阻尼对振动的影响

由此可见：共振时（θ=ω），FS与FI刚好互相平衡，
有无阻尼均如此。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态故 不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因 不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。
考虑阻尼与忽略阻尼振动规律对比
忽略阻尼的振动规律
考虑阻尼的振动规律
结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。
2、有阻尼强迫振动
简谐荷载P(t)=Fsinθt
y2y2yFsint
m
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A m F (2 2 ) 2 2 4 2 222, B m F ( 2 2 ) 2 2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y { e tC 1 co r t C 2 s si r t } n +{Asin θt +Bcos θt }
阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而 作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结构 停止振动。
相邻两个振幅的比:
yk1
eT
y
常数
yk
振幅按等比级数递减.
Aet
An
An+1
ln yy kk 1ln eT T 2r
0
称为振幅的对数递减率.
T 2 r
如 0 .2 则 r 1 , 1r ln y k 1 ln y k 2 y k 12y k 1
•当θ=ω时,α→90°
F S k y P sin (t 9 0 0 ) F I m 2 y P s in (t 9 0 0 ) •
F D cy cy P c o s (t 9 0 0 ) 2 m yP sitn
2m
2
1
2
F m 2
sin t Fsintβ
yst
k=mω2=mθ2
振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不 同，目前主要有两种阻尼理论：
*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比： FDcy
c — 阻尼系数，粘滞阻尼系数。 （单位 N·s/m）
*滞变阻尼理论 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。
二、单自由度体系有阻尼振动微分方程
FS(t)ky(t) F I(t)m y(t)FD(t)cy
Ck
平衡方程: m & y & c y & k P y ( t )
. F D ( t )
m
1、阻尼对自由振动
. FS(t) y
m
P(t)
m & y & c y & k y 0
P(t)
P(t)
& y &cy &ky0
FI(t)
mm
& y & 2y & 2 y 0（令2 c 及2 k )
个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。
解： 21 lnyykk121 ln0 0..4 50.0335
m EI=∞
9.8kN
224.18s 91
T 1.5
kP9.813019 164 0N/m A 0 0.005
c 2m 2m 2 2k
2 0 .03 15 9 14 5 6 0 33 N s 2 /m 2 3.2 0 3 N s 2 /cm 4 .189
2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；
3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。
3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。
结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。
y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt －α)
y P A 2 B 2 y s t1 2 2 2 4 22 2 1 2 ,
t 1 g 1 2 ( ( ) ) 2
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
1 ln yk 2n ykn
工程中常用此 方法测定阻尼
2)ξ=1（临界阻尼）情况
y 2 y 2 y 0
y(C 1C 2t)et
y [y 0 (1 t) v 0 t]e t
( ± 2 1)
y tg0v0
θ0
y0
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
（2）θ＞＞ω，θ / ω → ∞， β很小。 体系振动很快，质点近似于作振幅很小的颤动。由于振
动很快，因此惯性力很大，动力荷载主要由惯性力平衡。 此时α →1800，位移与荷载反向。（y与FP反向）
（3）、θ ≈ ω，θ / ω → 1， β 增加很快 ,动力反应即振幅很
大。
此时α → 900 ，位移y(t)落后于荷载FP(t)大约900 ，即： FP(t)最大时，y(t)很小，所以FI(t)和Fs(t)都很小。 此时, FP(t)主要由阻尼力FD(t)来平衡。θ在ω附近时，阻尼 力FD(t)将起重大作用。动力系数明显受阻尼大小的影响。 在0.75＜ θ / ω＜ 1.25 之间，阻尼将大大减小简谐强迫
2
2
k 2
(2)自振频率
fT 111 .40.71(H 4)z2f4.41 8s
(3)阻尼特性 21ln12.60.03,55r 1 2(0 .9)9 1 2 9
(4)6周后的振幅
y0 y1
t0
ee (t0T)
eT
y y6 0ee ( t0 t 0 6T)
6
e6T y y1 0
