竖直方向上圆周运动的临界经典题型
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竖直方向上圆周运动的临界问题
1.如图,在水平轨道右侧固定半径为R 的竖直圆槽形光滑轨道,水平轨道的PQ 段铺设特殊材料,调节其初始长度为l ,水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定,弹簧处于自然伸长状态.可视为质点的小物块从轨道右侧A 点以初速度v 0冲上轨道,通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧,并被弹簧以原速率弹回.已知R=0.4m ,l=
2.5m ,v 0=6m/s ,物块质量m=1kg ,与PQ 段间的动摩擦因数μ=0.4,轨道其它部分摩擦不计.取g=10m/s 2.
求:
(1)物块第一次经过圆轨道最高点B 时对轨道的压力;
(2)物块仍以v 0从右侧冲上轨道,调节PQ 段的长度l ,当l 长度是多少时,物块恰能不脱离轨道返回A 点继续向右运动.
2.某兴趣小组为了研究过山车原理,做了一个简易实验:取一段长度=L 1 m 水平粗糙轨道AB ,如图所示,在B 点设计一个竖直平面内的光滑圆轨道,半径R 的大小可以调节.现有一电动小车(可视为质点)质量为=m 0.2kg 静止在A 点, 通过遥控器打开电源开关,在恒定牵引力=F 2N 作用下开始向B 运动,小车与水平轨道的动摩擦因数为=μ0.1,当小车刚好到达B 时立即关闭电源,然后进入圆轨道,g =10m/s 2,求:
(1)若圆轨道半径R =0.1m ,小车到达轨道最高C 点时对轨道的压力;
(2)要使小车不脱离轨道,则圆轨道的半径R 应满足什么条件?
3.如图所示,半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上,轨道之间有一条水平轨道CD 相通,一小球以一定的速度先滑上甲轨道,通过动摩擦因数为μ的CD段,又滑上乙轨道,最后离开两圆轨道,若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零,试求CD段的长度.
答案1.如图,在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道,水平轨道的PQ段铺设特殊材料,调节其初始长度为l,水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定,弹簧处于自然伸长状态.可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v0冲上轨道,通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧,并被弹簧以原速率弹回.已知R=0.4m,l=2.5m,v0=6m/s,物块质量m=1kg,与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4,轨道其它部分摩擦不计.取g=10m/s2.
求:
(1)物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力;
(2)物块仍以v0从右侧冲上轨道,调节PQ段的长度l,当l长度是多少时,物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动.
答案及解析:
1.
解:(1)对物块,首次从A到B,由动能定理有:﹣mg•2R=mv B2﹣mv02
在B点,根据牛顿第二定律有:N1+mg=m
代入数据联立解得:N1=40N
根据牛顿第三定律,小球对轨道的压力大小为40N,方向竖直向上.
(2)对物块,从A点到第二次到达B点,由动能定理有:﹣f•2L﹣mg•2R=m﹣mv02
在B点,根据牛顿第二定律有:mg=m
代入数据联立解得:L=1m
答:(1)物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N;
(2)当长度为1m时,物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动.
【考点】动能定理;向心力.
【分析】(1)对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程,根据动能定理列式求解最高点的速度;在圆弧轨道的最高点,
重力和弹力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律列式求解弹力;
(2)先根据牛顿第二定律求解物体恰能经过圆弧最高点的速度,然后对运动的全程根据动能定理列式求解l 的距离.
2.某兴趣小组为了研究过山车原理,做了一个简易实验:取一段长度=L 1 m 水平粗糙轨道AB ,如图所示,在B 点设计一个竖直平面内的光滑圆轨道,半径R 的大小可以调节.现有一电动小车(可视为质点)质量为=m 0.2kg 静止在A 点, 通过遥控器打开电源开关,在恒定牵引力=F 2N 作用下开始向B 运动,小车与水平轨道的动摩擦因数为=μ0.1,当小车刚好到达B 时立即关闭电源,然后进入圆轨道,g =10m/s 2,求:
(1)若圆轨道半径R =0.1m ,小车到达轨道最高C 点时对轨道的压力;
(2)要使小车不脱离轨道,则圆轨道的半径R 应满足什么条件?
答案及解析:
2.(1)26N (2)36.0≤R m 和9.0≥R m 解析:(1)小车从A 到C 的过程,由动能定理得
①
在C ② 解得26=C F N 由牛顿第三定律知,在C 点对轨道压力=='C C F F 26N ,竖直向上。
(2)从A 到B ③ 不脱离轨道有两种情况: 第一,圆周运动能过最高点。设轨道半径为1R ,有:
④ 解得36.01≤R m 第二,往上摆动。设轨道半径为2R ,有:
⑤ 解得9.02≥R m
所以,轨道半径R 的范围是:36.0≤R m 和9.0≥R m
3.如图所示,半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上,轨道之间有一条水平轨道CD 相通,一小球以一定的速度先滑上甲轨道,通过动摩擦因数为μ的CD段,又滑上乙轨道,最后离开两圆轨道,若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零,试求CD段的长度.
答案及解析:
3.
考点:动能定理的应用;牛顿第二定律;向心力;机械能守恒定律.
专题:动能定理的应用专题.
分析:小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零,都由重力提供向心力,根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率.当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中,只有重力做功,根据机械能守恒定律求解小球经过C点时的速率.根据动能定理求解CD的长度.
解答:解:设小球通过C点时的速度为v C,通过甲轨道最高点的速度为v1,
根据小球对轨道压力为零有
…①
取轨道最低点所在水平面为参考平面,
由机械能守恒定律有…②
联立①②式,可得
同理可得小球通过D点时的速度,设CD段的长度为l,对小球通过CD
段的过程,由动能定理有
解得:
答:CD段的长度是.
点评:本题是向心力、机械能守恒定律、动能定理的综合应用.在竖直平面内,小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似.