根轨迹分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
第四章根轨迹分析
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
由于GK(s)是复数s的函数，故上式为一矢量方程
根轨迹的基本概念(续)
幅值方程： 确定根轨迹上某点对应的Kg值
K g s zi
i 1 m
s p
j 1
n
1
Kg
f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0 D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0 f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0
即由D( s) N ( s) N ( s) D( s) 0解出的s就是分离点
幅值条件和相角条件的应用
例2：单位反馈系统的Gk ( s )
Kg s( s 1)
, 试判断s1(-
1,j1)、 s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。
解: 由相角方程得：
0 [( s2 p1 ) ( s2 p2 )] 116.6 63.4） 180 （
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 控制系统根轨迹的绘制 求取闭环系统零极点的方法 增加开环零极点对根轨迹的影响 控制系统根轨迹分析举例
1
第4章
根轨迹
本章序言
•时域分析中，高阶系统解析法求闭环极点较困 难。 •1948年，伊万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
由幅值件得：K g
n
s p s z
i 1 j 1 m
j
i
1）当Kg=0时，有s=-pi； 则根轨迹必起始于开环极点。
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
第四章根轨迹分析法
j=1
i=1 ≠b
例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解 按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现 纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令 其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标 值及其相应的Kg值。 例 设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增 益Kgp。
解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。
系统根轨迹分析
一、概述
1、根轨迹旳概念： • 系统中某参数变化时闭环极点旳集合为根轨迹。
• 例如：负反馈系统开环传递函数为，G(s)H (s) k(s 1) s(s 2)
• 闭环特征方程为 s2 (k 2)s k 0
•
特征根为
2k s1,2
(k 2)2 4k 2
• 当 k由0 变化时，特征根也随之变化：
绘制等价旳开环传递函数系统旳根轨迹，即为 原系统根轨迹。 2、一般环节：
首先求原系统闭环特征方程，其次构造等价旳 开环传递函数，最终绘制等价旳开环传递函数系统 旳根轨迹即为原系统根轨迹。
需要注意旳几点
• ⑴、得到旳等价开环传递函数其根轨迹可能为一 般根轨迹或零度根轨迹，需鉴定。
• ⑵、得到旳等价开环传递函数可能分子最高次数 比分母最高次数高，此时可根据分子、分母互换 后旳等价开环传递函数绘制根轨迹，其根轨迹相 同，开环零、极点互换，根轨迹方向不同。
8、平面上根轨迹旳出射角、入射角
出射角：
n
m
pa (2l 1)
[( pa ) ( p j )] [( pa ) (zi )]
j 1, j a
i 1
入射角：
n
m
zb (2l 1) [(zb ) ( p j )] [(zb ) (zi )]
j 1
i 1,i b
实质：
m
n
(s zi ) (s p j ) (2l 1)
4、幅相条件：
m
负反馈系统开环传递函数为：G(s)H (s)
k
(s
i 1
n
zi )
(s pj)
j 1
当 k由0 ，有 1 G(s)H (s) 0
第三章 根轨迹分析
控制系统的根轨迹
控制系统的稳定性，由闭环极点唯一确定。而控制系统的过渡过 程的基本特征，则与其闭环极点与零点在 S 平面上分布的位置相关。 完成系统的性能研究，需解决的问题： 闭环极点与零点的分布 研究系统某些参数变换对系统性能的影响。 问题的提出: 当系统的特征方程为高阶代数方程时，研究某个参数 变换对系统的零、极点分布的影响情况。 解决方法: 根轨迹方法。 根轨迹方法: 就是利用已知系统的开环传递函数的零、极点分布分 情况，研究某个或某些系统参数的变换对控制系统闭环传递函数极点 分布的影响的一种图解方法。
极点－零点图
考虑函数
bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 F (s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0
k (s − z1 )(s − z2 )L(s − zm ) F (s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
bm k= an
乘数，使分子、分母的S最高次幂的系数为1.
