2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念课件新人教A版必修第一册
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(2)熟记一些特殊角的三角函数值．
[针对训练] 4．计算下列各式的值： (1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°； (2)sin－116π＋cos125π·tan4π.
[ 解 ] (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋
[解析] ∵α 的终边与单位圆的交点为－12，y， ∴－122＋y2＝1，即 y2＝34.
又∵y<0，∴y＝－
3 2.
∴sinα＝－ 23，tanα＝ 3，
sinαtanα＝－ 23× 3＝－32.
[答案] －32
题型二 三角函数在各象限的符号问题 【典例 2】 判断下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)cos3·tan－23π. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
课堂互动探究
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用 【典例 1】 (1)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sinα＝ ________，cosα＝________，tanα＝________. (2)已知角 α 的终边落在直线 3x＋y＝0 上，求 sinα，cosα， tanα 的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解．
判断三角函数值正负的 2 个步骤 (1)定象限：确定角 α 所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正 弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若 sinα>0，则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象 限内，有可能终边落在 y 轴的非负半轴上．
[针对训练] 3．设 θ 是第三象限角，且满足sinθ2＝－sinθ2，则角θ2为第 ________象限角．
[解] (1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cos3π＋tanπ4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋ cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.
(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利 用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函 数值达到化简求值的目的．
义
标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、
三角 正切函数统称为三角函数，记为 函数 正弦函数 y＝sinx(x∈R)
余弦函数 y＝cosx(x∈R)
正切函数 y＝tanxx≠π2＋kπ，k∈Z
温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确 α 是 一个任意角．
(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和 P(x， y)所在终边上的位置无关，而由角 α 的终边位置决定．
3．诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值 相等 ．
1．若角 α 与 β 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为 sinα 与 sinβ，cosα 与 cosβ，tanα 与 tanβ 之间有什么关系？
[答案] sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α＝β＋720°，则 cosα＝cosβ.( ) (2)若 sinα＝sinβ，则 α＝β.( ) (3)已知 α 是三角形的内角，则必有 sinα>0.( ) (4)任意角 α 的正弦值 sinα、余弦值 cosα、正切值 tanα 都有 意义．( )
第
五
三角函数
章
5．2
三角函数的概念
wenku.baidu.com
5．2.1
三角函数的概念
课前自主预习
1．能用三角函数的定义进行计算． 2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单 的应用． 3．会利用诱导公式一进行有关计算．
1．任意角的三角函数的定义
前提 如图，设 α 是一个任意角，α∈R，它的终 边 OP 与单位圆交于点 P(x，y)
[解析] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝ 52＋－122＝13， 则 sinα＝yr＝－1123，cosα＝xr＝153，tanα＝xy＝－152. (2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第 二象限取直线上的点(－1， 3)，则 r＝ －12＋ 32＝2，所以 sinα＝ 23，cosα＝－12，tanα＝－ 3；在第四象限取直线上的点(1， － 3)，则 r＝ 12＋－ 32＝2，所以 sinα＝－ 23，cosα＝12，tanα ＝－ 3.
3．公式一的理解 (1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相 等，即角 α 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一 次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的作用 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0～2π 间角的三角 函数，亦可把大于 2π 的角的三角函数化为 0～2π 间角的三角函 数，即实现了“负化正，大化小”.
正弦 点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦，记作 sinα，即 y＝sinα
余弦 点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦，记作 cosα，即 x＝cosα
正切 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值yx叫做 α 的正切，记作 tanα，
即 tanα＝yx(x≠0)
定
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐
[解析] 因为 θ 是第三象限角，所以 π＋2kπ<θ<32π＋2kπ，k ∈Z，所以π2＋kπ<2θ<34π＋kπ，k∈Z，所以角θ2为第二、四象限角．又 因为sinθ2＝－sinθ2，
所以 sinθ2<0，所以θ2为第四象限角．
[答案] 四
题型三 诱导公式一的应用 【典例 3】 求下列各式的值： (1)cos253π＋tan－154π； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°. [思路导引] 利用诱导公式将角化到 0°～360°范围内，再求 解．
[针对训练]
1．已知角 α 的终边经过点 P(1，－1)，则 sinα 的值为( )
1
3
A.2
B. 2
2 C. 2
D．－
2 2
[解析] ∵α 的终边经过点 P(1，－1)，
∴sinα＝
12＋－1－12＝－
2 2.
