 的面积是（） A ．3B ．6C ．12D ．1010．如图，四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，8AB =，13BD =，12BC =，则四边形ABCD 的面积为（）A ．50B ．56C ．60D ．7211．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，连结AD ．若CD ＝2，BD ＝4，则AC 的长为( )A ．4B ．3C ．23D ．312．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（）A ．152B ．152C ．3D ．125二、填空题13．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．14．如图，在ABC 中，90A ∠=，AB AC =，点E ，点F 为BC 边上的三等分点，且12BC =，点P 在AB 边上运动（包括A 、B 两点），连结PE 、 PF ，若设PE PF a +=，则a 的取值范围为______．15．如图，ABC 中，17AB =，10BC =，21CA =，AM 平分BAC ∠，点D ．E 分别为AM 、AB 上的动点，则BD DE +的最小值是__________．16．如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来．如果已知四边形ABCD 中6AB =，15CD =，那么BC =_____，AD =_______才能实现上述的折叠变化．17．将一根24cm 的筷子，置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为h cm ，则h 的最小值__，h 的最大值__．18．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．19．如图所示的网格是正方形网格，则CBD ABC ∠+∠=______°（点A ，B ，C ，D 是网格线交点）20．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD ，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH ，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB ＝13，AE ＝12，则正方形EFGH 的面积为___________．三、解答题21．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为150m 和200m ，又AB ＝250m ，拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域．（1）学校C 会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？22．已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．（1）依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；（2）当且时，求的度数；（3）如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．23．如图，地面上放着一个小凳子，点A距离墙面40cm，在图①中，一根细长的木杆一OA=．在图②中，木杆的一端与点B重合，另端与墙角重合，木杆靠在点A处，50cm一端靠在墙上点C处．（1）求小凳子的高度；OC=，木杆的长度比AB长60cm，求木杆的长度和小凳子坐板的宽（2）若90cmAB．24．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？25．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出3m CD =，4m AD =，12m BC =，13m AB =，AD CD ⊥．（1）求证：90ACB ∠=︒．（2）求需要绿化部分的面积．26．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【详解】解：A 、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确； B 、∵82+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； C 、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D 、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．B解析：B 【分析】过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．【详解】解：过A 作AG BC ⊥于点G∵1DFE S ∆=，2AF EF = ∴2ADF S ∆= ∴3ADE ACD S S ∆∆== ∵12ADC S CD AG ∆=⋅⋅ ∴3AG =∵AB AD =，AG BC ⊥ ∴2BD GB =由2BD CD =得，2GD CD == ∴224GC GD DC =+=+= 在Rt AGC ∆中，225AC AG GC =+=∴5AE AC ==∴236255ADE S h AE ∆⨯=⋅== 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．3．A解析：A 【分析】连接AD ，由三角形全等以及三线合一可知PQ 垂直平分线段AB ，推出AD DB =，设AD DB x ==，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ，根据222AD AC CD =+构建方程即可解决问题．【详解】如图，连接AD ，由已知条件可知PQ 垂直平分线段AB ，∴AD DB =，设AD DB x ==，5CD x =-，在Rt ACD △中，90C ∠=︒ ， ∴222AD AC CD =+， ∴2223(5)x x =+-，解得：751x =， ∴178555CD BC DB =-=-=，故选：A ．【点睛】本题考查了基本作图，圆的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4．B解析：B【分析】由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．【详解】∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°， ∴10=，∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ， ∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ， ∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ， ∵BD 2＋BE 2＝DE 2， ∴（8−x ）2＋42＝x 2，解得：x ＝5， ∴DE ＝5．故选B ．【点睛】本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．C解析：C 【分析】根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．【详解】解：由题意可得：，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm ）．故选：C ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．6．C解析：C 【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥， ∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长=22+=5；34当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=22-=，437故选：C．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．7．C解析：C【分析】结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，即可得到小正方形的边长及其面积．【详解】结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长∵直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm∴小正方形的面积=2⨯22=4cm故选：C．【点睛】本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．8．C解析：C【分析】连结OO′．先由△CBO≌△ABO′，得出OB=O′B=42，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，则O′O=8．再利用勾股定理的逆定理证明OA2+O′O2=O′A2，得到∠AOO′=90°，那么根据S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′，即可求解．【详解】解：如图，连结OO′．∵△CBO≌△ABO′，∴2OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA ，∴∠O′BO=90°，∴O′O 2=OB 2+O′B 2=32+32=64，∴O′O=8．在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，∴OA 2+O′O 2=O′A 2，∴∠AOO′=90°，∴S四边形AO′BO =S △AOO′+S △OBO′=12×6×8+12=24+16=40．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键． 9．B解析：B【分析】根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，再结合勾股定理逆定理判断△ABC 为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．【详解】解：∵2(3)50a c --=，∴30,40,50a b c -=-=-=，解得3,4,5a b c ===，又∵222223425a b c +=+==，∴△ABC 为直角三角形， ∴13462ABC S =⨯⨯=△．故选：B ．【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理的逆定理．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键． 10．A解析：A【分析】据勾股定理求出DC ，根据角平分线的性质得出DE=DC=5，根据勾股定理求出BE ，求出AE ，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】过D 作DE AB ⊥，交BA 的延长线于E ，则90∠=∠=︒E C ，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE DC ∴=，在Rt BCD ∆中，由勾股定理得：222213125CD BD BC --=，5DE ∴=，在Rt BED ∆中，由勾股定理得：222213512BE BD DE =--，8AB =，1284AE BE AB ∴=-=-=，∴四边形ABCD 的面积BCD BED AED S S S S ∆∆∆=+-111222BC CD BE DE AE DE =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 11112512545222=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 50=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE=DC 是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD ，再用勾股定理即可求出AC ．【详解】解：∵点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，BD=4，∴AD=BD=4， ∴22224223ACAD CD ；故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 12．D解析：D利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD ＝∠BAD ，AE ＝AE ，∴△AEF ≌△AEG （SAS ）∴FE ＝GE ，∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH ⊥AB 于H 点，则CH 的长即为CE+EG 的最小值，此时，AC BC AB CH =，∴CH=·AC AB BC=125，即：CE+EF 的最小值为125，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．二、填空题13．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：3【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒， ∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中，EC ==故答案为：【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．14．≤a≤【分析】根据已知条件首先求出BEEFCF 的值再分别求出点P 与点A 重合时点P 与点B 重合时PE+PF 的值再根据对称性求出PE+PF 的最小值综合比较即可【详解】解：∵∠A=90°AB=ACBC=12解析：【分析】根据已知条件首先求出BE 、EF 、CF 的值，再分别求出点P 与点A 重合时，点P 与点B 重合时PE+PF 的值，再根据对称性求出PE+PF 的最小值，综合比较即可．【详解】解：∵∠A=90°，AB=AC ，BC=12，E 、F 是BC 的三等分点，∴BE=EF=CF=4，当点P 与点A 重合时，如图，过点A 作BC 的垂线，垂足为Q ，∴BQ=CQ=AQ=6，∴EQ=FQ=2，∴=，∴PE+PF=当点P与点B重合时，PE+PF=4+8=12；作点E关于AB的对称点E′，连接E′F，与AB交于点P，此时PE+PF最短，即为E′F的长，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵E和E′关于AB对称，∴∠ABC=∠ABE′=45°，∴∠E′BE=90°，BE′=BE=4，∴E′F=22'+=45，E B BF∵10160144，∴PE+PF的最大值为1045∴a的取值范围是510，故答案为：510．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，无理数的估算，最短路径问题，勾股定理，知识点较多，解题的关键是求出a的最小值和特殊值．15．8【分析】过B点作于点与交于点根据三角形两边之和小于第三边可知的最小值是线段的长根据勾股定理列出方程组即可求解【详解】过B点作于点与交于点作点E关于AM的对称点G连结GD则ED=GD当点BDG三点在解析：8【分析】⊥于点F，BF与AM交于D点，根据三角形两边之和小于第三边，过B 点作BF AC+的最小值是线段BF的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．可知BD DE【详解】过B 点作BF AC ⊥于点 F ， BF 与AM 交于D 点，作点E 关于AM 的对称点G ，连结GD ，则ED=GD ，当点B 、D 、G 三点在一直线上时较短，BG BF >，当线段BG 与BF 重合时最短，BD+BE=BD+DG=BF ，设AF=x ，CF-21-x ，根据题意列方程组：()222222172110BF x BF x ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：158x BF =⎧⎨=⎩，158x BF =⎧⎨=-⎩（负值舍去）．故BD ＋DE 的值是8，故答案为8，【点睛】本题考查轴对称的应用，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，掌握轴对称的性质，角平分线的性质，点到直线的距离，勾股定理的应用，会利用轴对称找出最短路径，再利用勾股定理构造方程是解题关键．16．39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC 进而组成方程组求出即可【详解】解：由图2的第一个图形得：AC2+CD2=AD2即（6+BC ）2+152=AD2①又由图解析：39【分析】根据已知得出图形得出AC 2+CD 2=AD 2，以及AB+AD=CD+BC ，进而组成方程组求出即可．【详解】解：由图2的第一个图形得：AC 2+CD 2=AD 2，即（6+BC ）2+152=AD 2①，又由图2的第三和第四个图形得：AB+AD=CD+BC ，即6+AD=15+BC②，联立①②组成方程组得：()222615615BC AD AD BC⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩，解得：3039BC AD =⎧⎨=⎩，故BC ，AD 分别取30和39时，才能实现上述变化，故答案为：30，39．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法，得出正确的等量关系是解题关键．17．11cm12cm 【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小利用勾股定理计算即可【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大h 最大=24﹣12=12（cm解析：11cm 12cm【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h 最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，利用勾股定理计算即可．【详解】解：当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24﹣12=12（cm ）．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，此时，在杯子内的长度=13（cm ），故h =24﹣13=11（cm ）．故h 的取值范围是11≤h ≤12cm ．故答案为：11cm ；12cm ．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． 18．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE ∠EAD=推出∠EAC=利用勾股定理解直角三角形即可得出答案【详解】解：连接AE ∵AB=AC ∠A=∴∠B=∠C=∵ED 垂直平分解析：6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ， ∠EAD=30︒，推出 ∠EAC=90︒，利用勾股定理解直角三角形即可得出答案．【详解】解：连接AE ，∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，∴ ∠B=∠C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ， ∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，∵BE=3，∴DE=1322BE = ∴2233BD BE DE =-= ∴AB=AC=2BD=33，∵ ∠A=120︒ ，∴ ∠EAC=90︒ ， ∴22366CE AC AE =+==，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 19．45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 先证明再证明△BDE 为等腰直角三角形得到∠DBE=45°问题得证【详解】解：如图做线段BA 关于BC 的对称线段BE 连接DE 则∠ABC=∠EBC ∴根据解析：45【分析】做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，先证明CBD ABC DBE ∠+∠=∠，再证明△BDE 为等腰直角三角形，得到∠DBE=45°，问题得证．【详解】解：如图，做线段BA 关于BC 的对称线段BE ，连接DE ，则∠ABC=∠EBC ，∴CBD ABC CBD EBC DBE ∠+∠=∠+∠=∠，根据勾股定理得221526BD =+=222313BE =+=，222313DE +，∴BE=DE ，222=26=BE DE BD +∴∠BED=90°，∴△BDE 为等腰直角三角形，∴∠DBE=45°，∴45CBD ABC ∠+∠=︒．故答案为：45【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理在网格中应用，根据题意作出线段BA 关于BC 的对称线段BE 是解题关键．20．49【分析】根据正方形EFGH 的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH 的面积【详解】直角三角形直角边的较短边为=5正方形EFGH 的面积＝13×13﹣4×＝169﹣120＝49故解析：49【分析】根据正方形EFGH 的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH 的面积．【详解】 221312-，正方形EFGH 的面积＝13×13﹣4×5122⨯＝169﹣120＝49．故答案为：49．【点睛】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．三、解答题21．（1）会受噪声影响，理由见解析；（2）有2分钟；【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，进而得出学校C 是否会受噪声影响；（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间．【详解】解：（1）学校C 会受噪声影响．理由：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵AC ＝150m ，BC ＝200m ，AB ＝250m ，∴AC 2+BC 2＝AB 2．∴△ABC 是直角三角形．∴AC ×BC ＝CD ×AB ，∴150×200＝250×CD ，∴CD ＝150200250⨯＝120（m ）， ∵拖拉机周围130m 以内为受噪声影响区域，∴学校C 会受噪声影响．（2）当EC ＝130m ，FC ＝130m 时，正好影响C 学校，∵ED ＝2222130120EC CD -=-=50（m ），∴EF ＝50×2=100（m ），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.22．（1）；（2）或；（3），证明见解析【分析】（1）由轴对称的性质和等腰三角形的性质得出，得出，证出AE=AC ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果（2）分两种情况：当时，当时分别求解即可（3）作CG ⊥AP 于G ，由AAS 证明，得出CG=AM ，证出点A 是的外接圆的圆心，，得出和是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结论【详解】解：（1）补全示意图如图所示连接AE，设AP与BE交于点M，如图：由轴对称的性质得AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∵是等腰直角三角形∴AB=AC∴AE=AC∴（2）当时，如图：由（1）得，，在中∴∴∴∵AE=AB，AF=AF，FE=FB∴∴当时，如图：∵AE=AB ，AF=AF ，FE=FB ∴∴∵AE=AB=AC ∴∴即在与中， ∴∴由上可知，的度数为或（3），理由如下：由（2）得：FE=FB ，∴∴∵在中 ∴【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键23．（1）30cm ；（2）木杆长100cm ，AB =40 cm ．【分析】（1）如图①，过A 作AM 垂直于墙面，垂足于点M ，由40cm AM =，利用勾股定理在Rt AOM 中，2230(cm)OM AO AM =-=即可；（2）如图②，延长BA 交墙面于点N ，可得90BNC ∠=︒，利用勾股定理在Rt BCN △中，222BN CN BC +=构造方程222(40)60(60)x x ++=+求解即可．【详解】解：（1）如图①，过A 作AM 垂直于墙面，垂足于点M ，根据题意可得：40cm AM =，在Rt AOM 中， 2222504030(cm)OM AO AM =-=-=，即凳子的高度为30cm ；（2）如图②，延长BA 交墙面于点N ，可得90BNC ∠=︒，设AB xcm =，则60CB x =+，40BN x =+，903060CN =-=，在Rt BCN △中，222BN CN BC +=，222(40)60(60)x x ++=+，40x =，6040100(cm)BC =+=．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件与结论，关键是构造出符合条件的图形是解题关键．24．（1）7米；（2）不是【分析】（1）利用勾股定理直接求出边长即可；（2）梯子的顶端下滑了4米，则20a =米，利用勾股定理求出b 的值，判断是否梯子的底部在水平方向也滑动了4米．【详解】（1）如图，由题意得此时a ＝24米，c ＝25米，由勾股定理得222+=a b c ，∴7b ==（米）；（2）不是，如果梯子的顶端下滑了4米，此时20a =米，25c =米，由勾股定理，15b ==（米），1578-=（米），即梯子的底部在水平方向滑动了8米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握用勾股定理解直角三角形的方法． 25．（1）证明见解析；（2）224m【分析】（1）由AD ⊥CD ，可得△ACD 是直角三角形，根据勾股定理可求出AC=5，在△ABC 中，AB=13，BC=12，AC=5，可知222AB BC AC =+ ，继而证得∠ACB= 90︒；（2）根据S 阴影=ABC ACD SS -计算即可．【详解】（1）证明：∵AD CD ⊥，∴ACD 为直角三角形，由勾股定理得：222AC CD AD =+，∵3m CD =，4m AD =，∴5m AC =，在ABC 中，2213169AB ==，2212144BC ==，22525AC ==，∴222AB BC AC =+，∴ACB △为直角三角形，∴90ACB ∠=︒．（2）ABC ACD S S S =-阴1122AC BC CD AD =⋅-⋅ 111253422=⨯⨯-⨯⨯ 306=-()224m =答：需要绿化的面积为224m ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．26．5【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m，∴AC=2222+=+=m，CE AE1.20.5 1.3∴1.3÷0.2＝6.5s，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．。

