图论在数学建模中的应用
【数学建模 组合与图论】图论
最短路问题
例：考虑右图 （1,2,3）是基本通路 （1,1,1,2,3）是通路 （1,2,4,1,4,3）是简单通路
（1,2,4,1,4,3,1）是回路
（1,2,4,1,2,3,1）是简单回路 （1,2,4,3,1）是基本回路
最短路问题
例:在下图G中，取Γ1 = v1v2v3 ，Γ2 = v1v2v3v4v2 ，
图的概念
图论是一个应用十分广泛而又极其有趣的数学分支。 物理、化学、生物、科学管理、计算机等各个领域 都可找到图论的足迹。本讲座主要介绍图论的一些 基本知识、图论中常用的初等方法。
例：可以把右图看成是 一个公路网，v1,…,vl0 是一些城镇，每条线旁 边的数字代表这一段公 路的长度。现在问，要 从v1把货物运到v10。走 哪条路最近？这个问题 通常叫做最短路径问题.
图的概念
关联矩阵和邻接矩阵：设图G = (V,E)，V = {v1,v2,…,vn}，E = {e1, e2,…,em} 。G 的关 联矩阵 M(G) = [ mij] 是一个 n×m 矩阵， 其中 mij 为点 vi 与边 ej 关联的次数；G的 邻接矩阵 A(G) = [ aij] 是一个n阶方阵，其 中aij 是连接 vi 与 vj 的边的数目。
例：下图中，d(v2, v4) = 5，相应的最短路为Γ：v2v1
v3v4。
1
v2
v1
3
1
6
v3
3
v4
G
最短路问题
例（渡河问题）:一个摆渡人要把一只狼、一只羊和 一捆菜运过河去。由于船很小，每次摆渡人至多只 能带一样东西。另外，如果人不在旁时，狼就要吃 羊，羊就要吃菜。问这人怎样才能安全地将它们运 过河去？
在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的 还是无向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和 vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
03图论在数学模型中的应用
专业负责人（签字）：
年月日
系审查意见：
签章
年月日
备注：
说明：1、表中“课题类型”是指模拟课题、实践课题、科研、论文式课题，由指导教师按类填写。
2、本表用钢笔填写或用计算机打印，字迹须清晰。
3、本表须报教务处备案。教研室、系各留一份。
毕业设计（论文）材料之一（1）
安徽工程科技学院2008届本科
毕业设计（论文）选题审批表
系别：应用数理系
课题名称
图论在数学模型中的应用
课题类型
论文式课题
适用专业
数学与应用数学
指导教师
周金明
专业职务
助教
核批学生数
1
课题完成形式
论文形式
本课题性质、主要内容及意义：
图论建模是指对一些客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。
建立图论模型的目的和建立其它的数学模型一样，都是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以是存在性或是构造性问题；并且，和几何模型、运筹学模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用它模型在它们的研究方法上又有着很大的不同，例如我们可以运用典型的图论算法来对图论模型进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种直观的结构来描述的也很少。
数学建模——图论篇
软件学院
图论原理 一. 图的概念 一个图 G=<V(G),E(G)>, 其中结点集V(G):是G的结 点的非空集合.(V(G)≠Φ),简记成V;边集E(G):是 G的边的集合. 有时简记成E. 结点: 用 表示, 旁边标上该结点的名称. 边:有向边:带箭头的弧线.从u到v的边表示成(u,v) 无向边:不带箭头的弧线.u和v间的边表示成(u,v)
v3
软件学院
图论原理
回路:如果一条路的起点和终点是一个结点,则称此路 是一个回路. 如果一条路中所有边都不同,则称此路为迹或简单通路. 如果一条回路中所有边都不同,则称此回路为闭迹或简 单回路. 如果一条路中所有结点都不同,则称此路为基本通路. 如果一条回路中所有结点都不同,则称此路为基本回路. 一条基本通路一定是简单通路，但是一条简单通路不 一定是基本通路
图论原理
图的同构 设G=<V,E>和G’=<V’,E’>是图,如果存在双射f:VV’ 且任何 vi,vj∈V,若边(vi,vj)∈E,当且仅当 边(f(vi),f(vj))∈E’, (则称G与G’同构,记作G≌G’. (同构图要保持边的“关联”关系) 例如:右边所示的两个图: a b 1 4 G=<V,E> G’=<V’,E’> c d 3 2 构造映射f:VV’ a 1 b 2 c 3 d 4 a 1 b 2 c 3 d 4
软件学院
图论原理
2.汉密尔顿图的判定: 到目前为止并没有判定H图的充分必要条件. 定理1 (充分条件):G是完全图,则G是H图.
