第六节 子空间的交与和
高等代数第六章 6第六节 子空间的交与和 太原理工大学
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = 0 , ⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a s1 x1 + a s 2 x 2 + ⋯ + a sn x n = 0 , b11 x1 + b12 x 2 + ⋯ + b1n x n = 0 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ bt 1 x1 + bt 2 x 2 + ⋯ + btn x n = 0
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证毕. 证毕
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由集合的交的定义有，子空间的交 由集合的交的定义有，子空间的交适合下列 运算规律： 运算规律： V1∩V2=V2∩V1 (交换律 ， 交换律)， 交换律 (V1∩V2)∩V3=V1∩(V2∩V3)(结合律 结合律). 结合律 由结合律，可以定义多个子空间的交 由结合律，可以定义多个子空间的交： 多个子空间的 s
V1 + V2 + ⋯ + Vs = ∑ Vi
i =1 s
它是由所有表示成 它是由所有表示成
α 1 + α 2 + ⋯ + α s , α i ∈ Vi ( i = 1 , 2 , ⋯ , s )
的向量组成 的子空间. 的向量组成V的子空间 组成
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关于子空间的 有以下结论 结论： 关于子空间的交与和有以下结论： 子空间 1. 都是子空间 设V1, V2, W都是子空间，那么由 p V1与 都是子空间，那么由Wp Wp V2可推出 p V1∩V2 ；而由 V1p W与V2p W 可 p 可推出Wp 与 推出V 推出 1+V2p W 2. 对于子空间 1与V2 ，以下三个论断是等价的： 对于子空间 子空间V 以下三个论断是等价的： 1) V1 V2; 2) V1∩V2=V1; 3) V1+V2=V2 . (这些结论的证明较容易，留给大家作练习.) 这些结论的证明较容易，留给大家作练习 )
子空间的交与和
子空间的交与和
子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
• 线性空间V中,有
L(1 , 2 ,, r ) L( 1 , 2 ,, t ) L(1 , 2 ,, r , 1 , 2 ,, t )
Theorem(维数定理)
如果 V1 ,V2是线性空间V的两个子空间 , 那么 维(V1 ) 维(V2 ) 维(V1 V2 ) 维(V1 V2 )
V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
Theorem 6：如果V1 ，V2是线性空间V的两
个子空间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空 间。
• 证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， • 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， • 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 • k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 • 因此V1+V2 是V的子集. • 有限个子空间的和
k1 1 k m m k m1 m1 k s s p1 m 1 p 2 m 2 p r r V1 V2 , 令 q1 1 q m m
带入上式右端、移项、 整理 k m＋1＝k m 2 k s 0, 进而有 k1 k 2 k m 0; p m1 p r 0
6.6%20%20子空间的交与和
∵ kα + l β ∈ V1 ,
∴ kα + l β ∈ V1 ∩ V2 ,
kα + l β ∈ V2 ,
因此V1 ∩ V2 是V的子空间。 又 ∵ 0 ∈ V1 , 0 ∈ V2 , ∴ 0 = 0 + 0 ∈ V1 ∪ V2 , 故 V1 ∪ V2 非空。 对 ∀α , β ∈ V1 ∪ V2 , 其中 对
L ( α1 , α 2 , ,α r ) + L ( β1 , β 2 , , β s ) = L (α1 , ,α r , β1 , , βs )
证：对
∀x ∈ L ( α 1 , α 2 ,
,α r ) + L ( β1 , β 2 ,
, βs )
x =α + β,
α ∈ L ( α1 ,
+ k rα r ,
∴ V1 ∪ V2 也是V的子空间。
kα + l β = k ( α 1 + α 2 ) + l ( β 1 + β 2 )
要注意的是，两个子空间的交与集合的交的概念是一样 的，但两个子空间的和与两个集合的和的概念是不同的，按 照两个集合和（并）的运算法则，把两个子空间的向量放到 一起，这样形成的集合不一定是V的子空间。 例如，设
,α r ) , β ∈ L ( β1 ,
, βs )
∴ α = k1α1 +
x = k1α1 +
∴ L (α1 ,
β = l1 β 1 +
+ ls β s ,
,α r , β1 ,
, βs )
+ krα r + l1 β 1 +
,α r ) + L ( β1 ,
高等代数§6.6 子空间的交与和
也为V的子空间，称为 V 1 , V 2 , , V s 的交空间.