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元综合模拟测评检测试题

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元综合模拟测评检测试题一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF =- ④ AC=AFA ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④2．如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 离点C5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（）cm ．A ．25B ．20C ．24D ．1053．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A ．0.8米B ．2米C ．2.2米D ．2.7米4．如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝5，则AD 的长为（）A ．1B ．32C ．4D ．235．在△ABC 中，∠BCA=90∘,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（）A ．5B ．75C ．145D ．3656．棱长分别为86cm cm ，的两个正方体如图放置，点A ，B ，E 在同一直线上，顶点G 在棱BC 上，点P 是棱11E F 的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A 爬到点P ，它爬行的最短距离是( )A ．(3510)cm +B ．513cmC ．277cmD ．(2583)cm +7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45︒，若AD =4，CD =2，则BD 的长为（）A ．6B ．7C ．5D ．258．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( )A ．(－2，23)B ．(－2，－23)C ．(－2，－2)D ．(－2，2) 9．已知，等边三角形ΔABC 中，边长为2，则面积为（） A ．1B ．2C ．2D ．310．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2a b +值为（）A ．25B ．9C ．13D ．169二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．13．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 14．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝120°，AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，AB ＝4，CD ＝43，则该四边形的面积是______．15．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 16．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AC 的垂直平分线交 BC 于 F ，交 AC 于 E ，交 BA 的延长线于 G ，若 EG ＝3，则 BF 的长是______．18．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．19．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．20．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________三、解答题21．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．22．如图，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，8AB cm =，6BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C →方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）当2t =秒时，求PQ 的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB ∆是等腰三角形？（3）若Q 沿B C A →→方向运动，则当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．24．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．25．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .26．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长.27．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝，BC ＝，AC ＝．△ABC 的面积是．（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积．28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．29．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A ．一定是锐角三角形B ．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C ．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠， ∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，AG ==，∴12ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确；∴4GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，2CF ===，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理． 2．A解析：A【分析】分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB ；把右侧面展开到正面上，连结AB ，；把向上的面展开到正面上，连结AB ；然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB ，再进行大小比较．【详解】把左侧面展开到水平面上，连结AB ，如图1()2210205925537AB =++==把右侧面展开到正面上，连结AB ，如图2()()222010562525AB =++== 把向上的面展开到正面上，连结AB ，如图3()()2210205725529AB =++==925725625>>∴53752925>>∴需要爬行的最短距离为25cm故选：A ．【点睛】本题考查了平面展开及其最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．3．D解析：D先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度．【详解】解：如图，由题意可得：AD2=0.72+2.42=6.25，在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC，∴AB2+1.52=6.25，∴AB=±2，∵AB＞0，∴AB=2米，∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）．故选：D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4．B解析：B【分析】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，根据勾股定理求出a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，即可证得a2+d2＝18，由此得到答案.【详解】设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，由勾股定理得，a2+b2＝AB2＝9，c2+b2＝BC2＝16，c2+d2＝CD2＝25，则a2+b2+c2+b2+c2+d2＝50，∴a2+d2+2（b2+c2）＝50，∴a2+d2＝50﹣16×2＝18，∴AD221832+==a d故选：B．【点睛】此题考查勾股定理的运用，根据题中的已知条件得到直角三角形，再利用勾股定理求出未知的边长，解题中注意直角边与斜边.5．C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，证明△DHE ≌△EGD ，利用勾股定理求出75EH DG ==，即可得到BE. 【详解】∵∠BCA=90∘，AC=6，BC=8，∴22226810AB AC BC ，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∠EDC=∠ADC ，CE=AC=6，∴BD=DE ，作DH ⊥BE 于H ，EG ⊥CD 于G ，∴∠DHE=∠EGD=90︒，∠EDH=12∠BDE=12（180︒-2∠EDC ）=90︒-∠EDC ， ∴∠DEB= 90︒-∠EDH=90︒-(90︒-∠EDC)=∠EDC ，∵DE=DE ，∴△DHE ≌△EGD ，∴DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∴222256(5)x x -=--，∴75x =， ∴75EH DG ==， ∴BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明△DHE ≌△EGD ，由此求出BE 的长度.解析：C【分析】当E 1F 1在直线EE 1上时，，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP 的长；当E 1F 1在直线B 2E 1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP 的长,两者进行比较即可确定答案【详解】① 当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm ，PE=6+3=9cm ，由勾股定理得2222149277AP AE PE cm =+=+=② 当展开方法如图2时，AP 1=8+6+3=17cm ，PP 1=6cm ，由勾股定理得222211176325AP AP PP cm =+=+= ∵277<325∴蚂蚁爬行的最短距离是277cm,【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的7．A解析：A【解析】【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据SAS ，可得△BAD 与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD 与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，则有∠AD′D=∠D′AD=45︒，∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，''BC CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22'AD AD +＝42，∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得 CD′=22DC DD +'=()22422+=6，故选A.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线作出全等图形是解题关键．8．B解析：B【解析】根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.9．D解析：D【解析】根据题意可画图为：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∵AB=2，∴3，∴S △ABC = 12BC·AD=12×2×3=3. 故选D. 10．A解析：A【分析】根据勾股定理可以求得22a b +等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab 的值，然后根据()2222a b a ab b +=++即可求解．【详解】根据勾股定理可得2213a b +=，四个直角三角形的面积是：14131122ab ⨯=-=，即212ab =，则()2222131225a b a ab b +=++=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式，正确根据图形的关系求得22a b +和ab 的值是关键．二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．5【分析】作AD′⊥AD ，AD′=AD 构建等腰直角三角形，根据SAS 求证△BAD ≌△CAD′，证得BD=CD′，∠DAD′=90°，然后在Rt △AD′D 和Rt △CD′D 应用勾股定理即可求解．【详解】作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAD′，在△BAD 与△CAD′中，{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠=''，∴△BAD ≌△CAD′（SAS ），∴BD=CD′，∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′=22()4AD AD +='，∵∠D′DA+∠ADC=90°，∴由勾股定理得CD′=22(')5DC DD +=，∴BD=CD′=5故答案为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键．13．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴BC=310；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴10 ；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．14．163【分析】延长CA 、DB 交于点E ，则60C ∠=°，30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==，根据勾股定理求出43AE =．同理，在Rt DEC ∆中求出283CE CD ==2212DE CE CD =-=，然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA 、DB 交于点E ，∵四边形ABDC 中，120ABD ∠=︒，AB AC ⊥，BD CD ⊥，∴60C ∠=°，∴30E ∠=︒，在Rt ABE ∆中，4AB =，30E ∠=︒，∴28BE AB ==，2243AE BE AB ∴-=．在Rt DEC ∆中，30E ∠=︒，43CD =283CE CD ∴==2212DE CE CD ∴=-， ∴1443832ABE S ∆=⨯⨯=143122432CDE S ∆=⨯⨯=， 24383=163CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=-四边形．故答案为：163．【点睛】本题考查了勾股定理，含30角的直角三角形的性质，图形的面积，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．23或2【分析】先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，∴AB=2BC=4，∴22224223AC AB BC =-=-=,当AC 为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等腰三角形，则AE=3,设DE=x ，则AD=2x ，∵222AE DE AD +=,∴222(3)(2)x x +=∴x=1（负值舍去），∴腰长AD=2x=2，故答案为：32【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.16．322或11或5或109 5【分析】分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点，∴DG=12 BC同理：DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3223332+=②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D 是AB 的中点， ∴DG=12BC 同理：DH=12AC 又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE 和Rt△DHF 中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL ）∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11∴EF=221111112+=③如图，以点D 为圆心，以DF 长为半径画圆交AC 边分别为E 、E '，过点D 作DH⊥AC 于点H ，可知DF DE DE '==，可证△EHD≌△E HD '，CE D CFD '≌，△DHC 为等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°∴△EDF 为等腰直角三角形可证AED CFD △△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF =+=+=④有第③知，EF=5，且△EDF 为等腰直角三角形，∴ED=DF=522,可证△E CF E DE ''∆∽,2223y x +=5252x =+综上可得：25x =∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.17．4【分析】根据线段垂直平分线得出AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，求出∠B=∠C=∠G=30°，根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE 和EF ，即可求出FG ，再求出BF=FG 即可【详解】∵AC 的垂直平分线FG ，∴AE=EC ，∠AEG=∠AEF=90°，∵∠BAC=120°，∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°，∵∠BAC=120°，AB=AC ，∴∠B=∠C=12（180°-∠BAC ）=30°， ∴∠B=∠G ，∴BF=FG ，∵在Rt △AEG 中，∠G=30°，EG=3，∴AG=2AE ，即（2AE ）2=AE 2+32，∴AE=3（负值舍去）即CE=3，同理在Rt △CEF 中，∠C=30°，CF=2EF ，（2EF ）2=EF 2+（3）2，∴EF=1（负值舍去），∴BF=GF=EF+CE=1+3=4，故答案为4．【点睛】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．18．2或18【分析】分两种情况:点E 在AD 线段上,点E 为AD 延长线上的一点,进一步分析探讨得出答案即可.【详解】解：①如图点E 在AD 线段上，△ABE 与△A ′B E 关于直线BE 对称，∴△A ′BE ≌△ABE,∴∠B A′E=∠A=90o ,AB=A ′B∠B A′C =90o ,∴E 、A',C 三点共线,在△ECD 与△CB A′中，{CD A BD BA C DEC ECB='∠=∠'∠=∠,∴△ECD ≌△CB A′,∴CE=BC=10,在RT △CB A′中，A′C=22BC BA -'=22106-=8,∴AE= A′E=CE - A′C=10-8=2;②如图点E为AD延长线上,由题意得：∠A"BC+∠A"CB=∠DCE+∠A"CB=90o ∴∠A"BC=∠DCE,在△A"BC与△DCE中，"={""A CDE CD A BA BC DCE ∠∠=∠=∠∴△A"BC≌△DCE,DE= A"C,在RT△ A"BC中，A"C=22"BC BA-=22106-=8,∴AE=AD+DE=AD+ A"C=10+8=18;综上所知,AE=2或18.故答案为:2或18.【点睛】此题考查翻折的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.19．2【分析】连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【详解】解：（1）如图，连接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∴BD=CD=1．2 ,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周长2,.【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．20．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式. 三、解答题21．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．22．（1）132）83；（3）5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）根据点P 、Q 的运动速度求出AP ，再求出BP 和BQ ，用勾股定理求得PQ 即可；（2）由题意得出BQ BP =，即28t t =-，解方程即可；（3）当点Q 在边CA 上运动时，能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ BQ =时（图1)，则C CBQ ∠=∠，可证明A ABQ ∠=∠，则BQ AQ =，则CQ AQ =，从而求得t ；②当CQ BC =时（图2)，则12BC CQ +=，易求得t ；③当BC BQ =时（图3)，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则求出BE ，CE ，即可得出t ．【详解】（1）解：（1）224BQ cm =⨯=，8216BP AB AP cm =-=-⨯=，90B ∠=︒， 222246213()PQ BQ BP cm =+=+=；（2）解：根据题意得：BQ BP =，即28t t =-，解得：83t =；即出发时间为83秒时，PQB ∆是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ BQ =时，如图1所示：则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒， 90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒，90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠BQ AQ ∴=，5CQ AQ ∴==，11BC CQ ∴+=，112 5.5t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示：则12BC CQ +=1226t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示：过B点作BE AC⊥于点E，则684.8()10AB BCBE cmAC⨯===3.6CE cm∴==，27.2CQ CE cm∴==，13.2BC CQ cm∴+=，13.22 6.6t∴=÷=秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，BCQ∆为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．23．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD ：AF ＝1：22，则AF ＝22x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF ＝22AF AE +＝22(22)x x +＝3x ，∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=+，解得x ＝1，∴AB ＝22+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理.24．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以22228373AC OA +=+所以73在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8 所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.25．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．26．（1）2，2）证明见解析（3）7（4【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，DE =∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+， ∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+；综上，PE 23221. 【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.27．（1）13，17，10，112；（2）图见解析；7．【分析】（1）利用勾股定理求出AB ，BC ，AC ，理由分割法求出△ABC 的面积．（2）模仿（1）中方法，画出△PMN ，利用分割法求解即可．【详解】解：（1）如图1中，AB ＝22AE BE +＝2232+＝13，BC ＝22BD CD +＝2214+＝17，AC ＝22AF CF +＝2213+＝10，S △ABC ＝S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC ＝12﹣3﹣32﹣2＝112，故答案为13，17，10，112．（2）△PMN 如图所示．S △PMN ＝4×4﹣2﹣3﹣4＝7，故答案为7．【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.28．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 73【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --。

八年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）

⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼋年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是⽹格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了⽶.(假设绳⼦是直的)三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案⼀、选择题(共10⼩题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满⾜两⼩边的平⽅和等于最长边的平⽅.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三⾓形为()A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.纯⾓三⾓形D.等腰直⾓三⾓形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直⾓三⾓形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的⼩正⽅形⽹格中，点A、B都是格点(即⽹格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成.记图中正⽅形ABCD，正⽅形EFGH，正⽅形MNKT的⾯积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正⽅形的⾯积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直⾓三⾓形的两条直⾓边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直⾓三⾓形，四边形ABCD和EFGH都是正⽅形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直⾓三⾓形AHB中，利⽤勾股定理进⾏解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正⽅形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直⾓三⾓形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有⼀题：“今有开门去阃(kǔn)⼀尺，不合⼆⼨，问门⼴⼏何.”⼤意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10⼨)，双门间的缝隙CD为2⼨，那么门的宽度(两扇门的和)AB 为()A.100⼨B.101⼨C.102⼨D.103⼨【分析】画出直⾓三⾓形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101⼨.故选：B.7.2019年10⽉1⽇，中华⼈民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举⾏了简朴⽽降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，⽬送着五星红旗级缓升起，不禁⼼潮澎湃，爱国之情油然⽽⽣.爱动脑筋的王梓涵设计了⼀个⽅案来测量学校旗杆的⾼度.将升旗的绳⼦拉直到末端刚好接触地⾯，测得此时绳⼦末端距旗杆底端2⽶，然后将绳⼦末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳⼦末端距离地⾯⾼度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的⾼度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出⽰意图，设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利⽤勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆⾼度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平⽅＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平⽅＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将⼀张A4纸(A4纸的尺⼨为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了⼀个⾓，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直⾓三⾓形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直⾓三⾓形，运⽤勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直⾓三⾓形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240⽶.如果⽕车⾏驶时，周围200⽶以内会受到噪⾳的影响.那么⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶时，A处受噪⾳影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利⽤锐⾓三⾓函数的定义求出AC的长与200m相⽐较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪⾳影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200⽶，∵∠QON＝30°，OA＝240⽶，∴AC＝120⽶，当⽕车到B点时对A处产⽣噪⾳影响，此时AB＝200⽶，∵AB＝200⽶，AC＝120⽶，∴由勾股定理得：BC＝160⽶，CD＝160⽶，即BD＝320⽶，∵⽕车在铁路MN上沿ON⽅向以10⽶/秒的速度⾏驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，⼩明(视为⼩⿊点)站在⼀个⾼为10⽶的⾼台A上，利⽤旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与⾼台A⽔平距离为17⽶，⾼为3⽶的矮台B.那么⼩明在荡绳索的过程中离地⾯的最低点的⾼度MN是()A.2⽶B.2.2⽶C.2.5⽶D.2.7⽶【分析】⾸先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17⽶，得出EF＝EM﹣FM ＝AC﹣BD＝7⽶，求出BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12⽶，OM＝OF+FM＝15⽶，由勾股定理求出ON＝OA＝13⽶，进⽽求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所⽰：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(⽶)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(⽶)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17⽶，∴2OE＝17﹣7＝10(⽶)，∴BF＝OE＝5⽶，OF＝12⽶，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(⽶)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(⽶)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(⽶)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(⽶).故选：A.⼆、填空题(共8⼩题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，⼜其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直⾓三⾓形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5或.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，⼀是把两边长都看作直⾓边，⼆是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直⾓边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三⾓形ABC为直⾓三⾓形，利⽤勾股定理列出关系式，结合正⽅形⾯积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直⾓三⾓形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正⽅形，其⾯积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了⼀幅“勾股弦⽅图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦⽅图”中，以弦为边长得到的正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，这⼀图形被称作“赵爽弦图”张天同学要⽤细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，则所⽤细塑料棒的长度为100.【分析】根据正⽅形的⾯积可得两个正⽅形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直⾓三⾓形的两条直⾓边长，进⽽求解.【解答】解：∵正⽅形ABCD是由4个全等的直⾓三⾓形和中间的⼩正⽅形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正⽅形ABCD与正⽅形EFCH的⾯积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所⽤细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三⾓形三边长分别为5，12，13，则此三⾓形的最⼤边上的⾼等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，利⽤它的⾯积：斜边×⾼÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的⾼.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直⾓三⾓形，最长边是13，设斜边上的⾼为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是⽹格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三⾓形外⾓的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平⾯直⾓坐标系，并标⽰了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修⼀条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建⼀个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离⽔⾯⾼度为8⽶的岸上，有⼈⽤绳⼦拉船靠岸，开始时绳⼦BC的长为17⽶，此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9⽶.(假设绳⼦是直的)【分析】在Rt△ABC中，利⽤勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利⽤勾股定理计算出AD长，再利⽤BD ＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17⽶，AC＝8⽶，∴AB＝＝＝15(⽶)，∵此⼈以1⽶每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(⽶)，∴AD＝＝＝6(⽶)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(⽶)，答：船向岸边移动了9⽶.故答案为：9.三、解答题(共4⼩题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直⾓三⾓形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据⾓平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直⾓三⾓形分割成⼀个正⽅形和两对全等的直⾓三⾓形，直⾓三⾓形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正⽅形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)⼩明发明了求正⽅形边长的⽅法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)⼩亮也发现了另⼀种求正⽅形边长的⽅法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据⼩亮的思路完成他的求利⽤S△ABC解过程：(3)请结合⼩明和⼩亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三⾓形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据⼤三⾓形的⾯积等于三个⼩三⾓形的⾯积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进⾏推导即可得结论.＝S△ABI+S△BIC+S△AIC【解答】解：(2)因为S△ABC＝cx+ax+bx所以x＝.答：x与a、b、c的关系为x＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采⽤了移动宣讲的形式进⾏宣传动员.如图，笔直公路MN的⼀侧点A处有⼀村庄，村庄A到公路MN的距离为600⽶，假使宣讲车P周围1000⽶以内能听到⼴播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN⽅向⾏驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200⽶/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800⽶，求得PQ＝1600⽶，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600⽶＜1000⽶，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车⾏驶到P点开始影响村庄，⾏驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000⽶，AB＝600⽶，∴BP＝BQ＝⽶，∴PQ＝1600⽶，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有⼀架秋千，当它静⽌时，踏板离地的垂直⾼度DE＝1m，将它往前推送6m(⽔平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直⾼度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD。

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试卷附答案

第十七章《勾股定理》单元测试卷(共23题,满分120分,考试用时90分钟)学校班级姓名学号一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m的B处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的A处,则旗杆折断部分AB的高度是()A.5 mB.12 mC.13 mD.18 m第1题图第3题图第5题图2.下列各组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是()A.3,4,6B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,153.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AB=10,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.100B.120C.140D.1604.若直角三角形的两条直角边长分别是3和4,则斜边长为()A.2.4B.5C.√7D.75.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()A.1B.1.4C.√2D.√36.在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.以上都有可能7.若一个直角三角形中,斜边的长为13,一条直角边长为5,则这个三角形的面积是()A.60B.30C.20D.328.如图,将风筝放至高30 m,牵引线与水平面夹角约为45°的高空中,则牵引线AB的长约是()A.30 mB.45 mC.20√3 mD.30√2 m第8题图第9题图第10题图9.(跨学科融合)如图,在物理实验课上,小明将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了()A.3 cmB.2 cmC.6 cmD.4 cm10.如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为()A.96 m2B.204 m2C.196 m2D.304 m2二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,两个正方形的面积分别是100和36,则字母B所代表的正方形的面积是.第11题图第13题图12.若△ABC的三边长满足a2=b2+c2,则△ABC是直角三角形且∠=90°.13.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.14.如图,∠C=∠ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长等于.第14题图第15题图15.(数学文化)如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AH=6,EF=2,那么AB的长等于.三、解答题(一)(共3小题,每小题8分,共24分)16.如图,根据所给条件,求BC的长.17.如果三角形的三边长分别为√2,√6,2,那么这个三角形是直角三角形吗?。

八年级下册数学第 17 章《勾股定理》单元测试题(含答案)

八年级下册数学第17章《勾股定理》单元测试题（含答案）一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是网格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了米.(假设绳子是直的)三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求利用S△ABC解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101寸.故选：B.7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，运用勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直角三角形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米【分析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17米，得出EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝7米，求出BF＝OE＝5米，OF＝12米，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12米，OM＝OF+FM＝15米，由勾股定理求出ON＝OA＝13米，进而求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(米)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(米)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，∴2OE＝17﹣7＝10(米)，∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(米)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(米)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(米)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(米).故选：A.二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5或.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，一是把两边长都看作直角边，二是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直角边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为100.【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解.【解答】解：∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所用细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的高.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是网格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9米.(假设绳子是直的)【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15(米)，∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(米)，∴AD＝＝＝6(米)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(米)，答：船向岸边移动了9米.故答案为：9.三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求利用S△ABC解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论.＝S△ABI+S△BIC+S△AIC【解答】解：(2)因为S△ABC＝cx+ax+bx所以x＝.答：x与a、b、c的关系为x＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝米，∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度.【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝(x﹣3)m，利用勾股定理可得x2＝62+(x ﹣3)2.【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝(x﹣3)m，故x2＝62+(x﹣3)2，解得：x＝7.5，答：绳索AD的长度是7.5m.。

