数学物理方法第5章
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法讲义
《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。
数学物理方法梁昆淼答案
数学物理方法梁昆淼答案【篇一：第五章傅里叶变换数学物理方法梁昆淼】>?t1.函数 f(t)???0?12. 函数 f(t)???03.设(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为f(?)?2sin?/??。
的傅立叶变换像函数，的傅立叶变换像函数为 _______________________ 。
4.?2012?2011excosx??(x??) dx?[sinx??(x??e??。
5. ?12009?6 ?2008) ]dx? 6.?xsinx?(x? ?1?3) dx?。
7. ?xsinx?(x?) dx? ?128.?[(x2?1)tan(sinx)??(x?)] dx? 。
?201038?911??9.?x3 ?(x?3) dx?－27 。
?tf(t)?10.函数 ??0(|t|?1)(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。
(0?t?1)?1?(?1?t?0)的傅里叶变换为。
11. f(t)???1?0(|t|?1)?12. 在(??,?)这个周期上，f(x)?x。
其傅里叶级数展开为?k?1?2sinkx k13.当0?x?2时，f(x)??1；当?2?x?0时，f(x)?1；当|x|?2时，f(x)?0。
则函数的f(x)傅里叶变换为b(?)?2??(1?cos2?)1?14已知函数f(x)的傅里叶变换为f(?)，试证明f(ax)的傅里叶变换为f()。
af[f(ax)]?1?2????f(ax)e?i?xdx【令x?y/a】?1?2????f(y)e?i?aydya【令y?x】?1?f(x) ?i?ax2????aedx?1?af(a)a---(2分) ---(2分) ---(2分) ---(2分) 证明：【篇二：8000份课程课后习题答案与大家分享~~】> 还有很多，可以去课后答案网（/bbs）查找。
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
77
性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
zyjd05
ξ
dξ
=
1 T
T2 −T 2
f
( x)dx
=
1 T
T2
Hdx
−T 2
=
1 T
Hτ
∫ ( ) ck
= ...... =
1
T2
−i 2kπ x
He T dx
=
T −T 2
H T
T 2kπ
−i 2kπ
ie T
x
τ 2 −τ2
= H sin kπτ πk T
k ≠0
∑ ∴ f (x) = Hτ + ∞
H
sin
−∞
+
1 2π
∞
e
−iω
0
x
e
−iωx
dx
−∞
ห้องสมุดไป่ตู้
=
1 2
[δ
(ω
−
ω0
)
+
δ
(ω
+
ω
0
)]
故
F
[cos3
x]
=
1 8
[3δ
(ω
−
1)
+
3δ
(ω
+
1)
+
δ
(ω
−
3)
+
δ
(ω
+
3)]
[ ] [ ] 另一种解法
F
cos3
x
= F ( eix
+ e −ix 2
)3
=
1 8
F
ei3x
+ e−i3x
+
w)t
+
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。
解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。
证明：1230;zz ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。
即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
.17.证明：三角形内角和等于π。
证明：有复数的性质得：3213213arg;arg ;arg ;z z z z z z αβγ---=== 21z z z z -•-arg(1)2;k αβγπ∴++=-+0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。
数学物理方法总结
∞
为了求得 Tn (t ) ，将上解代入泛定方程得
14
Tn (t ) + n Tn (t ) = 0
' 2
解得 Tn (t ) = An e
∞ n =1 =1
− n 2t
− n 2t
∞
所以 u ( x, t ) = ∑ An e 代入初始条件可得
sin nx
n
∑A
n =1
sin nx = sin x + 2 sin 3 x
1 = [arctg ( x + at ) − arctg ( x − at )] 2a
用拉普拉斯变换法求解方程
6
y '' (t ) − 2 y ' (t ) + y (t ) = t 2 e t y (0) = 0, y ' (0) = 0
解：设
(t ≥ 0)
L[ y (t )]
'
=
10
解：设分离变数形式的解为
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
X '' + λX = 0 代入泛定方程和边界条件，可得 X (0) = 0, X (π ) = 0 T ' + λT = 0
X (x ) 的方程和条件构成本征值问题，如果
λ < 0或 λ = 0
X ( x ) = 0 ，只能得无意义的解 ，故排除。
2
12
线性叠加得满足泛定方程和边界条件的解，原定解问题的形式解为
u n ( x, t ) = ∑ Ae
n =1
∞
− n 2t
sin nx
将形式解代入初始条件得 比较系数后得
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
梁昆淼_数学物理方法第5章
l
l
f ( )sin
nx d
l
l
l [a0
k 1
(ak
cos
k
l
bk sin
k )]sin
l
n
l
d
bk
1 l
l l
f ( )sin k d
l
ak bk
称为周期函数 的付里叶系数
狄里系利条件：(付氏级数收敛条件）
