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圆周角练习题一(含答案)

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圆周角定理 专题练习

圆周角定理 专题练习

圆周角定理专题练习1.在圆周角定理中，已知∠CBO=45°，∠CAO=15°，求∠AOB的度数。

答案：B.60°。

2.在平面直角坐标系中，已知⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，），C（，6），求⊙A的半径。

答案：C.5.3.在圆周角定理中，已知点A,B,C在⊙O上，且∠A=50°，求∠BOC的度数。

答案：A.130°。

4.已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，求∠BCD的度数。

答案：A.116°。

5.已知圆心角∠BOC=78°，求圆周角∠BAC的度数。

答案：A.156°。

6.在圆周角定理中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，求∠XXX的度数。

答案：D.20°。

7.在圆周角定理中，已知AB是半圆的直径，点D是AC 的中点，∠ABC=50°，求∠DAB的度数。

答案：XXX°。

8.在圆周角定理中，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，求∠XXX的度数。

答案：D.40°。

9.已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，求⊙O的半径。

答案：B.5.10.在圆周角定理中，已知DC是⊙O直径，XXX⊥CD于F，连接BC，DB，判断下列结论错误的是：答案：B.AF=XXX。

11.在圆周角定理中，已知点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，求AE的长。

答案：B.5.12.在圆周角定理中，已知点A、B、C在⊙O上，且∠C=30°，求∠AOB的度数。

答案：XXX°。

13.在圆周角定理中，已知⊙O中∠BAC=∠CDA=20°，求∠ABO的度数。

答案：B.70°。

2021年中考数学复习：圆周角定理 专项练习题1(含答案)

2021年中考数学复习：圆周角定理 专项练习题1(含答案)

2021年中考数学复习：圆周角定理专项练习题11．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且，若∠ABC＝∠CAD，则弦AC＝．2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD的长为．3．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB＝10，BC＝4，则DP＝．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝°．5．如图，⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B两点重合），若∠OAB ＝35°，则∠APB的度数是．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝2∠AOB，如果∠BAC＝40°，那么∠ACB的度数是．7．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于D且CD ＝OD，若AB＝2，则⊙O的直径为．9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交⊙O于点D．若CD＝5，BC＝8，则AB的长为．10．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），M，N分别是BP，AB的中点．若AB＝4，∠APB＝30°，则MN长的最大值为．11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝70°，则∠EAC的度数为．12．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于．13．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于．14．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC＝度．15．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝10cm，AB＝6cm，则⊙O的半径长为cm．。

圆周角的专项练习30题(有答案)ok

圆周角的专项练习30题(有答案)ok

圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。

中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案

中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案

圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 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初三数学圆周角试题

初三数学圆周角试题

初三数学圆周角试题1.下图中是圆周角的有 .【答案】②⑥【解析】顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.根据圆周角的定义可得②⑥是圆周角.【考点】圆周角的定义点评：本题是圆周角的定义的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.2.如图，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，则º．【答案】135°【解析】由根据圆周角定理可得弧CD=弧CE=弧DE，即可得到结果.∵∴弧CD=弧CE=弧DE∴135°.【考点】圆周角定理点评：圆周角定理是圆中极为重要的知识点，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】（1）如图所示：（2）10cm【解析】过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则可求得BD的长，设半径为xcm，则OD=(x-4)cm，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可列方程求解.【考点】垂径定理，勾股定理点评：作图能力是初中数学学习中非常基础的能力，因而在中考中比较常见，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.4.如图，已知是⊙O的圆周角，，则圆心角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

∵∴=故选D.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A．30°B．150°C．30°或150°D．60°【答案】C【解析】由题意可得这条弦与半径组成的三角形的等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果. 由题意可得这条弦与半径组成的三角形的等边三角形则这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选C.【考点】圆周角定理点评：等边三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.6.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【答案】B【解析】根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.【考点】确定圆的条件点评：本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.7.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为。

2022-2023学年苏科版九年级数学上册 《圆周角》同步练习题(含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册 《圆周角》同步练习题(含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。

九年级数学上册《圆周角》练习题含答案

九年级数学上册《圆周角》练习题含答案

九年级数学上册《圆周角》练习题复习巩固1．如图，O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于()A．60°B．45°C．30°D．20°2．如图，已知CD是O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D＝50°，则∠C＝()A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，四边形ABCD内接于O，若∠C＝36°，则∠A的度数为()A．36°B．56°C．72°D．144°4．如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，当测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为()A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位5．如图，已知点E是圆O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__________．6．如图，量角器外沿上有A，B两点，它们的读数分别是70°，40°，则∠1的度数为__________．7．如图，点C在O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，旋转角为α(0°＜α＜180°)．若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，则∠α=_________°8．如图，O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是__________．9．如图，已知AB为O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，∠BAC=45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD=CD.能力提升10．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若∠DA B＝20°，则∠OCD＝__________.11．如图，正方形ABCD内接于O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP＋∠DCP＝__________.12．如图，点A，D，B，C都在O上，OC⊥AB，∠ADC=30°(1)求∠BOC的度数；(2)求证：四边形AOBC是菱形．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的O交△ABC的边于G，F，E点．求证：(1)F是BC的中点；(2)∠A=∠GEF.参考答案复习巩固1．C 2.D 3.D4．B连接EF，∵∠EOF＝90°，∴EF是圆的直径．由勾股定理，得EF＝2222OE OF+=+＝10.故选B.865．69°∵B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，∴∠AOD＝3×46°＝138°.∠AOD＝69°.∴∠AED＝126．15°由题意知，∠AOB＝70°－40°＝30°.∠AOB＝15°.因此∠1＝127．110°∵∠BCA′＝40°，∴∠BOA′＝2∠BCA′＝80°.∴∠α＝∠AOB＋∠BOA′＝30°＋80°＝110°.8．30°如图，延长AO交O于点D，连接CD，则∠D＝∠B＝60°.∵AD是O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠CAO＝90°－∠D＝30°.9．(1)解：如图，连接AD.∵AB为O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAD ＝∠CAD ＝22.5°. ∴∠EBC ＝∠CAD ＝22.5°. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD .能力提升10．65° 设O 交y 轴的负半轴于点E ，连接AE ，则∠OCD＝∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAE .∵∠EOB ＝90°， ∴∠BAE ＝12∠EOB ＝12×90°＝45°. ∴∠OCD ＝20°＋45°＝65°.11．45° 连接AO ，DO ，则∠AOD ＝90°，所以AD 的度数为90°， 即AP 与DP 的度数之和为90°. 故∠ABP ＋∠DCP ＝45°.12．(1)解：∵点A ，D ，B ，C 都在O 上，OC ⊥AB ，∴AC BC =. ∵∠ADC ＝30°，∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. (2)证明：由(1)得AC BC =， ∴AC ＝BC .又∵CO ＝BO ，∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形．∴BC ＝BO ＝CO .∴AO ＝BO ＝AC ＝BC . ∴四边形AOBC 是菱形．13．证法一：(1)如图①，连接DF .图①∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴BD ＝DC ＝12AB . ∵DC 是O 的直径，∴DF ⊥BC .∴BF ＝FC ，即F 是BC 的中点． (2)∵D ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴DF ∥AC ，∠A ＝∠BDF . ∵∠BDF ＝∠GEF ， ∴∠A ＝∠GEF .图②证法二：(1)如图②，连接DF ，DE . ∵DC 是O 的直径，∴∠DEC ＝∠DFC ＝90°. ∵∠ECF ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EF ＝C D ，DF ＝EC .∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EF＝CD＝BD＝12 AB.∴Rt△DBF≌Rt△EFC(HL)．故BF＝FC，即F是BC的中点．(2)∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC.∵∠ACB＝90°，(也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC)∴∠A＝∠FEC.∵∠FEG＝∠BDF，由(1)可知DF∥AC，∴∠A＝∠BDF.∴∠A＝∠GEF.。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（ ）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°， 故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ， 由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π． 故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°． 故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4， 故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。