K2
K3
K4
K5
定理2(充分条件)设G是有n(n>2)个结点的简单图,若对G中每 对结点度数之和大于等于n,则G有一条H路(H回路)。
数学建模中的图论方法
数学建模中的图论方法一、前言我们知道，数学建模比赛中有问题A和问题B。
一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是失散系统中的问题。
因为我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比率较大，而离散数学比率较小。
所以好多人有这样的感觉，A题下手快，而B题不好下手。
其他，在有限元素的失散系统中，相应的数学模型又可以区分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。
但是这种问题在MCM中特别少见，事实上，由于比赛是开卷的，参照有关文件，使用现成的算法解决一个P类问题，不可以显示参赛者的建模及解决实诘问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都还没有成立有效的算法，或许真的就不行能有有效算法来解决。
命题经常以这种NPC问题为数学背景，找一个详细的实质模型来考验参赛者。
这样增添了成立数学模型的难度。
但是这也其实不是说没法求解。
一般来说，因为问题是详细的实例，我们可以找到特其他解法，或许可以给出一个近似解。
图论作为失散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的好多方面都能供给有力的数学模型来解决实诘问题，所以吸引了好多研究人员去研究图论中的方法和算法。
应当说，我们对图论中的经典例子或多或少仍是有一些认识的，比方，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。
图论方法已经成为数学模型中的重要方法。
好多灾题因为归纳为图论问题被奇妙地解决。
并且，从历年的数学建模比赛看，出现图论模型的频次极大，比方：AMCM90B－扫雪问题；AMCM91B－找寻最优Steiner树；AMCM92B－紧迫修复系统的研制(最小生成树)AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题)CMCM93B－足球队排名(特点向量法)CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立极点集、最小覆盖等用来证明最优性)CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路)等等。
这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数学建模中的图论算法及其应用研究
数学建模中的图论算法及其应用研究引言：数学建模是指利用数学方法和技巧对实际问题进行分析、抽象、描述、求解和预测的一种研究方法。
图论作为数学建模中的重要工具之一，被广泛应用于各个领域，如网络分析、交通规划、社交网络等。
本文将介绍数学建模中常用的图论算法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、图论基础知识1.1 图的概念图是由一些点和连接这些点的边组成的集合。
点表示图中的实体或对象，边表示实体之间的关系。
图包含了很多重要的信息，例如节点的度、连通性等。
1.2 图的表示方法图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的元素表示节点之间是否相连。
邻接表是一个由链表构成的数组，数组的每个元素表示一个节点，每个节点的链表存储了与该节点相连的节点列表。
二、图的遍历算法2.1 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法。
从一个节点出发，递归地访问它的相邻节点，直到所有可达的节点都被访问过为止。
DFS可以用于寻找连通分量、路径搜索等问题。
2.2 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索是另一种图的遍历算法。
从一个节点出发，依次访问它的相邻节点，然后再依次访问相邻节点的相邻节点。
BFS可以用于寻找最短路径、网络分析等问题。
三、最短路径算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于寻找图中两个节点之间的最短路径。
它基于贪心策略，从起点开始逐步扩展最短路径，直到到达终点或无法扩展为止。
Dijkstra算法在交通网络规划、电力网络优化等领域有广泛应用。
3.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于寻找图中所有节点之间的最短路径。
