高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (24).

L
4
B
Ax
16
四、几何意义与物理意义
(1) 当 f ( x, y) 1时, L弧长 ds L
(2) 当 f ( x, y)表示立于L上的 柱面在点( x, y)处的高时,
z f (x, y)
OA
0
⌒
AB
A⌒B
: e
x a cos
x2 y2 ds
, y asin ,
4 eaad
0
4
0 aea
4
15
BO : y x, 0 x 2 a.
y
2
ds 1 12dx
e x2 y2ds
2a
2e
2x
O
2dx ea 1
BO
0
故 e x2 y2ds 2(ea 1) aea
1ka2 a2 k 2
2
14
例3 计算 e x2 y2ds, L :由圆周x2 y2 a2, L
直线y x及x轴在第一象限中所围图形的边界.
提示
e x2 y2 ds
L
OA
A⌒B
BO
y
B
解 OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
第九章 曲线积分与曲面积分
curvillnear integral and surface integral
1
第一节 对弧长的曲线积分 arc length 问题的提出 对弧长的曲线积分的概念 对弧长的曲线积分的计算 几何意义与物理意义 小结 作业
2
一、问题的提出
实例 曲线形构件的质量 y
B
L Mn1
L
( )
9
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ;
(对弧长的曲线积分要求 ds 0 )
2. f ( x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的.
10
L的
参
数
方
程
为
x y
(t) (t)
( t ),
f ( x, y)ds L
f [ (t), (t)]
2(t) 2(t)dt
n
L
f ( x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si
积分弧段 弧元素
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds
5
2. 存在Leabharlann Baidu件 当 f ( x, y)在光滑曲线弧 L上 连续,
对弧长的曲线积分 f ( x, y)ds 存在. L 3. 推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧 上
(2,2)的一段.
解 y2 2x x y2 (0 y 2)
2
I
2
y
0
1
y2dy
1 3
(5
5 1)
y
y2 2x
• (2,2)
O
x
例2 求I xyzds,其中 : x a cos , y a sin ,
z k 的一段. (0 2 )
解 I 2 a2 cos sin k a2 k2d 0
1.定义
设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,
函数 f ( x, y)在L上有界.①在L上任意插入一点列
M1, M 2 ,L , M n1 把L分成n个小段. 设第i个小段的
长度为 si ,又(i ,i )为 第i个小段上任意取定的
y
B
一点,②作乘积 f (i ,i ) si ,
n
③并作和 f (i ,i ) si ,
特殊情形
(1) L : y ( x), a x b
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds L
d
f [( y), y]
c
1 2( y)dy (c d )
ds 1 2( y)dy
11
(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds f [r( )cos ,r( )sin ] r 2( ) r2( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)]
对弧长的曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds lim 0 i1
f (i ,i , i ) si
6
4. 性质
(1) [ f ( x, y) g( x, y)]ds L L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
(2) kf ( x, y)ds k f ( x, y)ds (k为常数)
记作 f ( x, y)ds L
8
三、对弧长曲线积分的计算
化为定积分计算
定理 设 f ( x, y)在曲线弧 L上 有定义且连续,
L的
参
数
方
程
为
x y
(t) (t)
( t ),其中
(t), (t)在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
匀质之质量 M s
分割 M1, M2 , , Mn1
(i ,Mii)•1 sMi i
A M1 M2
O
取近似 取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si
x
n
求和 M (i ,i ) si
近似值
i1 n
取极限
M
lim 0
i
1
(i
,i
)
si
精确值
3
二、对弧长的曲线积分的概念
2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
12
注意
如果积分路径L是两个曲面的交线
z
z
f (x, y) g(x, y)
或
12
( (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
此时需把它化为参数方程 (选择x, y, z中某一个
为参数), 再按上述方法计算.
13
例1 求I yds,其中L为y2 2x上自原点到 L
L
L
(3) 与积分路径的方向无关, 即
L(
⌒
AB)
f
(
x,
y)ds
L(⌒BA)f ( x, y)ds
7
注意
(1) 若 L(或 )是分段光滑的, (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds
L1 L2
L1
L2
(对路径具有可加性)
(2) 函数f ( x, y)在 闭曲线L上对弧长的曲线积分
i 1
A
O
Ls (
i
,i
)
•
M n1 Mi
M1 M2
Mi1 i
x
④ 如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
4
n
f (i ,i ) si
i 1
这和的极限存在, 则称此极限为函数f ( x, y)
在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或
第一类曲线积分.记作 f ( x, y)ds, 即 L 被积函数