高中数学必修5模块综合测试题及答案

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最新人教A版高中数学必修五综合测试题及答案3套

最新人教A 版高中数学必修五综合测试题及答案3套综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B ) A ．14 B ．16 C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q ＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值( B ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1. ∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6. 又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝(C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1]D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c>0C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0，故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C )A ．12B ．1C ．3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C ) A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．32D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32B ．34C ．32或3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于13．( C ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．[点评] 一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4. [解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点，位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2016·贵阳市第一中学月考)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立．因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号．所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)(2015·浙江文，17)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .[分析] 等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求a n ；利用递推关系求b n .(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n由累乘法得：b n ＝n .①，又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)(2016·河南高考适应性测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.综合学业质量标准检测(二)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a b 2D ．b a >a b[解析] ∵a b 2，故选C ． 2．己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( A )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩∁R B ＝RD ．A ⊆B[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.故选A ．3．(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域为( C )[解析] 将点(0,0)代入不等式中，不等式成立，否定A 、B ，将(0,4)点代入不等式中，不等式成立，否定D ，故选C ．4．已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( C )A ．1B ．12C ．34D ．58[解析] ∵a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，∴选C ．5．已知A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．不确定[解析] 解法1：∵sin A ＋cos A ＝23，∴(sin A ＋cos A )2＝29，∴2sin A ·cos A ＝－79<0，∴A 为钝角，∴△ABC 的形状为钝角三角形．故选B ．解法2：假设0<A ≤π2，则π4<A ＋π4≤3π4，∴sin(A ＋π4)≥22>13.∴sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)≥1>23.与条件矛盾，∴A >π2.故选B ．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．33[解析] 依题意得a 2＋b 2－c 2－2ab ＋6＝0，∴2ab cos C －2ab ＋6＝0，即ab ＝6，△ABC 的面积等于12ab sin C ＝332，故选C ．7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( B ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297[解析] 由已知得：a 3＋a 9＋a 6＝27，即3a 6＝27，a 6＝9. ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝11×9＝99.故选B ．8．(2016·湖北七市教科研协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( B )A ．9B ．92C ．4D ．52[解析] 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 25，等于直径，∴直线ax ＋by －6＝0过圆心，即a ＋2b －6＝0.又a >0，b >0，由基本不等式得a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝3，b ＝32时等号成立，∴ab 的最大值为92.故选B ．9．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A 、B 间距离是35 m ，则此电视塔的高度是( A )A ．521mB ．10mC ．4 90013mD ．35m[解析] 作出示意图，设塔高OC 为h m ，在Rt △AOC 中，OA ＝h tan60°＝33h ，OB ＝h . AB ＝35，∠AOB ＝150°，由余弦定理得352＝(33h )2＋h 2－2×33h ·h cos150°，解得h ＝521.故选A ．10．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( C )A ．811B ．919C ．1021D ．1123[解析] 由n a 1＋a 2＋…＋a n ＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n －1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，1b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，所以原式＝12(1b 1－1b 11)＝12×(1－121)＝1021.故选C ．11．已知O 是△ABC 的重心，且满足sin A 3·OA →＋sin B 7·OB →＋sin C 8·OC →＝0，则角B 等于( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[解析] 由正弦定理得：a 3OA →＋b 7OB →＋c 8OC →＝0，又由题意得：OA →＋OB →＋OC →＝0，∴a 3＝b 7＝c8，∴由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝⎝⎛⎭⎫37b 2＋⎝⎛⎭⎫87b 2－b 22×37b ×87b＝12∴B ＝60°.故选B ．12．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2y ≥2，x ＋y ≤8，则z ＝x －y 的最大值为( A )A ．4B ．－4C ．0D ．2[解析] 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，由z ＝x －y 得y ＝x －z ，欲求z 的最大值，可将直线l ：y ＝x 向下平移，当直线l 经过A 点时直线在y 轴上的截距－2最小，此时z 取得最大值．易求点A (6,2)，则z max ＝6－2＝4.故选A ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为562.[解析] 在△ACD 中，cos ∠ADC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD 中，由正弦定理得AB sin60°＝AD sin45°，所以AB ＝562.14．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. [解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.15．已知实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，那么a ＋2b 的最小值是10. [解析] 因为实数a ，b 满足a >1，b >0且2a ＋2b －ab －2＝0，整理1a －1＋2b ＝1，所以a＋2b ＝(a －1)＋2b ＋1＝[(a －1)＋2b ]⎣⎡⎦⎤1a －1＋2b ＋1＝2(a －1)b ＋2b a －1＋6，所以2(a －1)b ＋2ba －1＋6≥22(a －1)b ×2b a －1＋6＝10.当且仅当2(a －1)b ＝2ba －1时取等号． 16．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，则z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2的最小值是12.[解析] 如图，可行域为△ABC 及其内部，其中A (－1,0)，B (2,0)，C (12，32)．目标函数表示可行域内的点M 到点P (－1,1)的距离的平方，因此所求最小值为点P (－1,1)到直线AC ：x －y ＋1＝0的距离的平方，即(|－1－1＋1|2)2＝12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin2Asin2A ＋cos 2A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[分析] 考查同角三角函数基本关系式；正弦定理和三角形面积公式．三角恒等变换与运算求解能力．(1)利用两角和与差的正切公式，求出tan A ，再利用同角三角函数基本关系式得到结论； (2)已知A ，B 和a 可利用正弦定理形式的面积公式(两边及夹角)求解．[解析] (1)由tan(π4＋A )＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2 A ＝2sin A cos A 2sin A cos A ＋cos 2 A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)可得，sin A ＝1010，cos A ＝31010.由a ＝3，B ＝π4及正弦定理知：b ＝3 5.又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×35×255＝9.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． [解析] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x的最小值为－2.(2)解法1：因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0所以a 的取值范围是[34，＋∞)．解法2：∵f (x )≤a 对任意x ∈[0,2]恒成立， ∴x 2－2ax －1≤0对任意x ∈[0,2]恒成立，当x ＝0时，显然恒成立，a ∈R ；当x ∈(0,2]时，有a ≥x 2－12x ，令g (x )＝x 2－12x ，则g (x )＝x 2－12x 在(0,2]上单调递增，∴g (x )max ＝g (2)＝34.∴a ≥34.综上得a 的取值范围是[34，＋∞)．19．(本题满分12分)设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n (n 为偶数)a n＋14 (n 为奇数).记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2、a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，所以a 5＝12a 4＝14a ＋316，所以b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12(a －14)，b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是公比为12的等比数列．证明如下：∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12(a 2n －1＋14)－14＝12(a 2n －1－14)＝12b n (n ∈N *)，∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列．20．(本题满分12分)已知关于x 的一元二次不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0).导学号 54742970(1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集是R ，求k 的取值范围． [解析] (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， ∴－3，－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，且k <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)×(－2)＝6，(－3)＋(－2)＝2k ，∴k ＝－25. (2)∵不等式的解集为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－4k ·6k <0，即⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k >66或k <－66，∴k <－66. 即k 的取值范围是(－∞，－66)． 21．(本题满分12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求A 的值.[解析] (1)∵c ＝2，C ＝π3，由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2；(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2，②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6，综上所述，A ＝π2或A ＝π6.22．(本题满分14分)已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和S n .[解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)×22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，① 4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n －1，② ①－②得－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1 所以S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1－3＝2＋2×8(1－4n －1)1－4－(2n －1)×22n ＋1－3＝－6＋16(1－4n －1)＋(6n －3)×22n ＋19＝10＋(6n －5)×22n ＋19.学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2 C ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．52D ．62[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B ) A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 20，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ( C )A ．4n －1B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.[点评] 用一般解法解出a 1、q ，计算量大，若注意到等比数列的性质及求S na n，可简明解答如下：∵a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)，∴q ＝12，∴S na n ＝a 1(1－q n )1－q a 1q n －1＝1－q n (1－q )·qn －1＝1－12n 12·12n －1＝2n －1. 9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1[解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ．∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B ) A ．与x 轴相切 B ．在x 轴上方 C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为 [解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得，(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度．[解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3. (2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8. 又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝2. 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2. 因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6. 在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433. 方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6. 因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ．因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433. 18．(本题满分12分))在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A 2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S时，求边c 的值和△ABC 的面积． [解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A 2＝cos 2A －cos A ＋12＝0，即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°. (2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°. 又由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝2 3. 所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3. 19．(本题满分12分)(2016·广西自治区质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n. [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2. ∵S n ＝32a n －1，① S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，② ∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n 2＋1＝2n －1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1) ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)，a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)，a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)，a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)，…a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)，a 20＝121－20＝101(万元)．20次分期付款的总和为S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)．实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵0°c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a 2R ＝6＋24＝sin105°. ∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°.22．(本题满分14分)(2015·石家庄市一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1，∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ① ∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n ＝(3n －5)·2n ＋5.。