它通过动态规划的思想，逐步更新每对节点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法在地理信息系统、通信网络等领域有重要应用。
四、最小生成树算法4.1 Prim算法Prim算法用于寻找连通图的最小生成树。
它从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点，并将其加入最小生成树中。
图论在大学生数学建模竞赛中的应用
和为奇数 （ 或偶数） 的两锁具之间不可能互开 ， 以若 ６ 所 Ｏ个装一箱 ， ９０个锁具可 以装 ４ ２４ ９箱 ， ４ ９箱槽高之 和为奇数或偶数的锁具 ， 肯定不能互开． 现在的问题是 ４ 箱是不是最大可能的？ ９
十 收稿 日期 ：０２— ４— ８ ２ １ ０ ０
基 金项 目： 自然科 学基金 资助Ｚ０１１ 国家 ６ １３３ ，１６０４ ； Ｌ ２１２ ）
１ 二分图的最大匹配 、 最大点独立集在大学生数学建模竞赛 中的应用
定义 １ 若 （ ）＝ ｕＹ ＸｆＹ Ｇ ， ３ ＝西， Ｙ均非空 ， 图 Ｇ的每一 条边 都有 一 个顶 点 在 ｙ中 ， 称 图 Ｇ为 、 且 则
二分 图．
定义 ２ 图 Ｇ的互不相邻的顶点子集称为点独立集． 问题 １ 某 锁具 厂生 产一批 弹子锁 具 ， 每个锁具 的钥匙有 个 ５槽 ， 每个槽 的高度从 （ ， ，，， ，） 数 １２３４ ５６ ６个 （ 单位略 ） 中任取一个 ， 由于工艺及其它原因， 制造锁具时对 ５ 个槽 的高度还有两个限制 ： 至少有三个不同的 数； 相邻两槽的高度之差不能是 ５ 满足以上条件的所有互不相 同的锁具称为一批． ． 另外 ， 若两个锁具对应的 ５个 槽 高 中有 ４个 相 同 ， 另一 个槽高 只相差 １则 可能互 开 ； 它情 形不 可能互 开． 在 的问题是 ： ， 其 现 一批 锁具 有 多少个 若 ６ Ｏ个装一箱 ， 团体购买多少箱不会出现互开现象？ 分 析 ６种 高度 ５ 槽 的钥匙 最多 可能有 ６ ＝ ７ ， 过排 列组 合 ， 去不 满足 条件 的各种 情 况 ， 以 个 ７ ７６ 通 除 可 算 出一批 锁具 的总数为 ５８ ０件． ８
基于图论的数学建模
邻接矩阵
表示图中每个节点之间的连接关系，用0和1表示。如果节点i 和节点j之间存在一条边，则矩阵的第i行第j列的元素为1，否 则为0。
度矩阵
表示图中每个节点的度数（即与其相邻的节点数）。如果节 点i的度数为k，则矩阵的第i行第i列的元素为k。
图上的最短路径问题
Dijkstra算法
求图中两个节点之间的最短路径。通过不断迭代，每次将当前未被访问过的 节点中距离最短的节点加入已访问集合，并更新其邻接节点的最短路径。
研究目的和意义
提出了基于图论的数学建模的必要性和重要性。
建立了一种基于图论的数学模型，用于描述和分析现实世界 中的问题和现象。
研究方法与内容概述
简要介绍了研究方法和研究内容。
着重介绍了图论在数学建模中的应用，并给 出了相应的实例和分析。
02
图论基础知识
图论的基本概念
端点
边与顶点相连接的两个点。
图
由顶点（节点）和边（连接两个节点的线 ）组成的结构。
边
连接两个顶点的线段。
邻接
两个顶点之间的连接关系。
顶点
图的组成部分，通常表示个体或对象。
图的表示和构造
邻接矩阵
表示图中各顶点之间连接关系的矩 阵。
邻接表
表示图中各顶点及其相邻顶点的列 表。
深度优先遍历
按照某种规则访问图中的所有顶点 。
广度优先遍历
图论在生物信息学中的应用
基因网络分析
利用图论方法分析基因之间的相互作用，揭示基因网络的结构和功能，为研究基 因的表达和调控提供支持。
蛋白质相互作用网络
通过构建蛋白质相互作用网络，利用图论方法分析蛋白质之间的相互作用，为研 究疾病的发生机制和药论的推荐算法案例分析
应用性问题中常见的数学建模
应用性问题中常见的数学建模【摘要】数统计、格式要求等。
谢谢！在解决实际应用性问题时，数学建模是一个重要的工具。
本文将介绍常见的数学建模方法，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型和概率模型。
通过这些建模方法，我们可以有效地分析和解决各种实际问题。
结合实际情况进行灵活应用是数学建模的关键，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，并且为决策提供了有力的支持。
通过数学建模，我们可以更好地理解问题的本质、优化决策方案，并提高解决问题的效率和准确性。
掌握不同类型的数学建模方法对于解决实际问题具有重要意义。
