常见分布的期望和方差78835
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
常见分布的期望和方差
5
5
概率与数理统计重点摘要
1、正态分布的计算:()()(
)X F x P X x μ
σ
-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度:X 是服从某种分布的随机变量,求()Y f X =的概率密度:()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。(参见P66~72)
3、分布函数(,)(,)x y
F x y f u v dudv -∞-∞
=
⎰⎰
具有以下基本性质:
⑴、是变量x ,y 的非降函数;
⑵、0(,)1F x y ≤≤,对于任意固定的x ,y 有:(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶、(,)F x y 关于x 右连续,关于y 右连续;
⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<
,有下述不等式成立: 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥
4、一个重要的分布函数:1(,)(arctan )(arctan )23
x y
F x y πππ2=++22的概率密度为:2222
6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布:
边缘概率密度:
()(,)()(,)X Y f x f x y dy
f y f x y dx
+∞
-∞+∞
-∞
==⎰⎰
边缘分布函数:
()(,)[(,)]()(,)[(,)]x
X y
Y F x F x f u y dy du
F y F y f x v dx dv
+∞
-∞-∞+∞
-∞
-∞
=+∞==+∞=⎰⎰
⎰⎰
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
5
6、随机变量的独立性:若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ,Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度:()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞
+∞
-∞
-∞
=
-=-⎰
⎰
其中Z =X +Y
8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布,即2222
1212(,Z aX bY
N a b a b μμσσ=+++)。
9、期望的性质:……(3)、()()()E X Y E X E Y +=+;(4)、若X ,Y 相互独立,则()()()E XY E X E Y =。
10、方差: 2
2
()()(())D X E X E X =-。 若X ,Y 不相关,则()()()D X Y D X D Y +=+,否则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++,
()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-
11、协方差:(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--,若X ,Y 独立,则(,)0Cov X Y =,此时称:X 与Y 不相关。 12
、相关系数:(,)
()()
XY Cov X Y X Y ρσσ=
=
1XY ρ≤,当且仅当X 与Y 存在线性关系时1XY ρ=,且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩
当 当。
13、k 阶原点矩:()k k v E X =,k 阶中心矩:[(())]k
k E X E X μ=-。
14、切比雪夫不等式:{}
{}2
2
()
()
(),()1D X D X P X E X P X E X εεεε-≥≤
-<≤-
或。贝努利大数定律:0
lim 1n m P p n ε→⎧⎫
-<=⎨
⎬⎩⎭
。 15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:因2111n i i P X n n σμεε2
=⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑,所以011lim 1n i n i P X n με→=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭
∑ 。
16、独立同分布序列的中心极限定理:
(1)、当n 充分大时,独立同分布的随机变量之和1
n
n i
i Z X
==
∑的分布近似于正态分布2
(,)N n n μσ。
5
(2)、对于12,,...n X X X 的平均值11n i i X X n ==∑,有11()()n i i n E X E X n n
μ
μ===
=∑,221
1()()n
i i n D X D X n n n σσ22
====∑,即独立同分布的随机变量的均值当n 充分大时,近似服从正态分布()N n
σμ2
,
。
(3)、由上可知:{}{}lim ()()()()n n n P a Z b b a P a Z b b a →∞
<≤=Φ-Φ⇒<≤≈Φ-Φ。
17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理:设m 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数,p 是事件A 发生的概率,则对任意x
,
lim ()n P x x →∞
⎧⎫⎪
≤=Φ⎬⎪⎭
, 其中1q p =-。 (1)、当n 充分大时,m 近似服从正态分布,()N np npq ,。 (2)、当n 充分大时,
m
n
近似服从正态分布,(,)pq N p n 。
18、参数的矩估计和似然估计:(参见P200)
19