(完整版)高中数学必修五综合测试题含答案

.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列的一个通项公式是（）0,23,45,67⋯A ．B ． a n =n -1n +1（n ∈N *)a n =n -12n +1（n ∈N *)C ．D ．a n =2（n -1）2n -1（n ∈N *)a n =2n2n +1（n ∈N *)2．不等式的解集是（）x -12-x ≥0A ．B ．C ．D ． [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3．若变量满足，则的最小值是（）x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A ．B ．C ．D ． 4-5-314．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ． 8B ．－8C ． ±8D ．以上都不对5．己知数列为正项等比数列，且，则（）{a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．数列前项的和为（）11111,2,3,4,24816n A ． B ． C ．D ．2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为（）A ．B ．C ．D ．1541534213435348．在△ABC 中，已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b 2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b.10．满足条件，的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A ． 1个B ． 2个C ．无数个D ．不存在11．已知函数满足：则应满足（）f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A ．B ．C ．D ．-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）a 1,a 2,a 5a2A ． -2B ． -3C ． 2D ． 313．等差数列的前10项和，则等于（）{a n }S 10=15a 4+a 7A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1014．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）{a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A ．B ．C ．D ． 3547581219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16．在中，，，面积为，则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17．已知中，，，，则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18．若数列的前n 项和，则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．x -4y +9=020．函数的最小值是 _____________．y =x +4x -1(x >1)21．已知，且，则的最小值是______．x ，y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22．解一元二次不等式（1）（2）-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.（1）求边上的中线的长；BC AD （2）求△的面积。

黄冈市2014年春季高一年级模块考试数学参考答案(必修5)

2014年春季高中数学必修5模块测试卷参考答案一、选择题二、填空题11. 63 12. －6 13. 15o 或75o 14.25 15. ①③④⑤三、16.解：因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b )(a 2＋b 2－c 2－ab )＝0. 因为a ＋b ≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C <180°，所以C ＝60°. ……………………………………6分因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以b ＝a sin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3.……………10分根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12ab sin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.-…………………12分17．解：(1)解不等式x 2－2x －3＜0，得A ＝{x |－1＜x ＜3} 解不等式x 2＋4x －5＜0，得B ＝{x |－5＜x ＜1}，∴A ∪B ＝{x |－5＜x ＜3}．……………………6分 (2)由x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－5,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 25－5a ＋b ＝09＋3a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－15， ∴2x 2＋x －15＜0，求得解集为{x |－3＜x ＜52}．………………………12分18.解：（I ）当21=a 时，有不等式25()102f x x x =-+≤，∴0)2)(21(≤--x x ， ∴不等式的解集为：}221|{≤≤∈x x x …………5分（II ）∵不等式0))(1()(≤--=a x a x x f …………………6分当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1|{a x a x ≤≤；……………8分当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1|{a x ax ≤≤；……10分当1=a 时，不等式的解为{1}.………12分 19.解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°∠CBA ＝180°-45°＝135°，AB ＝100 m∴ ∠ACB ＝30° 由正弦定理，得︒=︒15sin 30sin 100BC∴ BC ＝︒︒30sin 15sin 100 ………………………6分又在△BCD 中，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， CD ＝50 m∴ )90sin(45sin 50θ+︒=︒BC ∴ )90sin(30sin 15sin 10045sin 50θ+︒︒︒=︒解得cos θ＝3-1 ……………………………12分20．(1)依题意有a 2－a 4＝3(a 3－a 4)，即2a 1q 3－3a 1q 2＋a 1q ＝0， ∴2q 2－3q ＋1＝0.∵q ≠1，∴q ＝12，故a n ＝64×(12)n －1.…………………6分(2)b n ＝log 2[64×(12)n －1]＝7－n .∴|b n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n n n －7 n，当n ≤7时，T n ＝n (13－n)2；………………9分当n >7时，T n ＝T 7＋(n －7)(n －6)2＝21＋(n －7)(n －6)2. …12分故T n＝⎩⎨⎧n (13－n)2n (n －7)(n －6)2＋21 n…………………………13分21.解：（1）由S n+1=4a n +2，得a n+1=S n+1-S n =（4a n +2）-（4a n-1+2）（n≥2） ∴a n+1-2a n =2a n -4a n-1=2（a n -2a n-1）故数列{a n+1-2a n } 是以a 2-2a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1=1，a 1+a 2=S 2=4a 1+2，所以a 2=5，∴b n =a n+1-2a n =3·2n-1；即b n 是以3为首项2为公比的等比数列 ………5分（2）将a n+1-2a n =3·2n-1两边同除以2n+1，则，即故{c n }是以为首项，为公差的等差数列；……………10分（3）由（2）知，得a n =（3n-1）·2n-2 又S n =4a n-1+2，则S n =4(3n-4)·2n-3+2=(3n-4)·2n-1+2. …………………14分。