二、子空间的和
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V 2 { a1 a 2 | a1 V1 , a 2 V 2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
事实上， 0 V 1 , 0 V 2 , 0 0 0 V 1 V 2
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0 b x b x b x 0 12 2 1n n 11 1 b t 1 x 1 b t 2 x 2 b tn x n 0
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
一、子空间的交
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V 2 { a | a V1且 a V 2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间. 事实上， 0 V 1 , 0 V 2 , 0 V 1 V 2 任取 , V 1 V 2 , 即 , V 1 , 且 , V 2 , 则有 V 1 , V 2 , V 1 V 2 同时有 k V 1 , k V 2 , k V 1 V 2 , k P 故 V 1 V 2 为V的子空间.
证：设 d im V 1 n 1 , d im V 2 n 2 , d im (V 1 V 2 ) m 取 V 1 V 2 的一组基 1 , 2 , , m 由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
子空间的交与和
§6.子空间的交与和类比引入：向量空间V 的子空间12,V V 也是两个集合，集合的运算有交集、并集、差集，那么子空间12,V V 之间有哪些类似的运算？ 定义1 12,V V 是V 子空间，记子空间的“交”：}{1212|V V V V ααα=∈∈ 且； 子空间的“并”：{}2121V V V V ∈∈=ααα或 ；子空间的“和”：}{12121122|,,V V V V αααααα+==+∈∈.思考：12,V V 是V 的非空子集，若对V 中的“加法”“数乘”运算封闭，则它们构成子空间.那么12V V ，21V V ，12V V +显然也是V 的非空子集，它们是子空间吗？ 结论：1. 12V V 是V 的子空间. 分析：i) 120V V ∈≠∅ ii)12112212,,V V V V V V V V αβαβαβαβ∈+∈⎫⎧→→+∈⎬⎨+∈⎩⎭ （）子空间 同理12()a V V α∈ 2. 21V V 不是V 的子空间. 3. 12V V +是V 子空间. 分析：i) 12V V +≠∅1211221212121212()(),()()V V V V a a a V V ααααβαβαβαββββααα=++=+++∈+⎧⎧∈+→→⎨⎨=+=+∈+⎩⎩例：3V 中,1V 表示过原点一条直线，2V 表示过原点且与1V 垂直的平面，那么{}121230,V V V V V =+= 都是V 的子空间，而21V V 不是V 的子空间. 性质：1.⎧⎨⎩加法交换律子空间和运算性质加法结合律12211212212112212112,,,,V V V V V V V V V V V V V V V V αααααα+=+∀=+∈+=+∈++⊆++⊆+则同理2.12,,V V W 是V 子空间1122W V W V V W V ⊂⎫⇒⊂⎬⊂⎭3. 12,,V V W 是V 子空间1122V W V V W V W ⊂⎫⇒+⊂⎬⊂⎭4. 12,V V 是V 子空间12121122V V V V V V V V ⊂⇔=⇔+=5. ￡()12,,S ααα+ ￡()12,,,t βββ= ￡()1212,,,,,,,s t αααβββ 类比集合A,B 元素个数()()card A B cardA cardB card A B +=+-维数公式：121212dim()dim dim dim()V V V V V V +=+-Note ：1) 和的维数往往比维数之和小.2) 若n 维线性空间V 中两个子空间12,V V 的维数之和大于n ，则12,V V 必含有非零的公共向量.分析：121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 12,V V 是V 子空间，则12dim()0V V > 则12V V 含非零向量。
子空间的交和和
我们来证明，向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m
是 V1 + V2 旳一组基. 这么， V1 + V2 旳维数就等于 s + t - m , 因而维数公式成立.
因为
所以
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) , V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) .
解：1) 任取 L(1 ,2 ) L(1 , 2 )
设 x11 x22 y11 y22 ,
则有 x11 x22 y11 y22 0,
x1 x2 2 y1 y2 0
即
2
x1 x2 y1 x1 x2 3 x1 y1 7
y2 y2
y2
0 0
0
(＊)
1) 互换律 V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
2) 结合律 (V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
推广
多种子空间旳交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V旳子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s
i 1
也为V旳子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 旳交空间.
