数值分析第三章解线性方程组的直接方法演示文稿
数值分析实验三 线性方程组的直接接法2
数值分析实验三 线性方程的直接解法组号 班级 学号 姓名 分数一：实验目的1、掌握求解线性方程组的不同方法。
二：实验内容及基本知识介绍本实验中利用高斯消去法和矩阵的直接三角分解法求解线性方程组。
用消去法解方程组的基本思想：是用逐次消去未知数的方法把原方程组Ax=b 化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法求解。
即上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式（上三角矩阵），从而将求解原方程组的问题转化为求解简单方程组问题。
或者说对系数矩阵A 施行一些做变换将其约化为上三角矩阵。
直接三角分解法的原理：在高斯消去法的基础上，高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，即矩阵的LU 分解——设A 为n 阶矩阵，如果A 的顺序主子式i D ≠0（i=1,2,…n-1）,则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A 的元素得到计算L,U 元素的递推公式，而不需要任何中间步骤，这就是直接三角分解法。
一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那求解Ax=b 的问题就等价于求解两个三角形方程组 ① Ly=b,求y;② Ux=y,求x.其中用直接三角分解法解Ax=b 的分解矩阵A 的计算公式：①111111(1,2,...),/(2,3,...),i i i i i n i n u a l a u ====计算U 的第r 行，L 的第r 列元素（r=2,3,…n ）.②11r ri ri rk ki k ua l u -==-∑ (i=r,r+1,…n); ③11)/(r ir ik kr rr ir k a l l u u -==-∑ (i=r+1,…,n;且r ≠n) 三：实验问题及方法、步骤分别用直接三角分解法和高斯消元法解方程组Ax=b,其中 2111339,23353A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
数值分析第三章 解线性方程组的直接方法 ppt课件
对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m 1：学考j这上a虑n两|严x子a个格i列j |方等。 a程价为...kk 组。省中在时as间iki 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
a nk
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
A(2) b(2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a(1) ij
b(1) i
mi
a(1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a(k) kk
， 0计算因子
m ik a i(k k )/a k (k )k(i k 1 ,..n ) .,
且计算
a(k1) ij
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: m i1a i1/a 11(a 1 10 )
1
记 L1 =
m 21 ...
1
m n1
a1(1)1...a1(1n) b1(1)
A b ，则 L 1 [A (1 ) b (1 )]
(2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ...L1
Ab
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
bb12((12))
...
其中 Lk =
1
a(n) nn
bn(n)
1
m k 1,k ...
m n ,k
1
1
第3章线性方程组的直接解法1PPT课件
(3.5)
u x n1,n1 n1 un1,nxn bn1
unnxn bn
n
u iixi b i (u i,i 1 xi 1 u inxn) b i u ijxj
j i 1
xnbn/unn,
xi bijn i1uijxj/uii8,in1,n2,
返回LU
,2,1. 返回(3.20)
3.2.2 消去法的基本思想
(3.4)
返回式3.19
i1
liixi bi (li1x1li2x2 li,i1xi1)bi lijxj j1
i1
xi bi lijxj /lii, i 1,2, ,n.
j1
7
三、上三角方程组（返回Gauss）
u11x1 u12x2 u13x3 u1nxn b1
uiixi ui,i1xi1 uinxn bi
x3
78 26
3
x2 -28 10x3 -28 10(3)
x 1
16
(x2
2
4x 3 )
2
10
16
2 2
4(3)
1
3.2.3 高斯消元过程（即初等行变换） 记方程组（3.1）为
返回矩阵的三角分解
aa12((1111))xx11
a1(12)x2 a2(12)x2
an(11)x1an(12)x2
2
3.1 引 言
自然科学和工程计算中的很多问题的解决常常 归结为求解线性方程组。如三次样条插值函数问 题、用最小二乘原理确定拟合曲线、求解微分方 程的数值解等，最终都要转化为求解线性方程组。
求解线性方程组可采用：
1、直接法——经有限步算术运算可求得方 程组的精确解的方法（若计算过程无舍入误差）。
第三章-数值分析(08)用矩阵分解法解线性代数方程组
OO O
M M
an1
bn1
cn1
xn1
d
n1
an bn xn dn
矩阵表示 Ax d
数值分析
数值分析
2 x1 x2
1
例：求解方程组：
x1
2 x2
1
x2 2 x3 x4 0
x3
2
x4
1
2 1
1
u1 r1
解：A
1
2
LU
l2
1
u2 r2
1 2 1
1 2
l3
1 l4
1
u3
r3 u4
1
2 1
1
2
1 23
1 12
1
32 0 2
1
3
2
ck rk ,
k 2, 3,L , n 1
数值分析
数值分析
b1 u1 , c1 r1, a2 l2u1
b2 l2r1 u2 l2c1 u2, c2 r2 ,
ak lk uk1 ,
k 2, 3,L , n
bk lk rk1 uk lkck1 uk , k 2, 3,L , n
y1
f
,
得
y2
y3 y4
113327
117
2 解Ux
1 7
2 0
0
0 0 1 0
1
1 2
13 7
11 7
x1 x2 x3 x4
=
-1
13 2
13 7 117
,得
x1 x2 x3 x4
=
较常见带状矩阵为带宽为3（p=q=2,w=3)的矩阵。
a11
a12
数值分析第三章线性方程组解法
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析解线性方程组的直接方法 PPT
a1(11) D1 ak(kk) Dk / Dk1, k 2,3,, n.