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本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
12．D 【解析】【分析】
选项 D 中，因为当 a2>b2 时，比如 a=-2,b=0,的不满足 a>b，故错误，排除法只有选 C.
考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。
点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。 10．B
【解析】
解：因为满足条件a
=
4,b
=
3
2,A
=
45
∘
，利用余弦定理可知得到关于
参考答案
【解析】
【分析】观察数列分子为以 0 为首项，2 为公差的等差数列，分母是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．
【详解】观察数列分子为以 0 为首项，2 为公差的等差数列，分母是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
2(n - 1)
故可得数列的通项公式 an= 2n - 1 （n∈Z*）．
1 11 1 6．数列1 , 2 , 3 , 4 ,前 n 项的和为（）
2 4 8 16
1 n2 n
1 n2 n
1 n2 n
A．
B．
1
C．
D．
2n 2
2n 2
2n 2
1 2n1
n2 2
n
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7．若ΔABC的三边长a,b,c成公差为2的等差数列，最大角的正弦值为 2 ，则这个三角形

人教a版数学必修5模块过关测试题及详细答案

人教a 版数学必修5模块测试题一.选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．） 1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，则角B 为（） (A) 30° B 60° (C) 90° (D) 120°2.在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 ( )A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3.在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8 4.在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a ( )A.4-B.4±C. 2-D. 2± 5.已知,,a b c R ∈,则下列推理正确的是 ( )A.22ab am bm >⇒> B.a ba b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<6.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7.如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC=，从D C ,两点测得A 点仰角分别是()βαβ<a ,，则A 点离地面的高度AB 等于 ( )A.()αββα-⋅sin sin sin a B.()βαβα-⋅cos sin sin aC()αββα-⋅sin cos sin a D .()βαβα-⋅cos sin cos a8. 设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为( )9.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

北师大版高中数学必修5模块测试试题及答案

数学必修5第一部分（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是（）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

人教A版高中数学必修五必修五综合测试题 (第三套).docx

必修五综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个第2个第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为元。

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（数学5必修）第一章：解三角形[基础训练A 组]一、选择题1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（）A ．2B ．23 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150 二、填空题1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。

三、解答题1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

高二数学必修5模块考试试题

高二数学必修5模块考试试题注意事项：1. 考生务必将自己的姓名、班级、考号写在密封线内2. 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟；考试过程中不得使用计算器。

一、选择题（每小题5分，共50分）1、某体育宫第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，那么第十五排有（）个座位。

A ．27B ．33C ．45D ．51 2、下列结论正确的是（）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+cD ．若a <b ，则a<b 3、等比数列{}n a 中，S 2=7，S 6=91，则S 4=（）A ）28B ）32C ）35D ）494、已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（）A ．73 B ．83C ．2D ． 3 5、已知数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =+，则5a 的值为（）A ．80B ．40C ．20D ．10 6、设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2，则432122a a a a ++的值为（）A ．41 B ．21 C ．81D ．17、不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则（）A. P ∉D ，且Q ∉DB. P ∉D ，且Q ∈DC. P ∈D ，且Q ∉DD. P ∈D ，且Q ∈D8、在△ABC 中，a= 3 +1, b= 3 －1, c=10 ，则△ABC 中最大角的度数为（）A. 600B.900C.1200D.15009、若实数a 、b 满足2a b +=，则33a b+的最小值是（）A ．18B ．6C ．D ．10、若2()1f x x ax =-+能取到负值，则a 的范围是（）A.2a ≠±B.－2<a <2C.a >2或a <－2D.1<a <3 二、填空题（5×4=20分）11、a 克糖水中含有b 克塘（a>b>0），若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了。

人教B版人教B版高中数学必修五必修模块5测试样题B版答案及评分参考.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学必修模块测试样题答案及评分参考数学5（人教B 版）一、选择题（每小题4分，共56分）题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C A C B C D 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案CCCBCCA二、填空题(每小题4分,共16分) 15．> 16．12n n a -= 17．(2,2)- 18． 2(1)2 1 2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩（三、解答题(共3小题,共28分) 19．（本小题满分8分）解：（Ⅰ）依题意，由余弦定理得22245(61)1c o s2452C +-==-⨯⨯. 120C ∠=︒ . ………………4分（Ⅱ）过点A 作AH 垂直BC 的延长线于H ，则53sin 5sin 602AH AC ACH =⋅=︒=. 所以1153453222ABCS BC AH ∆=⋅=⨯⨯= . ………………8分20．（本小题满分10分）B C AH解：设水池底面的长为x 米，则宽为48003x米，易知0x >，又设水池总造价为y 元. 根据题意，有48001600150120(2323)3y x x=⨯+⨯+⨯⨯ 1600240000720()x x=++16002400007202x x≥+⨯⋅ 297600=. 当1600,x x=即40x =时，等号成立. 所以，将水池的底面设计成边长为40米的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元..………………10分21．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）答案如图所示：………………3分（Ⅱ）易知，后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以，着色三角形的个数的通项公式为：13n n b -=． ………………6分（Ⅲ）由题意知(1)2n n n a +=，11(1)23231n n n n n c n n --+⨯⨯=⋅+＝，所以 01113233n n S n -=⋅+⋅++⋅ ①12131323(1)33n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ② ①－②得 0112(333)3n n n S n --=+++-⋅2n S -＝13313nn n --⋅-．即 (21)31()4n n n S n -+=∈N + ． ………………10分。

高中数学必修五模块综合试卷(含答案)

