最优化方法在数学建模中的应用

m
n
∑ ∑ ⑵当 ai > bj 时，问题的数学模型只需把⑴中的
i =1
j =1
n
∑ 第一个约束条件要改为： xij ≤ ai , i = 1,…, m 。 j =1 ⑶ 实际中常常要求第 i 个产地到第 j 个销地的运输量
不超过 dij ，此时，要再增加约束条件 xij ≤ dij
(1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 。
参考文献: [1]范玉妹，徐尔.数学规划及其应用(第二版)[M]. 北京：冶
金工业出版社，2003.8. [2]王冬琳.数学建模及实验[M]．北京：国防工业出版社，2004． [3]刘锋．数学建模[M]．南京：南京大学出版社，2005． [4]杨启帆，方道元．数学建模[M]．杭州：浙江大学出版社，
1999． [5]唐焕文.数学模型引论(第2版)[M]．北京：高等教育出版社，
量化地求解一个实际的最优化问题时，首先要把这个问题转化
为数学问题，即建立数学模型，使得问题得到最优化的解决。
而数学建模最关键而又最难的是模型的建立。构造模型是一种
创造，成功的模型往往是科学和艺术的结晶。下面论述一些常
见的线性规划模型，这些模型对构造思想和方法有一定的借鉴
指导意义。
1 线性规划问题的模型
m
n
∑ ∑ ⑴当产销平衡，即 ai = bj 时，上述问题的数学
i =1
j =1
模型为
mn
∑ ∑ min
cij xij
i=1 j=1
n
∑ s.t. xij = ai ,i = 1,…, m j =1
m
∑ xij = bj , j = 1,…, n
i =1
xij ≥ 0, i = 1,…, m, j = 1,…, n
·38·
合理下料问题存在于诸如玻璃、钢板、木材、纸张和制衣 等的裁剪问题中。它们的共同特点是原料的尺寸大于需求的尺 寸，最终的目标是在满足需求的前提下，使得废料最小。
在一般情况下，假设用某种原材料(板材或条材)切割 m 种 毛坯。根据经验，在单位原材料上有 n 种不同的下料方案，每
种下料方案可得各种毛坯的数量及每种毛坯的需求量如下：
线性规划模型中的最优化方法。
关键词：线性规划；目标函数；约束条件；决策变量
中图分类号：O224
文献标识码：A
文章编号：1008-4762(2008)02-0038-02
追求最优目标是人类的理想,最优化方法就是从众多可能
方案中选择最佳者,以达到最优目标的科学。随着现代化生产的
发展和科学技术的进步，最优化方法日益受到人们的重视。当
第 24 卷第 2 期 2008 年 6 月
沧州师范专科学校学报
Journal of Cangzhou Teachers’College
No.2 Vol.24 Jun.2008
最优化方法在数学建模中的应用
杨 丽，高俊宇
(沧州师专 数学系，河北 沧州 061001)
摘 要：最优化方法在实际问题中发挥着越来越大的作用。由几个实际问题介绍如何建立数学模型，以及在
设某种物资有 m 个产地， n 个需求地，各产地的产量、 各销地的销量以及各产地至各销地的单位运价如下：cij ：第 i 个产地到第 j 个销地的单位运价； ai ：第 i 个产地的产量；
bj ：第 j 个销地的需求量； xij ：第 i 个产地运往第 j 个 销地的物资数量．其中， i = 1,…m ； j = 1,…, n 。
⑷ 有时还要求第 i 个产地到第 j 个销地的供应量不少 于 fij ， 此 时 ， 在 (1) 的 基 础 上 要 再 增 加 约 束 条 件 xij ≤ fij (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 。
实际应用中，如任务分配问题、作业布局问题、设备分配 问题、人员分配问题等均可转化为上述运输问题的形式。
一般的线性规划问题总可以通过变量替换、引进松弛变量 等手段化为标准形式，从而采用单纯形法、对偶单纯形等常用 的方法求解，也可用相应的数学软件求解，以提高计算速度。
因此，难点仍在于如何从实际问题中构造出模型来。在实际应 用中，建立最优化问题数学模型的三要素为：
1）决策变量和参数 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统 的控制变量，有确定性的也有随机性的。 2）约束或限制条件 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策 变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的 数学函数形式来表示的。 3）目标函数 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效 率，即系统追求的目标。
线性规划问题的标准形式是：
minc1x1+c2 x2 +……+cn xn
(1)
s.t. a11x1+a12 x2 +……+a1n xn =b1
a21x1 +a22x2 +……+a2n xn =b2
…………
(2)
am1x1 +am2x2 +……+amn xn =bm
x1,x2 ,…xn ≥ 0
其中(1)为目标函数，(2)为约束条件， x j ≥ 0( j = 1,…, n) 为
xj ∈{1, 0}, j = 1,…,需要从 m 个生产地运往 n 个销
售地。如果每个产地的供应量、每个销地的单位运费都是已知 的，那么将这种物资从各个产地调运到各个销地，调运的方案 可以很多。应如何组织调运，才能使总运费或运输量最小，就 称为运输问题。
n
∑ max c j x j j =1
n
∑ s.t. aij x j ≤ bi ,i = 1,…, m j =1
d j ≤ x j ≤ k j , j = 1,…, n.