[答案] D
2．已知角 α 的终边与单位圆的交点为－12，y(y<0)，则 sinαtanα＝________.
(3)要明确 sinx 是一个整体，不是 sin 与 x 的乘积，它是“正 弦函数”的一个记号，就如 f(x)表示自变量为 x 的函数一样，离 开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
2．三角函数值的符号 如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[解] (1)因为 105°，230°分别为第二、三象限角，所以 sin105°>0，cos230°<0.于是 sin105°·cos230°<0.
(2)因为π2<3<π，所以 3 是第二象限角，所以 cos3<0，又因为 －23π是第三象限角，所以 tan－23π>0，所以 cos3·tan－23π<0.
[答案]
(1)－1123
5 13
－152
(2)见解析
求任意角的三角函数值的 2 种方法 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标， 然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值． 方法二：第一步，取点：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)， (P 与原点不重合)； 第二步，计算 r：r＝|OP|＝ x2＋y2； 第三步，求值：由 sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝xy(x≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
cos( － 3×360° ＋ 60°)sin(2×360° ＋ 30°) ＝ sin45°cos30° ＋
cos60°sin30°＝ 22× 23＋12×12＝ 46＋14＝1＋4
6 .
(2)原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋25π·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos25π
×0＝12.
课堂归纳小结 1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的 坐标或比值为函数值的函数． 2．角 α 的三角函数值的符号只与角 α 所在象限有关，角 α 所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正， 二正弦，三正切，四余弦”．
[针对训练] 4．计算下列各式的值： (1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°； (2)sin－116π＋cos125π·tan4π.
[ 解 ] (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋
[解析] ∵α 的终边与单位圆的交点为－12，y， ∴－122＋y2＝1，即 y2＝34.
又∵y<0，∴y＝－
3 2.
∴sinα＝－ 23，tanα＝ 3，
sinαtanα＝－ 23× 3＝－32.
[答案] －32
题型二 三角函数在各象限的符号问题 【典例 2】 判断下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°； (2)cos3·tan－23π. [思路导引] 利用三角函数在各象限的符号判断．
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
课堂互动探究
题型一 任意角的三角函数的定义及其应用 【典例 1】 (1)若角 α 的终边经过点 P(5，－12)，则 sinα＝ ________，cosα＝________，tanα＝________. (2)已知角 α 的终边落在直线 3x＋y＝0 上，求 sinα，cosα， tanα 的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解．
判断三角函数值正负的 2 个步骤 (1)定象限：确定角 α 所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正 弦，三正切，四余弦”来判断． 注意：若 sinα>0，则 α 的终边不一定落在第一象限或第二象 限内，有可能终边落在 y 轴的非负半轴上．
[针对训练] 3．设 θ 是第三象限角，且满足sinθ2＝－sinθ2，则角θ2为第 ________象限角．
[解] (1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cos3π＋tanπ4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋ cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.
