正态分布 线性回归

正态分布与线性回归

1 已知连续型随机变量ζ的概率密度函数

⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤≤+<=)2(0)20(1)0(0)(x x kx x x f ，且f(x) ≥0，求常数k 的值，并计算概率P(1.5≤ξ<2.5)。

分析:凡是计算连续型随机变量ξ的密度函数f(x)中的参数、概率P(a ≤ξ≤b)都需要通过求面积来转化而求得。若f(x) ≥0且在[a ，b]上为线性，那么P(a ≤ξ≤b)的值等于以b-a 为高，f(a)与f(b)为上、下底的

直角梯形的面积，即1

()[()()]()2

P a b f a f b b a ξ≤≤=+-。

解: ∵1()(0)(02)(2)P P P P εξξξ=-∞<<+∞=-∞<<+≤≤+<<+∞

0(02)0P ξ=+≤≤+1

[(0)(2)](20)(0)(2)222

f f f f k =+-=+=+

∴2

1

-=k ；

∴1

(1.5 2.5)(1.52)(2 2.5)(1.52)16P P P P ξξξξ≤<=≤≤+<<=≤≤=。

2 设),(~2

σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：

41

2221)(+--

=

x x e

x f π

，x ∈R 。

（1）求μ，σ；

（2）求)2|1(|<

-x P 及)22121(+<<-x P 的值。

分析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。利用一般正态总体)

,(2

σμN 与标准正态总体N （0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决。 解：（1）由于

2

22)2(2)1(4

122

21

21)(--

+--

⋅=

=

x x x e

e

x f ππ

，

根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，2=σ，故X ～N （1，2）。 （2）)2121()2|1(|+<<-=<-x P x P

2121

(12)(12)()()

22

(1)(1)2(1)120.84131

F F 1+-1--=+--=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=⨯- 6826.0=。

又)21()221()22121(--+=+<<-F F x P

22121()()(2)(1)

22

(2)(1)10.97720.84131φφ1+-1--=Φ-Φ=Φ-Φ-=+-=+- 8185.0=。

点评：在解决数学问题的过程中，将未知的，不熟悉的问题转化为已知的、熟悉的、已解决了的问题，是我们常用的手段与思考问题的出发点。通过本例我们还可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联。

3 某中学有1000人参加并且高考数学成绩近似地服从正态分布()2

10,100N ，求此校数学成绩在120分

以上的考生人数。（ф（2）≈0.977） 解：用ξ表示此中学数学高考成绩，则)10,100(~2N ξ

()()120100*********.02310P P ξξ-⎛⎫∴>=-≤=-Φ≈ ⎪⎝⎭

∴120分以上的考生人数为1000×0.023＝23

点评：通过公式)()(σ

μ

-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可

4 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一

个随机变量，且ξ～N （d ，0.52）.

（1）若d =90°，求ξ<89的概率；

（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，问d 至少是多少?

（其中若η～N （0，1），则Φ（2）=P （η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P （η<－2.327）=0.01）. 分析：（1）要求P （ξ<89）=F （89），

∵ξ～N （d ，0.5）不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（－2.327），故需转化为标准正态分布的数值.

（2）转化为标准正态分布下的数值求概率p ，再利用p ≥0.99，解d . 解：（1）P （ξ<89）=F （89）=Φ（

5

.090

89-） =Φ（－2）=1－Φ（2）=1－0.9772=0.0228.

（2）由已知d 满足0.99≤P （ξ≥80），

即1－P （ξ<80）≥1－0.01，∴P （ξ<80）≤0.01. ∴Φ（5

.080d

-）≤0.01=Φ（－2.327）. ∴

5

.080d

-≤－2.327. ∴d ≤81.1635. 故d 至少为81.1635.

点评：（1）若ξ～N （0，1），则η=

σ

μ

ξ-～N （0，1）.（2）标准正态分布的密度函数f （x ）是偶函数，x <0时，f （x ）为增函数，x >0时，f （x ）为减函数.

5 在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：

（1）提出统计假设：某种指标服从正态分布N （μ，σ2）； （2）确定一次试验中的取值a ；

（3）作出统计推断：若a ∈（μ－3σ，μ+3σ），则接受假设，若a ∈（μ－3σ，μ+3σ），则拒绝假设.

某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N （30，0.8），质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5 kg/cm 2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么?

解：由于在一次试验中ξ落在区间（μ－3σ，μ+3σ）内的概率为0.997，故ξ几乎必然落在上述区间内.

于是把μ=30，σ=0.8代入，

算出区间（μ－3σ，μ+3σ）=（27.6，32.4）， 而27.5∉（27.6，32.4）