【关键词】数学建模、应用性问题、线性规划、整数规划、图论、动态规划、概率、实际问题、重要作用、灵活应用1. 引言1.1 应用性问题中常见的数学建模应用性问题中常见的数学建模指的是将实际生活中的问题抽象化为数学形式，并通过数学方法进行求解和分析的过程。
数学建模可以帮助人们更好地理解和解决各种实际问题，包括工程、经济、环境等领域的相关问题。
在现实生活中，人们遇到的问题往往是复杂多样的，而数学建模能够帮助我们系统地分析和解决这些问题。
数学建模的过程通常包括问题的定义、建立数学模型、模型求解和结果的分析等步骤。
通过数学建模，我们可以利用数学工具和方法对问题进行深入分析，并找到最优解或者最优策略。
在实际应用中，数学建模多种多样，包括线性规划模型、整数规划模型、图论模型、动态规划模型、概率模型等。
通过数学建模，我们可以更好地理解实际问题的本质，为决策提供科学依据。
数学建模在解决实际问题中起着重要作用，不同类型的数学建模适用于不同类型的应用性问题，同时数学建模需要结合实际情况进行灵活应用。
数学建模的发展将为人类社会的进步和发展提供更多可能性和机会。
2. 正文2.1 线性规划模型线性规划模型是一种常见的数学建模方法，它在解决各种应用性问题中都具有重要作用。
在线性规划模型中，我们需要定义一个目标函数以及一组约束条件，通过最大化或最小化目标函数来找到最优解。
图论开题报告
毕业设计（论文）开题报告
设计(论文)题目图论及其在数学建模中的应用研究
院系数学与统计学院
专业信息与计算科学
年级2010级
学生学号************
学生姓名蒋炼
指导教师鲁祖亮
重庆三峡学院教务处制
综述本课题研究动态、选题目的及意义
研究动态：
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
3、搜索与图论相关的历史文献，了解图论的来历及图论的在数学研究领域的发展史，之后并被逐步运用到各个数学领域，尤其是其在数学建模中的重要作用。
研究方法、步骤及措施
研究方法：
1、问卷调查法（向学校同学及老师展开对图论及其在数学建模中的应用研究的话题调查，分析他们对这个话题的了解程度及兴趣方向）
2、文献分析法
（3）理清思路，写出开题报告和论文主要内容。
（4）开始论文写作，从多角度对图论在数学建模中的应用进行方法分析及研究，并总结提出一些实用性强的改进策略，提交英文文献翻译、中期报告。
（5）在指导老师帮助下对论文初稿反复修改、校正，不断完善以至定稿。
措施：
首先通过对学校同学及老师对图论及其在数学建模中的应用研究的问卷调查，大概了解到我们对于这个问题的认识程度，并从这个方面展开书写模式，有一个大概的全文步骤。再查阅各种文献分析，了解主成分分析的图论的应用及图论在数学建模中的应用研究，并在此基础上进行分析和改进，提出自己的见解。
选题意义：
建立图论模型的目的和建立其它的数学模型一样,都是为了简化问题,突出要点,以便更深入地研究问题的本质;它的求解目标可以是最优化问题,也可以是存在性或是构造性问题。本课题的目的在于了解这方面的知识和应用，拓宽思路，掌握更多的实践知识。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。而图论作为解决数学建模中的问题的重要方法之一，也是值得我们去了解及应用的。
数学建模-图论篇
data
firstarc
nextvex
边结点表中的结点的表示：
data:结点的数据场，保存结点的 数据值。
firstarc:结点的指针场，给出自该 结点出发的的第一条边的 边结点的地址。
nextvex:结点的指针场，给出该结 点的下一结点的地址。
info:边结点的数据场，保存边的 权值等。
adjvex:边结点的指针场，给出本
2C 3D
20 30 ∧
data firstin firstout
tailvex headvex hlink tlink
0
1
02
∧
31∧
2
3
∧∧
3 2 ∧∧
图的存储结构
4、邻接多重表
•结点表中的结点的表示
：
data
firstedge
data:结点的数据域，保存结点的 数据值。
firstedge: 结点的指针域，给出自该
A
B
E
表示成右图矩阵
C
D
011 00 100 11 1000 1 0100 1 0111 0
图的存储结构
1、邻接矩阵和加权邻接矩阵（labeled adjacency matrix）（续）
•有向图的加权邻接矩阵
设有向图具有 n 个结点，则用 n 行 n 列的矩阵 A 表示该有向图；
并且 A[i,j] = a , 如果i 至 j 有一条有向边且它的权值为a。A[i,j] =无穷，如果 i 至 j 没有一条有向边。
邻接表
十字链表
邻接多重表
1、邻接矩阵和加权邻接矩阵（labeled adjacency matrix） •无权值的有向图的邻接矩阵
设有向图具有 n 个结点，则用 n 行 n 列的布尔矩阵 A 表示该有向图；
数学建模中的图论方法