模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2－b 2>0 B ．ac >bc C ．ac 2>bc 2 D ．2a >2b答案 D解析 A 中，当a ＝0，b ＝－1时，a 2－b 2＝0－1＝－1<0，所以A 错误；B 中，当c ＝0时，ac ＝bc ＝0，所以B 错；C 中，当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，C 错；D 中，因为y ＝2x 为增函数，所以当a >b 时，2a >2b 成立．2．在△ABC 中，A tanC C ．sin A <sin CD ．cos A <cos C 答案 C解析由大边对大角及A b >0，c >d >0，则( ) A.c a >d bB ．ac >bdC ．a －c >b －d D.b c >a d答案 B4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23 B ．－23 C.14 D ．－14 答案 D解析 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，则b ＝2k ，c ＝4k ，k >0， ∴cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(4k )22·(3k )·(2k )＝－14.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P <Q C ．P ＝Q D ．无法确定答案 A解析由题设知a n >0，q >0且q ≠1，所以a 3≠a 9，a 3>0，a 9>0，P ＝a 3＋a 92>a 3·a 9，因为a 3·a 9＝a 5·a 7，所以P >Q .6．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12C.15D.14 答案 D解析由题意及正弦定理知，c ＝3a ，b 2－a 2＝52ac ＝c 2－2ac cos B ，所以cos B ＝c 2－52ac2ac ＝9a 2－152a 26a 2＝14. 7．等差数列{a n }的公差d <0，且a 21＝a 211，则数列{a n }的前n 项和S n取最大值时的项数n 是( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．6或7 答案 C解析由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0，所以a 6＝0.因为d <0，故a 5>0，a 7<0，所以n ＝5或6.8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析 2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b ) ＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2ba ≥6×(5＋4)＝54. ∴9m ≤54，即m ≤6.9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析由a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，故(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，又根据正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，又b 2＋c 2－bc ＝4≥bc ，故S △BAC ＝12bc sin A ≤3(当且仅当b ＝c 时，取等号)．10．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B.5<x <13 C ．1<x <2 5 D ．23<x <2 5答案 D解析由于△ABC 为锐角三角形，故有⎩⎪⎨⎪⎧22＋42>x 2，22＋x 2>42，解得23<x <2 5.11．若在等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为( )A ．60B ．－82C ．182D ．－96 答案 B解析 a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝(a 1＋a 4＋…＋a 31)＋(d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ) ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.12．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案 C解析由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知不等式x 2＋bx －b －34>0的解集为R ，则b 的取值范围是________．答案 (－3，－1)解析由题意知b 2－4⎝⎛⎭⎫－b －34<0，即b 2＋4b ＋3<0，所以－3<b <－1. 14．在等差数列{a n }中，若a 1－a 4－a 8－a 12＋a 15＝2，则S 15＝________. 答案－30解析因为a 4＋a 12＝a 1＋a 15＝2a 8，所以a 8＝－2.所以S 15＝a 1＋a 152×15＝a 8×15＝－2×15＝－30.15．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为________．答案3解析 ∵S △ABC ＝2＝12bc sin A ＝12bc ×223，∴bc ＝3.①又∵sin A ＝223，A 为锐角，∴cos A ＝13，∴4＝b 2＋c 2－2bc ·13.②由①②可得b ＝ 3.16．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．答案 4解析 a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，前一个等号成立的条件是a 2＝2b 2，后一个等号成立的条件是ab ＝12，两个等号可以同时成立，当且仅当a 2＝22，b 2＝24时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题意知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3，因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c ，及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＝a 2＋c 2，所以△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.18．(12分)某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名学生，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的车费均为40元．若使每个同学游8次，则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？解设购买x 张游泳卡，则游泳活动总支出为y ＝48×8x ×40＋240x ，即y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x (x ∈N ＋)．所以y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x ≥240×264x·x ＝3 840，当且仅当64x ＝x ，即x ＝8时，最合算，每人最少交钱3 84048＝80(元)．即购买8张游泳卡最合算，每人最少交80元．19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得 d ＋q ＝3.①(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N ＋)． (2)由b 1＝1，T 3＝21，得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5，q ＝4，当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21，当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.20．(12分)已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A ，B ，C 成等差数列，若角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，求a 2＋c 2的取值范围．解由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°，A ＋C ＝120°.设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α.由0°<A <120°，0°<C <120°，得－60°<α<60°. 由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C . 所以a 2＋c 2＝4(sin 2A ＋sin 2C )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 2＋1－cos 2C 2 ＝4－2(cos 2A ＋cos 2C )＝4－2[cos(120°＋2α)＋cos(120°－2α)]＝4＋2cos 2α. 因为－60°<α<60°，所以－120°<2α<120°. 所以－12<cos 2α≤1.所以a 2＋c 2∈(3,6]．21．(12分)若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围. 解原不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1<0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有4－a >0，即a <4，故0<a <4，解得不等式有2－a 4－a <x <2＋a4－a ，即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a(2＋a )(2－a )，所以12＋a <x <12－a ，又因为14<12＋a <12，要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么3<12－a<4，解得259<a <4916.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 恒成立，试求a 的取值范围．解 (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 恒成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”，不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。