(完整word版)圆周角定理经典训练卷(含答案)

(完整word版)圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦,且AB⊥CD．若∠CDB=62°,则∠ACD的大小为（）(1）（2）(3)A．28° B．31°C．38° D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30°C．45° D．50°3．如图,AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40° B．50°C．60° D．80°4．如图,已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°,则∠BAD的度数是( ）（4）（5）（6)（7）A．30° B．40°C．50° D．60°5．如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的大小是（）A．50° B．55°C．60° D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为( ）A．2 B．4 C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点,∠ACB=20°,则∠OAB的度数为（）A．80° B．75°C．70° D．65°8．如图,在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为( )A．25° B．50°C．65° D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中,劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°,点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60° B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．60° B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25° D．20°12．已知△ABC中,AB=AC，∠A=50°,⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是( ）A．50° B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（)（13）（14）（15）A．75° B．60°C．45° D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（)A．30°B．45°C．60° D．75°15．如图,已知CD是⊙O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( ）A．25° B．30°C．40° D．50°16．如图,AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（)A．23° B．57°C．67° D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37° B．47°C．45° D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°,则∠BCD的度数为（）A．25° B．45°C．55° D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（)A．20° B．30°C．40° D．70°20。

圆周角期末试题及答案

圆周角期末试题及答案

圆周角期末试题及答案试题一已知半径为r的圆上的圆周角为θ，则圆周角的大小可以用弧度制表示为θ = r/radius，其中radius为圆的半径。

1. 若半径r为5cm，求圆周角大小。

答案：θ = 5/5 = 1 弧度2. 若圆周角大小为2弧度，求半径r的值。

答案：r = 2 * radius = 2 * 1 = 2cm试题二某圆的半径为6cm，上面的两条弦的夹角为60度。

1. 求该圆上的圆周角大小。

答案：θ = 60/180 * π ≈ 1.047 弧度2. 若该圆上的圆周角是1.047弧度，求弦的夹角。

答案：夹角= θ * 180/π ≈ 60度试题三在一个半径为8cm的圆上，有一个圆周角θ与一个半径为4cm的弦所对应。

1. 求圆周角θ的大小。

答案：θ = 2 * arccos(r/radius) = 2 * arccos(4/8) ≈ 2.094 弧度2. 若圆周角θ的大小为2.094弧度，求弦的长度。

答案：弦长= 2 * radius * sin(θ/2) = 2 * 8 * sin(2.094/2) ≈ 6.928 cm 试题四在一个半径为10cm的圆上，有两条弦相交于点O，与该圆的圆周所夹的四个角分别为α、β、γ和δ。

1. 若α的大小是60度，求β的大小。

答案：β = 360 - 2α = 360 - 2 * 60 = 240度2. 若γ的大小为2弧度，求δ的大小。

答案：δ = 2π - γ = 2π - 2 ≈ 4.283 弧度答案解析：根据圆周角的定义，圆周角的大小与圆的半径和所对应的弦的关系密切。

在解题过程中，我们首先根据给定条件得到圆周角的大小，然后根据圆周角的大小计算得到相应的半径、弦长或夹角。

在计算过程中，我们使用了弧度制和度数制的相互转换公式，确保计算结果的准确性。

请注意，在实际问题中，除了基本的计算公式外，还可能涉及到三角函数、三角恒等式等相关知识点。

在解题过程中，务必全面理解题目要求，并根据具体情况选用适当的公式或方法进行计算。

人教版九年级上册数学《圆周角》同步练习及答案

人教版九年级上册数学《圆周角》同步练习及答案

24.1圆（第四课时）-------圆周角知识点1、圆周角定义：极点在，而且两边都和圆的角叫圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的。

推论1、在同圆或等圆中，假如两个圆周角，那么它们所对的弧。

推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是；90 0的圆周角所对的弦是。

3、圆内接四边形：定义：假如一个多边形的全部极点都在圆上，这个多边形叫做做。

性质：圆内接四边形的对角一、选择题，这个圆叫1. 如图，在⊙O中，若C 是BD的中点，则图中与∠BAC相等的角有（）A.1个B.2个C.3个D.4个A·ODBC2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ A=40°，则∠BOC的度数为（）A. 20°B.40° C .60° D.80 °B COA3. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙ O上，若∠A=40 o，则∠B 的度数为（）A．80 o B．60 o C．50 o D．40 o4. 如图，在△ ABC中， AB 为⊙ O的直径，∠ B=60°，∠ BOD=100°，则∠ C 的度数为（）A．50° B ．60° C ．70° D ．80°5. 如图，AB、CD是⊙ O的两条弦，连结AD、BC，若∠ BAD=60°，则∠BCD的度数为（A.40 °B.50 °C.60°D.70 °6. 如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点象限内⊙C 上一点，∠ BMO=120°，则⊙C的半径为（A．6B．5C．3D．32B，点）A 的坐标为（0，3）， M是第三7、如图，⊙O是△ ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥ AC于点 P，OP=2 3，则⊙ O的半径为（）A．43B．63C．8D．128、如图， DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于 F，连结 BC， DB，则以下结论错误的选项是（）B． AF=BF C． OF=CF D．∠DBC=90°A.AD BD二、填空题1．如图，点A、 B、C 在⊙ O上，∠ AOC=60°，则∠ABC的度数是．2．如图，点A、 B、C、 D 在⊙O上， OB⊥AC，若∠ BOC=56°，则∠ ADB=度．3. 已知如图，四边形ABCD内接于⊙ O，若∠ A＝60°，则∠ DCE＝.4. 如图，⊙ O的弦 CD与直径 AB订交，若∠ BAD＝50°，则∠ ACD＝..5、如图， AB是⊙O的直径，点 C 是圆上一点，∠ BAC=70°，则∠ OCB=．6、如图，若AB是⊙O的直径， AB=10cm，∠ CAB=30°，则 BC=cm．7、如下图⊙O 中，已知∠ BAC=∠CDA=20°，则∠ ABO 的度数为．8、如图，△ ABC 内接于⊙ O，∠ BAC=120°，AB=AC， BD为⊙O的直径， AD=6，则 DC=．9、如图，圆心角∠ AOB=30°，弦CA∥OB，延伸 CO与圆交于点D，则∠ BOD=．10、如图，量角器的直径与直角三角板 ABC的斜边 AB重合，此中量角器与点 A 重合，射线 CP从 CA处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，0 刻度线的端点CP与量角器的半N圆弧交于点E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是度．三、解答题1、如图，⊙O的直径AB为 10cm，弦 AC为 6cm，∠ ACB的均分线交⊙O 于 D，求 BC，AD， BD 的长 .CA BOD2．如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（ 1）求证：CF﹦BF；（ 2）若CD ﹦ 6，AC﹦ 8，则⊙O的半径为，的长是．CECDA F BO E3、如图， A， P， B，C是半径为 8 的⊙ O上的四点，且知足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ ABC是等边三角形；（2）求圆心 O到 BC的距离 OD．4、如图，⊙ O 是△ ABC的外接圆， AB 是⊙ O 的直径， D 为⊙ O上一点， OD⊥ AC，垂足为E，连结 BD（1）求证： BD均分∠ ABC；（2）当∠ ODB=30°时，求证： BC=OD．5、如图， AB为⊙O的直径，点 C 在⊙O上，延伸BC至点 D，使 DC=CB，延伸 DA与⊙O的另一个交点为E，连结 AC， CE．（1）求证：∠ B=∠D；（2）若 AB=4， BC﹣AC=2，求 CE的长．24.1圆（第四课时）--------圆周角知识点1.圆上订交2.相等一半相等必定相等直角直径3.圆内接多边形这个多边形的外接圆互补一、选择题1.C2.D3.C4.C5. C6.C7、 A8、 C二、填空题1． 150°2． 25°3.60 °4.40° .5、 20°6、 57、 50°8.2 39、 30°10、 144°三、解答题1、CA BOD解： AB是O的直径ACB= ADB=90在 Rt ABC中,AB=10cm,AC=6cm,BC AB 2AC 2102628cmCD 均分 ACBACD BCD45AD BDAD BD在Rt ADC中,AB=10cm AD2BD2AB2100AD BD 1005 2cm 22．CD2F1BAEO解： (1)证明：∵AB是⊙ O的直径，∴∠ACB﹦90°又∵ CE⊥ AB，∴∠ CEB﹦90°∴∠ 2﹦ 90°－∠A﹦∠ 1又∵ C是弧 BD的中点，∴∠1﹦∠ A∴∠ 1﹦∠ 2,∴CF﹦ BF﹒(2)⊙ O的半径为5， CE的长是24﹒53、解：（ 1）在△ ABC中，∵∠ BAC=∠APC=60°，又∵∠ APC=∠ ABC，∴∠ ABC=60°，∴∠ ACB=180° - ∠ BAC-∠ABC=180° - 60° - 60°=60°，∴△ ABC是等边三角形；（2）∵△ ABC为等边三角形，⊙ O为其外接圆，∴O为△ ABC的外心，∴BO均分∠ ABC，∴∠ OBD=30°，∴O D=8×1=4．24、证明：（ 1）∵ OD ⊥ AC OD 为半径，∴ CD AD ，∴∠ CBD=∠ABD ，∴BD 均分∠ ABC ；（ 2）∵ OB=OD ，∴∠ OBD=∠0DB=30°，∴∠ AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵ OD ⊥ AC 于 E ，∴∠ OEA=90°，∴∠ A=180° - ∠ OEA-∠AOD=180° - 90° - 60°=30°，又∵ AB 为⊙ O 的直径，∴∠ ACB=90°，在 Rt △ ACB 中， BC=1 AB ，2∵OD=CD AD AB ，∴BC=OD ．5、（1）证明：∵ AB 为⊙O 的直径，∴∠ ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB，∴A D=AB，∴∠ B=∠D；（2）解：设 BC=x，则 AC=x﹣2，222在 Rt△ABC中， AC+BC=AB，∴（ x﹣ 2）2+x2=42，解得： x1=1+，x2=1﹣（舍去），∵∠ B=∠E，∠ B=∠D，∴∠ D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。