(2、12)
§5、2、2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G、E、 */:
Step 1: mi1 ai1 / a11 (a11 0)
A的谱半径为 ( A) 7.
5、1、4 特别矩阵 A (aij ) Rnn. (1)对角矩阵 如果当i j时，aij 0. (2)三对角矩阵 如果当| i j | 1时，aij 0. (3)上三角矩阵 如果当i j时，aij 0. (4)上海森伯格阵 如果当i j 1时，aij 0. (5)对称矩阵 如果AT A. (6)埃尔米特矩阵 设ＡＣnn ,如果AH A( AH AT ) (7)对称正定矩阵 如果（a）AT A，（b）对任意非零向量 x Rn , ( Ax, x) xT Ax 0. (8)正交矩阵 如果Ａ－１＝ＡＴ
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
的直截了当解法。方程组(5、1)的矩阵形式为
其中
a11
A
a 21 2
... ... ... ...
Ax=b
a1n a2n ... a nn
x1
,
x
x2 ...
x n
b1
(3) 相似矩阵 B=S-1AS有相同的特征多项式、
1 2 2
例1 求 A 2 2 4 的特征值及谱半径、
2 4 2
解: A的特征方程为
1 2 2
det(I A) 2 2 4
2
4 2
3 32 24 28 ( 2)2 ( 7) 0,
故A的特征值为 1 2 2, 3 7
数值分析解线性代数方程组的直接解法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
i 2, , n, j 2, , n
b (2) i
b (1) i
mi1b1(1) ,
i 2, , n
对方程组A(1) x b(1)从左边乘以L1 L1 A(1) x L1b(1)
数值分第析18页
数值分析
第二步：设a2( 22 )
0，取mi 2
a(2) i2
a(2) 22
，i
3, ..., n
数值分第析4页
数值分析
数值求解方法有以下三条路径（三种框架）
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，经过有限次运 算可求出准确解。
迭代法：结构迭代格式，产生迭代序列，经过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：结构二次模函数，用迭代过程求二次
模函数极小化问题，即变分法（经
n次运算，理论上得准确解）要求A
数值分析
将方程组Ax=b系数矩阵与右端项合并为
a11 a12
A, b
a21
a22
an1
an2
a1n b1
a2n
b2
A
ann
bn
记A
(1)
A
a1(11)
...
a(1) 1n
b(1) 1
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
,
b(1)
an(11)
...