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理单元检测题

人教版八年级下册数学第十七章勾股定理单元检测题一.单选题1．若△ABC 三边a 、b 、c 满足()2340a b -+-=，则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 2．如图，Rt ABC 中，2AC =，4AB =，则BC 的长为（）A ．2 BCD．3．以下列线段为边，不能构成直角三角形的是（）A ．1，1B ．4，5，6C ．6，8，10D ．9，40，414．若矩形ABCD 的邻边长分别是1，2，则BD 的长是（）AB ．3CD ．5．如图，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，顶点A 落在BC 边上F 处，已知3BE =，8CD =，则BF 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，一个圆桶底面直径为8cm ，高为12cm ，则桶内所能容下的最长木棒的长度为（）．A ．8cmB ．10cmC ．D ．7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又向东北方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时所用时间为多少？若设甲与乙相遇时间为x ，则可列方程为（）A ．222(3)(7)10x x +=B ．222(310)(7)10x x -+=C ．222(3)10(710)x x +=-D ．22210(710)(310)x x +-=-8．如图，在ABCD 中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°，CE=3，DF=1，则AF=（）A ．1B ．1C ．2D ．29．课堂上，戴老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（）A ．①行，②不行B ．①不行，②行C ．①，②都行D ．①，②都不行10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB⊥AC．若AC ＝6，BD ＝10，则AB 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6二.填空题 11．如图，若四边形ABCD 是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD 的边长是 .12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，90ACB ∠=︒，5AC =，12BC =，则CD = ；13．已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°．请从下面A ，B 两题中任选一题作答；A ．如图1，AB 边的垂直平分线交AC 于点E ，交AB 于点F ．若AE ＝5，EF=3，则线段EC 的长为；B ．如图2，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，AB 边的垂直平分线交AC 于点E ，AC=8，BC ＝6，线段DE 的长为．14．如图，在ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB＝90°，点E 在AC 边上，EF⊥AB 于点F ，连接EB ，AF ＝3，EFB的周长为12，则EB 的长为．三.计算题15．如图， ABC 中， 6,14,60AB cm BC cm ABC ==∠=︒ AD BC ⊥ 于D ．求 AD 及 AC 的长．16．（1）计算：（2）在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．若a ：c=15：17，b=24，求a 的值。

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)

八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷(带答案解析)一、单选题1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√10，则BC的长为()A. 3√3B. √5+1C. √10−1D. √10+12.下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是()A. 1，√3，2B. 2，3，4C. 4，5，6D. 5，6，73.如图，在ΔABC中，三边a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. c<b<aD. b<a<c4.下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是()A. 3，5，7B. 5，7，8C. 4，6，7D. 1，√3，2，则AC的长为()5.如图，点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，若BC=2√133A. √13B. 4√13C. 2√13D. 3√1336.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM=√2，则线段BN的长为()B. √2C. 1D. 2−√2A. √227.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，则原点到直线AB的距离是()A. 2B. 2.4C. 2.5D. 38.等腰三角形的一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积是()A. 3√7B. 8√2C. 6√7D. 3√7或8√29.如图，一只蚂蚁从长宽高分别是3，2，6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是()A. √61B. 11C. 7D. 810.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，则这个三角形的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题11.如图，直角三角形的两直角边长分别为6 cm和8 cm，分别以三边为直径作半圆，则阴影部分的面积为_______________.12.已知直角三角形的三边长分别为6，7，x，则x2=_______________.13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC的长是 ______.14.如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，已知：AB =15，AD =12，AC =13，CD =5，则BC 的长为 ______.15.如图，学校有一块长方形花圈，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草，则他们仅仅少走了 ______步路．(假设2步为1米)16.ΔABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =3.以BC 为边作等边ΔBCD ，连接AD ，则AD 的长为____．17.如图，P 是∠AOB 的平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，PE ⊥OA ，垂足分别为D ，E ，若PD =3，则PE 的长是 ______.18.如图，等腰ΔABC 的底边BC =20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF =3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则ΔCDF 周长的最小值为______．三、解答题19.在数轴上表示下列各数，并用“<”连接.−12，0，√3，√−83，(−1)2.20.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇妙三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=2√5，BC=4，求证：△ABC是“奇妙三角形”；(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，若△ABC是“奇妙三角形”，求BC的长．21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．(1)线段AB的长是______；(2)在图中画出一条线段EF，使EF的长为√13，并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长？说明理由．22.如图，某工人在两墙AB，CD之间施工(两墙与地面垂直)，架了一架长为2.5m的梯子DE，此时梯子底端E距离墙角C点O.7m，由于E点没有固定好，向后滑动到墙角B处，使梯子顶端D沿墙下滑了0.4m到F处，求梯子底端E向后滑动的距离BE的长．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6.BE平分∠ABC交AC于点E.求CE的长．24.如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端E不动)，筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．25.请阅读下列材料：已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE= 45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．参考答案与解析1.【答案】D;【解析】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=√AD2−AC2=√10−9=1，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠ADC=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴BD=AD=√10，∴BC=√10+1.故选：D.由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．此题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解答该题的关键．2.【答案】A;【解析】解：A、∵12+(√3)2=22，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵52+62≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：A.由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．此题主要考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答该题的关键．3.【答案】D;【解析】解：根据勾股定理，得a=√1+9=√10；b=√1+4=√5；c=√4+9=√13.∵5<10<13，∴b<a<c.故选：D.先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．此题主要考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．4.【答案】D;【解析】解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为12+(√3)2=22，能构成直角三角形，此选项正确．故选D.分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．此题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．5.【答案】B;【解析】解：∵点A，B都在格点上，点C在线段AB上，每个小格长度为1，∴AB=√62+42=2√13，∵BC=2√133，∴AC=AB−BC=2√13−2√133=4√133，即AC的长为4√133，故选：B.由勾股定理求出AB的长，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，由勾股定理求出AB的长是解答该题的关键．6.【答案】C;【解析】解：过M点作MH⊥AC于H点，∵四边形ABCD是正方形，∴∠HAM=45°．∴ΔHAM是等腰直角三角形，∴HM=√22AM=1．∵CM平分∠ACB，MH⊥AC，MB⊥CB，∴BM=HM=1，∠ACM=∠BCN．∵∠BMN=45°+∠ACM，∠BNM=45°+∠BCM，∴∠BMN=∠BNM．∴BN=BM=1．故选：C．过M点作MH⊥AC于H点，在等腰直角ΔHAM中可求HM=√22AM=1，根据角平分线的性质可得BM=MH=1，再证明BN=BM即可．这道题主要考查了正方形的性质、角平分线的性质，解决这类问题一般会利用到正方形对角线平分90°得到等腰直角三角形，涉及角平分线时作角两边的垂线段是常见辅助线．7.【答案】B;【解析】解：∵点A、B的坐标分别是(0,3)、(−4,0)，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，ΔAOB是直角三角形，∴O到AB的距离为3×45=125；故选：B．由ΔAOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；该题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高是解答该题的关键；8.【答案】D;【解析】该题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解答该题的关键．因为已知长度为4和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当4为底时，其它两边都为6，4、6、6可以构成三角形，底边上的高为√62−22=4√2，∴等腰三角形的面积=12×4×4√2=8√2；②当4为腰时，其它两边为4和6，∵4+4>6，∴4、4、6能构成三角形．∴底边上的高为=√42−32=√7，∴等腰三角形的面积=1×√7×6=3√7．2故选D．9.【答案】A;【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(3+2)2+62=61；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2+6)2+32=73；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(3+6)2+22=85.所以最短路径的长为AB=√61(cm).故选：A.把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．此题主要考查了平面展开−最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．10.【答案】B;【解析】解：∵(a−3)2+√b−4+|c−5|=0，∴a−3=0，b−4=0，c−5=0，解得：a=3，b=4，c=5，则a2+b2=c2，故这个三角形的形状是直角三角形；故选：B.利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形．11.【答案】24cm2;【解析】略12.【答案】85或13;【解析】略13.【答案】2√7;【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，BC=6，则AC=√AB2−BC2=√82−62=2√7，故答案为：2√7.根据勾股定理计算即可．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.14.【答案】14;【解析】解：∵AD=12，AC=13，CD=5，∴AC2=169，AD2+CD2=144+25=169，即AD2+CD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC=90°，∴∠ADB=90°，∵AB=15，AD=12，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∴BC=BD+CD=9+5=14.故答案为：14.在△ADC中，由三边长，利用勾股定理的逆定理判断出△ADC为直角三角形，可得出AD与BC垂直，在直角三角形ABD中，由勾股定理求出BD，再根据线段的和差关系即可求解．此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．15.【答案】4;【解析】解：由勾股定理，得路长=√32+42=5(m)，少走(3+4−5)×2=4步，故答案为：4.根据勾股定理，可得答案．此题主要考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．16.【答案】3或3√7;【解析】该题考查了勾股定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质是解答的关键.本题分两种情况，①D在AB边上，由直角三角形的性质解答即可；②D在三角形外面，由等边三角形的性质得出三角形ΔBCE和ΔDCA全等的条件，得出ΔBCE≌ΔDCA，推出BE=AD，由勾股定理得出BE，也就得出AD 了．解：分两种情况：①如图所示：D在AB边上，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AD=CD=BC=3；②D在三角形外面，以AC为边做等边ΔACE，连接BE，如图所示：∵ΔBCD和ΔACE是等边三角形，∴BC=DC，CE=CA，∠BCD=∠ACE=60°，∴∠BCE=∠DCA=60°+90°=150°，∴ΔBCE≌ΔDCA，∴BE=AD，∵在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6，AC=√AB2−BC2=3√3，∵ΔACE为等边三角形，∴∠CAE=60°，AE=3√3，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，∴BE=√AB2+AE2=√62+(3√3)2=3√7，∴AD=BE=3√7，综上所述，AD=3或3√7．故答案为3或3√7．17.【答案】3;【解析】解：∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD，∵PD=3，∴PE=3.故答案为：3.根据角平分线的性质定理可得答案．此题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．18.【答案】18;【解析】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵1⋅BC⋅AH=120，2∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF=√AH2+HF2=√122+52=13，∴DF+DC的最小值为13．∴ΔCDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．如图作AH⊥BC于H，连接AD.由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；该题考查轴对称−最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解答该题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：√3≈1.73，√−83=-2，（-1）2=1，在数轴上表示如下：∴√−83＜-12＜0＜（-1）2＜√3．; 【解析】根据实数的符号和绝对值，在数轴上表示即可；依据数轴表示数的特征，右边的数总比左边的大，比较大小．此题主要考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定实数的两个必要条件．20.【答案】（1）证明：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴BD=12BC=2，由勾股定理得，AD=√AB 2−BD 2=4，∴AD=BC ，即△ABC 是“奇妙三角形”；（2）解：当AC 边上的中线BD 等于AC 时，BC=√BD 2−CD 2=3，当BC 边上的中线AE 等于BC 时，AC 2=AE 2-CE 2，即BC 2-（12BC ）2=（2√3）2，解得BC=4．综上所述，BC 的长是3或4．;【解析】(1)过点A 作AD ⊥BC 于D ，根据等腰三角形的性质求出BD ，根据勾股定理求出AD ，根据“奇妙三角形”的定义证明；(2)分AC 边上的中线BD 等于AC ，BC 边上的中线AE 等于BC 两种情况，根据勾股定理计算．此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.21.【答案】null;【解析】解：(1)线段AB的长是：√12+22=√5；故答案为：√5；(2)如图所示：EF即为所求，AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长理由：∵AB2=(√5)2=5，DC2=8，EF2=13，∴AB2+DC2=EF2，∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长．(1)直接利用勾股定理得出AB的长；(2)直接利用勾股定理以及勾股定理逆定理分析得出答案．此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确结合网格分析是解题关键．22.【答案】解：由题意得：∠DCE=90°，BF=DE=2.5m，CE=0.7m，DF=0.4m，在Rt△DCE中，由勾股定理得：DC=√DE2−CE2=√2．52−0．72=2.4（m），∴CF=DC-DF=2.4-0.4=2（m）在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF=√BF2−CF2=√2．52−22=1.5（m），∴BE=BC-CE=1.5-0.7=0.8（m），答：梯子底端E向后滑动的距离BE的长为0.8m．;【解析】由勾股定理得DC=2.4m，再由勾股定理得BC=1.5m，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是两次运用勾股定理．23.【答案】解：如图，过E作ED⊥AB于D，∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，∴EC⊥BC，AC=√AB2−BC2=√102−62=8，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∴CE=DE，在Rt△BDE和Rt△BCE中，{DE=CEBE=BE，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴BD=BC=6，∴AD=AB-BD=10-6=4，设CE=DE=x，则AE=AC-CE=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：42+x2=（8-x）2，解得：x=3，即CE的长为3．;【解析】过E作ED⊥AB于D，由勾股定理得AC=8，再证Rt△BDE≌Rt△BCE(HL)，得BD=BC=6，则AD= AB−BD=10−6=4，设CE=DE=x，则AE=AC−CE=8−x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．此题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解答该题的关键．24.【答案】解：设杯子的高度是x cm，则筷子的高度为（x+2）cm，∵杯子的直径为12cm，∴DF=6cm，在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2+62=（x+2）2，解得x=8，∴筷子EG=8+2=10cm．;【解析】设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为(x+2)cm，在RtΔDEF中，利用勾股定理列出方程：x2+62=(x+ 2)2，解方程即可．此题主要考查了勾股定理的应用，运用方程思想是解答该题的关键，属于常考题．25.【答案】解：（1）DE2=BD2+EC2；（2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，又∵AB=AC，∴AF=AC，∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠EAC，又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，∵∠ABC=45°，∴∠TBC=∠TBD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAT=∠DAE，∵AD=AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT=DE，∵DT2=DB2+EC2，∴DE2=BD2+EC2；（3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD=DF，EF=BE．∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．;【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．。

新人教版八年级数学下册第十八章勾股定理单元过关检测试题附答案

八（下）第18章勾股定理综合检测题检测题一﹑选择题(每小题3分, 共30分)1. 始终角三角形的斜边长比始终角边长大2，另始终角边长为6，则斜边长为（）A. 4B. 8C. 10D. 122.小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )A. 小丰认为指的是屏幕的长度B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度3.如图1，中字母A所代表的正方形的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 644. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形（图1）是( )A.钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形5. 始终角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的与是49cm , 则斜边的长( )A. 18cmB. 20 cmC. 24 cmD. 25cm6. 合适下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320,∠B=580;A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°9.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（）F（A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D 12cm 210．已知，如图3，，一轮船以16海里/时的速度从港口A 动身向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 动身向东南方向航行，分开港口2小时后，则两船相距（）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里二﹑填空题 (每小题3分, 共24分)11. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个非常闻名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．12.如图5，等腰△ABC 的底边BC 为16, 底边上的高AD 为6, 则腰长AB 的长为____________.13.如图6，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，事实上岸地点C 偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为_________ m.14. 小华与小红都从同一点O 动身，小华向北走了9米到A 点，小红向东走了12米到了B 点，则________ AB 米．15. 一个三角形三边满意(a+b)2-c 2＝2ab, 则这个三角形是三角形.（图4）（图（图6）北南 A 东（图3）16. 木工做一个长方形桌面, 量得桌面的长为60cm, 宽为32cm, 对角线为68cm, 这个桌面 (填”合格”或”不合格”).17. 直角三角形始终角边为cm 12，斜边长为cm 13，则它的面积为．18. 如图7，一个三级台阶，它的每一级的长宽与高分别为20、3、2，A 与B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 .三、解答题 (共46分)19. (6分) 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）20. (6分)如图, 在△ABC中, AD ⊥BC 于D, AB=3,BD=2, DC=1, 求AC 2的值.AB D C21. (8分)小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m 2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能扶植小明算一算吗？22．(10分)如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向挪动，间隔台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A 城受到这次台风影响，则A 城遭遇这次台风影响有多长时间？四、创新探究题一只蚂蚁假如沿长方体的外表从A 点爬到B ’点,近,最短的路程是多少已知长方体的长2cm 、宽为1cm 八年级勾股定理单元检测题参考答案一 1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 10.D二11、勾股定理，222a b c += ；12、10；13、480； 14、15；15、直角；16、合格；17、30；18、25.三19、13米20、AC 2＝621、矩形周长为28米。

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人教版八年级数学第17章《勾股定理》单元同步检测试题时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A.&胡，点B. 1, & &C. 6, 7, 8D. 2, 3, 4【答案】B【解析】试题解析：A.（不）2+ （訴）V （厉）2,故该选项错误；B.I2+ （迈）2=（乔）1故该选项正确；C.62+7M2,故该选项错误；D.22+32#4\故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.（■ ｛视频））2.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是（）【答案】D【解析】试题分析：由题意得：AABC是直角三角形，所以AB= 7A C2+BC2=7122+52=13,所以旗杆折断之前的高度=“AB+BC=5+13=18.“故选：D.考点：勾股定理.3.__________ 如图，学校有一块长方形花I甫I，有极少数人为了避开拐角走“捷径"，在花铺内走出了一条“路\他们仅仅少走了步路（假设2步为1 m）,却踩伤了花草（）A.4B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】根据勾股定理可得斜边长是+ 82=10m.则少走的距离是6+8-10=4m,T2步为1米,・・・少走了 8步,故答案为：D.4. 如图，数轴上点A, B 分别对应1, 2,过点B 作PQ 丄AB,以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C,以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M,则点M 对应的数是（）如图所示：连接OC, 由题意可得：°A2，处=1，贝 9 AC = ^22 + I 2 = &，故戊M 对应的数是：& 故选：B. 5. 如图，已知AB 丄CD, A ABD, A BCE 都是等腰直角三角形.如果CD=7, BE=3,那么AC 的长为（）AA. 8B. 5C. 3D.4■—F B CW % ■ I 1 10 1 2 女3【解析】试题解析: 6 m【答案】B & D.力【答案】B【解析】・・・△〃£>, △BCE都是等腰直角三角形，:・BD=BA, BE二BC=3, VCZ>7,・•・BM4B=4,4 C=^AB2 + BC2=5.故选B.点睛：熟练掌握勾股定理的运用.6.如图，在厶ABC 中，AD丄BC 于D, AB=17, BD=15, DC = 6,则AC 的长为（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】本题主要考查了勾股定理.利用两次勾股定理即可解答.解：VAD1BC・•・ ZADC=ZADB=90°VAB=17, BD=15,AD U J AB S D S•・・DC=6AC=^AD2 + CD2= 1 o故选B7.如图，每个小正方形的边长为1, A, B, C是小正方形的顶点，则ZABC的度数为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到AB, BC, AC的长度，进行判断即可. 解：根据勾股左理可以得到：AC=BCW，AB=V10.•・・（V5）2+（V5）2=（V10）2.AAC2+BC2=AB2.A A ABC是等腰直角三角形.A ZABC=45°.故选C.A _______c—~~8.如图，--艘轮船位于灯塔。