人教版九年级数学上册24.1.4圆周角 练习题(含答案)

人教版九年级数学上册24.1.4圆周角 练习题(含答案)

人教版九年级数学上册24.1.4圆周角 练习题（含答案）一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上,D 是AC 上任一点(不与A 、C 重合),则∠ADC 的度数是__120o ______.DDCB AO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有____5_____对相等的角。

3.已知,如图3,∠BAC 的对角∠BAD=100°,则∠BOC=___160____度.4.如图4,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=___23____度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB 是⊙O 的直径, BC BD ,∠A=25°,则∠BOD 的度数为__50o ______.6.如图6,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O到CD 的距离___.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC 的度数是( A ) A.50° B.100° C.130° D.200°DDCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对9.如图9,D是AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )A.100°B.80°C.50°D.40°11.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°12.如图,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )A.40°B.50°C.70°D.110°三、解答题:13.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.解：连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.14.如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC的长.解：连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2.B A15.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.15.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,,∴∠COB= ∠DOB.∴BC BD∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′CD=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.16.钳工车间用圆钢做方形螺母,现要做边长为a的方形螺母, 问下料时至少要用直径多大的圆钢?答案：1.120°2.3 13.160°4.44°5.50°7.A 8.C 9.B 10.C 11.B 12.C13.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD= 4cm.14.连接DC,则∠ADC=∠ABC=∠CAD,故AC=CD.∵AD是直径,∴∠ACD=90°, ∴AC2+CD2=AD2,即2AC2=36,AC2. 15.(1)相等.理由如下:连接OD,∵AB⊥CD,AB是直径,,∴∠COB= ∠DOB.∴BC BD∵∠COD=2∠P,∴∠COB=∠P,即∠COB=∠CPD.(2)∠CP′D+∠COB=180°.理由如下:连接P′P,则∠P′C D=∠P′PD,∠P′PC=∠P′DC.∴∠P′CD+∠P′DC=∠P′PD+∠P′PC=∠CPD.∴∠CP′D=180°-(∠P′CD+∠P′DC)=180°-∠CPD=180°-∠COB,从而∠CP′D+∠COB=180°.。

圆周角练习题及答案

圆周角练习题及答案

圆周角练习题及答案在平面几何课程中，圆周角是一个非常重要的概念。

学生通过练习圆周角的计算和解题，可以更好地理解和应用该概念。

本文将提供一些圆周角的练习题及其答案，旨在帮助学生加深对圆周角的理解和应用能力。

一、单选题1. 在圆的半径为r的两条弦之间所夹的圆周角是：A. 60度B. 90度C. 180度D. 360度答案：C. 180度2. 在相同圆上的两个圆周角，其中一个是另一个的两倍，那么它们的度数分别是：A. 60度和120度B. 90度和180度C. 120度和240度D. 150度和300度答案：C. 120度和240度二、填空题1. 在相同圆上的两个圆周角，它们的度数之和为________度。

答案：360度2. 在一个圆上，一个圆周角的度数是60度，那么它所对应的弧长为________。

答案：π/3（弧度）三、解答题1. 已知一个圆的半径为8cm，圆心角的度数为60度，求该圆内切正多边形的边长和面积。

解答：首先，由于圆心角度数为60度，所以切割的正多边形是六边形。

其次，由于圆的半径为8cm，因此可以通过正多边形的对称性得知，该六边形的边长为2r=16cm。

最后，可以通过将该六边形切割成等腰三角形，并计算其面积的一半来得到该多边形的面积。

所以，该六边形的边长为16cm，面积为(16*8*sin60°)/2=64√3 cm^2。

2. 若一个正八边形的外接圆的圆周角的度数为x度，求x的值。

解答：在一个正八边形中，通过连接圆心以及相邻的两个顶点，可以将该八边形分割为八个等腰三角形。

由于正八边形的圆心角度数为x 度，而圆心角是等腰三角形的内角，所以每个三角形的内角度数为x/2度。

根据三角形的内角和公式，可得(x/2)*8=180度，解得x=360度。

综上所述，圆周角练习题及答案提供了一些常见的练习题，通过对这些题目的解答，可以帮助学生更好地理解和应用圆周角的概念。

希望本文对学生们的学习有所帮助！。

圆周角定理练习题(A)

圆周角定理练习题(A)