若f(x)满足：(1)、处处连续，或在每个周期有有限个第 一类间断点
(2)、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛
l0
l
ll
l
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
k
l
x
2
ak k l
l f ( ) cos k d
0
l
f '(0) 0 f '(l) 0
例：要求在（- ，）上, f(x)=x2, 展开为Fourier 级数，
在本题展开所得中置 x=0，由此验证
1 1 1 1 2
22 32 42
12
2
0 F () 1 [A( ) iB( )]
2
A() 1
f ( ) cosd
B() 1
f ( ) sin d
F() 1
f ( )(cos i sin )d
2
1
2
f ( )ei d
1
2
f (x)ei xdx
1 f (x)(ei x ) * dx
对于偶函数，有付里叶余弦积分
f (x) 0 A() cos(x)d
A( )
2
0
f
( ) cosd
数学物理方法第五章傅里叶变换
l
l
l
l kx nx
sin cos dx0
l
l
l
l
1 2 dx 2 l
l
l
sin
2 k x dx
l
l
l
cos
2 k x dx
l
l
2、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a f 1 l
0 2l l
xdx
a f 1l n l l
xconsxdx
l
(n1,2,3, )
b f 1l n l l
( a k cos
kπx l
b k sin
kπx )
l
k 1
2
2l l
说明 1、三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin dx0 (kn),
f (x)
a
x
l
延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：
f (x)
a
l 0 l
x
所以
1l
x
a
a0
l
a(1
0
l
)dx 2
ak2 l0 la(1x l)co k lx sd x 2(2 4 n a 0 1 )2(k (k 2n )2n1 )
如图做奇延拓： f (x)
a
l
0l
x
2l x kx 2a
An 2cn
A n 称为f ( x)的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波 的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅 的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱 图，通常是指频率和振幅的关系图。
《高等数学》第四册(数学物理方法)课后答案
z1
x
z2
z3
.
17.证明：三角形内角和等于
证明：有复数的性质得：
π。
Q α ∈ (0, π ); β ∈ (0, π ); γ ∈ (0, π ); ∴α + β + β ∈ (0,3π );
7.试解方程
w.
i
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
(5). a + bi = (a + bi ) 2 = [ a 2 + b 2 (
1
= [ a 2 + b 2 (cos θ + i sin θ )]2 = (a 2 + b 2 ) 4 (cos z1 =
3.设
解：
1 π π π π 1 5π 5π z1 z2 = [cos( + ) + i sin( + )] = (cos + i sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z1 π π π π π π = 2[cos( − ) + i sin( − )] = 2(cos + i sin ); z2 4 6 4 6 12 12
4
4
π
i
3π 4
; z3 = ae
; z4 = ae
i
7π 4
.
解：
z −1 < z + 1 ； ( x − 1)2 + y 2 < ( x + 1) 2 + y 2 ; −2 x < 2 x; x > 0; 此图形为 x>0 的区域。
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5
![电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5](https://img.taocdn.com/s3/m/e9c0394aa76e58fafab00389.png)
1． 可去奇点
定义 5.1.3 可去奇点 设 z0 为 f (z) 的
孤立奇点，若 f (z) 在点 z0 的去心邻域内
的罗朗级数无主要部分（即无负幂次项），
则称 z0 为 f (z) 的可去奇点
这时， f (z) 在 z0 的去心邻域内的罗朗级数
实际上就是一个普通的幂级数
a0 a1(z z0 ) ak (z z0 )k （5.1.2） 因此，这个幂级数的和函数 F(z) 是在 z0 解 析的函数，且当 z z0 时， F(z) f (z); 当 z z0 时， F (z0 ) a0 .
可去奇点.
定理 5.1.1 可去奇点的判定定理
（1） f (z) 在奇点 z0 的去心邻域内的罗朗级数中
无主要部分；
（2） lim z z0
f
(z)
a0, (a0
)
；
（3） f (z) 在 z0 的去心邻域内有界；
以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点
的判断标准，也可作为可去奇点的定义.
2．极点 由于极点与零点有 一定关系，而零点的概 念易于理解 ，故先给出零点的概念 ，然后介绍 极点的定义 ，以及极点与零点的关系 ，最后介 绍极点的判定定理.
式.
对应于(5.2.2)展开式中的负幂次项，为 (t) 在 t 0的
主要部分，故我们 对应地称（ 5.2.3）展式中的正幂次
ak zk 为 f (z) 在 z 的主要部分.
k 1
由上述定义及前面讨论的有限远奇点的性质，容易
推证下述定理：
定理 5.2.1 函数 f (z) 的孤立奇点 z 为可去
在 z0 点及其邻域| z z0 | 内是解析函数，且 (z0 ) 0 .