八年级下册数学第17章单元勾股定理测试题

勾股定理检测卷（总分100分时间90分钟）一、选择题（每小题3分.共30分）1．在△ABC中.∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c.若∠A＋∠C＝90°.则下列等式中成立的是( )A．a2＋b2＝c2B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2D．c2－a2＝b22．已知一个直角三角形的三边的平方和为1800 cm2.则斜边长为( )A．30 cm B．80 cm C．90 cm D．120 cm3．如果a、6、c是一个直角三角形的三边.则a：b：c等于( )A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：134．如图.如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边.那么半圆的面积为( ) A．4πcm2B．6πcm2C．12πcm2D．24πcm25．在△ABC中.∠C＝90°.BD平分∠ABC.交AC于点D.若DC＝3.BC＝6.AD＝5.则AB ＝( )A．9 B．10 C．11 D．126．如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.D为AC上一点.且DA＝DB＝5.又△DAB的面积为10.那么DC的长是( )A．4 B．3 C．5 D．4.57．如图.梯子AB靠在墙上.梯子的底端A到墙根O的距离为7m.梯子的顶端B到地面的距离为24 m.现将梯子的底端A向外移动到A'.使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端B下降至B'.那∠BB'等于( )A．3m B．4 m C．5 m D．6 m8．聪聪在广场上玩耍.他从某地开始.先向东走10米.又向南走40米.再向西20米.又向南走40米.最后再向东走70米.则聪聪到达的终止点与原出发点间的距离是( )A．80米B．100米C．120米D．95米9．在Rt△ABC中.AC＝6.BC－8.分别以它的三边为直径向上作三个半圆.则阴影部分面积为( )A．24 B．24πC．252D．252π10．勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三.股四.则弦五”的记载．如图(a)是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的.可以用其面积关系验证勾股定理．图(b)是由图(a)放人长方形内得到的.∠BAC＝90°.AB＝3.AC＝4.点D.E.F.G.H.I都在长方形KLMJ的边上.则长方形KLMJ的面积为( )A．90 B．100 C．110 D．121二、填空题（每小题3分.共24分）11．如图阴影部分正方形的面积是_______．12．若直角三角形中.一斜边比一直角边大2.且另一直角边长为6.则斜边为_______．13．如图.△ABC为等边三角形.AD为BC边上的高.且AB＝2.则正方形ADEF的面积为_______．14．一长方形门框宽为1.5米.高为2米．安装门框时为了增强稳定性.在门框的对角线处钉上一根木条.这根木条至少_______米长．15．如图是一等腰三角形状的铁皮△ABC.BC为底边.尺寸如图.单位：cm.根据所给的条件.则该铁皮的面积为_______．16．如图是连江新华都超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线.小马虎从点A到点C共走了12 m.电梯上升的高度h为6m.经小马虎测量AB＝2 m.则BE＝_______．17．如图.P是正△ABC内一点.且PA＝6.PB＝8.PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后.得到△P'AB.则点P与P'之间的距离为PP'＝_______.∠APB＝_______度．18．如图.正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16.△AEH、△BDC、△GFI 的面积分别为S1、S2、S3.则S1＋S2＋S3＝_______．三、解答题（共46分）19．（6分）如图.△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝7.BC＝24.CD⊥AB于D．(1)求AB的长；(2)求CD的长．20．（6分）如图.已知AB＝13.BC＝14.AC＝15.AD⊥BC于D.求AD长．21．（6分）某开发区有一空地ABCD.如图所示.现计划在空地上种草皮.经测量.∠B＝90°.AB＝3m.BC＝4 m.AD＝12 m.CD＝13 m.若每种植1平方米草皮需要100元.问总共需要投入多少元？22．（6分）如图.两点A.B都与平面镜相距4米.且A.B两点相距6米.一束光由A点射向平面镜.反射之后恰好经过B点.求B点与入射点间的距离．23．（6分）如图.一块长方体砖宽AN＝5 cm.长ND＝10 cm.CD上的点B距地面的高BD＝8 cm.地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食.需要爬行的最短路径是多少？24．（8分）探索与研究：方法1：如图(a).对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得.所以∠BAE ＝90°.且四边形ACFD 是一个正方形.它的面积和四边形ABFE 面积相等.而四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图(b).是任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的.你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？25．（8分）(1)如图(1).在四边形ABCD 中.BC ⊥CD.∠ACD ＝∠ADC ．求证：AB ＋AC>22BC CD ；(2)如图(2).在△ABC 中.AB 上的高为CD.试判断(AC ＋BC)2与AB 2＋4CD 2之间的大小关系.并证明你的结论．参考答案1—10 CADBB BBBAC11．22512．1013．314．2.515．60 cm216．817．6 15018．1819．(1)AB＝25；(2)CD＝6.72．20．AD＝12．21．3600(元)．22．5（米）．24．略25．(1)略(2)大小关系是(AC＋BC)2≥AB2＋4CD2．。

人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（）A ．29B ．32C ．36D ．452．如图，在等腰ABC ∆中，,AB AC =点E 为AC 的中点，且CD CE =．若60,4A EF cm ∠=︒=，则DF 的长为（）A ．12cmB ．10cmC ．8cmD ．6cm 3．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC 中，90ACB ∠=︒，10AC AB +=尺，4BC =尺，求AC 的长．则AC 的长为（）A ．4.2尺B ．4.3尺C ．4.4尺D ．4.5尺 4．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 5．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为123S S S ､､；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为456S S S ､､．其中125616,45,11,14S S S S ====，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．486．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（）A ．12cmB ．13cmC ．10cmD ．16cm 7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，下列结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②∠ADB=120°；③DB=2CD ；④若CD=4，83AB =△DAB 的面积为20．其中正确的结论共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（）A ．3B ．5C ．31+或31-D ．51+或51- 9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h = 10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 11．若实数m 、n 满足340m n --=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（）．A ．5B 7C ．57D ．以上都不对 12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（）A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠= 二、填空题13．如图，ABC 中，AB 5=，BC 6=，BC 边上的中线AD 4=，则ADC ∠=________．14．如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成ABC ．设AB=x ，若ABC 为直角三角形，则x=__．15．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．16．已知一个直角三角形的两边长分别是a ，b ，且a ，b 满足340a b -+-=．则斜边长是____________17．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，27AB =，10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．18．如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．19．如图，∠AOD =90°，OA =OB =BC =CD ，若AC =3，则AD =_______．20．如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD的面积=______________．三、解答题21．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．22．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？23．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°（1）若D为△ACB内部一点，如图，AE＝BD吗？说明理由（2）若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长24．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图：（1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形ABC；（2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形DEFG；H；（3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段1的格点直角三角形JKL．（4）在图4中画出一个周长为321025．如图，△ABC中，AB＝42，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD﹣DC＝1．求DC的长．26．如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AD上，DE=DC，BE=AC，点F为BC 的中点，连结EF并延长至点M，使FM=EF，连结CM．（1）求证：△BDE≌△ADC；（2）求证：AC⊥MC；（3）若AC=m，则点A、点M之间的距离为（用含m的代数式表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．2．A解析：A【分析】由已知可得DF⊥AB，∠D=∠AEF=30°,所以根据含30°角的直角三角形性质可以算得DF的值．【详解】解：∵AB=AC,∠A=60°，∴ΔABC 为等边三角形，∴∠ACB=60°,∵CD=CE ，∴∠CED=∠D=12∠ACB=30°， ∴∠AEF=30°， ∴∠AFE=180°-∠A-∠AEF=90°，∵EF=4cm ，∴设AF=x ，则AE=2x ，∴由勾股定理得：22244x x +=，∴∴AF AE == ∴2BF AB AF AE AF =-=-=∵∠D=30°， ∴2BD BF ==， ∴22223DF BD BF BF =-=，∴DF=16412BF ==-=，故选A ．【点睛】本题考查等边三角形与直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形与直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键． 3．A解析：A【分析】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺，利用勾股定理解答．【详解】设AC=x 尺，则AB=（10-x ）尺， ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB +=，∴2224(10)x x +=-，解得：x=4.2，故选：A ．【点睛】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 4．C解析：C【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．5．C解析：C【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出 S 1、S 2、S 3，然后根据AB 2=AC 2+BC 2即可得出S 1、S 2、S 3的关系．同理，得出S 4、S 5、S 6的关系，即可得到结果．【详解】解：如图1，过点E 作AB 的垂线，垂足为D ，∵△ABE 是等边三角形，∴∠AED=∠BED=30°，设AB=x ，∴AD=BD=12AB=12x ，∴，∴S 2=122x x ⨯⨯=24AB ，同理：S 12AC ，S 32BC ， ∵BC 2=AB 2-AC 2，∴S 3=S 2-S 1，如图2，S 4=21122AB π⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=28AB π，同理S 5=28AC π，S 6=28BC π，则S 4=S 5+S 6， ∴S 3+S 4=45-16+11+14=54．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．6．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A 和B 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52ππ=5cm ，矩形的宽是圆柱的高12cm ．根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB 的长，即222251213AC BC +=+=cm 故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 7．C解析：C【分析】连接PN 、PM ．根据题意易证明APM APN ≅，即可证明①正确；根据三角形外角的性质即可求出=120ADB ∠︒，故②正确；由30BAD B ∠=∠=︒，可说明AD=BD ，再由AD=2CD ，即可证明BD=2CD ，故③正确；由④所给条件可求出AC 和DB 的长，即可求出=163DAB S ，故④错误．【详解】如图，连接PN 、PM ．由题意可知AM=AN ，PM=PN ，AP=AP ，903060BAC ∠=︒-︒=︒．∴APM APN ≅，∴1302CAD BAD BAC ∠=∠=∠=︒，即AD 是BAC ∠的平分线，故①正确； ∵=ADB C CAD ∠∠+∠，∴=9030=120ADB ∠︒+︒︒，故②正确；在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，∴AD=2CD ，又∵30BAD B ∠=∠=︒，∴AD=BD ，∴BD=2CD ．故③正确；在Rt ABC 中，30B ∠=︒， ∴3122BC AB ==， ∴=1248BD BC CD -=-=，又在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，∴343AC CD ==，∴11==843=16322DAB S BD AC ⨯⨯，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定以及勾股定理．熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．8．C解析：C【分析】分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=， ∴BQ=CQ-BC=31-；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 3131．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．9．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长2234+，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长22512+＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．10．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：20AB ===，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ． ∴1102AE BE AB ===，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B的正误；根据三角形内角和定理可分析出C、D的正误；【详解】解：A、a b c+=，不能组成三角形，不是直角三角形；B、222a c b+=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、由∠A+∠B=2∠C，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C∠=︒⨯=︒，不是直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．二、填空题13．【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出的度数【详解】∵边上的中线∴∵∴【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用掌握相应的性质定理是解答此题的关键解析：90【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出ADC∠的度数．【详解】∵AB5=，BC6=，BC边上的中线4AD=，∴BD3=，∵222345+=，∴ADC ADB90∠∠==．【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用，掌握相应的性质定理是解答此题的关键．14．或【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边即可得到关于x 的不等式组求出x的取值范围再根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：∵在△ABC中AC=1AB=xBC=3-x解得1＜x＜2；①∵1＜x解析：43或53【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，即可得到关于x的不等式组，求出x的取值范围，再根据勾股定理，即可列方程求解．【详解】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x．1313x x x x +>-⎧∴⎨+->⎩，解得1＜x ＜2；①∵1＜x ，∴AC 不能为斜边，②若AB 为斜边，则x 2=（3-x ）2+1，解得x=53，满足1＜x ＜2， ③若BC 为斜边，则（3-x ）2=1+x 2，解得x=43 ，满足1＜x ＜2，故x 的值为：43或53，故答案为：43或53．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及勾股定理，正确理解分类讨论是解题的关键． 15．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒， ∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中，EC ==故答案为：【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．16．5或4【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得ab 的值然后再利用勾股定理分类求出该直角三角形的斜边长即可【详解】∵满足∴a−3＝0b−4＝0解得：a ＝3b ＝4当ab 为直角边该直角三角形的斜边长为解析：5或4．【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得a 、b 的值，然后再利用勾股定理，分类求出该直角三角形的斜边长即可．【详解】∵a ，b 40b -=，∴a−3＝0，b−4＝0，解得：a ＝3，b ＝4，当a ，b 为直角边，5=；4也可能为斜边长．综上所述：直角三角形的斜边长为：5或4．故答案为：5或4．【点睛】此题主要考查了勾股定理和绝对值和算术平方根的非负性，关键是掌握绝对值和算术平方根具有非负性，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．17．+24【分析】连结BD 可求出BD=6再根据勾股定理逆定理得出△BDC 是直角三角形两个三角形面积相加即可【详解】解：连结BD ∵∴∵∴BD=6∵BD2=36CD2=64BC2=100BD2+CD2=BC解析：+24【分析】连结BD ，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC 是直角三角形，两个三角形面积相加即可．【详解】解：连结BD ，∵90BAD ∠=︒， ∴BD =∵AD =，AB =∴BD=6，∵BD 2=36，CD 2=64，BC 2=100，BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC=90°，S △ABD =122272142⨯⨯=， S △BDC =168242⨯⨯=，四边形ABCD 的面积是= S △ABD + S △BDC =214+24故答案为：214+24．【点睛】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．15米【分析】根据题意确定已知线段的长再根据勾股定理列方程进行计算【详解】设BD=米则AD=（）米CD=（）米∵∴解得即树的高度是10+5=15米故答案为：15米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用解析：15米【分析】根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．【详解】设BD=x 米，则AD=（10x +）米，CD=（30x -）米，∵222CD AD AC -＝，∴()()222301020x x --+＝，解得5x =．即树的高度是10+5=15米．故答案为：15米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．19．【分析】设OA=OB=BC=CD=a 可知AB=AC=AD=由题意知AC=3即可求出AD 的长；【详解】∵OA=OB=BC=CD ∴设OA=OB=BC=CD=a ∵∠AOD=90°∴AC===∴∵AC==3解析：32【分析】设OA=OB=BC=CD=a ，可知2a ，5a ，10a ,由题意知AC=3，即可求出AD 的长；【详解】∵ OA=OB=BC=CD ，∴ 设OA=OB=BC=CD=a ，∵∠AOD=90°，∴ AC=22AO OC + =()222a a + =5a ， ∴2222(3)10AD OD OA a a a =+=+=，∵AC=5a =3，∴ a=35 ∴ AD=3510⨯=32 故答案为：32．【点睛】本意考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键；20．24【分析】连接AC 在中根据勾股定理求得AC 的长度利用勾股定理逆定理可得为直角三角形根据即可求解【详解】解：连接AC 在中∴∵∴∴为直角三角形∴故答案为：24【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理掌握勾股解析：24【分析】连接AC ，在Rt ACD △中根据勾股定理求得AC 的长度，利用勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据ABCD ABC ACD S SS =-即可求解．【详解】解：连接AC ，，在Rt ACD △中，90ADC ∠=︒，4=AD ，3CD =，∴225AC AD CD =+=，∵13AB =，12BC =，∴222AC BC AB +=，∴ABC 为直角三角形，90ACB ∠=︒，∴112422ABCD ABC ACD S S S AC BC AD CD =-=⋅-⋅=，故答案为：24．【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．（2）根据完全平方公式的变形解答即可．【详解】解：（1）∵大正方形面积为c 2，直角三角形面积为12ab ，小正方形面积为（b ﹣a ）2， ∴c 2＝4×12ab +（a ﹣b ）2＝2ab +a 2﹣2ab +b 2即c 2＝a 2+b 2；（2）由图可知：（b ﹣a ）2＝3，4×12ab ＝13﹣3＝10， ∴2ab ＝10，∴（a +b ）2＝（b ﹣a ）2+4ab ＝3+2×10＝23．【点睛】本题考查了对勾股定理的证明和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键．22．水深12尺，芦苇长13尺【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，如下图，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，解得：x=13，即水深12尺，芦苇长13尺．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．23．（1）AE＝BD，见解析；（2）13【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△BCD，可得AE=BD；（2）由全等三角形的性质可得BD=AE=12，∠CAE=∠CBD=45°，由勾股定理可求DE的长．【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD在△ACE和△BCD中∵EC＝CD，∠ACE＝∠BCD，AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD；（2）如图，由（1）可知：△ACE≌△BCD，∴BD＝AE＝12，∠CAE＝∠CBD＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝ED2，即52＋122＝ED2∴DE＝13；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE≌△BCD是本题的关键．24．（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解；（213（3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可；（4）根据勾股定理画出长为2，22，10的三角形，即可．【详解】（1）∵2121ABC S=⨯÷=，∴ABC 即为所求；（2）∵EF=FG=GD=DE=222313+=，∴正方形DEFG 的面积为13；（3）HI=22345+=；（4）∵KL=22112+=，JL=222222+=，JK=221310+=，且222(2)(22)(10)+=∴JKL 是直角三角形，且周长为3210+．【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．25．DC ＝2．【分析】过点A 作AE ⊥BC 于点E ，则∠AEB=90°，DE=CE ，结合∠ABC=45°可得出∠BAE=45°，进而可得出AE=BE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理可求出BE 的长，即BD+12DC=4，结合BD-DC=1可求出DC 的长．【详解】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，如图所示．∵AD ＝AC ，AE ⊥BC ，∴∠AEB ＝90°，DE ＝CE ．∵∠ABC ＝45°，∴∠BAE ＝45°，∴AE ＝BE ．在Rt △ABE 中，AB ＝∴AE 2+BE 2＝AB 2，即BE 2+BE 2＝（）2，∴BE ＝4，∴BD +12DC ＝4．又∵BD ﹣DC ＝1， ∴DC +1+12DC ＝4， ∴DC ＝2．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出BE 的长是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【分析】（1）先根据垂直的定义可得BDE 和ADC 都是直角三角形，再利用HL 定理证明三角形全等即可；（2）先根据（1）中的全等三角形可得DBE DAC ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得DBE FCM ∠=∠，从而可得DAC FCM ∠=∠，然后根据角的和差、等量代换即可得证；（3）先根据（2）中的全等三角形可得BE CM =，从而可得CM AC m ==，再在Rt ACM △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）AD BC ⊥，90BDE ADC ∠∴∠==︒，∴BDE 和ADC 都是直角三角形，在BDE 和ADC 中，DE DC BE AC =⎧⎨=⎩， ()BDE ADC HL ∴≅；（2）BDE ADC ≅，DBE DAC ∠=∠∴，点F 为BC 的中点，BF CF ∴=，由对顶角相等得：BFE CFM ∠=∠，在BEF 和CMF 中，BF CF BFE CFM EF MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEF CMF SAS ∴≅，FBE FCM ∴∠=∠，即DBE FCM ∠=∠，DAC FCM ∠=∠∴，又在Rt ACD △中，90DAC ACD ∠+∠=︒，90FCM ACD ∴∠+∠=︒，即90ACM ∠=︒，AC MC ∴⊥；（3）如图，连接AM ，BEF CMF ≅，BE CM ∴=，,BE AC AC m ==，CM AC m ∴==，AC MC ⊥，ACM ∴是直角三角形，222AM AC CM m ∴+，即点A 、点M 2m ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．。

人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷及答案解析

八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷分值：120分时间：90分钟一、选择题.（本大题共12道小题，共36分）1．下列线段能组成直角三角形的一组是（）A ．1，2，2B ．3，4，5C ，2D ．5，6，72．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题中的假命题是（）A ．如果∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果222c b a =-，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．如果2()()c a c a b +-=，则△ABC 是直角三角形D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3(如图).以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米5．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足222()()0a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米．A．1B．2C．3D．47．我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）提示：2≈1.414，3≈1.732A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元8．等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．10B．310C．10或310D．4或3109．如图所示，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，DC＝3，则BF的长是（）A．1B．2C．3D．410．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．13米11．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三、股四、则弦五”的记载。