j∠ ( s 0 − p i )
s0 pi Im(s0- pi)
Re(s0- pi)
这样，函数F(s)可以表示为
F ( s0 ) =
模和角为
[ s 0 − p1 e j∠ s 0 − p1 ][ s 0 − p 2 e j∠ s 0 − p 2 ] L
k s 0 − z1 s 0 − z 2 L s 0 − p1 s 0 − p 2 L
s点到各极点间长度的乘积 k= s点到各零点间长度的乘积
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析简介控制系统根轨迹分析是一种经典的控制系统稳定性分析方法。
通过分析系统的特征根轨迹，可以评估系统的稳定性、阻尼比、过渡时间等性能指标，从而设计合适的控制器来实现系统的稳定和性能要求。
根轨迹的定义控制系统的根轨迹是由系统的特征根在复平面上随参数变化所形成的轨迹。
特征根是系统传递函数的零点，它们决定了系统的动态特性。
根轨迹对应于特征根的运动轨迹，可以直观地反映系统的稳定性和相应的频率响应。
根轨迹的绘制方法步骤一：计算系统的传递函数首先，需要获得系统的传递函数。
传递函数通常是通过将系统的微分方程进行拉氏变换得到的。
传递函数是 Laplace 域中的函数，它描述了输入和输出之间的关系。
步骤二：确定系统的开环极点和零点根轨迹是由系统的特征根构成的，而特征根由系统的开环极点和零点决定。
开环极点指的是系统传递函数的分母多项式的根，而开环零点指的是系统传递函数的分子多项式的根。
通过确定系统的极点和零点，可以得到系统的特征根。
步骤三：绘制根轨迹根轨迹的绘制可以通过手工计算或数值模拟方法实现。
手工计算方法需要根据系统的传递函数进行复杂的计算，而数值模拟方法可以借助计算机软件进行自动计算和绘制。
绘制根轨迹时，需要遵循以下基本规则： - 根轨迹始于系统的零点。
如果系统有多个零点，那么根轨迹将从每个零点开始。
- 根轨迹与实轴交点的个数等于零点的个数减去极点的个数，这一性质被称为根轨迹的零点和极点计数法则。
- 根轨迹在系统的极点位置是不连续的，并且与极点的关联程度取决于极点的幅度和阶数。
根轨迹的稳定性分析通过观察根轨迹图形，可以评估控制系统的稳定性。
根轨迹的稳定性分析方法主要有以下几种：1. 判据法判据法是判断根轨迹稳定性的基本方法之一。
根轨迹的稳定性与根轨迹图形与实轴的关系有关。
如果根轨迹图形位于实轴的左侧，则系统是稳定的；如果根轨迹图形经过实轴，则系统是不稳定的。
2. Astrom法Astrom法是一种根据根轨迹图形的形态特征进行稳定性判断的方法。
控制系统的根轨迹分析
控制系统的根轨迹分析引言控制系统是现代工程领域中应用广泛的一个重要概念，它用于调节和控制系统的输出，以使其达到预期的目标。
在控制系统设计中，根轨迹分析是一种重要的工具，用于评估系统的稳定性和性能。
本文将介绍控制系统的根轨迹分析方法，包括其基本原理、应用范围以及如何使用根轨迹分析改进控制系统的性能。
根轨迹分析原理根轨迹分析是一种基于系统传递函数的频域分析方法，它用于研究系统在不同参数情况下的稳定性和性能。
根轨迹是系统传递函数极点随参数变化而形成的轨迹图，通过观察根轨迹可以得到系统的稳定性、阻尼比、过渡过程和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析基于以下原理： - 控制系统的稳定性取决于系统传递函数极点的位置，当极点全在左半平面时，系统是稳定的。
- 控制系统的阻尼比可以通过观察根轨迹的形状来判断，当根轨迹越接近实轴，阻尼比越小，系统的过渡过程越激烈。
- 控制系统的稳态误差可以通过观察根轨迹的最后一段来判断，当根轨迹趋于无穷远时，稳态误差为零。
根轨迹分析步骤根轨迹分析一般需要经历以下几个步骤： 1. 给定系统的传递函数，通常是一个比例控制器和一个被控对象的组合。
2. 将传递函数的分子和分母分别表示为多项式的形式。
3. 根据系统传递函数的阶数，求解其特征方程的根。
这些根即为根轨迹的起始点。
4. 在复平面上绘制出根轨迹的起始点以及随参数变化而形成的轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和位置，判断系统的稳定性、阻尼比和稳态误差等性能指标。
根轨迹分析的应用根轨迹分析在控制系统设计中有广泛的应用，主要有以下几个方面： 1. 系统稳定性评估：通过观察根轨迹的位置，可以判断系统是否稳定。
如果根轨迹全在左半平面，则系统是稳定的。
2. 控制器设计：根轨迹分析可以帮助工程师选择合适的控制器参数，以实现系统的稳定性和性能要求。
3. 系统性能优化：通过分析根轨迹的形状，可以判断系统的过渡过程、阻尼比和稳态误差等性能指标，从而优化系统的性能。
第四章根轨迹分析法
闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。
规则三、
证明：（1）连续性 从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化 时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连 续的。
证明：（2）对称性 因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以 根轨迹对称于实轴。
法则三、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为： (2k 1)1800 k 0,1,2,..