证明 设 V1 , V2 旳维数分别是 s , t , V1∩V2
旳维数是 m . 取 V1∩V2 旳一组基
1 , 2 , …, m .
假如 m = 0 ，这个基是空集，下面旳讨论中
1 , 2 , …, m 不出现，但讨论一样能进行. 由
定理
设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间， 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 , 那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就说
6子空间的交与和
§6子空间的交与和定理5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：1221V V V V =(交换律)，)()(321321V V V V V V =（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的交：si is V V V V 121==,它也是子空间.定义8 设1V ,2V 是线性空间V 的子空间，所谓1V 与2V 的和，是指由所有能表示成21αα+,而2211,V V ∈∈αα的向量组成的子集合，记作21V V +.定理6 如果1V ,2V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间.由定义有，子空间的和适合下列运算规律：1221V V V V +=+(交换律)，)()(321321V V V V V V ++=++（结合律）.由结合律，可以定义多个子空间的和∑==+++si is V V V V 121 .它是由所有表示成),,2,1(,21s i V i i s =∈+++αααα的向量组成的子空间.关于子空间的交与和有以下结论：1. 设W V V ,,21都是子空间，那么由1V W ⊂与2V W ⊂可推出21V V W ⊂；而由1V W ⊃与2V W ⊃可推出21V V W +⊃.2. 对于子空间1V 与2V ，以下三个论断是等价的： 1）;21V V ⊂ 2) 121V V V = ; 3)221V V V =+.例1 在三维几何中用1V 表示一条通过原点的直线，2V 表示一张通过原点而且与1V 垂直的平面，那么，1V 与2V 的交是{}0，而1V 与2V 的和是整个空间.例2 在线性空间n P 中，用1V 与2V 分别表示齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221*********n tn t t n n n n x b x b x b x b x b x b x b x b x b 的解空间，那么21V V 就是齐次方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++0,0,0,022*******1122111212111n tn t t n n n sn s s n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 的解空间.例3 在一个线性空间V 中，有),,,,,(),,,(),,,(112121t s t s L L L ββααβββααα =+.关于两个子空间的交与和的维数，有以下定理.定理7（维数公式）如果1V ，2V 是线性空间V 的两个子空间，那么维（1V ）+维（2V ）=维（21V V ）+维（21V V ）.从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.推论 如果n 维线性空间V 中两个子空间1V ，2V 的维数之和大于n ，那么1V ，2V 必含有非零的公共向量.。
高等代数-子空间的运算
1)交换律 W1∩W2= W2∩W1；
2)结合律 (W1∩W2)∩W3= W1 ∩(W2∩W3)．
由结合律， 我们得到 多个子 空间的交 ：
t
W1 W2 Wt Wi ，
i 1 t
且由归纳法易见， Wi 也是 V 的子空间．
i 1
l11 lm m ．
(8)
由(7)的第二式以 及(8)式得
l11 lmm q11 qn2m n2m ． 因为 1,,m ， 1, n2m 线性无关，所以
l1 lm q1 qn2m 0 ． 从而α=θ． 再由(7)的第 一式便得 到
k11 kmm p11 pn1mn1m ．
数公式成立 ．于是， 设
k11 kmm p11 pn1mn1m q1 1 qn2m n2m ， 则
k11 km m p11 pn1m n1m
q1 1 qn2m n2m ．
(7)
由(7)的第一个等式知道α∈W1 ，由第二个等式知道α∈W2．于是α
∈W1∩W2．因此α可由 1,,m 线性表出，令
定理 6.5.3 设 W1，W2 是数域 F 上向量空间 V 的两个有限维子空
间，则下列 陈述彼此 等价：
1)和 W1+W2 是直和； 2)dim( W1+W2)=dimW1+dimW2； 3)W1 的一个基与 W2 的一个基合并起来是 W1+W2 的一个基． 证 由定理 6.5.2 和推论 6.5.1 立即得到 1) 2)．
有
定理 6.5.1(维数公式) 若 W1，W2 是数域 F 上向量空间 V 的两个
有限维子空间，则 W1∩W2 与 W1+W2 也都是有限维的，并且
第六节子空间的交与和