a(1) nn
b(1) n
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（ （1i1111） ）,
6 3 3
x1
2x2 x2
3x3 2x3 3x3
6 3 3
回代求得 x3 3 / 3 1
x2 (3 2 x3 ) (3 2 1) 1
数值分析--第三章--迭代法
数值分析--第三章--迭代法迭代⼀般⽅程：本⽂实例⽅程组：⼀.jacobi迭代法从第i个⽅程组解出xi。
线性⽅程组Ax=b，先给定⼀组x的初始值，如[0,0,0]，第⼀次迭代，⽤x2=0，x3=0带⼊第⼀个式⼦得到x1的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x3=0,带⼊第⼆个式⼦得到x2的第⼀次迭代结果，⽤x1=0,x2=0带⼊第三个式⼦得到x3的第⼀次迭代结果。
得到第⼀次的x后，重复第⼀次的运算。
转化成⼀般的形式：（其中L是A的下三⾓部分，D是A的对⾓元素部分，U 是上三⾓部分）得到迭代公式：其中的矩阵B和向量f如何求得呢？其实，矩阵B的计算也很简单，就是每⾏的元素/该⾏上的对⾓元素⼆.Gauss-Seidel迭代法【收敛速度更快】这个可以和jacobi法对⽐进⾏理解，我们以第⼆次迭代为例（这⾥的第⼀次迭代结果都⽤⼀样的，懒得去换）从上表对⽐结果可以看出，Jacobi⽅法的第⼆次迭代的时候，都是从第⼀次迭代结果中，获取输⼊值。
上⼀次迭代结果[2.5,3.0,3.0]，将这个结果带⼊上⾯式⼦1，得到x1=2.88，；将[2.5,3.0,3.0]替换成[2.88,3.0,3.0]带⼊第⼆个式⼦的运算，这⾥得到x2=1.95，所以把[2.88,3.0,3.0]替换成[2.88,1.95,3.0]输⼊第三个式⼦计算X3=1.0.这就完成了这⼀次的迭代，得到迭代结果[2.88,1.95,1.0],基于这个结果，开始下⼀次迭代。
特点：jacobi迭代法，需要存储，上⼀次的迭代结果，也要存储这⼀次的迭代结果，所以需要两组存储单元。
⽽Gauss-Seidel迭代法，每⼀次迭代得到的每⼀个式⼦得到的值，替换上⼀次迭代结果中的值即可。
所以只需要⼀组存储单元。
转化成⼀般式：注意：第⼆个式⼦中的是k+1次迭代的第⼀个式⼦的值，不是第k次迭代得值。
计算过程同jacobi迭代法的类似三.逐次超松弛法SOR法上⾯仅仅通过实例说明，Jacobi和Seidel迭代的运算过程。
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
数值分析小论文线性方程组的直接解法
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
数值分析 第三章解线性方程组的直接法
T T A LDU 0 , AT U 0 DT LT , A AT U 0 L A LDLT
由于A是正定矩阵，所以D中的元素都大于零，可以把D也再分解
14
d11 d11 1 1 1 d 22 D2 D2 , D2 D d nn
lii 1,lik 0 k i , ukj 0 k j
11
ai1 由此得算法： u1 j a1 j , j 1, 2,, n; li1 a ,i 1, 2,, n 11
uij aij lik ukj , j i, i 1,, n; lij
还可以进一步用标度化的选主元(相对最大)
6
第三节 矩阵的三角分解
消元法求解方程组是通过行初等变换把系数矩阵化为对角阵,由 线性代数知识可知,左乘一个初等矩阵,就相当于做一次行变换.
1 a 21 a11 a 记 L = 31 1 a11 an1 ห้องสมุดไป่ตู้ 11
第三章 解线性方程组的直接法
第一节 引言
解线性方程组的方法可分为两大类:直接法和迭代法. 直接法的基本原理就是高斯消元法,再根据数值计算的特点 做一些适当的处理而得到的一类算法.直接法的特点是没有 截断误差,只有计算误差(舍入误差). 迭代法是类似于上一章单个方程那样,以某种方式构造一 个向量序列,使得这个向量序列收敛到解向量.因此迭代 法既有截断误差又有舍入误差.
0.01000 0.01200 0 0.100 103 0 0 .
8.010 44.41 1175 105 6517 105 x3 5.546; x2 100.0; x1 104.0 0.1670 0.6781
数值计算方法-第3章--线性方程组的解法PPT课件
个顺序主子式
a a (1)
(1)
11
12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k 1, 2,..., n 1).
a a (1)
(1)
k1
k2
a(1) kk
.
13
顺序Gauss消去法计算过程中的 akk(k) 称为主元素，在 第k步消元时要用它作除数,则可能会出现以下几种情况
.
是原方程组 Ax=b 的解向量。
27
对于
Ly =b
1
由
l21
1
l31
l32 1
y1 b1
y2
b2
y3
b3
ln1 ln2 lnn1 1 yn bn
.
解得
y1 yk
b1 bk
k 1 i 1
lki
yi
,
k 2,3,, n
28
对于 Ux =y
u11 u12 u1n x1 y1
2x3 6
⑤
x1 6 (x2 x3 ) 1
x2 x3 5 / 4 2
x3 (6) / (2) 3
用x3, x2的值求x1 把x3的值代入②求x2
.