nm
n
m
pi z j
渐近线与实轴的交点为： i1
j 1
nm
l 它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
法则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数 开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。
对于例题，在实轴上的根轨迹： G(s)H (s) K*(s 5)
若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷
远处）时，必有一分离点。 分
离 点
K=∞
K=∞
分 离 点
××
K=0
K=0
它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)
由求极值的公式求出：
1 H (s)G(s) 1 K * N (s) 0 D(s)
K* D(s) N (s)
在实轴根轨迹上，求使K*达到最大（最小）值的s 值:
令虚轴的交点： s j 代入上式，得
( j)3 3( j)2 2 j K ( j 5) 0 Re 5K 3 2 0 Im (2 K ) 3 0 解得： 0，K 0;
本章主要内容
以K*为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法 根轨迹分析方法的应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
第四章：根轨迹分析法
n
m
j
n−m
2k+1 ϕa = π n− m
(k = 0,1,2,⋯, n− m−1)
18
在例4-1中，开环传递函数为
G(s)H(s) =
Kg s(s+ 2)
开环极点数n=2,开环零点数m=0,n-m=2,两条渐近线 在实轴上的交点位置为
−2 σa = = −1 2
π 它们与实轴正方向的交角分别为 (k = 0) 2 3 π 和 (k =1) ，两条渐近线正好与 Kg ≥1 时的根轨迹 2 重合。
在绘 制根轨 迹时 ，可 变参数 不 限定 是 根轨 迹 增 益 Kg ，可为系统的其它参数（如时间常数、反馈系数 等）这时只要把系统的特征方程化为上式，将感兴趣 的系统参数取代根轨迹增益 Kg 的位置都可以绘制根 轨迹。
8
根轨迹方程是一个向量方程，用模和相角的形式 表示
| G(s) H(s) | ej∠G(s)H(s) =1⋅ ej(±180°+k⋅360°) (k = 0,1,2,⋯ )
15
规则三 实轴上的根轨迹
若实轴上某线段右侧的开环零、 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 例4-3 设系统的开环传递函数为
G(s) H(s) = Kr (s− z1)(s − z2 )(s − z3 )(s − z4 ) (s− p1)(s− p2 )(s− p3 )(s − p4 )(s − p5 )
24
jω
P 1
θ p1
[s]
P 3
0
σ
P 2
θ p2
图4-8(a) 根轨迹的出射角
25
jω
根轨迹分析
多项式展开，得：
K 1( s a )m K1 G( s) H ( s) ( s a )n ( s a ) n- m
K 1 G ( s ) H ( s ) n- m n-m -1 s ( n m )( a ) s
对比两式系数得：
a ( n m) a b
s pi
*
i 1, 2, n
s p1 s pn K s z1 s z m
s n m 1
p p1 1 n s s zm z1 1 1 s s
s zj
s
j 1, 2, m
绘制根轨迹的基本法则（2）
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：
P1
O
2N*180O
即M + N为奇数
j 0
由此可知， 图中实轴上 的根轨迹
P5
Z2 P2
P4
Z1
P3
例4－3
设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)] 求 K 0 时的闭环根轨迹。
解：将开环传递函数写成零、极点形式（首一型）
法则一，有两条根轨迹 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于 有限零点－1，另一条趋于无穷远处。 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根 轨迹。
2 K ( s 1) G( s) s( s 2)
最后绘制出根轨迹如图4－7所示
图4－7
课程小结
§4.1 根轨迹法的基本概念
根轨迹
闭环零点与开环零极点之间的关系
根轨迹方程
§4.2 绘制根轨迹法的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点：
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