例 4 在 P4 中，设V1 L(1, 2 ) ，V2 L(1, 2 ) ， 其中1 (1,1,1,1) ，2 (1,2,1,0) ， 1 (2,1,0,1) ， 2 (1,1,3,7) ， 求 P4 的子空间V1 V2 与V1 V2 的基和维数。
例 1 在 R3 中，用V1 表示一条通过原点的直线，V2 表示一个通过原 点且与V1 垂直的平面，那么V1 V2 {0} ，V1 V2 = R3
例 2 设 A Psn ，B Ptn ，X Pn ，V1,V2 分别表示 AX 0 ，BX 0 的
解空间，则V1
V2
例 5 在 P[x]4 中，已知 f1 (x) x x 2 x3 ，f 2 (x) 3x x3 ，f3 (x) x 2 3x3 ， f4 (x) 2x x2 2x3， f5 (x) 5x 2x2 6x3 ，试求包含这 5 个多项式的最小 的线性空间W 的一组基及维数，并写出 fi (x) 被W 的基线性表出的表达式。
是Aຫໍສະໝຸດ BX0 的解空间。
例 3 设1, 2 ,, s 与 1, 2 ,, t 是V 中两个向量组，则
L(1, 2 ,, s ) + L(1, 2 ,, t ) = L(1, 2 ,, s , 1, 2 ,, t )
二、维数公式
定理 7 如果V1,V2 是线性空间V 的两个子空间，那么 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
注意：1）子空间的交与和满足交换律和结合律，即 交换律：V1 V2 =V2 V1 ，V1 V2 =V2 V1 结合律： (V1 V2 ) V3 =V1 (V2 V3 ) ， (V1 V2 ) V3 =V1 (V2 V3 ) ； 2）设V1,V2 ,W 都是V 的子空间，则 W V1,W V2 W V1 V2 ； W V1,W V2 W V1 V2 ； 3）对于子空间V1 与V2 ，下面论断等价 ①V1 V2 ；②V1 V2 V1 ；③V1 V2 V2 。 4）两个子空间的并未必是子空间。
第六节子空间的交与和
第六节子空间的交与和在线性代数中，子空间的概念十分重要。
子空间是向量空间的重要子集，它具有向量空间的基本性质。
一个向量空间的子空间是指这个向量空间的一个非空子集，在同一个加法和标量乘法下仍然满足向量空间的公理。
本节将介绍子空间的交与和，这些概念对于研究向量空间中的基础性质（比如维数）非常重要。
一、子空间的交两个子空间的交是两个子空间的交集，也是一个子空间。
这是非常显然的，因为对于两个向量空间的子空间，它们都包含零向量，所以它们的交集也包含零向量。
根据向量空间的加法和标量乘法的封闭性，两个子空间的交集在加法和标量乘法下也是封闭的，因此，它们的交是一个子空间。
两个子空间的交在数学上可以表示为：$$S_1 \cap S_2 = \{\boldsymbol{v} \in V | \boldsymbol{v} \in S_1 \text{ 且 } \boldsymbol{v} \in S_2\}$$其中，$S_1$ 和 $S_2$ 是向量空间 $V$ 的两个子空间。
在这个定义中，$S_1$ 和$S_2$ 的交集被称为 $S_1$ 和 $S_2$ 的交。
两个子空间的交在实际应用中非常有用。
比如，在线性方程组中，我们可以使用两个子空间的交来描述解空间。
例如，对于一个齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x} =\boldsymbol{0}$，我们可以找到其系数矩阵 $A$ 的零空间和增广矩阵 $\begin{bmatrix} A \ \boldsymbol{0} \end{bmatrix}$ 的零空间的交集，这个交集就是线性方程组的解空间。
两个子空间的和是指这两个子空间的所有向量的线性组合的集合。
如果一个向量$\boldsymbol{v}$ 可以表示为两个子空间 $S_1$ 和 $S_2$ 中的向量的线性组合，那么$\boldsymbol{v}$ 属于两个子空间的和。
通常情况下，两个子空间的和并不一定是一个子空间，因为两个子空间的和不一定包含零向量。
6.6 子空间的交与和
第六章 线性空间 学习单元6： 子空间的交与和_________________________________________________________● 导学 学习目标：了解子空间的交，子空间的和的构成；理解子空间的交是子空间，子空间的和是子空间；了解子空间的并不一定是子空间；理解维数公式；会求子空间的交空间的维数与基；会求子空间的和空间的维数与基。
学习建议：本学习单元结论多，建议大家多看书，认真阅读定义、定理，多看相关习题的解答，多做习题。
重点难点：重点：深刻理解子空间的交与和的概念。
难点：理解子空间的并、子空间的和的区别。
_________________________________________________________● 学习内容 一、子空间的交定理 设V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，则12V V V ≤I 。
性质 （1）1221V V V V =I I ； （2）123123()()V V V V V V =I I I I 。
推论 设V 为P 上线性空间，1,,s V V V ≤L ，则1s V V V ≤I L I 。
注 一般当12,V V V ≤时，12V V U 不一定是V 的子空间。