《圆周角定理》练习题一．选择题（共16小题）1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°第7题图第8题图第9题图9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠211．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD 的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°第10题图第11题图第12题图16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共8小题）17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．第17题图第18题图第19题图18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C=°．19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．第20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题（共16小题）25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC 分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．《圆周角定理》2222222222参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2012•呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，又∵∠BOC=76°，∴∠A=76°×=38°．故选C．2．（2015•眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．3．（2010秋•海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，∠2顶点不在圆周上，∠4的一边不和圆相交，故图中圆周角有∠1和∠3两个．故选B．4．（2015•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．5．（1997•陕西）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB=80°∴∠E=∠AOB=40°∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．故选：B．6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°【解答】解：连接OP，可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，∵MN为直径，∴∠MOP+∠NBP=180°，∴∠MAP+∠NBP=90°，∵∠PBN=50°，∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．故选B．7．（2007•太原）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵∠ABD=20°∴∠C=∠ABD=20°∵CD是⊙O的直径∴∠CAD=90°∴∠ADC=90°﹣20°=70°．故选D．8．（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：连结BD，如图，∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故选C．9．（2009•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°【解答】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故选A．10．（2013秋•沙洋县校级月考）如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，故选B．11．（2012秋•天津期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴∠D=∠ABC=30°．故选A．12．（2009•塘沽区二模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，∴，∴∠ADB=∠AOC=25°．故选C．13．（2012秋•宜兴市校级期中）在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．故选C．14．（2011•南岸区一模）如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD 交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵CD是∠ACB的角平分线，∴=，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．故选C．15．（2015秋•合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=40°，∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．故选B．16．（2013•万州区校级模拟）如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵∠BAD=30°，∴=60°，∵AB是圆的直径，AB⊥CD，∴==60°，∴=180°﹣60°=120°，∴∠AEC==×120°=60°．故选C．二．填空题（共8小题）17．（2016•大冶市模拟）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于40°．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，∴∠DOE=40°，答案为40°．18．（2015•历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是65°．【解答】解：连结BD，如图，∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故答案为65°．19．（2013秋•滨湖区校级期末）如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB 上不与A、B重合的任意一点，则∠C=130°．【解答】解：在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，∴∠D=∠AOB=×100°=50°，∵∠D+∠C=180°，∴∠C=180°﹣50°=130°．故答案为130．20．（2008秋•苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解：连接OC．根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，根据三角形的外角的性质，得∠PCQ＞∠A，则∠B＞∠A．故答案为第二种．21．（2015•黄岛区校级模拟）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为4cm．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2cm，∴⊙O的直径=4cm．故答案为：4．22．（2014春•海盐县校级期末）如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．【解答】解：连结OA、OB，∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，∵弦AB等于半径R，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=∠AOB=30°，∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．故答案为60°；是30°或150°．23．（2012•义乌市模拟）如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O 交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为2cm．【解答】解：连接AD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，又等腰△ABC，BC为底边，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∴BD=CD=BC，又BC=4cm，∴DE=2cm．故答案为：224．（2012秋•哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；则∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠B＞∠A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：第二．三．解答题（共16小题）25．（2009•沈阳模拟）如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．【解答】证明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°，∴∠C=∠AHE，∵∠AHE=∠BHG=∠C，∴∠G=∠BHG，∴BH=BG，又∵AD⊥BC，∴HD=DG．26．（2013秋•虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，∴弧AC=弧BC，∴AC=BC，又∵∠BPC=∠A=60°，∴△ABC为等边三角形．27．（2013秋•耒阳市校级期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．【解答】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠BAC=40°，∴∠C=（180°﹣40°）=70°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；证明：连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，而AB=AC，∴BD=DC．28．（2014秋•高密市期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．（2013秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．（2010秋•瑞安市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．32．（2013•宁夏模拟）如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．【解答】证明：连结OD，如图，∵OA为⊙C的直径，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AB，∴AD=BD．33．（2011秋•宁波期中）如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM，∴∠ODM=∠OMD，∵DM平分∠ODC，∴∠ODM=∠CDM，∴∠CDM=∠OMD，∴CD∥OM，∵CD⊥AB，∴OM⊥AB，∴弧AM=弧BM，即点M为劣弧AB的中点．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE=90°，∵AF⊥BC于D，∴∠FAC+∠ACB=90°，∵∠E=∠ACB，∴∠BAE=∠FAC，∴弧BE=弧CF，∴BE=CF．36．（2015秋•哈尔滨校级期中）已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵弦BE=DE，∴=，∴∠DAE=∠BAE，∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE，∴∠B=∠C，∴AC=AB．37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？【解答】解：AD和BF相等．理由：如图，连接AC、BC，∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°∴∠BDC=∠BAC=45°∵EC⊥CD，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC，AC=BC，∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，∴∠DCA=∠FCB在△ACD和△BCF中，{，∴△ACD≌△BCF∴DA=BF．38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．【解答】证明：连接AD，AE，∵AB是直径．AB⊥DE，∴AB平分DE，弧ACE=弧AD，∴∠ACD=∠ADE，∵A、C、E、D四点共圆，∴∠FCE=∠ADE，∴∠FCE=∠ACD，∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD，∴∠FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．一．解答题（共6小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD2．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC 分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？【解答】解：AF=FG，理由是：连接AD，∵AB是直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠DEB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵D为弧AC中点，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，∴DF=FG，∴AF=FG．3．如图，AB为⊙O的直径，以OA为直径作⊙C，AD为⊙O的弦，交⊙C于E，试问，当D点在⊙O上运动时（不与A重合），AE与ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解：AE=ED．理由：连接OE，∵AO是⊙C的直径，∴∠OEA=90°，∴OE⊥AD，∵OE过圆O的圆心O，∴AE=ED．4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．【解答】证明：连接OD，∵OA为⊙C的直径，∴∠ODA=90°，即OD⊥AB，∴D是AB的中点．5．（2007•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．【解答】证明一：（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴BD=DC=AB，（2分）∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC，（4分）∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，（6分）∴∠A=∠BDF，（7分）∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），（8分）∴∠A=∠GEF．（9分）证明二：（1）连接DF，DE，∵DC是⊙O直径，∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）∵∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．∴EF=CD，DF=EC．（2分）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴EF=CD=BD=AB．（3分）∴△DBF≌△EFC．（4分）∴BF=FC，即F是BC的中点．（5分）（2）∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），∴∠A=∠FEC．（7分）∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠A=∠GEF．（9分）（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）6．（2000•兰州）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．【解答】证明：（1）在△DHC与△DPC中，∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC为公共边，∴△DHC≌△DPC，∴CH=CP．（2）连接DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠DBH，∵△DHC≌△DPC，∴DH=DP，∵DP⊥AC，DH⊥BH，∴∠DHB=∠DPC=90°，∴△DAP≌△DBH，∴AP=BH．。

圆周角练习(含答案)

圆周角练习(含答案)