数学建模中的图论方法----图论的基础知识
哈密尔顿回路，起源于一个名叫“周游世界”的游戏， 它是由英国数学家哈密尔顿（Hamilton）于1859年提出的。 他用一个正十二面体的20个顶点代表20个大城市（图 (a)），这个正十二面体同构于一个平面图（图(b)）。要 求沿着正十二面体的棱，从一个城市出发，经过每个城市 恰好一次，然后回到出发点。这个游戏曾风靡一时，它有 若干个解。图(b)给出了一个解。
A B C A
B
C
A
B
C
a
b G1
c
d
e
a
b
c G2
d
e
a
b
c G3
d
e
数学建模中的图论方法----图论中的几个实用算法
4.图论中的几个实用算法
1．加权图中的最短路径的Dijkstra算法
最短路径问题：给定连接若干城市的铁路网，寻找从 指定城市到各城市去的最短路线。 数学模型：设 G V , E,W 是一个加权图，边 u, v 的权 记为 u, v ，路径P的长度定义为路径中边的权之和，记 为 P。两结点u和v之间的距离定义为
（1）如果结点v2 , v3 , v4之间至少有一条红边，比如 v2 , v3 是 红边，则得到红色的三角形 v1v2v3； （2）如果结点v2 , v3 , v4之间的边全是蓝色的，则得到蓝色 的三角形 v2v3v4。 关于问题中的结点数，对任何n 6 ，命题都成立．但 当n 5 时，命题便不成立了。这说明：不同的六个点是保 证用两色涂染其边，存在同色三角形的最少点数。
2 15 17 18 11 10
16 1 20
14 13 12 6 7 3 4 5
19 9
图论及其在数学建模中的应用
v3
v5 v6
v8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v1
v2
v4
v7
路 v1v2v4v5v3v4v6v7 的长度为 7 回路 v2v4v5v6v4v3v2 的长度为 6 圈 v2v4v5v3v2 的长度为 4
命题：若点 v 与 v 之间有路，则必有一条长度不 超过 |V | - 1 的路。
在图 G 中，若点 u、v 之间有路，则称 u、v 连通。若
转 (2)。
注：v S 时，l(v) 表示 vs 至 v 的最大容量路的容量;
具体路径可以通过反向跟踪获得，即 v 的紧前点 u 应满足
min{l(u), w(u, v)} l(v) .
三、树
无圈的连通图称为树。树的等价定义：
(1) G 无圈且 |E| = |V| - 1 ； (2) G 连通且 |E| = |V| - 1 ； (3) G 无圈，但在两个不相邻的点之间添加一条边后得
l(u) = l(v)，因此在步骤 (2) 发现 l(u) = l(v) 时，(u, v) 不能
最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。
Dijkstra 算法
假设：对一切 e E，有 w(e) 0 。
(1) l(vs ) 0 , l(v) (v vs ) , S {vs }, i s . (2) 若 S V，则终止；否则，对每个 v S 且 {vi , v} E，
令 l(v) min{l(v), l(vi ) w(vi , v)} . (3) 设 l(vk ) min{l(v)| v S}，令 S S {vk }，i k，
(1) 令 l(v) 0 (v V ), S {vs }, k 1 ; (2) 取 v S， 令 S S \ {v}, l(v) k ; (3) 对 每 个v V， 若 {v, v} E 且 l(v) 0， 则 将v
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结数学建模是运用数学方法和技巧来研究和解决现实问题的一门学科。
它将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过数学推理和计算求解模型，从而得出对实际问题的理解和解决方案。
本文将总结数学建模中常用的模型类型和求解方法，并介绍每种方法的应用场景。
一、线性规划模型与求解方法线性规划是数学建模中最常用的模型之一，其基本形式为：$$\begin{align*}\max \quad & c^Tx \\s.t. \quad & Ax \leq b \\& x \geq 0\end{align*}$$其中，$x$为决策变量向量，$c$为目标函数系数向量，$A$为约束系数矩阵，$b$为约束条件向量。
常用的求解方法有单纯形法、对偶单纯形法和内点法等。
二、非线性规划模型与求解方法非线性规划是一类约束条件下的非线性优化问题，其目标函数或约束条件存在非线性函数。
常见的非线性规划模型包括凸规划、二次规划和整数规划等。
求解方法有梯度法、拟牛顿法和遗传算法等。