人教版八年级初二数学第二学期勾股定理单元期末复习自检题检测试题

一、选择题1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S ；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S ，其中116S =，245S =，511S =，614S =，则43S S +=（）．A ．86B ．61C ．54D ．482．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=ADD ．F BAQ ∠=∠3．如图，在Rt ABC 中，90BAC ︒∠=，以Rt ABC 的三边为边分别向外作等边三角形'A BC ，'AB C △，'ABC △，若'A BC ，'AB C △的面积分别是10和4，则'ABC △的面积是( )A ．4B ．6C ．8D ．94．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（）A ．32B ．213C ．5D ．65．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A ．内角和为360°B ．对角线互相平分C ．对角线相等D ．对角线互相垂直6．下列说法不能得到直角三角形的（） A ．三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B ．三个边长之比为 3：4：5 的三角形 C ．三个边长之比为 8：16：17 的三角形D ．三个角度之比为 1：1：2 的三角形7．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm ，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm 的点A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm ，则该圆柱底面周长为（）A ．12cmB ．14cmC ．20cmD ．24cm8．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（）A ．6B ．32π C ．2π D ．129．一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4，则它的斜边长为（） A ．5B ．4C ．7D ．4或510．如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边6,8AC BC ==，现将ABC 折叠，使点B 点A 重合，折痕为DE ，则BD 的长为（）A ．7B ．254C ．6D ．112二、填空题11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S 1+S 2+S 3=10，则S2的值是_________．12．如图，点E 在DBC △边DB 上，点A 在DBC △内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD ＝CE ；②∠DCB ＝∠ABD ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2（AD 2+AB 2）．13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．19．如图，E 为等腰直角△ABC 的边AB 上的一点，要使AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，则PB ＋PE 的最小值为____________．20．在Rt ABC 中，90A ∠=︒，其中一个锐角为60︒，23BC =，点P 在直线AC 上（不与A ，C 两点重合），当30ABP ∠=︒时，CP 的长为__________．三、解答题21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长．（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由． 23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .25．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 26．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.27．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．28．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图1，求∠BGD的度数；（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝43，求菱形ABCD的面积．29．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A ．一定是锐角三角形B ．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C ．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】设1S ，2S ，3S 对应的边长为1L ，2L ，3L ，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得23L ，从而计算得到3S ；设4S ，5S ，6S 对应的边长为4L ，5L ，6L ，通过圆形面积和勾股定理性质，得24L ，从而计算得到4S ，即可得到答案．【详解】分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S ，2S ，3S 则1S ，2S ，3S 对应的边长设为1L ，2L ，3L 根据题意得：21111133162S L L === 222345S L == ∴213L =，223L =∵222132L L L +=∴22232129L L L =-=∴233292944S L === 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为4S ，5S ，6S 则4S ，5S ，6S 对应的边长设为4L ，5L ，6L 根据题意得：2255511228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 2266614228L S L ππ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭ ∴25811L π=⨯，26814L π=⨯ ∵222564L L L += ∴()22245688111425L L L ππ=+=⨯+=⨯ ∴2448S 252588L πππ==⨯⨯= ∴43292554S S +=+=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算的性质，从而完成求解．2．C解析：C【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案．【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠=∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠∴EBH DCH ∠=∠又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确；∵90AEF ∠=∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠=∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠=∴222AQ AD QD =+∵0QD ≠∴AQ AD ≠∴AF AD ≠故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解． 3．B解析：B【分析】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，用a 、b 、c 分别表示'A BC ，'AB C △，'ABC △的面积，再利用Rt ABC 得b 2+c 2=a 2，求得c 值代入即可求得的面积'ABC △的面积.【详解】设AB=c ，AC=b ，BC=a ，由题意得'A BC 的面积=13102a a ⋅=，'AB C △的面积=13422b b ⋅⋅= ∴24033a =， 21633b = 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，b 2+c 2=a 2，∴c 2=a 2-b 2=4016338333-= ∴'ABC △的面积=21332c c c ⋅⋅==3836⨯= 故此题选B【点睛】此题考察勾股定理的运用，用直角三角形的三边分别表示三个等边三角形的面积，运用勾股定理的等式求得第三个三角形的面积4．D解析：D【分析】先根据B （3m ，4m+1），可知B 在直线y=43x+1上，所以当BD ⊥直线y=43x+1时，BD 最小，找一等量关系列关于m 的方程，作辅助线：过B 作BH ⊥x 轴于H ，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH 2=EH•FH ，列等式求m 的值，得BD 的长即可．【详解】解：如图,∵点B(3m ，4m+1)，∴令341m x m y =⎧⎨+=⎩， ∴y=43x+1， ∴B 在直线y=43x+1上， ∴当BD ⊥直线y=43x+1时，BD 最小，过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，∵BE在直线y=43x+1上，且点E在x轴上，∴E(−34，0)，G(0，1)∵F是AC的中点∵A(0，−2)，点C(6，2)，∴F(3，0)在Rt△BEF中，∵BH2=EH⋅FH，∴(4m+1)2=(3m+34)(3−3m)解得：m1=−14(舍)，m2=15，∴B(35，95)，∴=6，则对角线BD的最小值是6；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．5．C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 6．C解析：C三角形内角和180°，根据比例判断A 、D 选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B 、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形； D 中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；B 中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x 、4x 、5x ，满足：()()()222345x x x +=，是直角三角形；C 中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x 、16x 、17x ，()()()22281617x x x +≠，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理. 7．D解析：D【分析】将容器侧面展开，建立A 关于EG 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求．【详解】解：如图：将圆柱展开，EG 为上底面圆周长的一半，作A 关于E 的对称点A'，连接A'B 交EG 于F ，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长，即AF+BF=A'B=20cm ，延长BG ，过A'作A'D ⊥BG 于D ，∵AE=A'E=DG=4cm ，∴BD=16cm ，Rt △A'DB 中，由勾股定理得：22201612-=cm∴则该圆柱底面周长为24cm ．故选：D ．本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．8．A解析：A【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）；以AC为直径的半圆的面积S2=98π（cm2）；以BC为直径的半圆的面积S3=258π（cm2）；S△ABC=6（cm2）；∴S阴影=S1+S2+S△ABC-S3=6（cm2）；故选A．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．9．D解析：D【分析】根据题意，可分为已知的两条边的长度为两直角边，或一直角边一斜边两种情况，根据勾股定理求斜边即可．【详解】当3和4为两直角边时，由勾股定理，得：22345+=；当3和4为一直角边和一斜边时，可知4为斜边．∴斜边长为4或5．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，关键是根据题目条件进行分类讨论，利用勾股定理求解．解析：B【分析】由折叠的性质得出AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中根据勾股定理列方程即可得出答案．【详解】解：∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD=BD，设BD=x，则CD=8-x，在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴62+（8-x）2=x2，解得x= 25 4∴BD=254．故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．二、填空题11．103．【解析】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=103，所以S2=x+4y=103．考点：勾股定理的证明．12．①③【分析】①由已知条件证明DAB≌EAC即可；②由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°；③由∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°可判断③；④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断【详解】解：∵∠DAE ＝∠BAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵AD ＝AE ，AB ＝AC ，∴∠AED=∠ADE=∠ABC=∠ACB=45°， ∵在DAB 和EAC 中，AD AE DAB EAC AB AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝， ∴DAB ≌EAC ，∴BD ＝CE ，∠ABD ＝∠ECA ，故①正确；由①可得∠ABD=∠ACE<45°，∠DCB>45°故②错误；∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=∠ACE+∠ECB+∠ABC =45°+45°=90°，∴∠CEB ＝90°，即CE ⊥BD ，故③正确；∴BE 2＝BC 2－EC 2＝2AB 2－（CD 2﹣DE 2）＝2AB 2－CD 2+2AD 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2． ∴BE 2＝2（AD 2+AB 2）－CD 2，故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．13．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺）， 222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．14．2连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.15．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=2222AB+BC=3+4=5；∵DE垂直平分AC，垂足为F，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∴△AFD∽△CBA，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．16．【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB，CE=2CD∵AB=3，AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键．17．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.18．485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD ⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485. 19．5【解析】试题分析：作点B 关于AC 的对称点F ，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB +PE 的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求AF 的长，证明△ADF ≌△CDB ，可以解决这个问题，从而得出EF =5，则PB +PE 的最小值为5．解：如图，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，并截取DF =BD ，连接EF 交AC 于P ，连接PB 、AF ，则此时PB +PE 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =CB ,∠ABC =90°，AD =DC ，∴∠BAC =∠C =45°，∵∠ADF =∠CDB ，∴△ADF ≌△CDB ，∴AF =BC ,∠FAD =∠C =45°，∵AE =3，BE =1，∴AB =BC =4，∴AF =4，∵∠BAF =∠BAC +∠FAD =45°+45°=90°,∴由勾股定理得：EF =22AF AE +=2243+=5，∵AC 是BF 的垂直平分线，∴BP =PF ，∴PB +PE =PF +PE =EF =5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.20．23或2或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30°角直角三角形与勾股定理解答．【详解】解：如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC 是等边三角形， ∴23CP BC ==；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°-30°=30°，∴PC=PB ， ∵23BC = ∴222213,(23)(3)32AB BC AC BC AB ===-=-=，在Rt △APB 中，根据勾股定理222AP AB BP +=,即222()AC PC AB PC -+=,即222(3)3)PC PC -+=，解得2PC =，如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°， ∴12BP PC = 在Rt △BCP 中，根据勾股定理222BP BC PC +=, 即2221()(23)2PC PC +=,解得PC=4（已舍去负值）．综上所述，CP 的长为232或4．故答案为：32或4．【点睛】本题考查含30°角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理．理解直角三角形30°角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键．三、解答题21．BF 的长为32【分析】先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．【详解】解：连接BF ．∵CA=CB ，E 为AB 中点∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．22．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．【详解】解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，∴∠EAC+∠CAB=90°，∴AE ⊥BD ；（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6；如图4，若点D 在BA 的延长线上，∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，∴△ACE ≌△BCD （SAS ）∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，∴∠EAB=90°，∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，∴PA=AQ ，∵EP=EQ=5，AE=BD=4，∴AQ=22=2516=3EQ AE --，∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．23．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64,所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以22228373AC OA +=+所以73在Rt △BCD 中,CD=()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8 所以AB=22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.24．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC =84=45++∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅ ∴8545∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．25．（1）2，2）证明见解析（3）7（4【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，∴122BC AB ==，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，DE =∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4， ∴22=27CD AC AD =+， ∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴2217BF =；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则253333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3PE PQ EQ =+；综上，PE 23221. 【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.26．(1)①见解析；②()22012x y x x-=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），∴EB=ED ，∠CBE =∠1，∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，∴∠EBC +∠EFC =180°，∵∠EFC +∠2=180°，∴∠EBC =∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF ，∴BE=EF .②解：∵正方形ABCD 2，∴对角线AC =2.将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2，则△BAE ≌△BCP ，∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.27．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用28．（1）∠BGD ＝120°；（2）见解析；（3）S 四边形ABCD ＝【解析】【分析】（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题；【详解】（1）解：如图1﹣1中，。

人教版数学八年级下册第17章《勾股定理》单元检测题含答案解析

八年级数学第17章《勾股定理》单元检测题分值：120分时间：90分钟一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. 1，2，3B. 4，5，6C. 9，12，15D. 1，，2.下列命题的逆命题是真命题的是A. 若，则B. 两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等C. 全等三角形的对应角相等D. 若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形3.如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是，1，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点点D在点B的右侧，则点D所表示的数是A. B. C. D.4.一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为A. 13B.C.D.5.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是A.5米B. 6米C. 7米D. 8米（第5题图）（第6题图）6.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为A. 9B. 6C. 4D. 37.如图，在中，，，，则的面积为．A.24B. 36C. 48D. 60（第7题图）8.如图，一架长的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为，如果梯子的顶端B下滑至，那么梯子底端将滑动A. B. C. D.9.以下定理，其中有逆定理的是A. 对顶角相等B. 互为邻补角的角的平分线互相垂直C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D. 直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方10.如图，中，，，，将折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是A. B. 2 C. D.11.如图，有两条公路OM，ON相交成，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖拉机中心50米的范围内均会受到噪音影响，已知有两台相距40米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为10米秒，则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间为A. 6秒B. 8秒C. 10秒D. 18秒12.如图，已知：，点、、在射线ON上，点、、在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为______．14.已知x，y，z均为正数，且，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为___________．15.如图是“赵爽弦图”，、、和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形如果，，那么AH等于．16.如图，等腰和中，，连接若，，则四边形ABCD的面积是___________17.如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A、B、C、D的面积之和为，最大的正方形边长为______cm．18.如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________杯壁厚度不计．三、解答题（本大题共6小题，共66分）19.如图，在中，，于点D，，，求BD的长．20.如图，将四边形ABCD的土地绿化，测得，，，，且，若每平方米草皮120元，问共需多少钱？21.如图，在四边形ABCD中，，．求证：；过点B作，垂足为E，求证：．22.如图所示，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得，，，．连接AB，求两个送奶站之间的距离；有一人从点C处出发沿永定路边向右行走，速度为，多长时间后这个人距B送奶站最近？并求出最近距离．23.如图，是等腰直角三角形，，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且。

人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试卷 (word版,含解析)