|实验四 用MA TLAB 绘制根轨迹图 （The Root Locus Using MATLAB ）一、绘制系统的根轨迹在绘制根轨迹之前，先把系统的特征方程整理成标准根轨迹方程r num (s)1+G (s)H (s)=1+K =0den(s)⋅其中： r K 为根轨迹增益；num(s)为系统开环传递函数的分子多项式；den(s)为系统开环传递函数的分母多项式。
绘制根轨迹的调用格式有以下三：rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定； rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定； [r ,k]=rlocus(num,den) 返回r 矩阵和k 向量，不作图。
例4.1 已知某系统的开环传递函数为ss s s K s r 424)(23+++⋅=G试绘制该系统的根轨迹。
解： 在Matlab 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0]; rlocus(num,den)可得如图4-1的结果。
-5-4-3-2-11-10-8-6-4-20246810Real AxisI m a g i n a r y A x i sRoot Locus图4-1由于采用rlocus()函数绘制根轨迹时，不同的根轨迹分支之间只区分颜色而不区分线形，所以打印时是不容易分辨各个分支的，需要在运行Matlab 程序时注意观察曲线的颜色。
■例4-2 若要求例4-1中的r K 在1到10之间变化，绘制相应的根轨迹。
解 在MATLAB 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0];k=[1:0.5:10]; rlocus(num,den,k)可得如图4-2.的结果。
-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图4-2例4-3 设系统的开环传递函数为)22)(3(()(2+++=s s s K s s rs H G ）试绘制其闭环系统的根轨迹图并在图上找出几点的相关数据。
解 在MATLAB 命令窗口键入 den=conv([1 3 0],[1 2 2]); num=1; g=tf(num,den); figure, rlocus(g)axis([-15 5 -10 10]);axis()函数用于设置系统的横、纵坐标范围。
二维图形时的axis[Xmin Xmax Ymin Ymax],分别设置了横轴的最小值Xmin 和最大值Xmax 、纵轴的最小值Ymin 和最大值Ymax 。
在Matlab 运行后出现的如图4-3中，可以用鼠标单击根轨迹上的某一点，这时在根轨迹的该点上会显小黑点并在其下方出现所要该点的信息，图形窗口的变化情况如图4-3所示。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图4-3例4-4 设某系统的开环传递函数为)5)(2(()(++=s H G s s K s s ）绘制当K 从0变化到无穷大时的根轨迹。
解 在MATLAB 命令窗口键入gh=tf(1,conv([1 2 0],[1 5])); rlocus(gh) [K,p]=rlocfind(gh)程序运行后出现的图形如图4-4所示。
图上除了根轨迹以外，还出现了一个大十字的光标并可随着鼠标移动。
选定根轨迹上的某一点并单击鼠标左键，会出现如图4-5所示的图形，每条根轨迹上红色的十字符号代表所选定处的增益和对应的特征根。
图4-4Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图4-5除了在图上可知具体的选定特征根位置外，在Matlab 的命令窗口上还可以读到具体的参数Select a point in the graphics windowselected_point =-0.6280 + 1.5839iK = 16.6021 p =-5.7649 -0.6175 + 1.5807i -0.6175 - 1.5807i即当K = 16.6021时闭环系统的三个特征根或三个闭环极点分别为-5.7649 、-0.6175 +j1.5807、-0.6175 -j1.5807。
当然也可利用rlocfind()函数在根轨迹上寻找与虚轴的交点和分离点等关键数值。
二、使用根轨迹进行系统性能分析系统的极点位置反映了系统的很多特征。
比如，若有闭环特征根落在s 平面的右半平面，则系统不稳定。
若所有的闭环特征根都在s 平面的左半平面且有共轭复根，则系统响应有渐近的衰减振荡。
因此利用根轨迹可以分析参数变化对系统性能的影响。
下面举例来加以说明。
例4-5 已知某单位反馈系统的开环传递函数为2538)65()(G 232+++++=s s s s s K s试求1) 系统的根轨迹； 2) 系统稳定的K 值范围； 3) 系统无超调量时的K 值范围。
解 在Matlab 命令窗口中键入 num=[1 5 6];den=[1 8 3 25]; rlocus(num,den)可得根轨迹图如图4-6所示。