y6 2 1 y y1 0l 6 n A A y nn 0 1 1 2 .2 6 1 m 6 l2 n A 0 A n. n 5 m 2 c4 m
尼大大减小了受迫振动的位移，
因此, 为了研究共振时的动力反 映, 阻尼的影响是不容忽略。在 2.0
共振区之外阻尼对β的影响较
小，可按无阻尼计算。
1.0
ξ=0 ξ=0.1
共振时 1
2
ξ=0.2 ξ=0.3 ξ=0.5
ξ=1.0
0
θ/ω
1.0
2.0
3.0
③βmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在， 122 但因ξ很小，可近似地认为： 峰 1, max 121
t
临界阻尼常数cr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）
c2m
cr2m 2mk
ccr 阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。
3)ξ>1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
2.无阻尼受迫振动：
&y&
2
y
F m
sin
t
yys1 t2 12(sit n sin t)
平稳阶段：
yyst1212sint
[y]max 1 yst 12 2
§10-4 阻尼对振动的影响
一、阻尼理论
1、阻尼的两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。
2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；
④由y=yPsin(θt－ α ) 可见，阻尼
体系的位移比荷载P=Fsin θt 滞后
一个相位角α ，
tg112(())2
弹性力FS，惯性力FI， 阻尼力FD分别为：
y y P s in (t ) , F S k y k y P s in (t ) , F I m y m 2 y P s in (t ) , F D c y c y P c o s (t )
方程的一般解为：
y ( t) e t( C 1 co r t C 2 s si r t) n
由初始条件确定C1和C2；
设
y(0)
y&(0)
y v
得 C1y C2v r y
y (t) e t( y co rt s v y sirtn ) r
( y ( t) e tA sir n t)
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主要
由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷载 处理。
•当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对说
来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
yyPsin(t), FS kykyPsin(t), FI mym2yPsin(t), FDcycyPcos(t)
m
m
（1）振动方程的解
特征方程 2220 设解为：yBet
特征值 1,2(2 1),
一般解 y (t) B 1 e 1 t B 2 e 2 t
ξ是一个重要参数，ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。
ξ ＞1
ξ =1
ξ＜1
大阻尼 临界阻尼 小（弱）阻尼
1）低阻尼情形Байду номын сангаас( <1 )
令 r 12
λi=-ωξ ± iωr
§10-4 阻尼对振动的影响
本节主要内容 •阻尼理论的了解 •单自由度体系有阻尼的自由振动 •振动方程的解 •阻尼对频率和振幅的影响 •阻尼比的确定
•有阻尼的强迫振动
无阻尼振动内容回顾
1.无阻尼自由振动：
& y &2 y 0
y(t)ycost vsint A= y02 +v02 /ω2
y(t)A sin(t) α =1tan-1 (y0ω /v0 )
振动的位移幅值。
例6. 对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振
动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。
解：(1)大梁的重量,
由
T22
W1.4s kg
W=mg
W 1 .4 2 kg 0 .04 2 9 0 9 6 8 41 .6 8 k6 N k2
2
其中
A
y2
v
r
y
tg1 r y v y
（a）阻尼对频率和周期的影响
讨论：
y
r 1 2 ,随 而
T 2 r
当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。 0
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，
可近似取: r , T r T
Aet
An
An+1
t
2
T
r
（b）阻尼对振幅的影响
振幅
Aet
简谐荷载作用下有可能出现共振。
自由振动的振幅永不衰减。
自由振动的振幅逐渐衰减。
共振时的振幅趋于无穷大。
共振时的振幅较大但为有限值。
与无阻尼强迫振动相比,有阻尼强迫振动有以下特点：
（1）θ＜＜ω，θ / ω → 0，β→ 1。
由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要由
结构恢复力平衡.此时α →00,位移基本上与荷载同步。(y 与FP同步)
振幅：yp，
最大静力位移：yst=F/k=F/mω2
动力系数：
yP
y st
1 22242 2212
动力系数β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关
几点注意： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓，
特别是在θ/ω=1附近β的
峰值下降的最为显著。
β
②当θ接近ω 时， β增加很快， 4.0
ξ对β的数值影响也很大。在
0.75< θ/ω <1.25(共振区)内，阻 3.0