图论在数学建模中应用

数 学 建 模
树及其性质：
• 不含圈的图称为森林，不含圈的连通图称为树。 • 生成树： 设 T 是 G 的一个子图，如果 T 是一棵树，且 v(T ) v(G) ，则称 T 是 G 的一个生成树。 每个连通图都有生成树。
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树的性质（下例命题等价）： 是树； 中无环边且任二顶点之间有且仅有一 条路； 3. G 中无圈且 v 1 ； 4. G 连通且 v 1 ； 5. G 连通且对任何 e E (G),G e 不连通； 6. G 无圈且对任何 e E(G),G e 恰有一个 圈； 1. 2.
算法的计算复杂度：
• Prim算法的主要计算量在第2步。在算法第轮循 环执行第步时，中有个顶点，中有个顶点，故到 间最多有条边，从这些边中选出一条权最小的边， 需要次比较。算法需循环执行第2部次，因此总 的计算量为
[i(v i) 1] i(v i)
i 1 i 1
v 1
图论及其应用
大连大学数学建模工作室
主讲：刘飞月
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图论最基本的概念
图(Graph)：由点及连接线所构成的 图形，用G=(V,E) 表示。 点(vertex)：代表事物。
V (G) {v1 , v2 ,, vn }
线(edge)：两个事物间具有的关系。
E(G) {e1 , e2 ,, en }
G G
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kruskal算法
• 1.算法思想 • 先从图G中找出权最小的一条边（具有最小耗费 的边）作为最小生成树的边，然后逐次从剩余边 中选边添入最小生成树中。 • 选边原则：每次挑选不与已边构成圈的边中权最 小的一条直至选出 v(G) 1 条边为止。
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算法步骤
• 第一步：取 e1 E(G) 使得 w(e) min{w(e)} ，令 eG i 1 • 第二步：取 使得 。Βιβλιοθήκη l (v) w(vi v)
l (v) w(vi v)
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• 第三步：选取 vi 1 S i 使得 l (vi 1 ) minl (v). 。 vS 设 ei1 uvi1, (u Si ) ，使得w(ei 1 ) l (vi 1 ) ， 令 Si 1 Si {vi 1} ， S i 1 V (G) \ Si 1 , Ti1 Ti {ei1}。
条含有 s 中另外结点的更短通路,不妨设这个通路中第一 s l (v v 个属于 t ) l (vi ) 的结点是 t ,于是 {vi } ,但这与 题设矛盾。可见以上断言成立。