人教版八年级下册第17章《勾股定理》单元测试卷满分120分一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．下列各组数中,是勾股数的一组是( )A ．6,7,8B ．5,12,13C ．0.6,0.8,1D ．2,4,52．下列线段a ,b ,c 能组成直角三角形的是( )A ．2a =,3b =,4c =B ．4a =,5b =,6c =C ．1a =,2b =,3c = D ．7a =,3b =,6c =3．如图,在四边形ABCD 中,90DAB BCD ∠=∠=︒,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若14135S S +=,349S =,则2(S = )A ．184B ．86C ．119D ．814．如图,在22⨯的网格中,有一个格点ABC ∆,若每个小正方形的边长为1,则ABC ∆的边AB 上的高为( )A ．22B ．55C ．510D ．15．如图,在高为3米,斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯,则地毯的长度至少要( )A ．4米B ．5米C ．6米D ．7米6．若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是( )A ．13B ．13或119C ．119D ．12或137．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈(10尺）,中部一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面( )尺．A ．4B ．3.6C ．4.5D ．4.558．如图,一轮船以12海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行,另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口2小时后两船相距( )A ．13海里B ．16海里C ．20海里D ．26海里 9．如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A ．45aB ．34aC ．23aD ．12a10．如图,在DEF ∆中,90D ∠=︒,:1:3DG GE =,GE GF =,Q 是EF 上一动点,过点Q 作QM DE ⊥于M ,QN GF ⊥于N ,43EF =,则QM QN +的长是( )A ．43B ．32C ．4D ．23二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．在Rt ABC ∆中,斜边2AB =,则222AB BC AC ++= ．12．直角坐标平面内的两点(4,5)P -、(2,3)Q 的距离为．13．周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为．14．一架云梯长2.5米,如图斜靠在一面墙上,梯子的底端离墙0.7米,如果梯子的顶端下滑了0.4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了米．15．将一根长为30cm 的细木棒放入长、宽、高分别为8cm 、6cm 和24cm 的长方体有盖盒子中,在M 处是盒子的开口处,设细木棒露在杯子外面的长度是为h cm ,则h 的取值范围是．16．如图,1OP =,过点P 作1PP OP ⊥,且11PP =,得12OP；再过点1P 作121PP OP ⊥且121PP =,得23OP =；又过点2P 作232P P OP ⊥且231P P =,得32OP =⋯,依此法继续作下去,得2022OP = ．三．解答题（共9小题,满分66分）17．（6分）在ABC ∆中,90C ∠=︒,AB c =,BC a =,AC b =．（1）6a =,8b =,求c ；（2）8a =,17c =,求b ．18．（6分）如图所示的一块地,90ADC ∠=︒,16AD m =,12CD m =,52AB m =,48BC m =,求这块地的面积．19．（6分）小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m ,当他把绳子的下端拉开5m 后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高．20．（6分）如图,在四边形ABCD 中,60A ∠=︒,90B D ∠=∠=︒,3AD =,2BC =．求AB 的长．21．（8分）如图,在ABC ∆中,点D 是BC 边上一点,连接AD ．若10AB =,17AC =,6BD =,8AD =．（1）求ADB ∠的度数；（2）求BC 的长．22．（8分）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处,过了2秒后,小汽车行驶至B 处,若小汽车与观测点间的距离AB 为50米,请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？23．（8分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2,410因为22224202(10)+==⨯,所以这个三角形是奇异三角形．（1）若ABC ∆三边长分别是2,22和6,判断此三角形是否奇异三角形,说明理由；（2）若Rt ABC ∆是奇异三角形,直角边为a 、()b a b <,斜边为c ,求::a b c 的值．（比值从小到大排列）24．（9分）某游乐场部分平面图如图所示,点C 、E 、A 在同一直线上,点D 、E 、B 在同一直线上,DB AB ⊥．测得A 处与E 处的距离为80m ,C 处与E 处的距离为40m ,90C ∠=︒,30BAE ∠=︒．（1）请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；（2）请求出海洋球D 处到出口B 处的距离；（3）判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等,请证明；若不相等,请说明理由．25．（9分）已知ABC ∆中,90B ∠=︒,8AB cm =,6BC cm =,P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点,其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿B C A→→方向运动,在BC边上的运动速度是每秒2cm,在AC边上的运动速度是每秒1.5cm,它们同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止,设运动时间为t秒．（1）出发2秒后,求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时,t为何值时,ACQ∆的面积是ABC∆面积的13；（3）当点Q在边CA上运动时,t为何值时,PQ将ABC∆周长分为23:25两部分．参考答案一．选择题（共10小题,满分30分,每小题3分）1．【解答】解：A 、222678+≠,6∴,7,8不是一组勾股数,本选项不符合题意；B 、22251213+=,5∴,12,13是一组勾股数,本选项符合题意；C 、0.6,0.8,1不都是正整数,0.6∴,0.8,1不是一组勾股数,本选项不符合题意； D 、222245+≠,2∴,4,5不是一组勾股数,本选项不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：A 、222234+≠,不能组成直角三角形,不符合题意； B 、222456+≠,不能组成直角三角形,不符合题意；C 、2221+=,能组成直角三角形,符合题意；D 、222+≠,不能组成直角三角形,不符合题意；故选：C ．3．【解答】解：由题意可知：21S AB =,22S BC =,23S CD =,24S AD =,连接BD ,在直角ABD ∆和BCD ∆中,22222BD AD AB CD BC =+=+,即1432S S S S +=+,因此21354986S =-=,故选：B ．4．【解答】解：如图,过点C 作CD AB ⊥于D ,在直角ABE ∆中,90AEB ∠=︒,1AE =,2BE =,则由勾股定理知,AB ==由1122AE BC AB CD ⋅=⋅知,AE BCCD AB ⋅===．故选：B ．5．【解答】解：在Rt ABC ∆中,224AC AB BC =-=米, 故可得地毯长度7AC BC =+=米,故选：D ．6．【解答】解：当12是斜边时,它的斜边长是12；当12是直角边时,它的斜边长2212513=+=；故它的斜边长是：12或13．故选：D ．7．【解答】解：如图,由题意得：90ACB ∠=︒,3BC =尺,10AC AB +=尺, 设折断处离地面x 尺,则(10)AB x =-尺,在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：2223(10)x x +=-, 解得： 4.55x =,即折断处离地面4.55尺．故选：D ．8．【解答】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向, 90BAC ∴∠=︒,两小时后,两艘船分别行驶了12224⨯=（海里）,5210⨯=（海里）, 22241026+=（海里）．答：离开港口2小时后两船相距26海里,故选：D ．9．【解答】解：如图,当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b 最短, 此时b 就是圆柱形的高,即12b cm =；16124()a cm ∴=-=,当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b 最长, 2212513()b cm =+=,∴此时3a =,所以34a ．故选：B ．10．【解答】解：连接QG ．:1:3DG GE =,∴可以假设DG k =,3EG k =,GF EG =,90D ∠=︒,3FG k ∴=,2222DF FG DG k =-=, 43EF =,222EF DE DF =+,2248168k k ∴=+,2k ∴或2,4DF ∴=,111222EFG S EG DF EG QM GF QN ∆=⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅, 4QM QN DF ∴+==,故选：C ．二．填空题（共6小题,满分24分,每小题4分）11．【解答】解：222AB BC AC =+,2AB =,2228AB BC AC ∴++=．故答案为：8．12．【解答】解：根据题意得PQ =故答案为：．13．【解答】解：设直角三角形两直角边长为a ,b ,该直角三角形的周长为24,其斜边长为10,24()10a b ∴-+=,即14a b +=,由勾股定理得：22210100a b +==,22()14a b +=,222196a b ab ∴++=,即1002196ab +=,48ab ∴=,∴直角三角形的面积1242ab ==, 故答案为：24．14．【解答】解：设子的底端在水平方向滑动了x 米,根据勾股定理得：2.4=；又梯子下滑了2米,即梯子距离地面的高度为(2.40.4)2-=,根据勾股定理：2222.52(0.7)x=++,解得：0.8x=或 2.2-（舍去）．即梯子的底端在水平方向滑动了0.8米,故答案为：0.8．15．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为226810()cm+=,盒子的对角线长：22102426()cm+=,细木棒长30cm,故细木棒露在盒外面的最短长度是：30264()cm-=．所以细木棒露在外面的最短长度是4厘米．当细木棒竖直放置时,细木棒露在盒外面的最长长度是30246()cm-=, 所以细木棒露在外面的最长长度是6厘米．所以h的取值范围是46h,故答案为：46h．16．【解答】解：1OP=,12OP=,23OP=,34OP=,20222023OP∴=．故答案为：2023．三．解答题（共9小题,满分66分）17．【解答】解：（1）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,6BC a==,8AC b==, 22226810c AB a b∴==+=+=；（2）在Rt ABC∆中,90C∠=︒,8BC a==,17AB c==,222217815b ACc a∴==-=-=．18．【解答】解：连接AC,在Rt ACD∆中,12CD m=,16AD m=,由222AD CD AC +=,解得20AC m =,在ABC ∆中,52AB m =,20AC m =,222220482704AC CB +=+=,22522704AB ==,222AC CB AB ∴+=,ABC ∴∆为直角三角形,要求这块地的面积,求ABC ∆和ACD ∆的面积之差即可,ABC ACD S S S ∆∆=-1122AC BC CD AD =⨯-⨯ 112048121622=⨯⨯-⨯⨯ 48096=-2384m =,答：这块地的面积为2384m ．19．【解答】解：设旗杆的高AB 为xm ,则绳子AC 的长为(1)x m + 在Rt ABC ∆中,222AB BC AC +=2225(1)x x ∴+=+解得12x =12AB ∴=∴旗杆的高12m ．20．【解答】解：延长DC 交AB 的延长线于点E ,90B D ∠=∠=︒,60A ∠=︒,3AD =,2BC =,30E ∴∠=︒,26AE AD ∴==,24CE BC ==,BE ∴===6AB AE BE ∴=-=-21．【解答】解：（1）2222226810BD AD AB +=+==,ABD ∴∆是直角三角形,90ADB ∴∠=︒；（2）在Rt ACD ∆中,2215CD AC AD =-=,61521BC BD CD ∴=+=+=,答：BC 的长是21．22．【解答】解：90ACB ∠=︒∴由勾股定理可得：2222503040BC AB AC =--=,40米0.04=千米,2秒11800=小时． 10.0472701800÷=>．所以超速了．23．【解答】解：（1）2222(22)122(6)+==⨯,ABC ∴∆是奇异三角形,（2）Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,222a b c ∴+=,c b a >>,2222c b a ∴>+,2222a b c <+,Rt ABC ∆是奇异三角形,2222b a c ∴=+,22222b a a b ∴=++,222b a ∴=,2b a ∴=,222a b c +=,223c a ∴=,c ∴,::a b c ∴=24．【解答】解：（1）在Rt ABE ∆中,30BAE ∠=︒,118040()22BE AE m ∴==⨯=, ∴旋转木马E 处到出口B 处的距离为40m ；（2）30BAE ∠=︒,CED AEB ∠=∠,90C ABE ∠=∠=︒30D BAE ∴∠=∠=︒,280()DE CE m ∴==,8040120()DE BE m ∴+=+=,∴海洋球D 处到出口B 处的距离为：120m ；（3）在Rt CDE ∆与Rt ABE ∆中,由勾股定理得：)AB m ==,)CD m ==,AB CD ∴=,∴入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离相等．25．【解答】解：（1）当2t s =时,点Q 在边BC 上运动,则2AP cm =,24()BQ t cm ==,8AB cm =,826()BP AB AP cm ∴=-=-=,在Rt BPQ ∆中,由勾股定理可得)PQ cm =,PQ ∴的长为；（2）12ACQ S CQ AB ∆=⋅,12ABC S BC AB ∆=⋅,点Q 在边BC 上运动时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13,1162()33CQ BC cm ∴==⨯=,624()BQ BC CQ cm ∴=-=-=,422t ∴==,∴当点Q 在边BC 上运动时,t 为2时,ACQ ∆的面积是ABC ∆面积的13；（3）在Rt ABC ∆中,由勾股定理得：10()AC cm =, 当点P 达到点B 时,881t ==,当点Q 达到点A 时,610292 1.53t =+=,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止, 08t ∴,AP t =cm ,(8)BP t cm ∴=-,点Q 在CA 上运动时,61.5()(1.5 4.5)()2CQ t t cm =⨯-=-,10(1.5 4.5)( 1.514.5)()AQ t t cm ∴=--=-+,86 1.5 4.5(0.59.5)()BP BC CQ t t t cm ∴++=-++-=+,( 1.514.5)(0.514.5)()AP AQ t t t cm +=+-+=-+, 分两种情况： ①2325BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5230.514.525t t +=-+,解得：4t =,经检验,4t =是原方程的解,4t ∴=； ②2523BP BC CQAP AQ ++=+, 即0.59.5250.514.523t t +=-+,解得：6t =,经检验,6t =是原方程的解,6t ∴=；综上所述,当点Q 在边CA 上运动时,t 为4或6时,PQ 将ABC ∆周长分为23:25两部分．。

人教版初中数学八年级下册第十七章《勾股定理》单元检测题(含答案)

三、解答题
18．如图,在△ABC中，AD⊥BC,AB=5，BD=4,CD= ．
(1）求AD的长．
（2)求△ABC的周长．
19．如图，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4,CD＝12，AD＝13.求四边形ABCD的面积．
20．如图所示，在中，，，在中，为边上的高，，的面积．
( )求出边的长．
《勾股定理》单元检测题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）
A。1、1、 B.5、12、13C。3、5、7D。6、8、10
2．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（）
A.底与腰不相等的等腰三角形B.直角三角形
C。钝角三角形D。等边三角形
A。3 mB。2。5 mC.2.25 mD。2 m
二、填空题
13．若一个三角形的三边长分别为3 m,4 m，5 m，那么这个三角形的面积为___。
14．如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为米．
15．如图所示的一块地, ， , , ， ,求这块地的面积__________．
A.锐角弯B。钝角弯C。直角弯D.不能确定
9．如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=2,点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD= ,则BC的长为（）
A。 B. C. D。
10．下列说法中正确的是（）
A.已知是三角形的三边,则
B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方来自C。在Rt△ 中，∠ °,所以
则△ABC的周长=AB+AC+BC=5+4+ +2 =9+3 。

八年级初二数学下学期勾股定理单元达标质量专项训练试题

八年级初二数学下学期勾股定理单元达标质量专项训练试题一、选择题1．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（） ①222a c b -=;②2()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（）A ．2539+B ．2539+C ．18253+D ．25318+3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的中垂线交AC 于D ，P 是BD 的中点，若BC ＝4，AC ＝8，则S △PBC 为（）A ．3B ．3.3C ．4D ．4.54．如图，分别以直角ABC ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123,,S S S 表示，若27S =，32S =，那么1S =（）A ．9B ．5C ．53D ．455．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c ===C ．::3:4:5a b c =D ．11,12,13a b c ===6．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（） A ．a =3，b =4，c =6B ．a =5，b =6，c =7C ．a =6，b =8，c =9D ．a =7，b =24，c =257．如图，在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（）A ．8B ．16C ．32D ．648．将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm ，高 8cm 的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为 hcm ，则 h 的取值范围是（） A ．h≤15cmB ．h≥8cmC ．8cm≤h≤17cmD ．7cm≤h≤16cm9．长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm 五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．12．在△ABC 中，若222225,75a b a b c -+===，，则最长边上的高为_____． 13．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC ∆的周长为_______________． 14．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．15．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.16．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．17．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号) ①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°18．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．19．在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB ，且3，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD 的长是____________．20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.三、解答题21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．22．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形； (2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．23．如图，在两个等腰直角ABC 和CDE △中，∠ACB = ∠DCE=90°．（1）观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A 、E 、D 三点在直线上时，请直接写出 AD 的长．24．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠.求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P是直线AC上的一点，且13CP AC=，连接PE，直接写出PE的长.27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n6m-n﹣12）2＝0．（1）求直线AB的解析式及C点坐标；（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．29．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AC，BC上的点，且满足DE⊥EF，垂足为点E，连接DF．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE交AB于点G，连接FG，如图2，猜想AG，GF，FC三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G是AB的中点，求△BFG的面积；②设AG=a，CF=b，△BFG的面积记为S，试确定S与a，b的关系，并说明理由．30．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____；（2）猜想一般结论在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________；③若为钝角三角形，则满足_____________．（探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（）A．一定是锐角三角形B．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确； ∵2()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B=90°，故③正确；∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴318090123C ∠=︒⨯=︒++，故④正确；∵222111()()()453+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误； ∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确； ∴能构成直角三角形的有5个；故选择：D. 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形.2．A解析：A 【解析】分析：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积．详解：∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，∴AE2=PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°．∴∠APF=30°，∴在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=3AP=332．∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+332）2+（32）2=25+123．则△ABC的面积是3•AB2=3•（25+12）253故选A．点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt △BCD 中，BC 2+CD 2＝BD 2，即42+（8﹣BD ）2＝BD 2，解得，BD ＝5，∴CD ＝8﹣5＝3，∴△BCD 的面积＝12×CD ×BC ＝12×3×4＝6， ∵P 是BD 的中点，∴S △PBC ＝12S △BCD ＝3，故选：A ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB 2=BC 2+AC 2，∵S 1=AB 2，S 2=BC 2，S 3=AC 2，∴S 1=S 2+S 3．∵S 2=7，S 3=2，∴S 1=7+2=9．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．5．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．【详解】解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．6．D解析：D【解析】A选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．故选D．7．D解析：D【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．故选：D．【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.8．C解析：C【分析】筷子浸没在水中的最短距离为水杯高度，最长距离如下图，是筷子斜卧于杯中时，利用勾股定理可求得.【详解】当筷子笔直竖立在杯中时，筷子浸没水中距离最短，为杯高=8cmAD是筷子，AB长是杯子直径，BC是杯子高，当筷子如下图斜卧于杯中时，浸没在水中的距离最长由题意得：AB=15cm ，BC=8cm ，△ABC 是直角三角形∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AC=17cm∴8cm≤h≤17cm故选：C【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是将题干中生活实例抽象成数学模型，然后再利用相关知识求解.9．B解析：B【解析】试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，故选B ．考点：勾股定理的逆定理点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．10．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．二、填空题11．5【解析】试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．考点：勾股定理的逆定理，12．125【分析】解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4，b=3，故三角形ABC 是直角三角形，在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解：∵222225,7a b a b +=-=，将两个方程相加得：2232a =，∵a ＞0，∴a=4代入得：22425b +=，∵b ＞0，∴b=3，∵a=3，b=4，c=5满足勾股定理逆定理，∴△ABC 是直角三角形，如下图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，1122ABC S AC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ ，即：1134522CD ⋅⋅=⋅⋅，解得：CD=125，故答案为：125. 【点睛】本题考查求解三角形的高，解题关键是利用三角形的面积进行转化，在同一个三角形中，一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.13．32或42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC ，即可得到答案【详解】当△ABC 是钝角三角形时，∵∠D=90°，AC=13，AD=12，∴222213125CD AC AD =-=-=,∵∠D=90°，AB=15，AD=12，∴222215129BD AB AD =-=-=,∴BC=BD-CD=9-5=4，∴△ABC 的周长=4+15+13=32；当△ABC 是锐角三角形时，∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，∴2222CD AC AD=-=-=，13125∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，∴2222=-=-=，BD AB AD15129∴BC=BD-CD=9+5=14，∴△ABC的周长=14+15+13=42；综上，△ABC的周长是32或42，故答案为：32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 14．72965【分析】分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229+DE BE（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265+DE BE故答案为：72965【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．15．21【分析】在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．【详解】如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC=∠EAC ．在△AEC 和△ADC 中，AE AD DAC EACAC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ADC ≌△AEC （SAS ），∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，又∵CF ⊥AB ，∴EF=BF ，设EF=BF=x ．∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，∴x=6，∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，∴AB的长为21．故答案是：21.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．16．4或2510【分析】分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=2+2=4；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°．又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=222 2=在Rt△BAC中，BC2222=+=22BD22222222BE DE（）（）=+=++= 5③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=AC sin45°=222 =又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°．又∵在Rt△ABC中，BC22=+=22，22∴BD2222=+=+=（）（）．BC CD22210故BD的长等于4或510．故答案为4或510．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，17．①②③【解析】【详解】解：∵△ABC是等边三角形，ABC∴∠=，60∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC∴△BPQ是等边三角形，①正确.∴PQ=BP=4，222222+=+===，PQ QC PC4325,525222PQ QC PC∴+=，∴∠=，即△PQC是直角三角形，②正确.90PQC∵△BPQ是等边三角形，∴∠=∠=，60PBQ BQP∵△BQC≌△BPA，∴∠APB=∠B QC，∴∠=∠=+=，③正确.BPA BQC6090150APC QPC QPC∴∠=---∠=-∠，36015060150，，∠=≠PQC PQ QC90∴∠≠，45QPC即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.18．22- 【分析】根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2，由勾股定理可得2222AB AC BC =+=，∴222=-BM ，∵∠B=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．19．3或3或15【分析】根据直角三角形的性质求出BC ，勾股定理求出AB ，根据直角三角形的性质列式计算即可．【详解】解：如图∵∠B=90°，∠A=30°， ∴BC=12AC=12×8=4，由勾股定理得，22228443AC BC -=-=43333AD ∴==当点P 在AC 上时，∠A=30°，AP=2PD ，∴∠ADP=90°，则AD 2+PD 2=AP 2，即（32=（2PD ）2-PD 2，解得，PD=3，当点P 在AB 上时，AP=2PD ，3∴3当点P 在BC 上时，AP=2PD ，设PD=x ，则AP=2x ，由勾股定理得，BP 2=PD 2-BD 2=x 2-3，()(222233x x ∴-=-解得，15 故答案为：3315【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．2022+【分析】依次求出在Rt △OAB 中，OA 1＝2；在Rt △OA 1B 1中，OA 2＝2OA 1＝（2）2；依此类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6）6，由此可求出△OA 6B 6的周长．【详解】 ∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，∴在Rt △OA 1B 1中OA 1＝2OA ＝2，在22Rt OA B ∆中OA 2＝2OA 1＝（2）2， …故在Rt △OA 6B 6中OA 6OA 5）6= OB 666A B OB 6=8故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．故答案为：28+ 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．三、解答题21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(2y x =【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM BM ，进而可得BE +CF （BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．∵点D是线段BC的中点，∴BD＝DC＝12BC＝2．∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，∴BE＝12BD＝1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．∵∠A＝60°，∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF．在△MBD和△NCD中，∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，∴△MBD≌△NCD（AAS），∴BM＝CN，DM＝DN．在△EMD和△FND中，∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，∴△EMD≌△FND（ASA），∴EM＝FN，∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝12BC＝12AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．22．(1) 出发10s 后，△BMN 为等边三角形；(2)出发6s 或15s 后，△BMN 为直角三角形．【分析】（1）设时间为x ，表示出AM=x 、BN=2x 、BM=30-x ，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM 列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN 列方程求解可得．【详解】解 (1)设经过x 秒，△BMN 为等边三角形，则AM ＝x ，BN ＝2x ，∴BM ＝AB －AM ＝30－x ，根据题意得30－x ＝2x ，解得x ＝10，答：经过10秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过x 秒，△BMN 是直角三角形，①当∠BNM ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)，解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°， ∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ，解得x ＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.23．（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由见解析；（3）14或2．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB =，再分①点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，②点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得．【详解】（1）AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥；（2）成立，理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE △和BCD 中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥；（3）设AD x =，10,90AC BC ACB ==∠=︒，2102AB AC ∴==，由题意，分以下两种情况：①如图3-1，点,,A E D 在直线上，且点E 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==-=-，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x +-=，解得14x =或2x =-（不符题意，舍去），即14AD =，②如图3-2，点,,A E D 在直线上，且点D 位于中间，同理可证：AE BD =，AE BD ⊥，12DE =，12BD AE AD DE x ∴==+=+，在Rt ABD △中，222AD BD AB +=，即222(12)(102)x x ++=，解得2x =或14x =-（不符题意，舍去），即2AD =，综上，AD 的长为14或2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键．24．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ；②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD ，DE ，BE 之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD ，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD ≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，3∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（32BF）2∴DE 2= （EB+12AD ）2+（32AD ）2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．25．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′D B=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.26．（1）2，232）证明见解析（3221（423221【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长；（2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；（3）由（1）（2）可知，=23AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =， ∴122BC AB ==，∴22=23AC AB BC =- （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，在Rt △BDE 中，∵122BE AE AB ===，23DE =， ∴22=4BD BE DE =+，∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，∴ABD ∆为等边三角形；（3））由（1）（2）可知，=23AC ，AD=4，∴22=27CD AC AD =+，∵BCD ACD ACBD S SS =+四边形， ∴111()222BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯， ∴221BF =；（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1，∵=23AC ，∴=3CQ QA =，①若点P 在线段AC 上，则23=3333PQ CQ CP =-=， ∴2223PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上，则2533333PQ CQ CP =+=， ∴22221=PE PQ EQ =+；综上，PE 23221.【点睛】本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF的长，二是对点P的位置要分情况进行讨论.27．（1）见详解；（2）①t值为：103s或6s；②t值为：4.5或5或4912．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可；②根据题意得出当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC=5x，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，∴S△ABC=12×5x×4x=40cm2，而x＞0，∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm．由运动知，AM=10-2t，AN=t，①当MN∥BC时，AM=AN，即10-2t=t，∴103t ；当DN∥BC时，AD=AN，∴6=t，得：t=6；∴若△DMN的边与BC平行时，t值为103s或6s．②存在，理由：Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=2时，点M运动到点D，不构成三角形Ⅲ、当点M在DA上，即2＜t≤5时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，∴DE=12AC=5当DE=DM，则2t-4=5，∴t=4.5s；当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=5s；当MD=ME=2t-4，如图，过点E作EF垂直AB于F，∵ED=EA，∴DF=AF=12AD=3，在Rt△AEF中，EF=4；∵BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，∴FM=2t-7在Rt△EFM中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，∴t=49 12．综上所述，符合要求的t值为4.5或5或49 12．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．28．（1）y＝－2x＋12，点C坐标（4，4）；（2）画图形见解析，点D坐标（－4，0）；（3）点P的坐标（143-，643）【分析】（1）由已知的等式可求得m、n的值，于是可得直线AB的函数解析式，把点C的坐标代入可求得a的值，由此即得答案；（2）画出图象，由CD⊥AB知1AB CDk k=-可设出直线CD的解析式，再把点C代入可得CD的解析式，进一步可求D点坐标；（3）如图2，取点F（－2，8），易证明CE⊥CF且CE＝CF，于是得∠PEC＝45°，进一步求出直线EF的解析式，再与直线AB联立求两直线的交点坐标，即为点P.【详解】解：（16m-n﹣12）2＝0，∴m＝6，n＝12，∴A（6，0），B（0，12），设直线AB解析式为y＝kx＋b，则有1260bk b=⎧⎨+=⎩，解得212kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB解析式为y＝－2x＋12，∵直线AB过点C（a，a），∴a＝－2a＋12，∴a＝4，∴点C坐标（4，4）．（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，如图1所示，设直线CD解析式为y＝12x＋b′，把点C（4，4）代入得到b′＝2，∴直线CD解析式为y＝12x＋2，∴点D坐标（－4，0）．（3）如图2中，取点F（－2，8），作直线EF交直线AB于P，图2∵直线EC解析式为y＝32x－2，直线CF解析式为y＝－23x＋203，∵32×（－23）＝－1，∴直线CE⊥CF，∵EC＝13CF＝13。