三、动态规划模型与求解方法动态规划是一种用于解决多阶段决策问题的数学方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的最优解。
常见的动态规划模型包括最短路径问题、背包问题和任务分配等。
求解方法有递推法、记忆化搜索和剪枝算法等。
四、图论模型与求解方法图论是研究图及其应用的一门学科，广泛应用于网络优化、城市规划和交通调度等领域。
常见的图论模型包括最小生成树、最短路径和最大流等。
求解方法有贪心算法、深度优先搜索和广度优先搜索等。
五、随机模型与概率统计方法随机模型是描述不确定性问题的数学模型，常用于风险评估和决策分析。
概率统计方法用于根据样本数据对随机模型进行参数估计和假设检验。
常见的随机模型包括马尔可夫链、蒙特卡洛模拟和马尔科夫决策过程等。
求解方法有蒙特卡洛法、马尔科夫链蒙特卡洛法和最大似然估计等。
六、模拟模型与求解方法模拟模型是通过生成一系列随机抽样数据来模拟实际问题，常用于风险评估和系统优化。
图论在数学建模中应用
数 学 建 模
算法步骤：
• 第一步：任取
v0 V (G)，令 l (v0 ) 0, l (v) (v v0 ),
S0 {v0 }, S 0 V (G) \ S0 , T0 v0 , i 0.
• 第二步：对 v S i , ，若 w(vi v) l (v), ，则令
数 学 建 模
例
5
V2
V3
1
V5
1
V1
2 8
4
6
2
V4
数 学 建 模
G中从v 0 到其余各点的最短路
Dijkstra算法步骤
• 第一步：令 l v0 0 , l v v v0 S v0 S V \ S i 0 。 • 第二步：对每个v S 令 l v0 min l v , l vi vi v
取 v* S 使得 l v* minl v
vs
记 vi 1 v
*
令 S S vi 1, S V \ S • 第三步：令 i i 1 如果 i v 1 ，则停止，输出各 点标号并反向追溯最短路；否则，转第二步。
数 学 建 模
• 算法中步骤(1)和(3)是清楚的,现在对2给以说明。 • l (v) 表示从v0 到 v i的不包含 s中其它结点的最短通路 的长度,但 l (vi ) 不一定是从 v0 到 vi 的距离,因为从 v0 到 vi 可能有包含 s中另外结点的更短通路。 l (v • 首先我们证明“若v i 是s 中具有最小 ) 值的结点,则
数 学 建 模
Floyd算法
算法的基本步骤 （1）输入权矩阵 D (0) D
(k 1,2,, n) （2）计算 (k ) ( k 1) ( k 1) ( k 1) 其中 dij min[dij , dik dkj ]
常用数学建模方法及实例
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
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v5 = (2, 2); v6 = (1, 1); v7 = (0, 3); v8 = (0, 2)
v9 = (0, 1); v10 = (0, 0)
以 V ={ v1, v2 , …, v10 }为顶点集,考虑到奇数次渡河及
在《图论及其应用》一书中提到了一些图的若干问题，最短路径，最优二元树，最优Hamilton图，课本中已经给出了一些经典的解法，通过查阅资料发现，如果采用图的矩阵表示这类方法，可以为这些问题提供新的解答思路或者可以优化原来的解答过程；此外，如果采用图的矩阵表示，将使其描述更加接近计算机逻辑和语言，方便将图论问题转换成计算机语言，进而借助计算机的运算性能解决图论的一些复杂计算问题。因而，在图论中图的矩阵表示有着重要的地位。
求决策 ，使状态 按照状态转移规律，由初始状态 经有限步n到达状态 。
接下来讨论模型的求解，设 是某个可行的渡河方案所对应的状态序列，若存在某 ，且同为奇数或同为偶数，满足 ，则称 所对应的渡河方案是可约的。这时 也是某个可行的渡河方案所对应的状态序列。显然，一个有效的渡河方案应当是不可约的。
设渡河已进行到第k步， 为当前的状态，记 ， ，为保证构造的渡河方案不可约，则当前的决策 除了应满足：
1） ，且当k为奇数时， ，当k为偶数时， ；
还须满足：
2）当k为奇数时， ；当k为偶数时， 。
D 通过作图，可以得到两种不可约的渡河方案，如下图：
在平面坐标系上画出图示那样的方格，方格点表示s状态 =(x,y) ，允许状态是用圆点标出的10个格子点，允许决策 dk 是沿方格线移动1或2格，k为奇数时，向左、下方移动，k为偶数时，向右、上方移动。图中给出了一种方案，此结果很容易翻译成渡河方案。
有两道比较经典的例题
三名商人各带一个随乘船渡河,现有一只小船只能容纳两个人,由他们自己划行.若在河的任一岸的随从人数比商人多,他们就可能抢动财物.但如果乘船渡河的大权掌握在商人手里,商人们怎样才能安全渡河呢?
