(完整版)初中圆知识点总结与练习

圆1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA 绕它的一个端点O 旋转一周， 另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，如右图所示。

（2 合，定点为圆心，定长为圆的半径。

说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半 径相等的两个圆为等圆。

2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。

（如右图中 的CD ）。

（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB ）。

直径等于半径的2倍。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。

（如 右图中的CD 、CAD ）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD ，小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）圆心角：如右图中∠COD 就是圆心角。

3．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。

（2）与圆相关的角的性质①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等圆的认识AOBCDOAr【例1】 下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C1．点与圆的位置关系如果圆的半径为r ，某一点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r （2）点在圆上d r （3）点在圆内d r 2．直线和圆的位置关系设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离（1）直线和圆相离d r ，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切d r ，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交d r ，直线与圆有两个交点。

3．两圆的位置关系设R 、r 为两圆的半径，d 为圆心距 （1）两圆外离d R r ； （2）两圆外切d R r ； （3）两圆相交R r d R r R r ；（4）两圆内切d R r R r ；（5）两圆内含dR r Rr 。

（注意：如果为0d ，则两圆为同心圆。

） 4. 切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

5. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

与圆有关的位置NMOBO即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠【例2】 已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若关于x 的方程x 2－2x ＋d =0有实根，则点P ( )． A ．在⊙O 的内部 B ．在⊙O 的外部 C ．在⊙O 上 D ．在⊙O 上或⊙O 的内部【答案】D【例3】 已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点．求证：OP 垂直平分线段AB ． 【答案】略【例4】 已知：如图，PA 切⊙O 于A 点，PO ∥AC ，BC 是⊙O 的直径．请问：直线PB 是否与⊙O 相切?说明你的理由．【答案】直线PB 与⊙O 相切．提示：连结OA ，证ΔPAO ≌ΔPBO【例5】已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长． 【答案】cm 62．提示：分别连结O 1B ，O 1O 2，O 2C ．【例6】如图，点A ，B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A ，⊙B 的半径均为1cm ．⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (s )之间的关系式为r =1＋t (t ≥0)．(1)试写出点A ，B 之间的距离d (cm)与时间t (s )之间的函数表达式； (2)问点A 出发多少秒时两圆相切?【答案】(1)当0≤t ≤5.5时，d ＝11－2t ；当t >5.5时，d ＝2t －11．(2) ①第一次外切，t ＝3；②第一次内切，;311=t ③第二次内切，t ＝11；④第二次外切，t ＝13．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD【例7】在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.垂径定理及推论OCDAB【答案】4159【例8】如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.【答案】提示：连接OF ，证明,,ADO FOE BOE 是全等三角形。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒【例9】已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 【答案】cm.34【例10】已知：如图，⊙O 的直径AE =10cm ，∠B =∠EAC ．求AC 的长． 【答案】提示：连结CE ．不难得出cm .25=AC与圆有关的计算圆周角定理OAEF CBAOCBAOCAO1． 圆周长：2c R 2． 弧长：180n Rl ； 3． 圆面积：2SR ；4． 扇形面积：212360n R S lR扇形＝；【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为( )．A ．2πcm 100B ．2πcm 3400C ．2πcm 800D ．2πcm 3800【答案】D【例12】已知：如图，以线段AB 为直径作半圆O 1，以线段AO 1为直径作半圆O 2，半径O 1C交半圆O 2于D 点．试比较与的长．【答案】的长等于的长．提示：连结O 2D ．1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅ 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比 例中项。

即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，∴2CE AE BE =⋅2. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅3. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每圆幂定理O EDCADCBPAO条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅【例13】如图，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________ 【答案】91.正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =； 2.正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =： 3.正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA =.【例13】已知正多边形的边长为a 与外接圆半径R 之间满足12<<aR，则这个多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a R <<2 因为a R 6=，a R 42=，所以a a a 64<< 则a a a 654<<，是正五边形，应选C 。

【例1】若P 为半径长是6cm 的⊙O 内一点，OP ＝2cm ，则过P 点的最短的弦长为( )．A ．12cmB ．cm 22C ．cm 24D ．cm 28【答案】D【例2】若⊙O 的半径长是4cm ，圆外一点A 与⊙O 上各点的最远距离是12cm ，则自A 点所引⊙O 的切线长为( )．A ．16cmB ．cm 34C ．cm 24D ．cm 64课后练习题正多边形与圆【答案】B【例3】⊙O 中，∠AOB ＝100°，若C 是上一点，则∠ACB 等于( )．A ．80°B ．100°C ．120°D ．130° 【答案】A【例4】三角形的外心是( )．A ．三条中线的交点B ．三个内角的角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点 【答案】C【例5】如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，则的长为( )．7题图A ．π32B ．π38C ．πD ．3π32+【答案】A【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B 点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是( )．8题图A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到B 点D ．无法确定 【答案】C【例7】如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为( )．9题图A ．πB ．π34C ．2πD ．4π【答案】C【例8】如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC ＝60°，则∠B ＝______． 【答案】30【例9】如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为________． 【答案】cm.32【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于C 点，AB ＝12cm ．求两个圆之间的圆环面积．【答案】36?cm 2．提示：连接OC,OA.【例11】如图，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？【答案】设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，则正△O 1O 2O 3外接圆的半径为334 cm ，所以大圆的半径为334+2=3634+【例12】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．【答案】（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴BC ABBM BN，∴AB·BM=BC·BN（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B=12∠MON=30°．∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6。