南阳市八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，AB =A D ．若这个四边形的面积为16，求BC +CD 的值是（）A ．6B ．8C ．42D ．43 2．如图，在数轴上，点A ，B 对应的实数分别为1，3，BC AB ⊥，1BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴正半轴于点P ，则P 点对应的实数为（）A ．51+B ．5C ．53+D ．45- 3．如图，一圆柱高8cm ，底面周长为12cm ，一只蚂蚁从A 点爬到点B ，要爬行的最短路程是（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm 4．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（）A ．29B ．32C ．36D ．455．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ABC 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上．下列结论：其中正确的有（）①△ACE ≌△BCD ；②∠DAB ＝∠ACE ；③AE +AC ＝AD ；④AE 2+AD 2＝2AC 2A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（）A ．4cmB ．5cmC 17cmD ．94cm 7．下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．8，16，17D ．7，24，25 8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1.点Q 在直线BC 上，且AQ ＝2，则线段BQ 的长为（）A 3B 5C 3131-D 5151 9．已知ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边，下列条件中不能判断ABC 是直角三角形的是（）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．C A B ∠=∠-∠ C ．222+=a b cD ．::6:8:10a b c =10．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 11．在△ABC 中，BC=a ，AB=c ，AC=b ，则不能作为判定△ABC 是直角三角形的条件是（）．A ．∠A=∠B-∠CB ．∠A ：∠B ：∠C=2：5：3C ．a ：b ：c =7：24：25 D ．a ：b ：c =4：5：6 12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=4，D 、E 分别为边AC 、BC 上的两点，且AD=CE ，当线段DE 取得最小值时，试在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数是（）A ．6B ．7个C ．8个D ．以上都不对二、填空题13．如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm ，底面圆的周长为10cm ，在杯内离底4cm 的点N 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上2cm 与蜂蜜相对的点M 处，则蚂蚁到达蜂蜜所爬行的最短路程为________cm ．14．长方形零件图ABCD 中，2BC AB =，两孔中心M ，N 到边AD 上点P 的距离相等，且MP NP ⊥，相关尺寸如图所示，则两孔中心M ，N 之间的距离为__________mm ．15．在Rt ABC 中，90,8cm,4cm C BC AC ∠=︒==，在射线BC 上一动点D ，从点B 出发，以1厘米每秒的速度匀速运动，若点D 运动t 秒时，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t 为_____________秒．16．如图，在Rt ABC △中，90ACB ︒∠=，10AB =，8AC =，D 是AB 的中点，M 是边AC 上一点，连接DM ，以DM 为直角边作等腰直角三角形DME ，斜边DE 交线段CM 于点F ，若2MDF MEF S S =，则CF 的长为________．17．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．18．已知：如图，ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，ABD 是等边三角形，则CD 的长度为______．19．在平面直角坐标系中有两点A(5，0)，B(2，1)，如果点C 在坐标平面内，且由点A 、O 、C 连成的三角形与△AOB 全等（△AOC 与△AOB 不重合），则点C 的坐标是_________ 20．如图，在边长为3ABC 中，过点C 作垂直于BC 的直线交∠ABC 的平分线于点P ，则点P 到边AB 所在直线的距离为_________．三、解答题21．在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 为AB 边上的点．（1）连接CE ，DE ，CE DE ⊥；①如图1，若AE BC =，求证：AD BE =；②如图2，若AE BE =，求证：CE 平分BCD ∠；（2）如图3，F 是BCD ∠的平分线CE 上的点，连接BF ，DF ，若4BC =，6CD =，362BF DF ==，求CF 的长． 22．如图1，在ABC 中，17AB =，25AC =，AD 是ABC 的高，且1BD =．（1）求BC 的长；（2）E 是边AC 上的一点，作射线BE ，分别过点A ，C 作AF BE ⊥于点F ，CG BE ⊥于点G ，如图2，若22BE =，求AF 与CG 的和．23．如图，ABC 中，90︒∠=C ，边AB 的垂直平分线交AB 、AC 分别于点D ，点E ，连结BE ．（1）若40A ︒∠=，求CBE ∠的度数；（2）若10AB =，6BC =，求BCE 的周长．24．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面，此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．25．本题分为A ，B 两题，可以自由选择一题，你选择题A ：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m 处，发现此时绳子底端距离打结处2m ，则旗杆的高度为多少米？B ：如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C 处有一筐水果，一只猴子从D 处爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两只猴子所经路程都是16m ，求树高AB ．26．如图，铁路MN 和铁路PQ 在P 点处交汇，点A 处是重庆市第九十四中学，AP ＝160米，点A 到铁路MN 的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．（1）火车在铁路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】本题可通过作辅助线进行解决，延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，先证两个三角形全等，利用直角三角形的面积与四边形的面积相等进行列式求解．【详解】解：延长CB 到E ，使BE=DC ，连接AE ，AC ，∵∠ABE=∠BAC+∠ACB ，∠D=180°-∠DAC-∠DCA ，∵∠BAD=90°，∠BCD=90°，∴∠BAC+∠ACB=90°-∠DAC+90°-∠DCA=180°-∠DAC-∠DCA ，∴∠ABE=∠D ，在△ABE 和△ADC 中，BE DC ABE D AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC(SAS)，∴AE=AC ，∠EAB=∠DAC ，∴∠EAC=90°，∴S△AEC=12AE2=14CE2，∵S△AEC=S四边形ABCD=16，∴14CE2=16，∴CE=8，∴BC+CD=BC+BE=CE=8，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，面积及等积变换问题；巧妙地作出辅助线，把四边形的问题转化为等腰直角三角形来解决是正确解答本题的关键．2．A解析：A【分析】根据题意求出AB，根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴的关系解答即可．【详解】∵点A，B对应的实数分别为1，3，∴AB＝2，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴AC=则AP∴P1，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．3．C解析：C【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】沿着过点A的高将圆柱侧面展开，再过点B作高线BC，如图：则，∠ACB=90°，AC=12⨯12=6（cm），BC=8cm，由“两点之间，线段最短”可知：线段AB的长为蚂蚁爬行的最短路程，在Rt ABC∆中，()22226810AB AC BC cm =+=+=，故选C ．【点睛】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示各线段的长度．4．D解析：D【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．5．C解析：C【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS 证出△ACE ≌△BCD ，①正确；证出△ADB 是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案．【详解】解：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CA ＝CB ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∠E ＝∠CDE ＝45°，∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵∠DAB +∠CAB ＝∠ACE +∠E ，∴∠DAB ＝∠ACE ，故②正确；∴∠ACE +∠ACD ＝∠ACD +∠DCB ＝90°，∴∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△BCD 中，CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），故①正确；∴AE ＝BD ，∠CEA ＝∠CDB ＝45°，∴∠ADB ＝∠CDB +∠EDC ＝90°，∴△ADB 是直角三角形，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴AD 2+AE 2＝AB 2，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB＝2AC ，∴AE 2+AD 2＝2AC 2，故④正确；在AD 上截取DF ＝AE ，连接CF ，如图所示：在△ACE 和△FCD 中， 45AE FD E CDF CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△FCD （SAS）， ∴AC ＝FC ，当∠CAF ＝60°时，△ACF 是等边三角形，则AC ＝AF ，此时AE +AC ＝DF +AF ＝AD ，故③不正确；故选：C ．【点睛】本题是考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，，根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，∵AC=12cm ，∴CE=AE-AC=3cm ，设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，在Rt △CDE 中，根据勾股定理得CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，解得x=4，即CD 长为4cm ．故选：A ．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．7．C解析：C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A 、32+42=52，故是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、52+122=132，故是直角三角形，故本选项不符合题意；C 、82+162≠172，故不是直角三角形，故本选项符合题意；D 、72+242=252，故是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．8．C解析：C【分析】分Q 在CB 延长线上和Q 在BC 延长线上两种情况分类讨论，求出CQ 长，根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：如图1，当Q 在CB 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=， ∴BQ=CQ-BC=31-；如图2，当Q 在BC 延长线上时，在Rt △ACQ 中，2222213CQ AQ AC =-=-=，∴BQ=CQ+BC=31+；∴BQ 3131．故选：C【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键．9．A解析：A【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC 不是直角三角形；B 、因为∠C=∠A-∠B ，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC 是直角三角形； C 、因为a 2+b 2=c 2，故△ABC 是直角三角形；D 、因为a ：b ：c=6：8：10，设a=6x ，b=8x ，c=10x ，（6x ）2+（8x ）2=（10x ）2，故△ABC 是直角三角形．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．10．D解析：D【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．【详解】①∵ABC 为直角三角形，∴22225x y AB +==，故①正确；②由图可知：11x y CE -===，故②正确；③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，由此可得：141252xy ⨯+=，即：2125xy +=，故③正确；④由①③相加可得：222150xy x y +++=，即()249x y +=，故7x y +=，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．11．D解析：D【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理依次判断．【详解】A 、∵∠A=∠B-∠C ，∴∠A+∠C =∠B ，得到∠B=90︒，即△ABC 是直角三角形；B 、设∠A=2x ，∠B=5x ，∠C=3x ，故235180x x x ++=︒，解得x=18︒，∴∠B=5x=90︒，即△ABC 是直角三角形；C 、设a=7x ，则b=24x ，c=25x ，∵222(7)(24)(25)x x x +=，∴222+=a b c ，∴△ABC 是直角三角形；D 、设a=4x ，b=5x ，c=6x ，∵222(4)(5)(6)x x x +≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形；故选：D ．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形根据边或角判定的方法是解题的关键．12．B解析：B【分析】先找出DE 最短时的位置，然后根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，即可求出点P 的个数．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，设AD=CE=x ，则4CD x =-，由勾股定理，得：2222222(4)28162(2)8DE CD CE x x x x x =+=-+=-+=-+， ∴当2x =时，2DE 最小，即DE 最小，∴此时2AD CD CE BE ====，822DE ==；∵在直线AC 或直线BC 上找到一点P ，使得△PDE 是等腰三角形，则可分为三种情况进行分析：PD=PE ；PD=DE ，PE=DE ；如下图所示：点P 共有7个点；故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，完全平方公式的应用，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的确定点P的位置，注意运用数形结合的思想进行解题．二、填空题13．【分析】过N作NQ⊥EF于Q作M关于EH的对称点M′连接M′N交EH于P连接MP则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出M′QNQ根据勾股定理求出M′N即可【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开得解析：55．【分析】过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出M′Q，NQ，根据勾股定理求出M′N即可．【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH 的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵ME=M′E，M′P=MP，∴MP+PN=M′P+PN=M′N，∵NQ=1×10cm=5cm，M′Q=12cm-4cm+2cm=10cm，2在Rt△M′QN中，由勾股定理得：22+=．51055故答案为：55【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．14．【分析】作MQ⊥BCNF⊥AB交于点O作根据AAS证明△得到由得出从而得出OMON的长最后由勾股定理可求出MN【详解】解：作MQ⊥BCNF⊥AB交于点O作MK⊥AB于点K作∵四边形ABCD是矩形∴M解析：262【分析】作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，根据AAS 证明△M PM N NP ''≅∆得到PN MM ''=，NN M P ''=，由2BC AB =得出24NN '=，从而得出OM ，ON 的长，最后由勾股定理可求出MN ．【详解】解：作MQ ⊥BC ，NF ⊥AB 交于点O ，作MK ⊥AB 于点K ，作MM AD '⊥，NN AD '⊥，∵四边形ABCD 是矩形，∴MK//AD//BC∴∠90KMM KMQ '=∠=︒∴M '、M 、Q 三点共线，∵∠90MPN =︒，∴∠90M PM N PN ''+∠=︒，∠90N PN PNN ''+∠=︒∴∠M PM PNN ''=∠又∠90PM M PN N ''=∠=︒，MP PN =∴△M PM N NP ''≅∆∴10PN MM ''==，NN M P ''=又∵10ON M P N P N M N M N N ''''+='=+=+则11AB NN '=+，5054104(10)BC ON NN '=+-=-+又∵2BC AB =，即104(10)2(11)NN NN ''-+=+∴24NN '=∴1014OM NN '=-=，1034ON NN '=+=在Rt OMN ∆中，222214341352262()MN ON OM mm =+=+== 故答案为：2【点睛】此题主要考查了运用勾股定理示线段的长，作辅助线构造直角三角形是解答此题的关键． 15．10和16【分析】求出当△ADB 是等腰三角形时BD 的长用其除以点D 运动的速度即可注意分情况讨论【详解】解：分三种情况如下图1所示当AD=DB 时∵BC=8∴CD=8-BD 又AC=6在RT △ACD 中由勾解析：254、10和16【分析】求出当△ADB是等腰三角形时BD的长，用其除以点D运动的速度即可，注意分情况讨论．【详解】解：分三种情况如下图1所示，当AD=DB时．∵BC=8，∴CD=8-BD又AC=6在RT△ACD中，由勾股定理得2226(8)BD BD+-=解得254 BD=除以点D运动的速度得所用时间t为254秒；如下图2所示，当AB=DB时．由勾股定理得DB=AB=22226810AC BC+=+=，除以点D运动的速度得t为10秒；如下图3所示，当AD=AB时．∵AC⊥BC∴CD=BC=8∴BD=16除以点D 运动的速度得t 为16秒．综上所述，以A 、D 、B 为顶点的三角形恰为等腰三角形，D 所用时间t 为254秒、10秒或16秒．故答案为：254、10或16．【点睛】此题考查等腰三角形的定义和性质，分情况讨论和用勾股定理列方程是关键． 16．3【分析】作DG ⊥AC 于GEH ⊥AC 于H 则∠DGM ＝∠MHE ＝90°DG ∥BC 由勾股定理得出BC ＝6证出DG 是△ABC 的中位线得出DG ＝BC ＝3AG ＝CG ＝AC ＝4证明△MDG ≌△EMH （ASA ）得解析：3【分析】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，由勾股定理得出BC ＝6，证出DG 是△ABC 的中位线，得出DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4，证明△MDG ≌△EMH （ASA ），得出MG ＝EH ，由三角形面积关系得出DG ＝2EH ＝3，得出MG＝EH ＝32，再证明∆DGF~∆EHF ，从而求出GF ，进而即可得出答案．【详解】作DG ⊥AC 于G ，EH ⊥AC 于H ，如图所示：则∠DGM ＝∠MHE ＝90°，DG ∥BC ，∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，AC ＝8， ∴BC6=，∵DG ∥BC ，D 是AB 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ＝12BC ＝3，AG ＝CG ＝12AC ＝4， ∵△DME 是等腰直角三角形，∴∠DME ＝90°，DM ＝ME ，∵∠DMG ＋∠GDM ＝∠DMG ＋∠EMH ＝90°，∴∠GDM ＝∠EMH ，在△MDG 和△EMH 中，DGM MHE DM MEGDM EMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△MDG ≌△EMH （ASA ），∴MG ＝EH ，∵S △MDF ＝2S △MEF ，∴DG ＝2EH ＝3，∴MG ＝EH ＝32， ∵DG ∥EH ，∴∆DGF~∆EHF ，∴21DG GF EH HF ==， ∵GH=MH-MG=DG-MG=3-32=32， ∴GF=32×221+=1， ∴CF=AC-AG-GF=8-4-1=3，故答案是：3．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；添加辅助线，构造三角形全等是解题的关键．17．【分析】由图可知AC 的长根据勾股定理可以求得PAPC 的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状从而可以得到∠CPA 的度数然后即可得到∠BPC=∠C PA−∠APB 的度数【详解】设网格的长度为1则解析：90-α︒【分析】由图可知AC 的长，根据勾股定理可以求得PA 、PC 的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC 的形状，从而可以得到∠CPA 的度数，然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB 的度数．【详解】设网格的长度为1，则223332+=223332+= ，AC=6222AP PC AC +=∴ △PAC 为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒故答案为：90-α︒【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．【分析】由勾股定理求出AB 根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2∠DAB=∠ABD=60°证出AB ⊥CD 于E 且AE=BE=1求出AE=CE=1由勾股定理求出DE 即可得出结果【详解】解：∵∠AC 解析：31+ 【分析】由勾股定理求出AB ，根据等边三角形的性质得出AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，证出AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，求出AE=CE=1，由勾股定理求出DE ，即可得出结果．【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=()()2222222AC BC +=+=，∠CAB=∠CBA=45°， ∵ABD 是等边三角形，∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60°，∵AC=BC ，AD=BD ，∴AB ⊥CD 于E ，且AE=BE=1，在Rt △AEC 中，∠AEC=90°，∠EAC=45°，∴∠EAC=∠ACE=45°，∴AE=CE=1，在Rt △AED 中，∠AED=90°，AD=2，AE=1，∴DE=223AD AE -=，∴CD=31+．31．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识．运用勾股定理求出DE 是解决本题的关键．19．或或【分析】设点C 的坐标为先根据两点之间的距离公式可得的值再根据全等三角形的性质建立方程组解方程组即可得【详解】设点C 的坐标为由题意分以下两种情况：（1）当时则即解得或则此时点C 的坐标为或（与点B 重解析：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)【分析】设点C 的坐标为(,)C a b ，先根据两点之间的距离公式可得2222,,,AC OC AB OB 的值，再根据全等三角形的性质建立方程组，解方程组即可得．【详解】设点C 的坐标为(,)C a b ， (5,0),(0,0),(2,1)A O B ，222(5)AC a b ∴=-+，222OC a b =+，222(25)(10)10AB =-+-=，222(20)(10)5OB =-+-=，由题意，分以下两种情况：（1）当AOC AOB ≅时，则,AC AB OC OB ==，2222,AC AB OC OB ∴==，即2222(5)105a b a b ⎧-+=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=⎩，则此时点C 的坐标为(2,1)C -或(2,1)C （与点B 重合，不符题意，舍去）；（2）当OAC AOB ≅时，则,AC OB OC AB ==，2222,AC OB OC AB ∴==，即2222(5)510a b a b ⎧-+=⎨+=⎩，解得31a b =⎧⎨=-⎩或31a b =⎧⎨=⎩，则此时点C 的坐标为(3,1)C -或(3,1)C ；综上，点C 的坐标为(2,1)-或(3,1)-或(3,1)，故答案为：(2,1)-或(3,1)-或(3,1)．【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、全等三角形的性质、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握全等三角形的性质，并正确分两种情况讨论是解题关键．20．2【分析】根据△ABC 为等边三角形BP 平分∠ABC 得到∠PBC=30°利用PC ⊥BC 所以∠PCB=90°根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答【详解】解：∵△ABC 为等边三角形BP 平分解析：2【分析】根据△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ，得到∠PBC=30°，利用PC ⊥BC ，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.【详解】解：∵△ABC 为等边三角形，BP 平分∠ABC ， ∴1302PBC ABC ∠=∠=︒ ， ∵PC ⊥BC ，∴∠PCB=90°，在Rt △PCB 中，设PC x =，则 2PB x =,根据勾股定理可得：(()2222x x +=，且0x >，解得：2x =，∵∠ABC 的平分线是PB ，∴点P 到边AB 所在直线的距离与点P 到边BC 所在直线的距离相等.故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．三、解答题21．（1）①见解析；②见解析；（2）FC =【分析】（1）①根据条件得出EDA CEB △≌△，即可求证；②延长DE 交CB 的延长线于点G ，得出EDA EGB △≌△再证明GCE DCE △≌△即可；（2）解法1：过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，得到FCM FCN △≌△，由222BN BF FN =-，222DM DF FM =-，得到DM BN =，设DM BN x ==，求得5CN =，在Rt FBN △和Rt FCN △中，由勾股定理即可求得CF 的长．解法2：在CD 上截取CF BC '=，得出FF FD '==，过F 作FG CD ⊥，根据22222FC CG FG F F F G ''-==-，即可求得CF 的长．【详解】（1）①证明：90A B DEC ∠=∠=∠=︒，90ADE AED ∴∠+∠=︒，1809090DEA BEC ∠+∠=︒-︒=︒，ADE BEC ∴∠=∠，在DEA △和ECB 中ADE BEC ∠=∠，A B ∠=∠，AE BC =，EDA CEB ∴△≌△，AD BE ∴=．②证明：延长DE 交CB 的延长线于点G ，AED BEG ∴∠=∠，E 90A BG ∠=∠=︒，AE BE =，EDA EGB ∴△≌△，EG ED ∴=，90DEC =︒∠，18090GEC DEC ∴∠=︒-∠=︒，GEC DEC ∴∠=∠，CE CE =，GCE DCE ∴△≌△，GCE DCE ∴∠=∠，CE ∴平分BCD ∠．（2）解法1：如图，过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，分别交CD 及CB 的延长线于点M ，N ．CE 平分BCD ∠，BCF FCD ∴∠=∠，又FM CD ⊥，FN CB ⊥，90CNF FMC ∴∠=∠=︒，在FCM △和FCN △中BCF FCD ∠=∠，CNF FMC ∠=∠，CF CF =，FCM FCN ∴△≌△，FM FN ∴=，CM CN =，在Rt FDM △和Rt FBN △中MF FN =，FB DF =，222BN BF FN =-，222DM DF FM =-DM BN ∴=，设DM BN x ==，6CD =，4CB =，4CN x ∴=+，6CM x =-，CN CM =，46x x ∴+=-，1x ∴=，415CN CB BN ∴=+=+=，在Rt FBN △和Rt FCN △中222FN FB BN =-，222FC FN CN =+，362BF =， 222223625122FN FB BN ⎛∴=-=-= ⎝⎭ 222255(41)622FC FN CN =+=++= 解法2：如图，在CD 上截取CF BC '=，4BC =，6CD =，642DF CD CF ''∴=-=-=，在FCB 和FCF '△中BCF FCD ∠=∠，CF CF =，CB CF '=，FCB FCF '∴△≌△，FF FB '∴=，FB FD =，362FF FD '∴==，过F 作FG CD ⊥，垂足为G ，112GF GD DF ''∴===， 145CG GF CF ''∴=+=+=，在Rt FCG △和Rt FF G '△中22222FC CG FG F F F G ''-==-222236512FC ⎛∴-=- ⎝⎭ 56FC ∴=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题． 22．（1）3；（2）32【分析】（1）根据勾股定理可求AD ，再根据勾股定理可求CD ，根据BC=BD+CD 即可求解；（2）根据三角形面积公式可求AF 与CG 的和．【详解】（1）在Rt △ABD 中，∠ADB=90︒，由勾股定理得： ()22221174AB BD --，在Rt △ACD 中，∠ADC=90︒，由勾股定理得： CD=()22222542AC AD -=-=，∴BC=BD+CD=1+2=3，∴BC 的长为3；（2）∵AF ⊥BE ，CG ⊥BE ，BE=22，∴1122∆∆∆=+=⋅+⋅ABC ABE BCE S S S BE AF BE CG ， =1()2⋅+BE AF CG ， =2()AF CG +，而12∆=⋅ABC S BC AD =134=62⨯⨯， ∴AF CG +==322，即AF 与 CG 的和为32．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形面积法的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．23．（1）10°；（2）14【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，然后由Rt△ABC中，∠C=90°，求得∠ABC的度数，继而求得答案；（2）根据勾股定理得到AC=8，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，即可得到结论．【详解】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE=40°，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=10°；（2）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC=8，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴BE+CE=AC=8，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AC+BC=14．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；勾股定理，应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．24．75尺【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．【详解】设湖水的深度为x尺，则荷花的长是（x+0.5）尺，在图中的直角三角形中，由勾股定理得（x+0.5）2=x2+22，解得x=3.75，故湖水的深度为3.75尺．【点睛】本题考查了勾股定理得应用，能从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键．25．A题：8米；B题：4 1213m【分析】A题：设出旗杆的高度，利用勾股定理解答即可；B题：根据题意表示出AD、AC、BC的长，进而利用勾股定理求出AD的长，即可得出答案．【详解】解：A题：设旗杆的高度为x米，则绳子长为（x+2）米，由勾股定理得：()22226x x +=+，解得：8x =，答：旗杆的高度为8米；B 题：由题意可得：BD=10m ，BC=6m ，设AD=xm ，则有：AC=()16x -m ，在Rt △ABC 中，222AB BC AC +=，即()()22210616x x ++=-，解得：3013x =，故AB=30410121313+=m ，答：树高AB 为41213m ．【点睛】本题考察勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键．26．（1）学校会受到影响，理由见解析；（2）学校受到影响的时间是2.4秒．【分析】（1）过点A 作AE ⊥MN 于点E ，由点A 到铁路MN 的距离为80米可知AE ＝80m ，再由火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB ＝AC ＝100m ，在Rt △ABE 中利用勾股定理求出BE 的长，进而可得出BC 的长，根据火车的速度是180千米/时求出火车经过BC 是所用的时间即可．【详解】解：（1）会受到影响．过点A 作AE ⊥MN 于点E ，∵点A 到铁路MN 的距离为80米，∴AE ＝80m ，∵周围100米以内会受到噪音影响，80＜100，∴学校会受到影响；（2）以点A 为圆心，100米为半径画圆，交直线MN 于BC 两点，连接AB 、AC ，则AB ＝AC ＝100m ，在Rt △ABE 中，∵AB ＝100m ，AE ＝80m ，∴BE＝60m ，∴BC ＝2BE ＝120m ，∵火车的速度是180千米/时＝50m /s ，∴t ＝50BC ＝12050＝2.4s ．答：学校受到影响的时间是2.4秒．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在解答此类题目时要根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．。