例 设2V P =，12{(,0)|},{(0,)|}V a a P V b b P =∈=∈，则12V V U 不是V 的子空间。
注 12V V I 是同时含在1V 和2V 中的最大的子空间，即若有12,W V W V ≤≤，则22W V V ⊆I 。
二、子空间的和定义 设V 为P 上线性空间，12,V V V V ≤≤令12121122{|,}V V V V αααα+=+∈∈，称12V V +为1V 与2V 的和。
定理 设V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，则12V V V +≤。
性质 （1）1221V V V V +=+； （2）123123()()V V V V V V ++=++； （3）122V V V V +++≤L 。
高等代数-6.6子空间的交与和
V1,V2 , ,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vi V1 V2 Vs
i 1
1 2 s | i Vi ,i 1,2,3, , s
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的和空间.
§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
§6.6 子空间的交与和
3、 1,2, ,s;1, 2, , t 为线性空间V中两组
向量，则 L(1,2, ,s ) L(1, 2, , t ) L(1,2, ,s , 1, 2, , t )
4、维数公式 （定理7）
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，则 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 或 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
一、子空间的交
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 } 也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
事实上， 0 V1 ,0 V2 , 0 V1 V2
任取 , V1 V2 , 即 , V1, 且 , V2 , 则有 V1, V2 , V1 V2 同时有 k V1, k V2 , k V1 V2 , k P
再求 W1 W2 .
因为，W1
x
10 00
y
0 1
1 0
x, y P
L
1 0
0 0
,
0 1
1 0
W2
x
10 00
y
00 01
x, y P
L
§6-6子空间的交与和
§6-6子空间的交与和复习 集合的交、集合的并定理5:如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的交21V V ⋂也是V 的子空间.(给出证明)子空间的交满足下列运算规律:(交换律和结合律)1221V V V V ⋂=⋂ ; )()(321321V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂ 定理5可推广到有限个子空间的交的情形.给出子空间的和的概念定义8: 设V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间, V 1和V 2的和是指所有形如221121,;V V ∈∈+αααα的向量组成的子集合,记为21V V +.定理6: 如果V 1,V 2是线性空间V 的两个子空间,那么它们的和21V V +也是V 的子空间.(给出证明)子空间的和满足下列运算规律:1221V V V V +=+ 交换律)()(321321V V V V V V ++=++结合律多个子空间的和∑==+++si i s V V V V 121 是由形如i i s V ∈+++αααα;21 的元素组成.◎关于子空间的交与和有以下结论:1. 对V 的任意两个子空间V 1,V 2来说，}0{21⊃⋂V V ; V V V ⊂+212. 设V 1,V 2,W 都是V 的子空间,那么由21,V W V W ⊂⊂可推出21V V W ⋂⊂ 而由21,V W V W ⊃⊃可推出21V V W ⋂⊃ 3. 对于子空间V 1和V 2,以下三个论断等价:1)21V V ⊂; 2) 121V V V =⋂; 3) 221V V V =+ 例1:在三维几何空间中，用V 1表示通过原点的直线，V 2表示通过原点且与V 1垂直的平面，试求21V V ⋂，和21V V ⋃。
答案：21V V ⋂是原点、21V V ⋃是整个空间R 3。
例2：在线性空间P n中V 1表示齐次线性方程组A m×n X=0的解空间，V 2表示B s×n X=0的解空间，则21V V ⋂是齐次线性方程组0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X B A 的解空间。
6.6 子空间的交与和
a11x1 a12 x2
ba1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
bt1x1 bt2 x2
a1n xn 0
asn xn 0 b1n xn 0
btn xn 0
的解空间.