[精品]新人教A版必修五高中数学模块综合测评2和答案

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列1,3,7,15，…的通项a n可能是( )A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2n－1【解析】取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.【答案】 C2．不等式x2－2x－5>2x的解集是( )A．{x|x≤－1或x≥5}B．{x|x<－1或x>5}C．{x|1<x<5}D．{x|－1≤x≤5}【解析】不等式化为x2－4x－5>0，所以(x－5)(x＋1)>0，所以x<－1或x>5.【答案】 B3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( )A．16 B．32C．64 D．256【解析】∵{a n}是等比数列且由题意得a1·a19＝16＝a210(a n>0)，∴a8·a10·a12＝a310＝64.【答案】 C4．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【解析】5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.34【解析】 ∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选 A.【答案】 A6．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25【解析】由等比数列的性质得a 3a 6a 18＝a 6a 10a 11＝a 8a 9a 10＝a 39，而T 17＝a 179，故T 17为常数．【答案】 C7．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3【解析】由题意：A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3. 【答案】 A8．古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】远望巍巍塔七层，说明该数列共有7项，即n ＝7.红光点点倍加增，说明该数列是公比为2的等比数列．共灯三百八十一，说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯，就是求塔顶几盏灯，即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1－q n1－q，即381＝a 1－271－2，∴a 1＝381127＝3.∴此塔顶有3盏灯．【答案】 B9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示．yx表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率，由图可知，yx的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 C10．在△ABC 中，若c ＝2b cos A ，则此三角形必是( ) A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．有一角为30°的直角三角形【解析】由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B ， ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 【答案】 A11．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 【解析】 ∵x >1， ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥23＋2.【答案】 A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3【解析】由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1， ∴a 2－b 2＋c 2＝1， ∴tan B ＝2－31＝2－ 3.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式 2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【解析】点P (1，－2)关于原点的对称点为点P ′(－1，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214．(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1， ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式， ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【答案】 201115．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ， ∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∵在△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)， ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.【答案】316．若1a <1b<0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2；⑤a 2>b 2；⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______．【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，故③错；又b <a <0，可得|a |<|b |，a 20，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．【解】 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大．18．(本小题满分12分)已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值．【解】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－α＋β，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2，∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如下图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3.当且仅当b ＝c ＝3时取等号．∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0. 【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；②当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)由x 2－x －a 2＋a <0，得(x －a )[x －(1－a )]<0.∵0≤a ≤1，∴①当1－a >a ，即0≤a <12时， a <x <1－a ；②当1－a ＝a ，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫x －122<0，不等式无解； ③当1－a <a ，即12<a ≤1时， 1－a <x <a .综上，当0≤a <12时，原不等式的解集为(a,1－a )；当a ＝12时，原不等式的解集为∅；当12<a ≤1时，原不等式的解集为(1－a ，a )． 21．(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ，其中d 为常数，则称数列{a n }为等方差数列．已知等方差数列{a n }满足a n >0，a 1＝1，a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和．【解】 (1)由a 21＝1，a 25＝9，得a 25－a 21＝4d ，∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∵a n >0，∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝(2n －1)12n ，设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ，①12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1 ＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1，即S n ＝3－2n ＋32n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n . 22．(本小题满分12分)如图1所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口，如果轮船始终匀速直线航行，则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】轮船从点C 到点B 用时80分钟，从点B 到点E 用时20分钟，而船始终匀速航行，由此可见，BC ＝4EB .设EB ＝x ，则BC ＝4x ，由已知得∠BAE ＝30°，在△AEC 中，由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AEsin C ，即sin C ＝AE sin ∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin C，即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中，由余弦定理得 BE 2＝AE 2＋AB 2－2AE ·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313，所以BE ＝313(千米)．故轮船的速度为v ＝313÷2060＝93(千米/时)．。

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第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3 (C)4 (D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6(D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章数列测试三数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1)(D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ；(2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝81，a 42＝1，a 54＝5.(2)求a ij 的计算公式.测试六数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a .13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( )(A)0 (B)－3 (C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________. 8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m . (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章不等式测试九不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明.12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式. 测试十一一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________. 7．不等式05213≤+-x x 的解集是________.8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________.三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba 的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于()(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________.12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34c o s c o s ==a b B A . (1)证明角C ＝90°；(2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a参考答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形；当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ，得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°，所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ，同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+，即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0，由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°；当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0).(2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=，即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )，故cos B ＝－21，所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°，即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4，解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章数列测试三数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1，故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ；(2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35. 三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n ×12＋2)1(-⨯n n ×2＝n 2＋11n ， ∴S n ＝n 2＋11n ＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍).13．(1)通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50＋(n －1)×(－0.6)＝－0.6n ＋50.6.解不等式－0.6n ＋50.6＜0，得n ＞84.3. 因为n ∈N *，所以从第85项开始a n ＜0.(2)S n ＝na 1＋2)1(-n n d ＝50n ＋2)1(-n n ×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n .由(1)知：数列{a n }的前84项为正值，从第85项起为负值，所以(S n )max ＝S 84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.。