圆周角练习一．选择题（共6小题）1．（2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°2．（2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°3．（2018•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x 轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．（2018•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．（2005•双柏县）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°6．（2018•西湖区一模）在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α=45°时，S=C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大二．解答题（共8小题）7．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．8．（2018•兴庆区校级一模）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED=EC；（2）若CD=3，EC=2，求AB的长．9．（2018•滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．10．（2018•和平区模拟）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．11．（2018•长兴县一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G 是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．12．（2011•南漳县模拟）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP 的度数；若不存在，请说明理由．13．（2016•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．14．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．圆周角练习参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2．（2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．3．（2018•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x 轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．【解答】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．4．（2018•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．5．（2005•双柏县）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=64°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=128°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=64°，∴∠BOD=2∠A=128°．故选：A．【点评】本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．（2018•西湖区一模）在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α=45°时，S=C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：A、错误．菱形的周长=8，与∠α 的大小无关；B、错误，∠α=45°时，菱形的面积=2•2•sin45°=2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S=菱形的面积=2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．7．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC =8．∴S半圆=•π•42=8π．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（2018•兴庆区校级一模）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED=EC；（2）若CD=3，EC=2，求AB的长．【解答】解：（1）∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC；（2）连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，又∵AB=AC，∴BC=2EC=4，∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，∴△ABC∽△EDC，∴AB：EC=BC：CD，又∵EC=2、BC=4、CD=3，∴AB=8．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．9．（2018•滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．【解答】（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA=90°∴AO=OB=3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=∴P点坐标为（3，）在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，根据勾股定理得：AP=4，所以MC=2，又OM=，所以OC=MC﹣OM=，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM=MC=2，AO=3，OC=，∴AM=MC=AC=2，∴△AMC为等边三角形又∵AP为圆M的直径得∠ACP=90°得∠OCE=30°（1分）∴OE=1，BE=2 ∴BE=2OE．（2分）【点评】本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．解答该题时通过作辅助线AC、BP构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．10．（2018•和平区模拟）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．【分析】（Ⅰ）利用圆内接四边形的性质证明∠CED=∠A即可；（Ⅱ）连接AE．在Rt△AEC中，求出∠EAC即可解决问题；【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB=180°，∵∠CED+∠DEB=180°，∴∠CED=∠A，∵∠A=68°，∴∠CED=68°．（Ⅱ）连接AE．∵DE=BD，∴=∴∠DAE=∠EAB=∠CAB=34°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠DAE=90°﹣34°=56°【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2018•长兴县一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G 是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．【分析】（1）连接OC．设⊙O的半径为R．在Rt△OEC中，根据OC2=OE2+EC2，构建方程即可解决问题；（2）连接AD，根据垂径定理得到=，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AGD，根据圆内接四边形的性质证明即可【解答】（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE=EC=4，在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，∴R2=（R﹣2）2+42，解得R=5．（2）证明：连接AD，∵弦CD⊥AB∴=，∴∠ADC=∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC=∠FGC，∴∠FGC=∠AGD．【点评】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，学会添加常用辅助线．12．（2011•南漳县模拟）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP 的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，进而可根据勾股定理求出AB的长；（2）由于∠AOB=90°，由圆周角定理知AB即为⊙C的直径，根据AB的长即可求得⊙C的半径；若过C作y轴的垂线，根据三角形中位线定理，很明显的可以看出C点横坐标是B点横坐标的一半，C点纵坐标是A点纵坐标的一半，由此得解；（3）由图知：若△POB是等腰三角形，则P点一定是OB垂直平分线与⊙C的交点，可据此求出P点的坐标及∠BOP的度数．【解答】解：（1）∵A（0，2），B（2，0）∴OA=2，OB=2；Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4；（2）∵∠AOB=90°，∴AB是⊙C的直径；∴⊙C的半径r=2；过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB；∵C是AB的中点，∴CE是△AOB的中位线，则OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）；故⊙C的半径为2，C（，1）；（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于P1、P2，交OB于D如图；连接OC；由垂径定理知：P1P2必过点C，即P1P2是⊙C的直径；∴P1（，3），P2（，﹣1）；在Rt△OMP1中，P1D=3，OD=，∴∠BOP1=60°；∵P1P2是直径，∴∠P1OP2=90°，∠BOP2=30°；由于P1P2垂直平分OB，所以△OBP1、△OBP2都是等腰三角形，因此P1、P2均符合P点的要求；由于此时同时BO=P1O，因此不需要考虑BO为腰的情况．故存在符合条件的P点：P1（，3），∠BOP1=60°；P2（，﹣1），∠BOP2=30°．【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定、勾股定理的应用以及直角三角形的性质等知识，涉及知识点较多，难度适中．13．（2016•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．14．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．。

2.4 圆周角（解析版)

2.4 圆周角（解析版)

