k52006年高考第一轮复习数学：2.1 函数的概念

本文为自本人珍藏版权所有仅供参考

第二章函数

●网络体系总览

●考点目标定位

1.理解函数的概念，了解映射的概念.

2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.

4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.

5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.

6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.

●复习方略指南

基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2004年第2题），也有综合考查（如江苏2004年第22题）.函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.

特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.

复习本章要注意：

1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.

2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.

3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.

4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.

5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.

2.1 函数的概念

●知识梳理

1.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域.

2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

3.映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集. 特别提示 函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.

●点击双基

1.设集合A =R ，集合B =正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是 A.f :x →y =|x |

B.f :x →y =x

C.f :x →y =3－x

D.f :x →y =log 2（1+|x |）

解析：指数函数的定义域是R ，值域是（0，+∞），所以f 是x →y =3－x

. 答案：C

2.设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是

A

C

D

2

2

22

2

22

-2

-2

-2

-2x

y O

O O O x

y y x

y x

解析：A 项定义域为［－2，0］，D 项值域不是［0，2］，C 项对任一x 都有两个y 与之

对应，都不符.故选B. 答案：B

3.（2004年全国Ⅰ，理2）已知函数f （x ）=lg x x +-11，若f （a ）=b ，则f （－a ）等于

A.b

B.－b

C.b

1

D.－

b

1

解析：f （－a ）=lg a

a -+11=－lg

a

a +-11=－f （a ）=－

b .

【答案】 B

4.（2004年全国Ⅲ，理5）函数y =)1(log 22

1-x 的定义域是

A.［－2，－1）∪（1，2］

B.（－3，－1）∪（1，2）

C.［－2，－1）∪（1，2］

D.（－2，－1）∪（1，2）

解析：⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤>⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤->⇔⎪⎩

⎪⎨⎧≥->-221

12

11

11

0)1(log 012

2

2

2

2

212x x x x x x x x x 或－2≤x ＜－1

或1＜x ≤2.

∴y =)1(log 22

1-x 的定义域为［－2，－1）∪（1，2］.

答案：A

5.（2004年浙江，文9）若函数f （x ）=log a （x +1）（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是

［0，1］，则a 等于

A.

3

1 B.

2 C.

2

2 D.2

解析：f （x ）=log a （x +1）的定义域是［0，1］，∴0≤x ≤1，则1≤x +1≤2.

当a ＞1时，0=log a 1≤log a （x +1）≤log a 2=1，∴a =2；

当0＜a ＜1时，log a 2≤log a （x +1）≤log a 1=0，与值域是［0，1］矛盾. 综上，a =2. 答案：D

●典例剖析

【例1】 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33

x ；

（2）f （x ）=

x

x ||，g （x ）=⎩⎨

⎧<-≥;

01

,01x x

（3）f （x ）=1

21

2++n n x

，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）；

（4）f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x

+2

；

（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.

剖析：对于两个函数y =f （x ）和y =g （x ），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y =f （x ）和y =g （x ）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完