(推荐)高中数学导数及其应用专题

专题 导数及其应用

考点精要

1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．

3．了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）． 4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）． 5．会利用导数解决某些实际问题．

热点解析

导数的几何意义及其应用，基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运算法则是高考的重点与热点，要会利用导数求曲线的切线，注意区分在．某点处的切线与过．

某点的曲线的切线． 求函数在点（x 0，)(0x f ）处的切线方程或切线斜率；求函数)(x f 的单调增区间或单调减区间；求函数在（a ，b ） 上的极值，求)(x f 在［a ，b ］上的最大值、最小值等等，在近几年高考试题中频频出现．

知识梳理

1．一般地，函数y=()f x 在x =x 0处的瞬时变化率是000

()()lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆=0lim ,x f

x ∆→∆∆我们称它为函数y =()f x 在x =x 0处的导数，记作0()f x '或y ′|x =x 0

，即

0()f x '=000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆

2．函数()f x 在x =x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即

k =000

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆=0()f x '

3．导函数()f x '= y ′=0

()()

lim

x f x x f x x

∆→+∆-∆

4．c ′=0，（x 1

）′=1，（x 2

）′=2x ，211x x '

⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，

()2x x '=

5．基本初等函数的导数公式： （1）若()f x =c ，则()f x '=0；

（2）若()f x =x n （n *∈Ν），则

()f x '=nx

n 1

；

（3）若()f x =sin x ，则()f x '=cos x ； （4）若()f x =cos x ，则()f x '=－sin x ； （5）若()f x =a x ，则()f x '=a x ln a ；

（6）若()f x =e x ，则()f x '=e x ；

（7）若()f x =log a x ，则()f x '=1

ln x a

；

（8）若()f x =ln x ，则()f x '=1x

；

6．导数运算法则：

（1）［()f x ±()g x ］′=()f x '±()g x '

（

2

）

［()f x ⋅()g x ］′=()f x '⋅()g x +()f x ()g x '；

（3）[]

2

()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦ 7.导数的应用体现在三个方面：

（1）求曲线的切线：其方法是，先求函数在某点处的导数得切线斜率，再用点

斜式建立切线方程，后化为一般式．

求曲线的切线时要注意两种不同的要求：一种是求“函数在某点处的切线”，这个点就是切点；一种是求“函数过某点的切线”，则这个点可以是切点，也可以不是切点。这两种要求的切线的求法有区别． （2）求函数的极大（小）值与最大（小值）

求可导函数)(x f y =的极值的步骤：

①求导数)(x f y '='；这一步是基础，要求利用导数公式及运算法则正确地求出导函数)(x f '．

②求方程)(x f '=0的根；这一步用到方程知识，注意)(x f '=0的根应在y =)(x f 的定义域中．

③检验)(x f '在方程)(x f '=0的根（又叫函数驻点）的左、右侧的符号是否发生变化：如果)(x f '在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y =)(x f 在这

个根处取得极大值；如果相反，)

f 在这个根的左侧附近为负，右侧附近为正，

(x

那么函数

y =)(x f 在这个根处取得极小值．

④如果求闭区间［a ，b ］上函数的最值，则应在)(a f 、)(b f 及开区间（a ，b ）内的极值中间作比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值． （3）研究函数的单调性

设函数y =)(x f 在某个区间D 内可导，且)(x f '0≥，则)(x f 在这个区间上为增函数；若)(x f '0≤，则)(x f 在这个区间上为减函数．（注意：这里)(x f '=0在D 的任意一个子区间内不能恒．成立，否则，函数在这个子区间内为常函数，为水平线段，不具有单调性）

（4）不等式的恒成立问题与能成立（存在性）问题 ①不等式的恒成立问题

若,x D ∈()f x m >在D 上恒成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x m >成立，若,x D ∈()f x m <在D 上恒成立，等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x m <成立

对任意12,x x D ∈，都有12()()f x g x ≤成立的充要条件是max min ()()f x g x ≤ ②不等式的能成立（存在性）问题

若,x D ∈()f x m >在D 上能成立，等价于()f x 在D 上的最大值m ()ax f x m >成立

若,x D ∈()f x m <在D 上能成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x m <成立。 例题精讲:

例1. 曲线y =x ⋅e x +2x +1在点（0,1）处的切线方程为________________