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八年级初二数学第二学期勾股定理单元检测试卷一、解答题1．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.2．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．3．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ()()()()a b c a b c a c b b c a +++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（26+42）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝46m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．4．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．5．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．6．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．7．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．8．如图，△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB=AC ，P 是线段BC 上一点,且045BAP ︒<∠<︒.作点B 关于直线AP 的对称点D, 连结BD ，CD ，AD ．（1）补全图形.（2）设∠BAP 的大小为α.求∠ADC 的大小(用含α的代数式表示).（3）延长CD 与AP 交于点E,直接用等式表示线段BD 与DE 之间的数量关系.9．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝（用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．10．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；（2）设,BC m AC n ==①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.②若线段2AD EC =，求m n的值.11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．12．已知ABC ∆中，AB AC =.（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB 的值.13．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；②若∠DCE =45°，求证：DE 2=AD 2+BE 2；(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．14．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：2，CD 36，求线段AB 的长．15．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为：（不写证明过程）16．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，其中AB ＝AC ，AD ＝AE ，且∠BAC ＝∠DAE ．（1）如图①，连接BE 、CD ，求证：BE ＝CD ；（2）如图②，连接BE 、CD ，若∠BAC ＝∠DAE ＝60°，CD ⊥AE ，AD ＝3，CD ＝4，求BD 的长；（3）如图③，若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，且C 点恰好落在DE 上，试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系，并加以说明．17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)18．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．19．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．20．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=；（2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（1）证明见解析；（2）AF ＝5cm ；（3）①有可能是矩形，P 点运动的时间是8，Q 的速度是0.5cm /s ；②t ＝203．【解析】【分析】（1）证△AEO ≌△CFO ，推出OE=OF ，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF=CF=a ，根据勾股定理得出关于a 的方程，求出即可；（3）①只有当P 运动到B 点，Q 运动到D 点时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t ，即可求出答案；②分为三种情况，P 在AF 上，P 在BF 上，P 在AB 上，根据平行四边形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵AEO CFOAOE COF AO OC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝203，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝203．【点睛】考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，用了方程思想，分类讨论思想．3．（1）46（2）（123+24+510）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝46故答案是：46；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AE＝12AD＝6∴BE＝AB﹣AE＝62﹣6＝2DE2222(46)(26)62AD AE-=-=∴BD ＝2222BE DE (42)(62)226+=+= ∴S △BCD ＝1(57226)(57226)(22675)(22657)5104+++-+-+-= ∵S △ABD ＝11(2642)621232422AB DE ⋅=⨯+⨯=+ ∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 12324510++答：该块草地的面积为（12324510++）m 2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.4．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）222133k k k k ++++. 【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG ，△ABC 都是等边三角形，∴AG ＝AD ，AB ＝AC ，∴∠GAD ＝∠BAC ＝60°，∴△GAB ≌△DAC ，∴BG ＝CD ，∠ABG ＝∠C ，∵CD ＝AE ，∠C ＝∠BAE ，∴BG ＝AE ，∠ABG ＝∠BAE ，∴BG ∥AE ，∴四边形AGBE 是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH ⊥BC 于H ．∵BH ＝CH ＝1(1)2k + ∴11131(1),3(1)2222DH k k AH BH k =-+=-==+ ∴222AH DH k k 1AD =+=++∴四边形BGAE 的周长＝22k k 1k +++,△ABC 的周长＝3（k +1），∴四边形AGBE 与△ABC 2221k k k +++ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）25CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，∵22EC26210=+=∴CM＝EM＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)+【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′22OB OA-＇，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m ，∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103则此时点P 的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP 1228627-=∴AP 1＝10−7，即P 1（6，10-27②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3228627-=，∴AP 3=AE+EP 3=7+2，即P 3（6，27），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，10-276，7+2）．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．7．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD ==-=∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.8．（1）见解析；（2）∠ADC=45α︒+；（3）2BD DE =【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明△BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）∵点B 与点D 关于直线AP 对称，∠BAP=α，∴∠PAD=α，AB=AD ，∵90BAC ∠=︒，∴902DAC α∠=︒-，又∵AB=AC ，∴AD=AC ，∴∠ADC=1[180(902)]2α⨯︒-︒-=45α︒+；（3）如图，连接BE ，由（2）知：∠ADC=45α︒+，∵∠ADC=∠AED+∠EAD ，且∠EAD=α，∴∠AED=45°，∵点B 与点D 关于直线AP 对称，即AP 垂直平分BD ，∴∠AED=∠AEB=45°，BE=DE ，∴∠BED=90°，∴△BED 是等腰直角三角形，∴22222BD BE DE DE =+=，∴2BD DE =.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.9．（1）t ，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t 的值为2﹣1或2+1，BE =3．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）根据SAS 即可证明△ADE ≌△CDF ；（3）由△ADE ≌△CDF ，即可推出∠ADE =∠CDF ，推出∠EDF =∠ADC =90°；（4）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）由题意：AE =t ．∵CA =CB ，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD =∠ACD =45°．故答案为t ，45．（2）∵∠ACB =90°，CA =CB ，CD ⊥AB ，∴CD =AD =BD ，∴∠A =∠DCB =45°．∵AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）．（3）∵点E 在边AC 上运动时，△ADE ≌△CDF ，∴∠ADE =∠CDF ，∴∠EDF =∠ADC =90°．（4）①当点E 在AC 边上时，如图1．在Rt △ACB 中，∵∠ACB =90°，AC =CB ，AB =2，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB =1，AC =BC 2=． ∵CE =CD =1，∴AE =AC ﹣CE 2=-1，∴t 2=-1． ∵BC =22112+=，∴BE =22EC BC +=12+=3；②当点E 在AC 的延长线上时，如图2，AE =AC +EC 2=+1，∴t 2=+1． ∵BC =22112+=，∴BE =22EC BC +=12+=3；综上所述：满足条件的t 2121，BE 3【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②512m n = 【分析】（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案； ②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.【详解】（1）解：作图，如图所示：（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根. 理由如下：依题意得， BD BC m ==，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒222BC AC AB ∴=+22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+222AD m AD n ∴+-)()2222222m n m m m n m n =+++- 222222222222m n m m n m m m n m n =+-+++-0=；∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ==== 2AD EC =2233AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠= 222BC AC AB ∴+=22223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493m n n mn m +=++ 25493n mn =512mn∴=【点睛】本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．11．BF的长为32【分析】先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≌△BFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45°，△BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．【详解】解：连接BF．∵CA=CB，E为AB中点∴AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90°在Rt△FEB与Rt△FEA中，BE AEBEF AEFFE FE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt△FEB≌Rt△FEA又∵AD平分∠BAC，在等腰直角三角形ABC中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5°在△BFD中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD⊥AD，∠D=90°∴△BFD为等腰直角三角形，BD=FD=3∴222232BF BD FD BD=+==【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．12．（1）详见解析；（2；（3【分析】（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证1302FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE =，，根据（1）思路得.【详解】(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中，AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，∴BD CE =；(2)连接BD因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.13．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ，证明详见解析【分析】（1）①根据旋转的性质可得CF=CD ，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ；②连接EF ，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE ≌△FCE 得到EF=DE 即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．【详解】解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明：连接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=12BF，FG=32BF∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12 BF，∴EF2=（EB+12BF）2+（3BF）2∴DE2=（EB+12AD）2+（3AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．14．（1）见解析；（2）BD2+AD2＝2CD2；（3）AB＝2+4．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD即可得到结论；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理即可证得结论；（3）连接EF，设BD＝x，利用（1）、（2）求出EF=3x，再利用勾股定理求出x，即可得到答案.【详解】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt △ADE 中，AE 2+AD 2＝ED 2，且AE ＝BD ，∴BD 2+AD 2＝ED 2，∵ED ＝2CD ，∴BD 2+AD 2＝2CD 2，（3）解：连接EF ，设BD ＝x ，∵BD ：AF ＝1：2AF ＝2x ，∵△ECD 都是等腰直角三角形，CF ⊥DE ，∴DF ＝EF ，由（1）、（2）可得，在Rt △FAE 中，EF 22AF AE +22(22)x x +3x ， ∵AE 2+AD 2＝2CD 2，∴222(223)2(36)x x x ++=，解得x ＝1，∴AB ＝2+4．【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理. 15．（1）见解析；（2）CD 2AD +BD ，理由见解析；（3）CD 3+BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE 2AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ＝32AD ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD 3AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD 2AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH3，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.16．（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2＝BC2，证明见解析．【分析】（1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论．（2）先求出∠CDA=12∠ADE=30°，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论．（3）方法1、同（2）的方法即可得出结论；方法2、先判断出CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出CD2+CE2=2AC2．即可得出结论．【详解】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝12∠ADE＝12×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，∴CD2+CE2＝2AP2+2CP2＝2（AP2+CP2），∵在Rt△APC中，由勾股定理可知：AC2＝AP2+CP2，∴CD2+CE2＝2AC2．∵△ABC为等腰直角三角形，由勾股定理可知：∴AB2+AC2＝BC2，即2AC2＝BC2，∴CD2+CE2＝BC2．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）（3）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题．17．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD的周长为m+2【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．18．（1）a＝8，b＝15，c＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a，b，c|c﹣17|+b2﹣30b+225，21||7(15)c b+-﹣，∴a﹣8＝0，b﹣15＝0，c﹣17＝0，∴a＝8，b＝15，c＝17；（2）能．∵由（1）知a＝8，b＝15，c＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40；三角形的面积＝12×8×15＝60．【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状. 19．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,在Rt AOC ∆中,AO 2-OC 2=AC 2因为81AB AC ∇=所以AO 2-OC 2=81所以AC 2=81所以AC=9.(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB 2222126AB AO -=-3∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72,②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =12AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=+=∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;(3)作BD ⊥CD,因为24ABC S ∆=,8AC =,所以BD=26ABC S AC ∆÷=,因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,所以AO 2-OC 2=-64, 所以OC 2-AO 2=64,由因为AC 2=82=64,所以OC 2-AO 2= AC 2所以∠OAC=90°所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯÷=⨯÷= 所以22228373AC OA +=+所以73在Rt △BCD 中,()2222276163BC BD -=-=所以AD=CD-AC=16-8=8所以22228610AD BD +=+=【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.20．（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）①a 的值为92；②k 的取值范围为13k ≤<；（3）ABC ∆203123．【分析】（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）①先利用勾股定理求出c 的值，再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式，然后求解即可；②类似①分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BD x =，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x 的值，即可得出ABC ∆的面积．【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ，恰好是第三边a 的2倍，满足优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）①90,6CB b A ∠=︒=22236c a b a ∴=++根据优三角形的定义，分以下三种情况：当2a b c +=时，26236a a +=+，整理得24360a a -+=，此方程没有实数根当2a c b +=时，23612a a +=，解得92a = 当2bc a +=时，26362a a +=，解得86a =>，不符题意，舍去。