l (vi ) 是从
vi 到 v0 的最小距离”,用反证法。若另有一
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在下图中求 V 1 到其它各点的最短路
推理 任意图，奇数度节点的个数 总和为偶数。
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最短路问题
赋权图：
对图G的每条边e，赋以一个实 we 数称为边e 的权。每条边都赋有权的图称为赋权图.
权在不同问题中会有不同的含义，例如交 通网络中，权可能表示运费，里程或道路 的造价等。
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最短路问题:
给定赋权图G及G中两点u，v，求u到v的具有最 小权的路（称为u到v的最短路） 注：赋权图中路的权也称路的长，最短（u，v） 路的长也称为u，v的距离，记为 d u, v 最短路问题是一个优化问题属于网络优化和组合 优化的范畴，对这种优化问题的解答一般是一个 算法，Dijkstra是最基本的一个算法。
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第一步我们要 做的事情就是将 所有 的 边的长度 排 序，用 排序的 结果作为我们 选 择 边 的 依 据。 这里再次体现 了 贪心算 法 的思 想。 资源排序， 对局部最优的资 源进行选择。
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排序完成后， 我们率先选择了 边AD。这样我 们的图就变成了。
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ei 1 E(G) \ {e1, e2 ,ei }
（1）
G[{e1 , e2 ,ev1}]
不含圈；
（2）
ei 1
是满足（1）的权最小的边。
• 第三步：当 时，输出最小生成 i 树 ，算法停止，否则令 i 1 ， i 1 v(G) 1 G[(e1 , e 转第二步。2 ,, ei , ei 1 )]
v 1
1 v(v 1)(v 1) 6
• 由此，Prim算法的计算复杂度为 O(v3 )
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标号Prim算法
• 算法思想： • 给图中的顶点赋以标号，该标号与边的权有关， 在执行Prim算法的过程中，通过修改顶点标号和 比较顶点的标号大小，来选择满足Prim要求的最 小权边。 v 的标号记为 l (v) ，用 e uv表示边 • 顶点 的权。若 u, v 两点间没有边，则 w(uv)
E {( v1, v2),(v2, v3),(v3, v4),(v5, v1)}
则 G V , E 是一个图
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有关图的一些术语和概念
点与边的关联 :点是边的一个端点 点与点的相邻:两点被同一边相连 边与边的相邻:两边至少有一个公共端点 环边:两端点重合的边 重边:连接两点的两条或两条以上的边称为这两点的 重边 简单图:既无环边也无重边的图 完全图:任意两点间都有一条边的简单图
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到这里所有的边点 都已经连通了，一 个最小生成树构建 完成。
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Kruskal算法的实现及其复杂度分析：
• Kruskal的计算主要在第二步.算法共需执行次第二步，在 第次执行第二步时，须比较集合中所有边的以求得一条权 最小的边，并检验该边是否与已有边构成圈，如果构成圈， 还需要再找新的最小权边，这是比较浪费的。
5
V2
V3
1
V5
1
V1
2 8
4
6
2
V4
Dijkstra算法是求源点到其它顶点的最短路径。怎 样求任意两个顶点之间的最短路径？我们可以把 Dijkstra算执行n次，每次从不同的顶点开始，则算法时 间复杂度为O（n3）。 Floyd弗洛伊德给出了另一个算法，时间复杂度也 是O（n3），但是形式上简单些。
取 v* S 使得 l v* minl v
vs
记 vi 1 v
*
令 S S vi 1, S V \ S • 第三步：令 i i 1 如果 i v 1 ，则停止，输出各 点标号并反向追溯最短路；否则，转第二步。
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• 算法中步骤(1)和(3)是清楚的,现在对2给以说明。 • l (v) 表示从v0 到 v i的不包含 s中其它结点的最短通路 的长度,但 l (vi ) 不一定是从 v0 到 vi 的距离,因为从 v0 到 vi 可能有包含 s中另外结点的更短通路。 l (v • 首先我们证明“若v i 是s 中具有最小 ) 值的结点,则
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dijkstra算法思想：
• 设赋权图G中所有边具有非负权，dijkstra算 法的目标是求出是求出G 中某个指定顶点v 0 到其他所有点的最短路。它依据的基本原理 是：若路 p v0 v1 vk 1vk p ' v0v1 vk 1 • 是从 v 0 到 v k 的最短路，则 必是 v 0 从 vk 1 的最短路。基于这一 原理， 算法由近及远逐次求出到其他各点的最短路。
S i 1 V (G) \ Si 1, Ei 1 Ei {ei 1}


• 第3步：当 i 1 v(G) 1 时， 输出最小生成 树 G[ Ei 1 ] G[{e1, e2 ,ev1}], ，算法停止；否则 令 i i 1 ，转第2步。
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Floyd算法
算法的基本步骤 （1）输入权矩阵 D (0) D
(k 1,2,, n) （2）计算 (k ) ( k 1) ( k 1) ( k 1) 其中 dij min[dij , dik dkj ]
( ( D( n) (dijn) )nn中元素 dijn ) 就是v 到v 的最短路长 （3）
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度的概念
度（次）：节点v相连的边的数目， 表示为d（v）。 奇数度节点：节点的度的数目为奇数的点； 设图G=<V,E>为无向图或有向图，则G 中所有点的度数之和是边数之和的2 倍。 偶数度节点：节点的度的数目为偶数的点。
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关于度的定理
定理 图G中所有节点的度数和是
边数的2倍。
( D(k ) (dijk ) )nn
i
j
优缺点分析
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• Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)， 是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可 正可负。此算法简单有效，由于三重循环结构紧 凑，对于稠密图，效率要高于执行|V|次Dijkstra算 法。 • 优点：容易理解，可以算出任意两个节点之间的 最短距离，代码编写简单 . • 缺点：时间复杂度比较高，不适合计算大量数据。
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例
5
V2
V3
1
V5
1
V1
2 8
4
6
2
V4
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G中从v 0 到其余各点的最短路
Dijkstra算法步骤

• 第一步：令 l v0 0 , l v v v0 S v0 S V \ S i 0 。 • 第二步：对每个v S 令 l v0 min l v , l vi vi v
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算法步骤：
• 第一步：任取
v0 V (G)，令 l (v0 ) 0, l (v) (v v0 ),