2个随从先过去
1个随从过来再接一个随从过去
这时 一边3个随从另一边3个商人
1）将访问标记置位；
2）首先判断此点的路径长是否已知(即TArrEle.Dis<MaxInt)，如未知，则计算出长度后存储入TArrEle.Dis；
3）如果找到路径,将访问标记复位；否则的话访问标记将保持为True；
（三） Euler图的判别
在实现连通图已经判别的基础上，只需判定每行元素个数都是偶数个，即可判定此图为Euler图。
例2 三名商人各带一个随从乘船渡河,现有一只小船只能容纳两个人,由他们自己划行,若在河的任一岸的随从人数多于商人,他们就可能抢劫财物。但如何乘船渡河由商人决定,试给出一个商人安全渡河的方案。
下面分析及求解
假设渡河是从南岸到北岸, (m, n)表示南岸有 m 个商
人, n个随从,全部的允许状态共有 10个
基本定义：
（1）一个图G=(V,E)由它的顶点与边之间的关联关系唯一确定；也由它的顶点对之间的连接关系唯一确定。图的这种关系可以用矩阵来描述，分别称为G的关联矩阵与邻接矩阵。
令: M(G) = { }n×n, 其中 = 称M(G)为G 的邻接矩阵.
（2）令G=(V,E)为一个加权无向图，其中V={v1,v2,…,vn}为顶点集合，E 为边集合。图G中每一条边e都对应一个实数W(e),则称w(e)为该边的权。
次向右,向上。
由图 3可得这样的过河策略,共分 11次决策 ,于应用
邻接矩阵所求的结果吻合。
由这两道经典例题可以得出，使用邻接矩阵描述方便直观，使问题变的简单易懂，应用邻接矩阵的方法不仅能够说明Vi到Vj的路径的长度为K时是否可行，而且能反应出可行的路径条数，从而能够寻找最合适实际的路径或最短路径，是一种简单便于计算机求解的方法。
记第k次渡河前此岸的商人数为 ，随从数为 , k=1,…,n。将二维向量 定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S, 。
记第k次渡船上的商人数为 ，随从数为 , k=1,…,n。将二维向量 定义为决策。考虑小船载人数的限制， 应满足 ，而称 为允许决策集合。
因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸；k为偶数时，船从彼岸驶回此岸，所以状态 随决策 的变化规律是 （状态转移规律）。
算法的简单描述:
计算点Vi(Xi,Yi)到点Vj(Xj,Yj)的最短路径(递归运算)
（1）判断是否为同一点，是，退出；否则继续；
（2）找出(Xi,Yi)周围的八个点分别计算出到(Xj,Yj)路径的长；
（3）找出在第二步中计算出的最短路径。
将第（2）步细化(下面所说的点指的是周围的八个点)
（四）利用矩阵翻转法求最优Hamilton图。
求最佳Hamilton图是一个NP问题（非确定性问题），通常用近似算法——二边修正法来求该问题的近似最优解。二边逐次修正法传统的实现过程比骄傲麻烦么热切当顶点数较多的时候，设置没办法求解。用矩阵翻转法来实现二边逐次修正法过程，编程容易，程序简洁，独立，计算速度非常快，而且使用顶点数目较多的情况。详细资料请参考（《利用矩阵翻转法求最佳Hamilton图》杨秀文，陈郑杰等）
其具体建模过程如下: 把安全渡河问题视为一个多步决策的过程. 每一步即船由此岸驶向彼岸或彼岸驶回此岸, 都要对船上的人员 ( 商人, 随从各几人) 作出决策, 在保证安全的前提下（即两岸的商人数都不比随从数少）, 用有限步使人员全部过河. 用状态S(变量)表示某一岸的人员状况, 决策(变量)表示船上的人员状况, 可以找出状态随决策变化的规律. 这样安全渡河问题就转化为在状态的允许变化范围内即满足安全渡河的条件下, 确定每一步的决策, 达到安全渡河的目标. 由上述分析进行构造模型. 