2.2 合理下料问题
* 收稿日期：2007-10-12
作者简介：杨 丽（1981— ），女，河北沧州人，沧州师专数学系教师； 高俊宇（1965— ），女，河北沧州人，沧州师专数学系副教授。
非负约束。
线性规划也常用矩阵—向量的形式表示。若记
c = (c1,…, cn )T ， x = (x1,…, xn )T ， b = (b1,…, bm )T ， A 为 m × n 矩阵，把非负约束 x j ≥ 0( j = 1,…, n) 简记为 x ≥ 0 ，则线性规划可表示为：
min cT x s.t. Ax = b x≥0
x j ≥ 0, x j ∈ Z , j = 1,…, n.
2.3 投资问题 投资问题就是将一定数量的资源(如资金、人力、物资、技
术等)分配到不同的投资项目，在若干种可行的投资方案中做出 选择，使产生的经济效益最大。
设有 m 种资源分配到 n 个投资项目，各资源与投资项目
的有关信息如下： aij ：第 i 种资源用于第 j 个项目投资的数
(2)企业自身的生产条件。设该企业有 m 种资源(如原材
料、辅助材料、动力、机器设备、劳动力、自然资源等)。各种
资源的信息如下： aij ：第 j 种产品对第 i 种资源的单耗； bi ：第 i 种资源的拥有量； c j ：第 j 种产品每生产一个单位 产品的收入；x j ：第 j 种产品的计划产量。其中，i = 1,…m ； j = 1,…, n ，则上述问题的数学模型为：
aij ：第 j 种下料方案得到第 i 种毛坯的数量； bi ：第 i 种 毛坯的需要量； x j ：第 j 种下料方案所耗用的原材料数。其 中，i = 1,…m ； j = 1,…, n 。 于是，该问题的数学模型为：
n
min ∑ x j j =1
n
∑ s.t. aij x j ≥ bi ,i = 1,…, m j =1
2005． [6]解可新，韩健，林友联.最优化方法[M]. 天津：天津大学
出版社，2004.8.
[责任编辑：尤书才]
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2 几种常见的线型规划模型举例
2.1 生产计划问题 设某企业能够生产某些产品，要求确定那些品种的产品及
其产量，使其总收入达到最大。一般地，在安排生产计划时， 要考虑以下两方面：
(1)国家下达的某些产品的计划任务及用户的需求。这里用
d j 表示第 j 种产品的计划最低产量（ d j ≥ 0 ），k j 表示受 市场需求量控制的最大产量（ k j ≥ 0 ）。
量 ； bi ：第 i 种资源的限量； c j ：第 j 个项目投资所得收
益；x j = ⎧⎨⎩10（1表示对第 j 个项目投资，0表示不对第 j 个
项目投资）。其中， i = 1,…m ； j = 1,…, n ，则上述问
题的数学模型为：
n
∑ max c j x j j =1
n
∑ s.t. aij x j ≤ bi , i = 1,…, m j =1