8
从下向上逐步求解
对应的增广矩阵的变化
1 1 1 6 1 1 1 6
( A | b) 0
4
1 5 0
4
1
5
2 2 1 1 0 4 1 11
0.8334
5.910
12.10
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781
3200
1200
4.200 981.0
解线性方程组的直接法和迭代法
数值分析方法中方程求解的直接法和迭代法第3章 解线性方程组的直接法一、消元法1. 高斯消元法(加减消元)：首先将A 化为上三角阵，再回代求解。
11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ (1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()00000n n nn n nnn a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭步骤如下：第一步：1111,2,,i a i i n a -⨯+=第行第行11121121222212n n n n nnn a a a b a a a b a a a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200n nn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第二步：(2)2(2)222,3,,i a i i n a -⨯+=第行第行 111211(2)(2)(2)2222(2)(2)(2)200nnn nnn a a a b a a b a a b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333(3)(3)(3)300000n n n n nn n a a a a b a a a b a a b a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭类似的做下去，我们有：第k 步：()()k ,1,,k ikk kka i i k n a -⨯+=+第行第行。
n －1步以后，我们可以得到变换后的矩阵为：11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()00000n n nn n nnn a a a a b a a a b a a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注意到，计算过程中()k kk a 处在被除的位置，因此整个计算过程要保证它不为0。
【VIP专享】数值分析课件 第三章 线性代数方程组的直接解法19
L1 n1
L
l31
l32 1
ln1 ln2
1 ln,n1
1
l2,1
1
即单位下三角阵
L
l3,1 M
l3,2 M
O M
1
ln,1 ln,2 L ln,n1 1
可以分解为一系列初等下三角阵的乘积
L L11L21 L
L L 1 1 n2 n1
三、 三角分解的计算
➢ Gauss消去法
设给定矩阵
r1T A1
高斯变换
a(1) 11 0
r1T
取 L1 I l1e1T l1 (0, l21,L , ln1)T
其中
li1
a (1) i1
a (1) 11
i 2,3,L , n
记 A(2) L11 A(1)
1
A( 2 )
c1
a(1) 11
L11 I l1e1T
0
a (1) 11
end
b(n) b(n) l(n, n)
➢考虑上三角形方程组
Ux y
u11 u12 ... u1n
x1 y1
U
u22
...
u2n
x
x2
,
y
y2
O
M M
unn
xn yn
xi 的计算公式为：
1
n
xi
uii
yi
uij x j , i
ji 1
n, n 1,L
,1;
算法3.1.2 上三角形方程组的回代法：
for j n : 1: 2
y( j) y( j) u( j, j) y(1: j 1) y(1: j 1) y( j)u(1: j 1, j)
数值分析第三章线性方程组的迭代法课件
§ 3.3.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
将A分裂成A =D+L+U，则Ax b 等价于
(D+L+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx(k1) Lx(k1) Ux(k) b
因为 D 0 ,所以 D L D 0
故
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
e(k) x(k) x* Gx(k1) d (Gx* d) G(x(k1) x* ) Ge(k1)
于是 e(k) Ge(k1) G 2e(k2) Gk e(0)
由于 e (0)可以是任意向量,故 e(k) 收敛于0当且仅
故 (D L)x(k1) (1)D U x(k) b
显然对任何一个ω值,(D+ωL)非奇异, (因为假设 aii 0,i 1,2,, n )于是超松弛迭代公式为
x(k1) (D L)1 (1)D U x(k) (D L)1b
令 L (D L)1 (1)D U
f (D L)1b
则超松弛迭代 公式可写成
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
x1(k 1)
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a1n xn(k )
b1 )
x2(k 1)
1 a 22
(a21 x1(k )
a23 x3(k )
§ 3.4.2超松弛迭代法的矩阵表示 设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵A非奇异,且主对角
元素 aii 0(i 1,2,, n) , 则将A分裂成
数值分析-线性方程组的直接解法
U =
Columns 1 through 7
16.0000 10.0000 -11.0000 -9.0000 17.0000 34.0000 2.0000
0 4.5000 3.2500 -3.2500 10.2500 15.5000 -2.5000
0 0 -3.2222 10.2222 -3.7778 -3.4444 1.5556
fori=2:n
t=0;
fork=1:i-1
t=t+L(i,k)*b(k);
end;
b(i)=b(i)-t;
end;
y=b
x(n)=b(n)/U(n,n);
fori=n-1:-1:1
t=0;
fork=i+1:n
t=t+U(i,k)*x(k);
end;
x(i)=(y(i)-t)/U(i,i);
end;
ifk~=1
A(k:n,k)=A(k:n,k)-A(k:n,1:k-1)*A(1:k-1,k);
end
t=find(abs(A(k:n,k))==max(abs(A(k:n,k))));
t=t(1)+k-1;
flag(k)=t;
ift~=k
p=A(k,:); A(k,:)=A(t,:); A(t,:)=p;
A=[4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0;
8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0;
4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1;
0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4 ;
-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3;
8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5;
0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1;
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省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
| aik ,k
|
max
kin|aik Nhomakorabea|
0
§1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies
例：
109
1
1 1
1 2
1 109
1 1
2 1
1 0
1 1
2 1
x2 1 , x1 1 ✓
注：列主元法没有全主元法稳定。
➢ 选主元消去法
例：单精度解方程组
109
x1
x2
1
x1 x2 2
/*
精确解为
x1
1 1 109
8个
1.00...0100...和
x2 2
x1
8个
0.99 ...9899...*/
用Gaussian Elimination计算：
m21 a21 / a11 109 8个 a22 1 m21 1 0.0 ...01109 109 109
b (1)
b
b1(1) ...