高二期末测试卷必修五用

高中数学必修5模块期末综合测试卷一一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( ) A.5＋12 B.5－12 C.1－52 D.122．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 3．不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．－14D ．144．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 009的值是( )A ．2 0092B ．2 008×2 007C ．2 009×2 010D ．2 008×2 009 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 6．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 27．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2Y B ．Y (Y －X )＝Z (Z －X ) C ．Y 2＝XZ D ．Y (Y －X )＝X (Z －X )9．下列命题正确的是( )A ．a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a c ＞bdC ．a ，b ∈R ，且ab ≠0，则a b ＋ba ≥2D ．a ，b ∈R ，且a ＞|b |，则a n ＞b n (n ∈N *) 10．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( )A.154B.1543C.214 3D.3543 11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29 12．已知x ，y ∈R ＋，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( )A ．1 B.12 C.22 D.14二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 14．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．16．设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x3y4的最大值是______．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 000 m 的C 、D 两地(A ，B ，C ，D 在同一平面上)测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)．假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是A 、B 两地之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线(精确到0.1 m)？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)18．(本小题满分12分)已知关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋(3＋a－2a2)<0的解集中的一个元素为0，求实数a的取值范围，并用a表示该不等式的解集．19．(本小题满分12分)已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{2a n}的前n项和S n.20．(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？21．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：22．(本小题满分14分)设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2，{b n}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .1．解析：设最小内角为α，则sin α，cos α，1成等比数列，所以1－sin 2α＝sin α，解得sin α＝5－12或sin α＝－5－12(舍)．答案： B 2．解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴a 5＝－3∴d ＝a 5－a 15－1＝2∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值．答案： A3．解析：不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，即方程ax 2＋bx ＋2＝0的解为x ＝－12或13，故⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a ，－12×13＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.答案： C4．解析：由已知a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，a 4－a 3＝2×3，…，a n －a n －1＝2×(n －1)，以上各式两端分别相加得：a n －a 1＝2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＝n (n －1)，即a n ＝n (n －1)∴a 2 009＝2 008×2 009.D5．解析：由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ．由已知，得2ac cos B ·sin Bcos B ＝3ac ，即sin B＝32，又B 是三角形的内角，所以B ＝π3或2π3.故选D.答案： D 6．解析：a 7·a 8·a 9a 1·a 2·a 3＝q 18＝2，∴q 9＝2，a 4·a 5·a 6＝(a 1·a 2·a 3)·q 9＝5 2.答案： A7．解析：作出可行域如图所示目标函数y ＝12x －12z过点A (1，－1)时z max ＝3答案： B8．解析：易知X ，Y －X ，Z －Y 成等比数列∴(Y －X )2＝X (Z －Y ) 化简可得Y (Y －X )＝X (Z －X )．答案： D 9．解析： a ＞|b |≥0，故a n ＞b n .答案： D10．解析：由题可知a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，∴a ＝c ＋4.∵sin A ＝32，∴A ＝120°.又cos A ＝cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，整理得c 2－c －6＝0，∴c ＝3(c ＝－2舍去)，从而b ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝1543.故选B.答案： B11．解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 12q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.答案： C12．解析：由已知，2＝2x ＋y ≥22xy ＝22c ，所以c ≤12.答案： B13．解析： ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0∴a ＝1答案： 114．解析：不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，则4x －3＞0，显然不恒成立；若a ＋2≠0，则⎩⎨⎧a ＋2＞0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＋2＞0，42－4(a ＋2)(a －1)＜0，解得a ＞2.答案： (2，＋∞) 15．解析：可行域如图所示目标函数y ＝－abx ＋z∵a ＞0，b ＞0 ∴斜率－ab ＜0∴直线过A (1,4)时z 取到最大值8∴ab ＝4∴a ＋b ≥2ab ＝4(当且仅当a ＝b ＝2时等号成立)∴a ＋b 的最小值为4.16．解析：由3≤xy 2≤8得18≤1xy 2≤13①由4≤x 2y ≤9得16≤x 4y 2≤81②①×②得2≤x 3y4≤27∴最大值为2717．解析：在△ACD 中∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，＝23CD .在CD ＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，得AD ＝CD sin 45°sin 60°△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝ 6 000，∠BCD＝30°，根据正弦定理，得BD ＝CD sin 30°sin 135°＝22CD .又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，根据勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝1 00042，而1.2AB ≈7 425.6，则实际所需电线长度约为7 425.6 m.18．解析：原不等式即(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0，适合不等式，故(0－a －1)(2a －3)<0，即(a ＋1)(2a －3)>0，∴a >32或a <－1.若a >32，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )<－54，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12；若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(1－a )>5，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a .综上，a 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.当a >32时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.当a <－1时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a .19．解析： (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d，解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.20．解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝72，蔬菜的种植面积S ＝(a －4)(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝80－2(a ＋2b )≤80－42ab ＝32(m 2)当且仅当a ＝2b ，即a ＝12，b ＝6时，S max ＝32.答：矩形温室的边长为6 m,12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2. 21．解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x ，y 台，总利润是z ，则z ＝6x ＋8y由题意有⎩⎨⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y 均为整数．由图知直线y ＝－34x ＋18z 过M (4,9)时，纵截距最大．这时z 也取最大值z max ＝6×4＋8×9＝96(百元)．故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9 600元． 22．解析： (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项式为a n ＝4n －2.设{b n }的公比为q ，由已知条件b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝[1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1]． 4T n ＝[1×4＋3×42＋5×42＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n ]．两式相减得：3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n ＋5]．∴T n ＝19[(6n －5)4n ＋5].高中数学必修5模块期末综合测试卷二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．25 B.5C ．25或 5 D ．3 5 2．当0<a (1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b >(1－a )b2D ．(1－a )a >(1－b )b3．已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <－7或a >24 B ．a ＝7或a ＝24C ．－7<a <24 D ．－24<a <74．数列1,3,7,15，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －15．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32 B ．1＋3C.2＋32D ．2＋ 36．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102 B ．101C ．100 D ．997．在△ABC 中，角A 、B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定8．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为( )A ．0B ．2C ．4D ．69．函数f (x )＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) 10．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最小值54B ．最大值54C ．最小值1D ．最大值111．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.15812．已知各项均为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 3·a 18的最大值是( ) A ．50 B ．25 C ．100 D ．220二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则sin A 的值是________． 14．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.15．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________处．16．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．18．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值．19．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋(a－1)x－a>0}，B＝{x|(x＋a)(x＋b)>0(a≠b)}，M＝{x|x2－2x－3≤0}．(1)若∁U B＝M，求a，b的值；(2)若－1<b<a<1，求A∩B；(3)若－3<a<－1，且a2－1∈∁U A，求实数a的取值范围．20．(本小题满分12分)某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？21．(本小题满分12分)森林失火，火势以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火5分钟到达现场开始救火，已知消防员在现场平均每人每分钟可灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，所消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁1 m2的森林损失费为60元，设消防队派x名消防队员前去救火，从到现场把火完全扑灭共用n分钟．(1)求出x与n的关系式；(2)求x为何值时，才能使总损失最少．22．(本小题满分14分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a n 2－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .高中数学必修5模块期末综合测试卷二一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴32＝15＋c 2－52×15×c，即c 2－35c ＋10＝0，∴c ＝5或25，经检验，a ，b ，c 能构成三角形．故选C.2．解析：特值法．取a ＝14，b ＝12，则(1－a )1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.(1－a )b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1412＝32.∴(1－a )1b <(1－a )b .故排除 A.同理可排除B ，C.答案： D3．解析： (3×3－2×1＋a )·(－3×4－2×6＋a )<0⇔－7<a <24.答案： C4．解析：取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D.答案： C 5．解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32∴ac ＝6又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B6．解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n ＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100，x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.答案： A 7．解析：由正弦定理得a sin A ＝c sin C 即a sin A ＝2a sin 120°∴sin A ＝64>12∴A >30°，则B <30°故A >B ，∴a >b 答案： A8．解析：作出可行域如图所示目标函数y ＝32x －12z 易知过A (0，－2)时z max ＝4答案： C9．解析：由已知得⎩⎨⎧x 2－3x ＋2≥0，－x 2－3x ＋4≥0，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，x ≠0.⇔⎩⎨⎧x ≤1或x ≥2，－4≤x ≤1，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4>0，x ≠0.⇔x ∈[－4,0)∪(0,1)．答案： D10．解析： f (x )＝(x －2)2＋12(x －2)＝(x －2)2＋12(x －2).∵x ≥52，∴x －2>0，∴f (x )≥214＝1.当且仅当x －22＝12(x －2)，即x ＝3时，取等号．答案： C11．解析： 9S 3＝S 6而S 6＝S 3＋a 4＋a 5＋a 6∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6即q 3＝8∴q ＝2 ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列．S ′5＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案： C12．解析：由题可知S 20＝20(a 1＋a 20)2＝20(a 3＋a 18)2＝100，所以a 3＋a 18＝10，故a 3·a 18≤⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋a 1822＝25. 13．解析：根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋62－2×4×6cos120°＝76.所以c ＝219，根据正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝4sin 120°219＝5719.14．解析：由⎩⎨⎧S 3＝3S 6＝24知⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×(3－1)2d ＝36a 1＋6(6－1)2d ＝24即⎩⎨⎧ a 1＋d ＝12a 1＋5d ＝8，∴⎩⎨⎧a 1＝－1d ＝2∴a 9＝－1＋8×2＝1515．解析：由已知得y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库与车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8，当且仅当0.8x ＝20x 即x ＝5时等号成立．16．解析：当a ＝－2时，原不等式可化为0·x 2＋0·x －1≥0，解集为空集，符合题意．当a ＝2时，原不等式可化为0.x 2＋4x －1≥0，解集不能为空集．当⎩⎨⎧a 2－4＜0Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)＜0，不等式的解集为空集．∴－2＜a ＜65综上－2≤a ＜65. 17．解析： (1)将2sin A ＝3cos A 两边平方，得2sin 2A ＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0.解得cos A ＝12＞0，∵0＜A ＜π2，∴A ＝60°.a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形得b 2＋c 2－a 22bc ＝m 2.即cos A ＝m 2＝12，∴m＝1.(2)∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.故S △ABC ＝bc 2sin A ≤a 22×32＝334.∴△ABC 面积的最大值为34 3.18．解析： (1)由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)；又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．从而，S n ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49t ，解得t ＝2. 19．解析：由题意，得A ＝{x |(x ＋a )(x －1)>0}，∁U B ＝{x |(x ＋a )(x ＋b )≤0}，M ＝{x |(x ＋1)(x－3)≤0}．(1)若∁U B ＝M ，则(x ＋a )(x ＋b )＝(x ＋1)(x －3)，所以a ＝1，b ＝－3，或a ＝－3，b ＝1. (2)若－11}，B ＝{x |x <－a 或x >－b }．故A ∩B ＝{x |x ＜－a 或x ＞1}．(3)若－3<a <－1，则1<－a <3，所以A ＝{x |x <1或x >－a }，∁U A ＝{x |1≤x ≤－a }．又由a 2－1∈∁U A ，得1≤a 2－1≤－a ，即⎩⎨⎧a 2－2≥0a 2＋a －1≤0，解得－1－52≤a ≤－ 2.20．解析：设隔出大房间x 间，小房间y 间，获得收益为z 元，则⎩⎨⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，且x ，y ∈N即⎩⎨⎧6x ＋5y ≤60，①5x ＋3y ≤40，②x ≥0，y ≥0，且x ，y ∈N.目标函数为z ＝200x ＋150y 画出可行域如图阴影部分所示．作出直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线4x ＋3y ＝0.当l 经过平移过可行域上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607时，z 有最大值，由于A 的坐标不是整数，而x ，y ∈N ，所以A 不是最优解．调整最优解： 4x ＋3y ≤37，令4x ＋3y ＝37，即y ＝37－4x3，代由x ，y ∈N ，知z ′＝解得52≤x ≤3.入约束条件①，②，可但此时y ＝253∉N.再次调整最优解：由于x ∈N ，得x ＝3，令4x ＋3y ＝36，即y ＝36－4x3，代入约束条件①，②，可解得0≤x ≤4(x ∈N)．当x ＝0时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝1023；当x ＝2时，y ＝913；当x ＝3时，y ＝8；当x ＝4时，y ＝623.所以最优解为(0,12)和(3,8)，这时z ′max ＝36，z max ＝1 800.所以应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益． 21．解析： (1)由已知可得50nx ＝100(n ＋5)，所以n ＝10x －2(x ＞2)．(2)设总损失为y 元，则y ＝6 000(n ＋5)＋100x ＋125nx ＝6 000⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －2＋5＋100x ＋1 250x x －2＝62 500x －2＋100(x －2)＋31450≥26250 000＋31 450＝36 450，当且仅当62 500x －2＝100(x －2)，即x ＝27时，y 取最小值．答：需派27名消防员，才能使总损失最小，最小值为36 450元．22．解析：(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于a n＝a1＋(n－1)d，S n＝n(a1＋a n)2，所以a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．(2)因为a n＝2n＋1，所以a n2－1＝4n(n＋1)，因此b n＝14n(n＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1.故T n＝b1＋b2＋…＋b n＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n＋1＝n4(n＋1)所以数列{b n}的前n项和T n＝n4(n＋1).。

