根轨迹分析

|实验四 用MA TLAB 绘制根轨迹图 （The Root Locus Using MATLAB ）

一、绘制系统的根轨迹

在绘制根轨迹之前，先把系统的特征方程整理成标准根轨迹方程

r num (s)1+G (s)H (s)=1+K =0den(s)

⋅

其中： r K 为根轨迹增益；

num(s)为系统开环传递函数的分子多项式；

den(s)为系统开环传递函数的分母多项式。 绘制根轨迹的调用格式有以下三：

rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定； rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定； [r ,k]=rlocus(num,den) 返回r 矩阵和k 向量，不作图。

例4.1 已知某系统的开环传递函数为

s

s s s K s r 424)(2

3

+++⋅

=G

试绘制该系统的根轨迹。

解： 在Matlab 命令窗口键入 num=[1 4];den=[1 2 4 0]; rlocus(num,den)

可得如图4-1的结果。

-5

-4

-3

-2

-1

1

-10

-8-6-4-20246

810Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

Root Locus

图4-1

由于采用rlocus()函数绘制根轨迹时，不同的根轨迹分支之间只区分颜色而不区分线形，所以打印时是不容易分辨各个分支的，需要在运行Matlab 程序时注意观察曲线的颜色。 ■

例4-2 若要求例4-1中的r K 在1到10之间变化，绘制相应的根轨迹。 解 在MATLAB 命令窗口键入 num=[1 4];

den=[1 2 4 0];k=[1:0.5:10]; rlocus(num,den,k)

可得如图4-2.的结果。

-4.5-4

-3.5-3-2.5

-2-1.5

-1-0.500.5

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

图4-2

例4-3 设系统的开环传递函数为

)22)(3(()(2

+++=

s s s K s s r

s H G ）

试绘制其闭环系统的根轨迹图并在图上找出几点的相关数据。

解 在MATLAB 命令窗口键入 den=conv([1 3 0],[1 2 2]); num=1; g=tf(num,den); figure, rlocus(g)

axis([-15 5 -10 10]);

axis()函数用于设置系统的横、纵坐标范围。二维图形时的axis[Xmin Xmax Ymin Ymax],分别设置了横轴的最小值Xmin 和最大值Xmax 、纵轴的最小值Ymin 和最大值Ymax 。

在Matlab 运行后出现的如图4-3中，可以用鼠标单击根轨迹上的某一点，这时在根轨迹的该点上会显小黑点并在其下方出现所要该点的信息，图形窗口的

变化情况如图4-3所示。

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

图4-3

例4-4 设某系统的开环传递函数为

)5)(2(()(++=

s H G s s K s s ）

绘制当K 从0变化到无穷大时的根轨迹。

解 在MATLAB 命令窗口键入

gh=tf(1,conv([1 2 0],[1 5])); rlocus(gh) [K,p]=rlocfind(gh)

程序运行后出现的图形如图4-4所示。图上除了根轨迹以外，还出现了一个大十字的光标并可随着鼠标移动。选定根轨迹上的某一点并单击鼠标左键，会出现如图4-5所示的图形，每条根轨迹上红色的十字符号代表所选定处的增益和对应的特征根。

图4-4

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

图4-5

除了在图上可知具体的选定特征根位置外，在Matlab 的命令窗口上还可以读到具体的参数

Select a point in the graphics window

selected_point =

-0.6280 + 1.5839i

K = 16.6021 p =

-5.7649 -0.6175 + 1.5807i -0.6175 - 1.5807i

即当K = 16.6021时闭环系统的三个特征根或三个闭环极点分别为-5.7649 、-0.6175 +j1.5807、-0.6175 -j1.5807。当然也可利用rlocfind()函数在根轨迹上寻找与虚轴的交点和分离点等关键数值。

二、使用根轨迹进行系统性能分析

系统的极点位置反映了系统的很多特征。比如，若有闭环特征根落在s 平面的右半平面，则系统不稳定。若所有的闭环特征根都在s 平面的左半平面且有共轭复根，则系统响应有渐近的衰减振荡。因此利用根轨迹可以分析参数变化对系统性能的影响。下面举例来加以说明。

例4-5 已知某单位反馈系统的开环传递函数为

2538)65()(G 23

2

+++++=

s s s s s K s

试求

1) 系统的根轨迹； 2) 系统稳定的K 值范围； 3) 系统无超调量时的K 值范围。 解 在Matlab 命令窗口中键入 num=[1 5 6];den=[1 8 3 25]; rlocus(num,den)

可得根轨迹图如图4-6所示。再键入

rlocfind(num,den)