bn(1)
Step 1：设a1(11) ，0计算因子
mi1
a (1) i1
/
a (1) 11
(i 2, ..., n)
将增广矩阵/* augmented matrix */ 第 i 行 mi1 第1行，
得到
a (1) 11
a (1) 12
...
a (1) 1n
b(1) ]
a(1) 11
...
a(1) 1n
b1(1)
A b (2) (2)
1
Step n 1:
Ln1Ln2 ... L1
Ab
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
...
a(1) 1n
...
a(2) 2n
... ...
b(1) 1
b(2) 2
...
1
其中
Lk =
a(n) nn
① 选取 | aik jk
|
max
ki, jn
|
aij
|
0;
② If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行; If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列;
③ 消元
注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再 换回来。
列主元消去法 /* Partial Pivoting, or maximal column pivoting */
b2 2 m21 1 109
109 1
1
0
109
109
小主元 /* Small pivot element */ 可能导致计
算失败。
x2 1, x1 0
全主元消去法 /* Complete Pivoting */
每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 | mik | 。1
Step k:
例：11
109 1
109
2
1 0
109 109
109
109
x2 1 ,
x1
0
标度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */
对算每一一次行。计以算后每s注i一意数步m1：学考ja这上x虑n |两严子a个格ij列|方等。a程价为...kk 组。省中在时as间iik 最，s大i 只的在ai初k 为始主时元计。
bb12((12))
...
bn(n)
§1 Gaussian Elimination – The Method
回代
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a(i ij
)
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
(i n 1, ...,1)
定理
principal
TWhheantwifewmeucsatnf’itnd the
A( 2 )
b1(1) b (2)
其中
a(2) ij
b(2) i
a (1) ij
b(1) i
m
i
a (1)
1 1j
mi1b1(1)
(i, j 2, ...,n)
Step
k：设
a
(k kk
)
， 0计算因子
且计算
a ( k 1) ij
b( k 1) i
a(k) ij
b(k ) i
mik
a(k kj
)
mik
b(k ) k
(i, j k 1, ..., n)
共进行 n？ 步1
mik
a(k) ik
/ ak(kk )
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
... ...
...
(i k 1, ..., n)
a(1) 1n
a(2) 2n ...
a(n) nn
x1
x2 ... xn
ank
注：稳定性介于列主元法和全主元法之间。
§2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G.E. */：
Step 1: mi1 ai1 / a11 (a11 0)
1
记 L1 =
m21 ...
1
mn1
，则 L1[ A(1)
数值分析第三章解线性方程组 的直接方法演示文稿
优选数值分析第三章解线性方 程组的直接方法
求解
A
x
b
➢ 高斯消元法：
思 首先将A化为上三角阵 /* upper-triangular matrix */， 路 再回代求解 /* backward substitution */。
=
消元
记
A(1) A (ai(j1) )nn ,
b(n) n
1
mk1,k ...
mn,k
1
1
Lk1
1
mk 1,k ...
mn,k
§2 Matrix Factorization – Matrix Form of G.E.
1
L11
L21
...
L1 n1
1
mi, j
记为 L
1
1
a(1) 11
记U=
s若ubAm的at所ric有eWWtsshas顺mhesh*ko( ii/oaaa)lN序fku均iltltN-nolutteiiio主hdfft0o不suioanautrs,n子onni为n(uia(iiennniqwnic)e)xtq式u0hdexiuwesg，ikiest0i0ne/stt*?hrt则s.??ed.ktreh高ctehei斯ariwm-ntih消gitnhea元nt无of需le换adi行ng即可
进行到底，得到唯r一ow解. 。
注：消事元实及上行，交只换要d，eAt(将A非i 方)奇程异a.1.组1.，化即.. .. ..为Aa.三.1.i1 角存形在方，程则组可，通求过出逐唯次
一解。
ai1 ... aii
定理（矩阵的 LU分解） 设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式Di 0(i 1, 2, , n 1)， 则A可分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积， 且这种分解是唯一的.