例3 在线性空间V中，有以下公式成立：
例3V1 V2 L(1, 2, , m, 1, , , n1m 1, , n2 m )
V1 β1,···,βn1-m
V1∩V2
V2
α1 ,α2,···,αm γ1, ···, γn2-m
V1 + V2
下面证明： 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m 线性无关
设 k11 k 22 k mm p11 p n1m n1m q11 qn2 m n2 m 0
m
n1 m
n2 m
→ kii pjj qt t V1, V2 V1 V2 ，即 可由基
qn2 m n2 m 0 →
qn2m 0 →
m
n1 m
kii pjj 0 由1, 2 ,
i=1
j=1
, m , 1,
, n1m是V1的基可知
k1 k m p1 pn1m 0 ，即 1, 2 , , m , 1, , n1m , 1, , n2 m
证明： 0 0 0 V1 V2 V1 V2 V .
, V1 V2 , 1 2, 1 2, 1, 1 V1, 2, 2 V2 →
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ), 1 1 V1, 2 2 V2
子空间的交与和
子空间的交与和子空间是线性代数中的一个重要概念，它是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
首先，让我们来了解什么是子空间。
在线性代数中，一个非空子集被称为线性空间的子空间，当且仅当满足以下三个条件：（1）它包含零向量；（2）对于任意的向量v和w属于子空间，v+w也属于子空间；（3）对于任意的标量c和向量v属于子空间，c*v也属于子空间。
简单来说，子空间是原线性空间的一个部分，它继承了原线性空间的线性结构。
子空间的交集是指两个子空间的共同部分，形象地说，可以理解为两个子空间的交集就像是它们的重叠部分。
而子空间的和可以理解为将两个子空间的元素进行组合形成的一个新的子空间。
子空间的交集和子空间的和有着一些特殊的性质。
首先，两个子空间的交集仍然是一个子空间。
这是因为子空间的交集包含零向量，对任意的向量v和w，v+w属于两个子空间，所以也属于它们的交集，对任意的标量c和向量v，c*v属于两个子空间，所以也属于它们的交集。
其次，两个子空间的和也是一个子空间。
这是因为子空间的和也包含零向量（两个子空间分别包含零向量），对任意的向量v和w，v+w属于两个子空间，所以也属于它们的和，对任意的标量c和向量v，c*v属于两个子空间，所以也属于它们的和。
另外，子空间的交集和子空间的和之间存在一定的关系。
具体而言，两个子空间的交集包含于它们的和。
这是因为，对于任意的向量，如果它属于两个子空间的交集，那么它必然也属于它们的和。
但是，两个子空间的和不一定是它们的交集。
要注意的是，两个子空间的和是否等于它们的交集还需要进一步验证。
总之，子空间的交集和子空间的和在线性代数中起着重要的作用。
它们是子空间的一种组合形式，具有一定的性质和关系。
对于理解子空间的结构和性质，以及解决相关问题都具有重要的指导意义。
掌握子空间的交集和子空间的和，有助于深入理解线性代数的相关知识，并应用于实际问题的求解中。
子空间的交与和
的解空间.
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结束
13
例4 在一个线性空间V中, 有 L(1 , 2 , , s ) L( 1 , 2 , L(1 , 2 , , s , 1 , 2 , , t ).
证 L(1 ,2 ,
, t )
, t )
lt t ) lt t
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10
V1∩V2 是这两个平面的交线， V1 + V2是整 的平面， 个 3 维空间.
z
2 1 3
x o V1 y
V2
V1∩V2
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11
例3 设 V1 , V2 分别是 P 3 中齐次方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2 a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
下证
1 , 2， , m , 1 , 2 ,
, n1 m , 1 , 2 ,
, n2 m
线性无关.设 k11 km m p1 1
q1 1
pn1 m n1 m
qn2 m n2 m 0
令
k11
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结束
4
定理6 如果V1 ,V2是V的两个子空间, 则它们的 和V1 V2也是V的子空间.
证 首先因0 0 0 V1 V2 , 所以V1 V .