2.4圆周角知识点一：圆周角概念1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．题型一：圆周角的概念【例题1】（2021·全国九年级课时练习）如图，其中圆周角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，AEP，CPE∠是圆周角，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．变式训练【变式1-1】（2021·全国九年级课时练习）下列四个图形的角是圆周角的是（）A．B．C．D．知识点管理归类探究【答案】A【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．【变式1-2】（2021·浙江温州·）如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°【答案】A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB⊙CD，⊙⊙ADC+⊙BAD=90°，⊙⊙ADC=35°，⊙⊙BAD=90°﹣35°=55°，故选：A．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．【变式1-3】（2021·江西九年级期末）如图，AB是O的直径，C为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．AC是O的弦B．BOC是圆心角+<C．C∠是圆周角D．AC OC AB【答案】B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、点C不在O上，所以AC不是O的弦，故错误，不符合题意；B、因为点O是圆心，所以⊙BOC是圆心角，故正确，符合题意；C、点C不在O上，所以⊙C不是圆周角，故错误，故不符合题意；+<成立，则AC+OC＜OA+OB，D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若AC OC AB⊙AC＜OA，与题干矛盾，⊙D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．【变式1-4】（2021·全国）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做____________．圆周角的特征：⊙顶点在_____上；⊙两边都和圆_________．【答案】圆周角圆相交圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．题型二：同弧所对圆周角等于圆心角一半【例题2】（2021·湖南长沙市·明德华兴中学九年级开学考试）如图，圆周角⊙ACB的度数为48°，则圆心角⊙AOB的度数为（）A．48°B．24°C．36°D．96°【答案】D【分析】同圆中，同弧所对的圆周角=圆心角的一半．【详解】解：由题意得，圆周角⊙ACB的度数为48°，⨯=︒，圆心角⊙AOB的度数为48°296故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 变式训练【变式2-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，已知CD 是O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】A【分析】根据平行线的性质和圆周角定理计算即可； 【详解】⊙//OA DE ，50D ∠=︒， ⊙50AOD ∠=︒，⊙12C AOD ∠=∠，⊙150225C ︒∠=⨯=︒． 故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质，准确计算是解题的关键．【变式2-2】（2021·黑龙江九年级期末）如图，O 是ABC 的外心，42ABC ∠=︒，72ACB ∠=︒，则BOC ∠=______．【答案】132°【分析】先利用三角形内角和计算出⊙BAC =66°，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到⊙BOC 的度数． 【详解】解：⊙⊙ABC =42°，⊙ACB =72°， ⊙⊙BAC =180°-42°-72°=66°，⊙O 是⊙ABC 的外心，⊙以O 为圆心，OB 为半径的圆是⊙ABC 的外接圆， ⊙⊙BOC =2⊙BAC =132°． 故答案为：132°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．【变式2-3】（2021·全国九年级课时练习）如图，BC 是O 的弦，D 是BC 上一点，DO 交O 于点A ，连接AB ，OC ，若20A ∠=︒，30C ∠=︒，则AOC ∠的度数为________．【答案】100︒【分析】设⊙AOC =x °，根据圆周角定理得到⊙B 的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设⊙AOC =x °，则⊙B =12x °， ⊙⊙AOC =⊙ODC +⊙C ，⊙ODC =⊙B +⊙A ， ⊙x =20°+30°+12x ， 解得x =100°．故选A ．【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 题型三：同弧所对圆周角【例题3】（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，⊙C ＝40°，⊙AED ＝100°，则⊙D ＝______．【答案】60°【分析】首先根据圆周角定理的推论，得⊙C =⊙ABD ，再根据三角形外角的性质即可求得⊙D 的度数． 【详解】解：⊙⊙C =40°， ⊙⊙C =⊙B =40°． ⊙⊙AED =100°，⊙⊙D =⊙AED -⊙B =100°-40°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 变式训练【变式3-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，O 是ABC 的外接圆，65CAB ∠=︒，P 是O 上的一点，则CPB ∠等于________．【答案】65°【分析】根据圆周角定理（同弧所对在圆周角相等）进行解答． 【详解】解：根据同弧所对的圆周角相等，得CPB CAB ∠=∠．⊙65CAB ∠=︒， ⊙65CPB ∠=︒． 故答案为：65°【点睛】本题考查了圆周角定理．注意：圆周角必须满足两个条件：⊙定点在圆上．⊙角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．【变式3-2】（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB CD=，⊙CAD ＝30°，⊙ACD＝50°，则⊙ADB＝_____．【答案】70°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出⊙ACB=⊙ADB=180°-⊙CAB-⊙ABC，进而得出答案．【详解】解：⊙CB CD=，⊙CAD=30°，⊙⊙CAD=⊙CAB=30°，⊙⊙DBC=⊙DAC=30°，⊙⊙ACD=50°，⊙⊙ABD=50°，⊙⊙ADB=⊙ACB=180°-⊙CAB-⊙ABC=180°-50°-30°-30°=70°．故答案为：70°．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出⊙ABD度数是解题关键．【变式3-3】（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，⊙CAB＝55°，则⊙D的度数是___．【答案】35°【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出⊙ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到⊙B＝90°﹣⊙CAB ＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出⊙D ＝⊙B ＝35°． 【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ACB ＝90°， ⊙⊙CAB ＝55°，⊙⊙B ＝90°﹣⊙CAB ＝35°， ⊙⊙D ＝⊙B ＝35°． 故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 题型四：直径所对圆周角是直角【例题4】（2021·江苏九年级期末）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠=︒，则ADC ∠=________°．【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到⊙ADC =⊙ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到⊙ACB =90°，再根据⊙BAC =40°即可求解. 【详解】解：如图所示，连接BC ⊙⊙ADC =⊙ABC ⊙AB 是直径 ⊙⊙ACB =90° ⊙⊙BAC =40°⊙⊙ABC =180°-90°-40°=50° ⊙⊙ADC =⊙ABC =50° 故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式训练【变式4-1】（2021·湖南九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，8cmAC，BD=，则AB的长为________cm．3cm【答案】10AC＝4cm．然后利用勾股定理求解．【分析】利用圆周角定理和三角形中位线定理求得OD＝12【详解】解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，又⊙OD⊙BC，即⊙ODB＝90°，⊙AC⊙OD，⊙点O是AB的中点，⊙OD是⊙ABC的中位线，AC＝4cm，⊙OD＝12⊙BD＝3cm，⊙OB22+5cm，BD OD⊙AB＝2OB＝10cm．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理和圆周角定理，根据题意推知OD是⊙ABC的中位线是解题的关键．【变式4-2】（2021·四川九年级期末）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝1，AB＝3，点D在圆O 上且平分BC，则DC的长为__．5【分析】先利用圆周角定理得到⊙A＝⊙D＝90°，再利用勾股定理计算出BC10接着证明⊙BCD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求DC的长．【详解】解：⊙BC是直径，⊙⊙A＝⊙D＝90°，在Rt⊙ACB中，⊙AC＝1，AB＝3，⊙BC22+10，13⊙点D平分BC，即BD＝BC，⊙⊙BCD＝⊙CBD，⊙⊙BCD为等腰直角三角形，⊙DC221055【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．BC OA，连接BO并延【变式4-3】（2021·苏州市立达中学校九年级二模）如图，点A、B、C在O上，//长，交O于点D，连接AC、DC．若24∠的大小为________︒．∠=︒，则DA【答案】42【分析】利用平行线的性质求出⊙ACB ＝24°，再利用圆周角定理求出⊙AOB ＝48°，利用平行线的性质可得⊙CBO ＝48°，再证明⊙DCB ＝90°可得结论． 【详解】解：⊙//BC OA ， ⊙⊙ACB ＝⊙A ＝24°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝48°， ⊙//BC OA ，⊙⊙CBO ＝⊙AOB ＝48°， ⊙BD 是直径， ⊙⊙DCB ＝90°， ⊙⊙D ＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-4】（2021·宁夏九年级一模）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，40ACD ∠=︒，则BAD ∠的度数为_______．【答案】50°【分析】由同弧所对的圆周角相等可知40ABD ACD ∠=∠=︒，再由直径所对的圆周角为直角即可得到答案． 【详解】解：连接BD ，⊙40ACD ∠=︒， ⊙40ABD ∠=︒， ⊙AB 为O 的直径， ⊙90ADB ∠=︒， ⊙90BAD ABD ∠+∠=︒， ⊙904050BAD =︒-︒=︒∠， 故答案为：50︒．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，掌握基础知识是解题的关键． 题型五：90°圆周角所对弦是直径【例题5】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8cm ，OF ＝6cm ，则圆的直径为__________【答案】10cm【分析】由题意可知OE OF ⊥，利用90º圆周角所对的弦为直径，确定EF 是该圆的直径，利用勾股定理求该圆的直径即可． 【详解】连结EF ，⊙OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直， ⊙OE⊙OF ，即⊙EOF=90º， ⊙EF 为直径，在Rt⊙EOF 中，由勾股定理2222OE +OF =6810EF +=， ⊙圆的直径为10． 故答案为：10．【点睛】本题考查圆周角的性质与勾股定理的应用，掌握圆周角的定理，通过构造直角三角形用勾股定理是解题关键． 变式训练【变式5-1】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图，Rt ABC 中，6AC =，8BC =，点E 是ABC 外接圆上任意一点，点M 是弦AE 的中点，当点E 在ABC 外接圆上运动一周时，点M 运动的路径长为______．【答案】5π【分析】作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，M 是弦AE 的中点，可证O 为ABC 外接圆的圆心，OM⊙AE ，可证点M 在以AO 为直径的圆上运动，求出AO 的长度，进而求出点M 的运动路径长度． 【详解】解：作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，如图：⊙ABC 是直角三角形，点E 是ABC 外接圆上任意一点， ⊙AB 为ABC 外接圆的直径，（90°圆周角所对的弦是直径）， 点O 为ABC 外接圆的圆心，AE 为ABC 外接圆上的弦， ⊙点M 是弦AE 的中点，⊙OM⊙AE （平分弦的直径垂直于这条弦，注：该弦不是直径）， ⊙点M 在以AO 为直径的圆上运动（90°圆周角所对的弦是直径）， ⊙在Rt ABC 中，6AC =，8BC =， ⊙22226810ABAC BC ，⊙AO＝5，⊙点M运动的路径长为5π．故答案为：5π．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理的运用及勾股定理，灵活运用垂径定理的推论是解题关键．【变式5-2】（2018·山东济南·中考真题）如图，⊙O的半径为1，⊙ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．32C3D3【答案】C【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得⊙BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得⊙A=60°，于是利用圆周角定理得到⊙BOC=2⊙A=120°，易得⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=12BD=1，33解．【详解】连结BD、OC，如图，⊙四边形BCDE为矩形，⊙⊙BCD=90°，⊙BD为⊙O的直径，⊙BD=2，⊙⊙ABC为等边三角形，⊙⊙A=60°，⊙⊙BOC=2⊙A=120°，而OB=OC，⊙⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD 中，CD=12BD=1，33 ⊙矩形BCDE 的面积3C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合性比较强．合理利用圆的基本性质是解题的关键．【变式5-3】（2021·江苏苏州市·九年级开学考试）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AC =，P 是ABC 所在平面内一点，且满足PA PC ⊥，则PB 的最大值为________．221【分析】由于⊙APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P 在以AC 为直径的圆上，取AC 的中点O ，连接BO ，然后根据点与圆的位置关系确定PB 的最大值． 【详解】解：⊙⊙ACB=90°,⊙BAC=30°, ⊙AB=2BC ，又AC=4， ⊙()22242BC BC +=， 解得：43⊙PA⊙PC ，即⊙APC=90°， ⊙点P 在以AC 为直径的圆O 上， 如图，当P 、O 、B 三点共线时，PB 最大， 43，OC=12AC=2， 22BC OC +221221，221．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，利用90°的圆周角所对的弦是直径构造圆O是解题的关键．知识点四：圆内接四边形圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．题型六：圆内接四边形【例题6】（2020·温州市实验中学九年级期末）如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，⊙AOC=140°，则⊙ABC的度数为（）A．70°B．110°C．120°D．140°【答案】B【分析】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由⊙AOC=140︒求出⊙ADC=1702AOC∠=︒，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC=180︒，即可求出⊙ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，⊙⊙AOC=140︒，⊙⊙ADC=1702AOC∠=︒，⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙ADC+⊙ABC=180︒，⊙⊙ABC=110 ，故选：B．【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．变式训练【变式6-1】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙A＝115°，则⊙BOD＝_______．【答案】130°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出⊙C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙A=115°，⊙⊙C=180°-⊙A=180°-115°=65°，⊙⊙BOD=2⊙C=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．【变式6-2】（2021·江苏南京·）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若⊙AEC＝87°，则⊙ADC＝__°．【答案】62【分析】连接BD 、BC ，由圆周角定理可得⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ，再根据圆內接四边形的性质可得⊙EBC=⊙ADC ，由切线的性质得出⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC ，最后根据三角形内角和定理解答即可．【详解】解：连接BD 、BC ， ⊙B 是AC 的中点， ⊙AB BC =⊙⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙EBC=⊙ADC, ⊙EC 是⊙O 的切线， ⊙⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC⊙⊙AEC=87°，⊙AEC+⊙BCE+⊙EBC=180°， ⊙87°+12⊙ADC+⊙ADC=180°，解得⊙ADC=62°．故答案为62°．．【点睛】本题主要考査了圆的切线性质、圆內接四边形的性质、圆周角的定理等知识点，灵活运用圆的相关性质定理是解答本题的关键．【变式6-3】（2020·云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AB AD = ，若72C ∠=︒，则ABD ∠的度数是______．【答案】36°【分析】根据圆内接四边形的性质求出⊙A ，根据等边对等角的性质得到⊙ABD=⊙ADB ，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙⊙A ＝180°﹣⊙C ＝108°， ⊙AB ＝AD ， ⊙∠ABD=∠ADB ，⊙⊙ABD ＝()()113180180108622A ⨯=⨯∠︒︒︒=︒--故答案为36°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【真题1】（2021·江苏南京·）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙BOD ＝130°，则⊙A 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．115°D ．130°【答案】C【分析】先根据圆周角定理求出BCD ∠的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 【详解】解：⊙130BOD ∠=︒，链接中考⊙1652BCD BOD ∠=∠=︒，⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙180A BCD ∠+∠=︒， ⊙115A ∠=︒． 故选：C ．【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．【真题2】（2021·西藏中考真题）如图，⊙BCD 内接于⊙O ，⊙D ＝70°，OA ⊙BC 交⊙O 于点A ，连接AC ，则⊙OAC 的度数为（ ）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到⊙BOC ＝2⊙D ＝140°，根据垂径定理得到⊙COA 1702BOC =∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接OB ，OC ， ⊙⊙D ＝70°，⊙⊙BOC ＝2⊙D ＝140°， ⊙OA ⊙BC ，⊙⊙COA 1702BOC =∠=︒，⊙OA ＝OC ， ⊙⊙OAC ＝⊙OCA 12=（180°﹣70°）＝55°， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【真题3】（2021·辽宁鞍山·）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒【答案】B 【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【真题4】（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE中，⊙EAB⊙+⊙C+⊙CDE+⊙E＝430°，则⊙CDA＝_____度．【答案】70【分析】先利用多边的内角和得到⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，则可计算出⊙B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求⊙CDA的度数．【详解】解：⊙五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，⊙⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，⊙⊙EAB+⊙C+⊙CDE+⊙E=430°，⊙⊙B=540°-430°=110°，⊙四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙⊙B+⊙CDA=180°，⊙⊙CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．【拓展1】（2020·浙江绍兴市·）如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则ACD的度数为__________．【答案】67°【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是46°，利用圆周角定理求解即可求得⊙BCD的度数，继而求得答案．【详解】解：连接OD，满分冲刺⊙直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，⊙点A ，B ，C ，D 共圆，⊙点D 对应的刻度是46°，⊙⊙BOD ＝46°，⊙⊙BCD ＝12⊙BOD ＝23°，⊙⊙ACD ＝90°-⊙BCD ＝67°，故答案为：67°．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【拓展2】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图．在⊙ABC 中，⊙A ＝60°，BC ＝5cm ．能够将⊙ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm ．103 【分析】根据题意作出ABC 的外接圆，然后根据圆的相关知识即可求得⊙ABC 外接圆的直径，本题得以解决．【详解】解：将ABC 完全覆盖的最小覆盖圆就是ABC 的外接圆，如解图，作ABC 的外接圆，作直径BD ，连接CD ，则60D A ∠=∠=︒，BD 是O 的直径，90BCD ∴∠=︒，30DBC ∴∠=︒，⊙BD=2CD ，在Rt BDC 中，2225BD CD -=，⊙22354BD =， ⊙103BD =（取正值）．所以能够将⊙ABC 103cm ． 103 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆周角定理的推论，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．【拓展3】（2017·湖北十堰·中考真题）如图，⊙ABC 内接于⊙O ，⊙ACB =90°，⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD 2，则BC 的长为_____．【答案】8【分析】连接AD ，根据CD 是⊙ACB 的平分线可知⊙ACD=⊙BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知⊙ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt⊙ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，⊙⊙ACB=90°，⊙AB 是⊙O 的直径．⊙⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，2．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ABD是等腰直角三角形，22+．AD BD⊙AC=6，2222AB AC-=-．106故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．备考无忧系列26。