记第 k次渡河前此岸的商人数为 Xk , 随从数为 Yk , k = 1, 2, …; Xk , Yk = 0, 1, 2, 3, 将二维向量 Sk = ( Xk , Yk )定义为状态,把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合, 记作 S , 则 S = { (X , Y )| X = 0 或 3, Y = 0, 1, 2, 3; X = Y = 1, 2}. 记第 k 次渡河船上的商人数为 Uk , 随从数为 Vk , 将二维向量 Dk = ( Uk , Vk )定义为决策, 由小船的容量可知允许决策集合(记作D)为D = { (U , V ) |U + V = 1, 2}. 因为 k 为奇数时, 船是从此岸驶向彼岸, k 为偶数时, 船是由彼岸驶回此岸, 所以状态 Sk 随决策 Dk 变化的规律是 S(k + 1) = Sk + ( - 1)^k*Dk , k = 1, 2, …. 制定安全渡河方案就归结为如下的多步决策问题: 求决策 Dk∈D ( k = 1, 2, …,n ) , 使得状态Sk∈S 按照状态转移律由初始状态S1 = ( 3, 3) , 经有限n到达状态 ( 0, 0).
最后我们用图解法来描述
前面我们已求出问题的 10种允许状态,允许决策向量
集合 D ={ (u, v): u + v =1, 2},状态转移方程为 Sk +1 =Sk
( - 1)k dk,如图 2,标出 10种允许状态,找出从 s1 经由允许
状态到原点的路径,该路径还要满足奇数次向左,向下;偶数
设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。商人们怎样才能安全渡河呢？
因这已经是一个相当清晰的理想化问题，所以直接讨论其模型描述以及模型求解。这里将ห้องสมุดไป่ตู้描述为一个动态决策问题：
则有如下判断：
定理1 阶至少为3的图G是连通的充分必要条件为R(G)中的每个元素都不等于零。
（二） 最短路径问题
Dijkstra算法是目前为止求解最短路问题的最好算法。传统的Dijkstra算法计算量较大，运算速度较慢，但是如果将Dijkstra算法和矩阵算法结合运用，可使计算时间明显减少，并能获得精度较高的结果。(参考文献：杨秀文，陈郑杰等——《利用矩阵翻转法求最佳hamilton图》)
1 安全渡河问题及其数学模型
安全渡河问题是指：三名商人各带一个随从乘船渡河, 一只小船只能容纳二人, 由他们自己 划行.随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中. 问商人们如何才能安全渡河呢？
安全渡河问题虽然看起来较简单, 但它已被许多数学模型教材选为建模示例, 它的建模思路和方法不仅提供给我们怎样实现从现实对象到数学模型的过程, 而且提供给我们一个能够有效解决很广泛的一类问题的建模方法. 安全渡河问题其实可算是一种智力游戏, 经过一番逻辑思索是可以找到解决方法. 但是如果题目的条件变化了如商人数和随从数增加了, 那么通过逻辑思索求解起来就很困难。而用数学模型的方法能够较方便地求解, 而且也很容易进行推广, 所以很多教材均采用数学模型的方法来求解.
令：M(G)={ } n×n, =
以下尝试使用图的矩阵来描述或解决图论中的一些定义和问题（注：图的范围限定为简单图,相关定理参考文献《图论及其应用》）。
（一） 连通图的判别
设图G的邻接矩阵为M(G),作一个p阶方阵：
R(G)=M(G)+M2(G)+…+MP-1(G),R(G)称为G的可达矩阵。
再让一个随从过来下船 让2个商人过去
商人过去之后让一个随从一个商人乘船过来
让随从下船商人上船 2个商人再一起过去
这下对岸3个商人1个随从 另一边2个随从