其次 , V1 V2 , 有1 , 1 V1 , 2 , 2 V2 , 使得
子空间
x1 x2 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n 显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
证明 VA,0 是向量空间 F n的一个子空间。 (2) 记AX = β的解集为 VA, {X F n | AX }, VA, 是 否也是 F n的一个字空间？这里 F n , 0
3
3
向量作成 V3 的子空间。这样，过原点的平面都是 V3 的子空间（图6-2-2）。
z l π z y x y α+β z
α
o
y
β
l1
β o α
o
x
l1
x
l2
y -3
图6-2-4
不过原点的直线不能作成 V3 的子空间，如图6-2-3 所示，l1为不过原点的直线，以 l1 上两点A，B为终 点的向量α，β的和α+β按平行四边形法则 ，其终 点C不在 上，因此 不能作成 l1 l1 样，不过原点的平面也不能作成 的子空间。同 V 3 的子空间。 V 3
如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.
作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来 不是子空间，现在考虑V的子集。
i
W1 W2 {1 2 | 1 W1, 2 W2}
由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此
W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β∈W1+W2, 那么,
例2
U { A (aij ) M n ( F ) | aij 0, i j时}是不是 M n ( F ) 的
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可以定义多个子空间的交：
s
V1 V 2 V s
V
i 1
i
,
它也是子空间.
§6.6 子空间的交与和
二、子空间的和
1. 定义
定义 2 间, 称 V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 } 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
的解空间.
§6.6 子空间的交与和
例4
在一个线性空间 V 中，有 L(1 , 2 , …, s ) + L(1 , 2 , …, t )
=L(1 , …, s , 1 , …, t )
§6.6 子空间的交与和
五、子空间的交与和的维数
定理 3 (维数公式) 如果 V1 , V2 是线性空间
+ V1 ， + V2 ， 因此 + V1 ∩V2 .
对数量乘积可以同样地证明. 子空间.
§6.6 子空间的交与和
所以V1 ∩V2 是 V 的
证毕
3. 子空间的交的运算规律
1) 交换律
2) 结合律
V1 ∩V2 = V2 ∩V1 ；
(V1∩V2 ) ∩V3 = V1∩(V2 ∩V3 ) .
为V1 ，V2 的和.
§6.6 子空间的交与和
2. 性质 定理 2 如果V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空 间，那么它们的和 V1 + V2 也是 V 的子空间. 证明 首先，由 0 V1 ，0 V2 ，可知 0 V1
+ V2 ，因而 V1 + V2 是非空的. 其次 , 如果 ,
W V1 与 W V2 可推出 W V1 ∩ V2 ； 而由 W V1 与 W V2可推出 W V1 + V2 . 性质 2 等价的： 对于子空间 V1 , V2 , 以下三个论断是
1) V1 V2 ；2) V1 ∩ V2 = V1 ；3) V1 + V2 = V2 .
§6.6 子空间的交与和
是 V1 + V2 的一个基. 这样， V1 + V2 的维数就等于
s + t - m , 因而维数公式成立.
§6.6 子空间的交与和
因为
V1 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m ) ,
V2 = L(1 , 2 , …, m , 1 , …, t - m ) . 所以
§6.6 子空间的交与和
证毕
例5
设 V = P 4，V1 = L(1 , 2 , 3 )， V2 =
L(1 , 2)，其中
1 (1, 2, 1, 3), 2 ( 1, 1, 2,1), 3 ( 1, 3, 0, 5),
1 ( 1, 0, 4, 2 ), 2 (0, 5, 9, 1 4 ) .
从而 V1 = V2 与题设矛盾. 于是由子空间的交与和 的定义可得 V1 ∩ V2 = L(1 )，V1 + V2 = L(1 , 2 ,
3 ) = R3 .
§6.6 子空间的交与和
其几何意义是：V1 = L(1 , 2 ) 是向量 1 , 2 所
确定的平面， V2 = L(1 , 3 ) 是向量 1 , 3 所确定
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 , a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0 , b11 x 1 b12 x 2 b1 n x n 0 , b t 1 x 1 b t 2 x 2 b tn x n 0
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第六节 子空间的交与和
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交
1. 定义 定义1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空
间, 称
V1 ∩V2 ={ | V1 且 V2 } 为 V1 , V2 的交.