人教版九年级数学下圆周角同步练习含答案

人教版九年级数学下圆周角同步练习含答案

24.1.4　圆周角知识点 1　圆周角的概念1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图24－1－452．如图24－1－46，图中有多少个圆周角？所对的圆周角有几个？所对的圆周BC ︵CD ︵角有几个？图24－1－46知识点 2　圆周角定理3．2017·徐州如图24－1－47，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 等于( )图24－1－47A．28°B．54°C．18°D．36°4．如图24－1－48所示，把一个量角器放置在△ABC的上面，根据量角器的读数可得∠BAC的度数是( )图24－1－48A．60°B．30°C．20°D．15°5．如图24－1－49，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB 的长为( )图24－1－4922A.B．2 C．2 D．46．2017·义乌如图24－1－50，一块含45°角的三角尺，它的一个锐角顶点A在⊙O 上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠EOD＝________°.图24－1－50知识点 3　圆周角定理的推论7．如图24－1－51，在⊙O 中，＝，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )AB ︵ AC ︵图24－1－51A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8．如图24－1－52，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.图24－1－529．2017·湖州如图24－1－53，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则的度数是________度．AD ︵图24－1－5310．如图24－1－54所示，已知四边形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E .求证：DB 平分∠ADC .图24－1－54知识点4　圆内接多边形11．2017·淮安如图24－1－55，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.图24－1－5512．如图24－1－56所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．图24－1－5613．2017·云南如图24－1－57，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝( )图24－1－57A．30°B．29°C．28°D．20°14．2017·西宁如图24－1－58，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图24－1－5815．如图24－1－59，一块三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD ＝________°.图24－1－5916．已知：如图24－1－60，AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°.(1)求∠EBC 的度数；(2)求证：BD ＝CD .图24－1－6017．如图24－1－61，AB 是⊙O 的直径，C 为的中点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于AE ︵点F ，连接AC .求证：AF ＝CF .图24－1－6118．2017·六盘水如图24－1－62，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为的中点，P 是直径MN 上一动点．AN ︵ (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时点P 的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；(2)求PA ＋PB 的最小值．图24－1－62教师详解详析1．C [解析] 根据圆周角的定义，顶点在圆上，可排除选项D .根据两边都与圆相交可排除选项A ，B .故选C .2．解：图中有8个圆周角，所对的圆周角有1个，是∠BDC ；所对的圆周角有BC ︵ CD ︵ 2个，分别是∠CBD ，∠CAD.3．D [解析]根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝∠AOB ＝×72°＝36°.12124．D5．C [解析]如图，连接OA ，OB.因为∠APB 和∠AOB 分别是所对的圆周角和AB ︵ 圆心角，所以∠AOB ＝2∠APB ＝2×45°＝90°.在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝2，由勾股定理，得AB ＝2 .故选C .26．90　[解析] ∠EOD ＝2∠A ＝2×45°＝90°.7．C [解析] ∵＝，∴AB ＝AC.∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝(180°－50°)AB ︵ AC ︵ 12＝65°，∴∠AEC ＝∠ABC ＝65°.故选C .8．50　[解析]∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝90°－40°＝50°.9．140　[解析] 连接AD ，OD.∵AB 为圆的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，根据“等腰三角形三线合一”得到AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝20°.又∵OA ＝OD ，∴∠BOD ＝2∠OAD ＝40°，∴∠AOD ＝140°.即的度数是140度．AD ︵10．证明：∵AB ＝BC ，∴＝，∴∠ADB ＝∠BDC ，AB ︵ BC ︵ 即DB 平分∠ADC.11．120　[解析] 因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.因为∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，所以∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D ＝×180°＝120°.63＋612．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝130°.又∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠D －∠ACD ＝180°－130°－25°＝25°，∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°，∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°，∴AB 是⊙O 的直径．13．A [解析]∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝＝70°.180°－40°2又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.故选A .14．60　[解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.15．61　[解析] 设AB 的中点为O ，连接OD.∵三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点C 在以AB 为直径的圆上．∵点D 对应的刻度是58°，∴∠DCB ＝×58°＝29°，∴∠ACD ＝90°－29°12＝61°.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°.又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABE ＝45°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝67.5°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝67.5°－45°＝22.5°.(2)证明：连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC.又∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.17．证明：如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°，∴∠ACF ＝∠B.∵C 为的中点，AE ︵ ∴＝，AC ︵ CE ︵ ∴∠B ＝∠CAE ，∴∠ACF ＝∠CAE ，∴AF ＝CF.18．[解析] (1)画出点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B ，与MN 的交点即为点P.(2)利用∠AMN ＝30°得∠AON ＝∠A′ON ＝60°，又由B 为的中点，可得AN ︵ ∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，再由勾股定理求得PA ＋PB 的最小值为2 .2解：(1)如图，点P 即为所求．(2)如图，连接OA ，OA ′，OB.由(1)可得，PA ＋PB 的最小值即为线段A′B 的长．∵点A′和点A 关于MN 对称且∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝60°.又∵B 为的中点，AN ︵ ∴∠BON ＝∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°.∵MN ＝4，∴OB ＝OA ′＝2.在Rt △12A ′OB 中，由勾股定理得A ′B ＝＝2 .∴PA ＋PB 的最小值是2 .22＋2222。

