竖直方向上圆周运动的临界经典题型

竖直方向上圆周运动的临界问题

1.如图，在水平轨道右侧固定半径为R 的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ 段铺设特殊材料，调节其初始长度为l ，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A 点以初速度v 0冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m ，l=

2.5m ，v 0=6m/s ，物块质量m=1kg ，与PQ 段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其它部分摩擦不计．取g=10m/s 2．

求：

（1）物块第一次经过圆轨道最高点B 时对轨道的压力；

（2）物块仍以v 0从右侧冲上轨道，调节PQ 段的长度l ，当l 长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A 点继续向右运动．

2.某兴趣小组为了研究过山车原理，做了一个简易实验：取一段长度=L 1 m 水平粗糙轨道AB ，如图所示，在B 点设计一个竖直平面内的光滑圆轨道，半径R 的大小可以调节．现有一电动小车(可视为质点)质量为=m 0.2kg 静止在A 点， 通过遥控器打开电源开关，在恒定牵引力=F 2N 作用下开始向B 运动，小车与水平轨道的动摩擦因数为=μ0.1，当小车刚好到达B 时立即关闭电源，然后进入圆轨道，g =10m/s 2，求：

（1）若圆轨道半径R =0.1m ，小车到达轨道最高C 点时对轨道的压力；

（2）要使小车不脱离轨道，则圆轨道的半径R 应满足什么条件？

3.如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD 相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，试求CD段的长度．

答案1.如图，在水平轨道右侧固定半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l，水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．可视为质点的小物块从轨道右侧A点以初速度v0冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧，并被弹簧以原速率弹回．已知R=0.4m，l=2.5m，v0=6m/s，物块质量m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数μ=0.4，轨道其它部分摩擦不计．取g=10m/s2．

求：

（1）物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力；

（2）物块仍以v0从右侧冲上轨道，调节PQ段的长度l，当l长度是多少时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

答案及解析：

1.

解：（1）对物块，首次从A到B，由动能定理有：﹣mg•2R=mv B2﹣mv02

在B点，根据牛顿第二定律有：N1+mg=m

代入数据联立解得：N1=40N

根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小为40N，方向竖直向上．

（2）对物块，从A点到第二次到达B点，由动能定理有：﹣f•2L﹣mg•2R=m﹣mv02

在B点，根据牛顿第二定律有：mg=m

代入数据联立解得：L=1m

答：（1）物块第一次经过圆轨道最高点B时对轨道的压力为40N；

（2）当长度为1m时，物块恰能不脱离轨道返回A点继续向右运动．

【考点】动能定理；向心力．

【分析】（1）对从初始位置到圆弧轨道的最高点过程，根据动能定理列式求解最高点的速度；在圆弧轨道的最高点，

重力和弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解弹力；

（2）先根据牛顿第二定律求解物体恰能经过圆弧最高点的速度，然后对运动的全程根据动能定理列式求解l 的距离．

2.某兴趣小组为了研究过山车原理，做了一个简易实验：取一段长度=L 1 m 水平粗糙轨道AB ，如图所示，在B 点设计一个竖直平面内的光滑圆轨道，半径R 的大小可以调节．现有一电动小车(可视为质点)质量为=m 0.2kg 静止在A 点， 通过遥控器打开电源开关，在恒定牵引力=F 2N 作用下开始向B 运动，小车与水平轨道的动摩擦因数为=μ0.1，当小车刚好到达B 时立即关闭电源，然后进入圆轨道，g =10m/s 2，求：

（1）若圆轨道半径R =0.1m ，小车到达轨道最高C 点时对轨道的压力；

（2）要使小车不脱离轨道，则圆轨道的半径R 应满足什么条件？

答案及解析：

2.（1）26N （2）36.0≤R m 和9.0≥R m 解析：（1）小车从A 到C 的过程，由动能定理得

①

在C ② 解得26=C F N 由牛顿第三定律知，在C 点对轨道压力=='C C F F 26N ，竖直向上。

（2）从A 到B ③ 不脱离轨道有两种情况： 第一，圆周运动能过最高点。设轨道半径为1R ，有：

④ 解得36.01≤R m 第二，往上摆动。设轨道半径为2R ，有：

⑤ 解得9.02≥R m

所以，轨道半径R 的范围是：36.0≤R m 和9.0≥R m

3.如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD 相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，试求CD段的长度．

答案及解析：

3.

考点：动能定理的应用；牛顿第二定律；向心力；机械能守恒定律．

专题：动能定理的应用专题．

分析：小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零，都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率．当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解小球经过C点时的速率．根据动能定理求解CD的长度．

解答：解：设小球通过C点时的速度为v C，通过甲轨道最高点的速度为v1，

根据小球对轨道压力为零有

…①

取轨道最低点所在水平面为参考平面，

由机械能守恒定律有…②

联立①②式，可得

同理可得小球通过D点时的速度，设CD段的长度为l，对小球通过CD

段的过程，由动能定理有

解得：

答：CD段的长度是．

点评：本题是向心力、机械能守恒定律、动能定理的综合应用．在竖直平面内，小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似．