§6.6 子空间的交与和
V1 + V2 , 即
= 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 , = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 ,
那么
+ = ( 1 + 1 ) + ( 2 + 2 ) .
§6.6 子空间的交与和
又因为 V1 , V2 是子空间，故有
1 + 1 V1 ，2 + 2 V2 .
注 ◆ 两个子空间和的维数一般比维数的和小. 例如，在三维几何空间中，两个通过原点的不 同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等 于 4 . 说明这两个平面的交是一维的直线.
§6.6 子空间的交与和
推论
如果 n 维线性空间 V 中两个子空间 V1,
V2 的维数之和大于 n , 那么 V1 , V2 必含有非零的公 共向量. 证明 由假设
§6.6 子空间的交与和
A ( 1 , 2 , 3 , 1 , 2 )
T T T T T
1 2 1 3
V 的两个有限维子空间，那么 V1 + V2 也是有限维 的, 且 dimV1 +dimV2 = dim (V1 + V2 ) + dim (V1 ∩ V2 ) .
§6.6 子空间的交与和
证明 设 dimV1 =s, dimV2 = t , dim(V1∩V2 )= m.
因为 V1 V 2 V1 , V1 V 2 V 2 , 所以 m≤ s , m≤ t .
因此
+ V1 + V2 .
同理 k = k1 + k2 V1 + V2 . 所以， V1 + V2 是 V 的子空间. 证毕
§6.6 子空间的交与和
3. 子空间的和的运算规律
1) 交换律
2) 结合律
V1 + V2 = V2 + V1 ；
(V1 + V2 ) + V3 = V1+ (V2 + V3 ) .
的平面， V1 ∩ V2 是这两个平面的交线， V1 + V2 z 是整个 3 维空间.
1 3
o
2
y
V1
x V2
V1 ∩ V2
§6.6 子空间的交与和
例2
设 V1 , V2 分别是 R3 过原点的直线和平
面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，
求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ，并指出它们的几何意义. 解 由定义容易求得
四、例题
例1 设 V1 = L(1 , 2 ) , V2 = L(1 , 3 ) 是 R3 两个不同的 2 维子空间，求 V1 ∩ V2 和 V1 + V2 ，
并指出它们的几何意义.
解 因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以
1 , 2 , 3 线性无关，否则 3 可由 1 , 2 线性表示
可知， V1 ； 由 = - q11 - q22 - …- qt - m t - m 可知， V2 . 于是 V1∩V2 ， 故 可以被
§6.6 子空间的交与和
1 , 2 , …, m 线性表示.
则
令 = l11 + … + lmm ,
l11 + … + lmm + q11 + …+ qt - m t - m = 0 .
V1+V2 = L(1 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m ).
现在来证明向量组
1 , 2 , …, m , 1 , …, s - m , 1 , …, t - m是线性无关的 Nhomakorabea 假设有等式
§6.6 子空间的交与和
k11 + k22 + …+ kmm
+ p11 + p22 + … + ps - m s - m + q11 + q22 + …+ qt - m t - m = 0 . 令
= k11 + … + kmm + p11 + … + ps - m s - m
= - q11 - q22 - …- qt - m t - m . 由 = k11 + … + kmm + p11 + … + ps - m s - m
求V1, V2 , V1∩V2 , V1 + V2 的维数与基.
§6.6 子空间的交与和
解 因为
V1 + V2 = L(1 , 2 , 3 ) + L(1 , 2)
= L(1 , 2 , 3 , 1 , 2) ,
所以向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 的一个极大无关组就 是 V1 + V2 的一个基. 把向量组 1 , 2 , 3 , 1 , 2 中的每个向量作为矩阵的一列，构造矩阵 A，对A 进行初等行变换，化成最简形：
可以定义多个子空间的和：
V1 V 2 V s
V
i 1
s
i
,
它是由所有表示成
1 + 2 + … + s , i Vi ( i = 1 , 2 , … , s )
的向量组成的子空间.
§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的性质
性质 1 设 V1 , V2 , W 都是子空间，那么由
与
b11 x 1 b12 x 2 b1 n x n 0 , b 21 x 1 b 22 x 2 b 2 n x n 0 , b x b x b x 0 t2 2 tn n t1 1