高中数学必修5综合测试题答案

高中数学必修５综合练习题一、选择题1.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是(）（A )a ｎ=n 2-（n-1)ﻩ(B )a n ＝ｎ2-1 （Ｃ）a ｎ=2)1(+n n ﻩ (D )a ｎ=2)1(-n n 2．已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的( ）(A )第1２项ﻩ(B ）第１3项 (C )第１4项（D ）第15项3.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a ５、a 9、a １5成等比数列，那么公比为 ( ) A.B ．C ．D.4.等差数列｛a n }共有2n+1项,其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是( )A.3 Ｂ.5 C ．７Ｄ．9 ５.△ＡBC 中，cos cos A aB b=，则△ＡB Ｃ一定是（ ) A ．等腰三角形B.直角三角形Ｃ.等腰直角三角形D ．等边三角形6.已知△ABC 中,a ＝4，b =43,∠A =30°,则∠B 等于（ ) A.3０° ﻩＢ．30°或150° Ｃ.６0°ﻩﻩＤ．60°或12０°7.在△A ＢC 中，∠A =6０°，a =6，ｂ=４，满足条件的△ＡBC ( )（A )无解 ﻩ(B )有解 ﻩ（C ）有两解 ﻩ(D ）不能确定８．若110a b<<，则下列不等式中,正确的不等式有 ( ） ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b aa b+>A .１个Ｂ.2个 C .３个Ｄ.4个 9．下列不等式中，对任意ｘ∈R 都成立的是 ( ）Ａ.2111x <+ B ．x 2+1＞2ｘＣ.l ｇ(ｘ2+1)≥ｌｇ2x D ．244x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是( )A ．x ２－x ＋１>0 Ｂ.－2ｘ2+x+1>0 C ．２x -ｘ2＞5 Ｄ.x 2+x>211.不等式组 (5)()0,03x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是( )ﻩ (Ａ ) 矩形（Ｂ) 三角形ﻩ（C ) 直角梯形ﻩ(D ) 等腰梯形1２.给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是(）Ａ B Ｃ D 1 ｙ1 ｙ1 ｙ1ｙ二、填空题:１３.若不等式a ｘ2＋b ｘ＋2>0的解集为{ｘ|－3121<<x ｝,则ａ+b =＿_＿＿___＿. 14．140,0,1x y x y>>+=若且,则x y +的最小值是．１5．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第ｎ个图案中有白色地面砖块.１6．已知钝角△ＡBC 的三边a =k ，b ＝k ＋２，ｃ＝k+4,求k 的取值范围 ----－------－－-．。