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AD 9题C B A 《圆周角》练习题一 1.已知⊙O 的半径OA=4，弦AB=4 2 ，则∠AOB 的度数为 ，∠OAB 的度数为 。

2.已知⊙O 的半径OA=6，弦AB 、AC 的长分别为6、6 3 ，则∠CAB 的度数为 。

3.半径为13cm 的⊙O 中，弦AB=24cm, 弦CD=10cm,A B ∥CD,则AB 、CD 间距离为 。

4.如图,已知点E 为⊙O 的点,B 、C 分别为劣弧 的三等分点,∠BOC=46°,则∠AED 的度数为 .
5.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，A O ∥BC ，∠OAC=20°，则∠AOB 的度数为 。

6.如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD=54°，则∠DCF 的度数为 。

7.如图，点A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠ACB=40°，则∠ABO 的度数为 。

8.如图，BD 为⊙O 的直径，∠A=20°，则∠CBD 的度数为 。

9.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，⑴若∠C=30°，AB=4cm ，则⊙O 的半径为 ；
⑵若⊙O 的半径为3cm, ∠C=45°, 则AB= ；⑶若sinB= 23
，AC=4，则⊙O 的半径为 。

10.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠B=∠OAC ，OA=8cm,则AC 的长度为 。

11.如图，OB 、OC 为⊙O 的半径，A 为⊙O 上一点，若∠B=20°，∠C=30°，则∠BOC 的度数为 。

12.如图，⊙O 在正方形网格中，则∠AED 的正弦值为 。

13.如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则∠ACB 的度数为 .
14.如图，已知⊙O 的弦AC 、BD 交于点E ，点A 为 上一动点，当点A 的位置在 时， △ABE ∽△ACB 。

15.如图，AB 为半圆O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，⑴若CD=3，AB=4，则cos ∠BPC= ；
⑵若∠A=60°，CD=2，则直径AB= ；⑶若S △PCD ∶S △PAB = 3∶4，则∠A 的度数为 。

16.半径为6cm 的⊙O 内的一条弦长为6 3 cm,则这条弦所对的圆周角的度数为 。

17.①△ABC 的三个顶点都在半径为8cm 的⊙O 上,且BC=8 2 ，则∠A 的度数为 。

②△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，O D ⊥BC 于点D ，且∠BOD=40°，则∠A 的度数为 。

18.下列说法正确的是（填序号） ①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④同弧所对的圆周角相等；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥相等的圆心角所对的弧相等。

19.如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是⊙O 上的点，且AB=BC=CD ，若∠BAD=50°，∠AED 的度数为 。

20.如图，BA 为⊙O 的直径，E 、D 、C 为⊙O 上与A 、B 不重合的点，∠D=55°，则∠E= 。

11题O C B A A C B O 13题
E A D C B O 14题12题
DE=BD 21.如图，⊙O 中，∠ACB=40°，∠BDC=60°，则∠ABC 的度数为 。

22.如图，AD 为△ABC 的高，AE 为⊙O 的直径，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，∠DAC=30°,则∠BAE 的度数为 。

23.如图，BA 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，连接BD 并延长到C ，使BD=DC ，连接AC ，则△ABC 的形状为 。

24.如图，BA 为⊙O 的直径，∠AOC=130°，AB ⊥CD ，则∠BCD 的度数为 。

25.如图，AB 是⊙O 的弦，，AE 、BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有 。

（在图中标出∠1、∠2、∠3…，用∠1、∠2、∠3…表示）
26.如图,⊙O 中,弦AB 、DC 的延长线交于点P,若∠AOD=120°,∠BDC=25°,则∠P 的度数为 .
27.如图,BA 为⊙O 的直径,AC 交⊙O 于点E,BC 交⊙O 于点D ，CD=BD ，∠C=70°,现给出以下五个
结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE;④ ;⑤CE •AB=2BD 2;其中正确结论的序号为 .
28.如图，AB 为⊙O 的一条弦，C 为优弧上一点，过C 作CD ⊥BA 于点E ，连接CO 并过C 作 CF 平分∠DCO 交劣弧于点F ，在C 点运动过程中，点F 的位置 。

A.随点C 位置的改变而改变；
B.不变
29.如图，AB 为⊙O 的直径,BC 为⊙O 的弦，点P 为的中点，∠ABC=20°，则∠PBC 的度数为 。

30.如图，AB 为⊙O 的直径 ，点C 、D 、E 为⊙O 上三点，则∠A+∠B+∠C= 。

31.如图，AB 为⊙O 的直径,BD 为⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使CD=BD ，连接AC 交⊙O 于点F 。

⑴试判断AB 与AC 的大小关系，并证明；
⑵按角的大小分类，请判断△ABC 属于哪一类三角形？为什么？
19题 20题 21题 22题 23题 24题
25题 26题 27题
28题 29题 30题 31题
27题O B A E D C 28题
O B A
BD 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12。

，AD 平分∠BAC ，过A ，D ，C 三点的⊙O 交AB 于点E ，连接DE 。

⑴AC 与AE 相等吗？为什么？
⑵求⊙O 的半径。

33.如图，△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 于点G ，
AD 延长交于F. 求证：（1）AB •AC=AD •AE ；（2）
12.如图，⊙O 中，直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，则BC= ,∠ABD 的度数为 ，线段BD 长度为 。

27.如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有 个，距离为8的点有 个，距离为4的点有 个，距离为1.5的点有 个.
28.如图,BA 为⊙O 的直径,弦AC 、BD 交于点E,若∠BEC=60°,C 为 的中点,则tan ∠ACD= .
答案：
1.90° 45°
2.30°或90°
3.17cm 或7cm
4.69°
5.40°
6.27°
7.50°
8.70°
9.2 2 cm 10.8 2 cm 11.100° 12.8cm 45° 5 2 13.130° 14.
的中点
15.34
16.75° 17.35° 18.80° 19.30° 20.等腰三角形 21.25° 22.60°或120° 23.75°或105° 24.①45°或135° ②40°或140° 25.10㎝
26.③④ 27.3 1 2 4 28. 29.（略） 30.35° 31.②⑤ 32.B 33.⑴证△ABD ∽△AEC 或证△ABE ∽△ADC ；⑵证∠BAE=∠CAF 33题。

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