再键入rlocfind(num,den)-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s图4-6将光标点击根轨迹与虚轴的交点、根轨迹的分离点，可获得系统稳定时的K 值范围为0.0264K>。
无超调（即过阻尼）的K 值范围是205.8866K>。
作业MP7.1 考虑图MP7.1所示的系统，其开环传递函数如下所示。
试利用rlocus 函数，分别得到0K <<∞时的根轨迹图。
（a ）()321461G s s s s =+++（b）()2221s G s s s +=++（c ）()()22146s s G s s s s ++=++（d ）()5432654324686422101s s s s s G s s s s s s s +++++=++++++图MP7.1具有参数K 的单环反馈系统MP7.2 某单位负反饺系统的开环传递函数为()()()222232s s KG s Ks s s -+=++MATLAB 画出根轨迹图，并用rlocfind 函数验证；能使系统稳定的K 最大值为0.79.MP7.5考虑图MP7.1所示的反馈系统，其中()21s G s s+=，当闭环主极点的阻尼比为0.707ζ=时，确定K 的取值。
MP7.6考虑图MP7.6所示的反馈系统，并考虑下面3个可选的控制器:(1)()c G s K = (比例控制器)；(2) ()/c G s K s = (积分控制器)；(3) ()()11/c G s K s =+ (比例积分(PI)控制器)。
若系统的设计指标是：单位阶跃响应的10,.%10%s T s P O ≤≤。
图Mp7.6带有控制器()c G s 的单环反馈控制系统(a)采用比例控制器，用MA TLAB 画出根轨迹图(0K <<∞)，并确定K 的取值，使系统能满足设计指标。
(b)采用积分控制器并重复(a)； (c)采用P1控制器并重复(a)；(d)考虑{a)~(c)中所设计的闭环系统，在同一张图中画出它们的单位阶跃响应曲线；(e)以稳态误差和瞬态性能为重点，讨论比较(a)~(c)所得的结果。
(以下内容为验证，不需上交)E7.1在图E7.1所示的装置中，球体沿环的内壁自由滚动，而且圆环也能沿粉水平方向自由旋转[11].该装置可以用来模拟液体然料在火箭上的运动。
圆环的角位移由作用于环上的转矩控制，而转矩则由连接在环驱动杆上的电机产生。
当引进负反馈时，系统的特征方程为:()241022Ks s s s ++=++(a)画出以K 为参数的根轨迹图;(b)当闭环特征根相同时,求出系统增益K 的取值; (c1求出这2个相同的特征很;(d)当闭环特征根相同时，计算系统的调节时间。
图E7.1环由电机带动而旋转E7.2考虑某磁带录音机的速度控制系统,其负反馈回路的传递函数为,前向传递函数为:()()()2245KG s s s s s =+++(a)画出以K 为参数的根轨迹图，并验证当K=6.5时，主导极点为0.350.80s j =-±；Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s(b)对于(a)给出的主导极点，计算系统阶跃响应的调节时间和超调量。
E7. 3若汽车悬桂减震装置的检测控制系统具有单位负反馈，且受控对象为[12]:()()()22484K s s G s ss ++=+当系统主导极点的阻尼系数为0.5ζ=时，试利用根轨迹图验证.当7.35K =时时，主导极点为 1.3 2.2s j =-±。
Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x isE7.4考虑某个单位反馈系统，其开环传递函数为:()()2145K s G s s s +=++(a)求离开复极点的根轨迹的出射角;(b)求进人实轴的根软迹与实袖的交点。
答案: 225±，-2.4E7.5 考虑某个反愤系统，其开环传递函数为:()()()()136K G H s s s s =+++(a)求实轴上的分离点;(b)确定渐近中心;(c)计算分离点处增益K 的值.-20-15-10-505Root LocusReal Axis I m a g i n a r y A x i sE7.6按计划，美国将在20世纪90年代后期建立起轨道空间站。
空间站的说明如图E7.6所示.为有利于产生能量和进行通信，保持空间站对太 阳和地球的合适指向是至关重要的。
空间站的方位控制器可由带有执行器和控制器的单位反馈系统来表征，其中前向传递函数为:()()()22024144K s G s s s s +=++试画出K 值增大时的系统根轨迹图，并求出使系统产生振荡的K 的取值范围。
答案:K>16.37.Root LocusReal Axis I m a g i n a r y A x i s图E7.6空间站E7.7在现代化的办公大楼内，电梯以25英尺/秒的速度高速运行时，仍能以英寸的精度停靠在指定的楼层。
电梯位置控制系统可以用单位反馈系统来表示，其开环传递函数为:()()()()()1012050K s G s s s s s +=+++当复根的阻尼系数为0.8ζ=时，试确定增益K 的取值.E7.8 单位反恢系统的开环传递函数为:()()()219K s G s s s +=+试画出闭环系统的根轨迹图。