高中数学必修5综合测试题及答案(3份)

1高中数学必修5综合测试(1)一、选择题：1．如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是（） A ．4 B ．34C ．9D ．18 2、数列{}n a 的通项为n a =12-n ，*N n ∈，其前n 项和为n S ，则使n S >48成立的n 的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．103、若不等式897x +<和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为（） A ．a =﹣8 b =﹣10 B ．a =﹣4 b =﹣9 C ．a =﹣1 b =9D ．a =﹣1 b =2 4、△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．锐角三角形5、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1的项是（） A ．第三项 B ．第四项 C ．第五项 D ．第六项 6、在等比数列{}n a 中，117a a ⋅=6，144a a +=5，则1020a a 等于（）A ．32B ．23C ．23或32D ．﹣32或﹣237、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等于（）A ．120 B ．60 C ．150 D ．308、数列{}n a 中，1a =15，2331-=+n n a a （*N n ∈），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（） A ．2221a a B ．2322a a C ．2423a a D ．2524a a9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）A ．41.1B ．51.1 C ．610(1.11)⨯- D ． 511(1.11)⨯-10、已知钝角△ABC 的最长边为2，其余两边的长为a 、b ，则集合{}b y a x y x P ===,|),(所表示的平面图形面积等于（）A ．2B ．2-πC ．4D ．24-π 二、填空题：11、在△ABC 中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= 12．函数2lg(12)y x x =+-的定义域是13．数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为15、已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，1a =1-，41-=b ，用k S 、'k S 分别表示数列{}n a 、{}n b 的前k 项和（k 是正整数），若k S +'k S =0，则k k b a +的值为三、解答题：16、△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos cos 2B bC a c=-+ （1）求∠B 的大小；（2）若a =4，35=S ，求b 的值。

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高中数学必修5测试题（一）班别座号姓名
编者：何国柱审核：游福庆
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．在△ABC 中，若a =
2 ,b =,0
30A = , 则B 等于
A ．60
B ．60或
120 C ．30 D ．30或
150 2．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（）
A ． 81
B ．120
C ．168
D ．192
4.已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( )
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
5．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( ) A.130 B.170 C.210 D.260
6．已知等比数列{}n a 的公比13
q =-，则
1357
2468
a a a a a a a a ++++++等于( )
A.13-
B.3-
C.1
3
D.3
7．设b a >，d c >，则下列不等式成立的是（）。

A.d b c a ->-
B.bd ac >
C.b
d
c a > D.c a
d b +<+
8．如果方程02)1(2
2=-+-+m x m x 的两个实根一个小于‒1，另一个大于1，那么实数
m 的取值范围是（）
A ．)22(，-
B ．（－2，0）
C ．（－2，1）
D ．（0，1）
9．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7<a <24 D. -24<a <7
10.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（）
A.甲
11．在ABC ∆中, 若2
1
cos ,3-
==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____. 12．在△ABC 中，若=++=A c
bc b a 则,2
22_________。

13．若不等式022
>++bx ax 的解集是⎪⎭
⎫ ⎝⎛-31,21，则b a +的值为________。

14．已知等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和 S n = ___________ 。

三、解答题
15．（13分）在△ABC 中，求证：)cos cos (a
A b
B c a b b a -=-
16．（13分）在△ABC 中，0120,ABC A a S ===，求c b ,。

17．（13分）已知集合A ={x |220x a -≤，其中0a >}，B ={x |2
340x x -->}，且A B = R ，求实数a 的取值范围。

高中数学必修5测试题（二）
18．（13分）某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？
19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和2
48n S n n =-。

(1)求数列的通项公式； (2)求n S 的最大或最小值。

20．（14分）设数列{}n a 的前项n 和为n S ，若对于任意的正整数n 都有n a S n n 32-=. （1）设3n n b a =+，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式。

（2）求数列{}n na 的前n 项和.
高中数学必修5测试题答案
一、选择题（每小题5分，共50分） BCBDC BDDCB
二、填空题（每小题5分，共20分）
11．3 12．120︒ 13．14- 14．⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=n
n S 21112 三、解答题
15．证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2
22-+=代入右边即可。

16．解：由222
1sin ,2cos 2
ABC S bc A a b c bc A ==+-，即……，得1,4==c b 或4,1==c b 。

17．解：∵A ={x |a x a -≤≤}，B ={x |1x <-或4x >}，且A B = R ，∴1
44a a a -≤-⎧⇒≥⎨≥⎩。

18．解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,09382y x y x y x
目标函数为：z =2x +3y 作出可行域：
把直线l ：2x +3y =0向右上方平移至l '的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =2x +3y 取最大值
解方程⎩
⎨
⎧=+=+938
2y x y x 得M 的坐标为（2，3）.
答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能
获得最大利润
19．解：（1）1147
(1)249(2)n n
n S n a S S n n -⎧=-=⎪=⎨-==-≥⎪⎩
249n =-
(2)由2490n a n =-≤，得24n ≤。

∴当n =24时, 2
(24)576n S n =--有最小值:-576
20．解：（1）n a S n n 32-= 对于任意的正整数都成立， ()13211+-=∴++n a S n n 两式相减，得()n a n a S S n n n n 3213211+-+-=-++ ∴32211--=++n n n a a a ，即321+=+n n a a
()3231+=+∴+n n a a ，即13
23
n n n a b a ++=
=+对一切正整数都成立。

∴数列{}n b 是等比数列。

由已知得 3211-=a S 即11123,3a a a =-∴=
∴首项1136b a =+=，公比2=q ，1
62n n b -∴=⋅。

1623323n n n a -∴=⋅-=⋅-。

232341231(2)
323,
3(1222322)3(123),23(1222322)6(123),3(2222)323(123),
2(21)3(1)
362212
3(1)
(66)26.
2
n n n n n n n n n n n n n na n n S n n S n n S n n n n n n n S n ++=⨯⋅-∴=⋅+⋅+⋅++⋅-++++=⋅+⋅+⋅++⋅-+++
+-=+++
+-⋅++++
+-+=⋅-⋅+
-+∴=-⋅+-。