数学物理方法1课件——第五章 傅里叶变换
∑ ∑ ∞ sin (2n −1) x
m sin (2n −1) x
f (x) =
= lim
n=1 2n −1
m→∞ n=1 2n −1
(−π < x < π )
m=1 1
0.5
-3 -2 -1 -0.5 -1
1
2
3
m=2 0.75
0.5 0.25
-3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75
第五章傅里叶变换51傅里叶级数52傅里叶变换53傅里叶变换的性质54函数约瑟夫傅里叶傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文热的传播在论文中推导出著名的热传导方程并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数
第五章 傅里叶变换
§ 5.1 傅里叶级数 § 5.2 傅里叶变换 § 5.3 傅里叶变换的性质 § 5.4 δ函数
其中傅里叶变换系数为：
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
π −∞
∫ B(k) = 1
∞
f (x) sin(kx)dx
π −∞
傅里叶变换存在的条件：
¾
函数
f (x) 在 (−∞, ∞) 区间内绝对可积，即积分
∞
∫−∞
f (x) dx 收敛
¾ 函数 f (x) 在任意有限区间内满足狄里希利条件，即 f (x) 分段
3. 展开式中的波数kn或频率ωn，取值是不连续的，
即 n = 0,1, 2,... (实数形式的展开) 或 n = 0, ±1, ±2,... (复数形式的展开)。
§ 5.2 傅里叶变换
1、实数形式的傅里叶积分变换
傅里叶积分定理：设函数f(x)是区间[-∞, ∞]上的非周期函数，
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由上例可以推断：一个周期为2l的函数f(x+2l)= f(x) 可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加.
2. 三角函数族及期正交性 引入三角函数族
正交, 即其中任意两个不同的函数之积在 上的积分等于 0 .
证:
l 1 cos k x d x l 1sin k x d x 0
l
l
l
l
l k x n x
l
l
x dx
π
bk sin
π
k
l
x
dx
1l
a0 l
f (x)d x
l
①乘 cos kx 在
l
逐项积分, 得
l f ( x)cos k x dx a0 l π cos k x dx
l
l
2 l
l
n1
an
π π
cos
k
l
x
cos
n
l
x
d
x
bn
l l
cos
k
l
x
sin
n
l
x
d
x
ak
l cos2 k x dx
l
l
(利用正交性)
ak
1 l
l
k x
f ( x)cos dx
l
l
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1 l
l f ( x)sin k x dxl来自l(k 1, 2,
)
f
(x)
a0 2
k 1
ak
cos k x
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和”
•
——傅里叶的第一个主要论点
在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的
偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程 ；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在
像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在 A中所求的解，而且是显式解．
另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时， 就得到不同名称的积分变换:
cos cos dx
l
l
l
1 2
l l
cos(k
n)
x
l
cos(k
n)
x
l
d
x
0
同理可证 : l sink x sinn x dx 0
l
l
l
l cosk x sinn x dx 0
l
l
l
(k n )
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
l
11dx 2l l
学习要求与内容提要
目的与要求：了解在任意有限区间上函数的傅里 叶级数展开法；掌握期函数的傅里
叶展开、定义和性质；δ函数的
定义与性质。
重点：
函数的傅里叶展开、δ函数。
难点： δ函数的概念。
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的．
例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换 化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能 够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积 分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求 解中成为重要的方法之一．
3
5
u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t)
3
5
7
u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t 1 sin9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin5t 1 sin7t )
3
5
(7 t , t 0)
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t, p) e pt（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a 0, b ，则
F( p) f (t)e ptdt 0
称函数 F( p) 为函数 f (t) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F( p) 为函数 f (t) 的拉氏变换．同时我们称 f (t) 为 F( p)
• “非周期信号都可用正弦信号的加
权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
（一） 周期函数的傅里叶展开 1.波的叠加原理
在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦
波),它是形如 Asint 的波,其中A是振幅,ω是角频
率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以
用一系列谐波的叠加表示出来.
（1）特别当核函数 K (t,) eit （注意已将积分参变
量 改写为变量 ），当 a , b ，则
F ( ) f (t)eitdt
称函数 F() 为函数 f (t) 的傅里叶（Fourier）变换， 简称 F () 为函数 f (t)的傅氏变换．同时我们称 f (t) 为F ()
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sint
u
4
(sint
1 sin 3t )
3
u
4
(sint
1 sin3t
1 sin 5t )
1 l
l l
f (x) cos k
l
xdx
(k 0,1, 2,
)
bk
1 l
l f (x)sin k x d x (k 1, 2,
l
l
)
②
称为函数 的傅里叶系数 ;
式 ① 称为
的傅里叶级数 .
证: 由条件, 对①在
逐项积分, 得
l
l
f
(x)d x
a0 2
l
d
l
x
k 1
l k
ak cos
积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面， 作为一种研究工具发挥着十分重要的作用．
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f (t)
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F ( ) f (t)K (t, ) d t
a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ), 这里 K (t, ) 是一个确 定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f (t) 的像函数或简称为像， f (t) 称为 F ( ) 的原函数．
l l
cos2
k
l
x
d
x
l
l sin2 k x dx l
l
l
cos2 k x 1 cos 2k x , sin2 k x 1 cos 2k x
2
2
3.周期函数的傅里叶展开 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,
则它的傅里叶展开式为
①
其中 式中
(在 f (x) 的连续点处)
ak