(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利 用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函 数值达到化简求值的目的．
义
标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、
三角 正切函数统称为三角函数，记为 函数 正弦函数 y＝sinx(x∈R)
余弦函数 y＝cosx(x∈R)
正切函数 y＝tanxx≠π2＋kπ，k∈Z
温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确 α 是 一个任意角．
(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和 P(x， y)所在终边上的位置无关，而由角 α 的终边位置决定．
3．诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值 相等 ．
1．若角 α 与 β 的终边相同，根据三角函数的定义，你认为 sinα 与 sinβ，cosα 与 cosβ，tanα 与 tanβ 之间有什么关系？
[答案] sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 α＝β＋720°，则 cosα＝cosβ.( ) (2)若 sinα＝sinβ，则 α＝β.( ) (3)已知 α 是三角形的内角，则必有 sinα>0.( ) (4)任意角 α 的正弦值 sinα、余弦值 cosα、正切值 tanα 都有 意义．( )
第
五
三角函数
章
5．2
三角函数的概念
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5．2.1
三角函数的概念
课前自主预习
1．能用三角函数的定义进行计算． 2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单 的应用． 3．会利用诱导公式一进行有关计算．
1．任意角的三角函数的定义
前提 如图，设 α 是一个任意角，α∈R，它的终 边 OP 与单位圆交于点 P(x，y)
[解析] (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝ 52＋－122＝13， 则 sinα＝yr＝－1123，cosα＝xr＝153，tanα＝xy＝－152. (2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x，经过第二、四象限，在第 二象限取直线上的点(－1， 3)，则 r＝ －12＋ 32＝2，所以 sinα＝ 23，cosα＝－12，tanα＝－ 3；在第四象限取直线上的点(1， － 3)，则 r＝ 12＋－ 32＝2，所以 sinα＝－ 23，cosα＝12，tanα ＝－ 3.
3．公式一的理解 (1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相 等，即角 α 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一 次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律． (2)公式一的作用 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0～2π 间角的三角 函数，亦可把大于 2π 的角的三角函数化为 0～2π 间角的三角函 数，即实现了“负化正，大化小”.
正弦 点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦，记作 sinα，即 y＝sinα
余弦 点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦，记作 cosα，即 x＝cosα
正切 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值yx叫做 α 的正切，记作 tanα，
即 tanα＝yx(x≠0)
定
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐
[解析] 因为 θ 是第三象限角，所以 π＋2kπ<θ<32π＋2kπ，k ∈Z，所以π2＋kπ<2θ<34π＋kπ，k∈Z，所以角θ2为第二、四象限角．又 因为sinθ2＝－sinθ2，
所以 sinθ2<0，所以θ2为第四象限角．
[答案] 四
题型三 诱导公式一的应用 【典例 3】 求下列各式的值： (1)cos253π＋tan－154π； (2)sin810°＋tan1125°＋cos420°. [思路导引] 利用诱导公式将角化到 0°～360°范围内，再求 解．
[针对训练]
1．已知角 α 的终边经过点 P(1，－1)，则 sinα 的值为( )
1
3
A.2
B. 2
2 C. 2
D．－
2 2
[解析] ∵α 的终边经过点 P(1，－1)，
∴sinα＝
12＋－1－12＝－
2 2.
[答案] D
2．已知角 α 的终边与单位圆的交点为－12，y(y<0)，则 sinαtanα＝________.
(3)要明确 sinx 是一个整体，不是 sin 与 x 的乘积，它是“正 弦函数”的一个记号，就如 f(x)表示自变量为 x 的函数一样，离 开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
2．三角函数值的符号 如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[解] (1)因为 105°，230°分别为第二、三象限角，所以 sin105°>0，cos230°<0.于是 sin105°·cos230°<0.
(2)因为π2<3<π，所以 3 是第二象限角，所以 cos3<0，又因为 －23π是第三象限角，所以 tan－23π>0，所以 cos3·tan－23π<0.
[答案]
(1)－1123
5 13
－152
(2)见解析
求任意角的三角函数值的 2 种方法 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点 P 的坐标， 然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值． 方法二：第一步，取点：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)， (P 与原点不重合)； 第二步，计算 r：r＝|OP|＝ x2＋y2； 第三步，求值：由 sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝xy(x≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．
cos( － 3×360° ＋ 60°)sin(2×360° ＋ 30°) ＝ sin45°cos30° ＋
cos60°sin30°＝ 22× 23＋12×12＝ 46＋14＝1＋4
6 .
(2)原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋25π·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos25π
×0＝12.
课堂归纳小结 1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的 坐标或比值为函数值的函数． 2．角 α 的三角函数值的符号只与角 α 所在象限有关，角 α 所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正， 二正弦，三正切，四余弦”．