12.5 阻尼对振动的影响解析

1,2 i 1 2 ir
2 1 式中： r
微分方程的解为：
y e
t
C1 cosr t C2 sin r t
v0 y0
0 v0 ，），即得 再引入初始条件（当t＝0时 y0 y0 ，y
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y k 1 y k e
t k Tr
e
t k
e
Tr
对上式等号两边取倒数（分子与分母换位后）再取自然对数，
yk 2π Tr ln ln e Tr y k 1 r


yk 1 r 因此： ln 2 π yk 1
FC cy
my cy k11 y FP t
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式中，c为阻尼系数； y 为质点速度。负号表明 FC 的方向 的方向相反，它在振动时作负功，因而造 恒与质点速度 y 成能量耗散 。 一般运动方程为:
12.5.3 有阻尼的自由振动（单自由度体系）
研究有阻尼的自由振动，其目的在于： 1)求考虑阻尼的自振频率ω r或自振周期 Tr，更贴近实际情况
n
2.考虑ζ =1的情况（即临界阻尼情况）
由 2 1 ，得


1,2
2y 2 y 0 的解为 y 因此，微分方程
y C1 C2t e t
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再引入初始条件，得： y
y0 1 t v0t e
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【讨论】下面讨论两个问题：
(1)阻尼对自振频率的影响
r 1 2（随ζ
的增大而减小 )
r ，可见， 0.98 1 阻尼对自振频率的影响可以忽略不计，故取：
当ξ＜0.2时（一般建筑结构ξ＜0.1），
r 2 Tr T r
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12.5 阻尼对振动的影响
12.5.1 关于阻尼的定义 阻尼是使振动衰减的因素，或使能量耗散的因素。
振动中的阻尼力有多种来源，例如:
1) 结构与支承之间的摩擦。 2) 结构材料之间的内摩擦。 3) 周围介质的阻力等。
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12.5.2 粘滞阻尼理论
该理论最初用于考虑物体以不大的速度在粘性液体中运动时 所遇到的抗力，因此称为粘滞阻尼力。该理论假设阻尼力其 大小与质点速度成正比，其方向与质点速度的方向相反。即 阻尼力
t
其曲线如图所示。这条曲线仍然具有衰减性质，但不具有 波动性质。
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综合以上的讨论可知：当ξ ＜1时，体系在自由反应中是会引 起振动的；而当阻尼增大到ξ ＝1时，体系在自由反应中即不 引起振动，这时的阻尼常数称为临界阻尼常数，用cr表示 c 在 中，令ζ ＝1，则 cr 2m 2 mk11 2m
ye
t
y0 cos r t
r
sinr t
式中： e t 称为衰减系数。
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v0 y0 y e t y cos t sin t r r 0 r
设： y0 a sin v 0 y0 a cos r
2y 2 y 0 y
c ζ 称阻尼比。 2m
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2y 2 y 0 y
设微分方程的解为
y Ce
t
则λ由下列特征方程所确定:
2 0
2 2
其解为：根据ξ ＜1、ξ =1、ξ ＞1三种情况，有三种形式的解， 对应三种运动状态，现分析如下：
则上式可化为：
ye
t
a sin(r t )
( v0 y0
式中：a
2 y0
r
)
2
; tan
1
y0r v0 y0
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ye
t
a sin(r t )
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可见，低阻尼时 （ξ＜1时）仍属周 期运动，但不是简 谐运动（因为不是 常数，t是变量）， 是周期性的衰减运 动。
yk 1 ln 2 π yk 1
如果ξ ＜0.2，则 于是可取 ：
r 1 ，
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yk 令 ln ，称为振幅的对数递减率，则 yk 1


2π
yk 1 同样，相隔n个周期 ln 2 π n yk n
yk ln 令 ，则 yk n
(2)阻尼对振幅
ae
t
的影响
振幅 At a e t 按照等比级数
e Tr 或 yk 1 yk 逐渐衰减的波动曲线。
经过一个周期T （=2π /ω ）， 相邻两个振幅yk+1与yk的比值为：
yk 1 yk e t k Tr e t k e Tr 由此可见，振幅是按几何级数 衰减的，而且ξ值越大（阻尼 越大），则衰减速度越快。
2)求阻尼比ζ ，进而了解阻尼对振动的衰减规律。由其大小可 知道结构会不会产生振动（ζ ＜1，结构才考虑振动），振动 衰减的快慢等（ζ 越大，衰减速度越快）。 令 FP(t)=0 ，即得有阻尼单自由度体系自由振动方程 :
my cy k11 y 0
令 2 k11 m ，c m 2 ， 则


2πn
工程上通过实测yk 及yk+n来计算ξ 。
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关于求体系振动n周后的振幅

y 1 ln 0 2 π n yn
yn
，其计算式为：
T y y e 1 0
yn y0 e
T n
（当n=1）
当振动n周后
yn y1 y0 y0
1）当ξ ＞1时，有两实根： 1, 2 2）当ξ =1时，有两相同实根： 3）当ξ ＜ 1时，有两共轭虚根： 1, 2

2 1

1 2
( i 1 )
2
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1.考虑λ ＜1的情况（即低阻尼情况）
特征方程有二共轭虚根：