第五章 根轨迹分析法
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
第五章典型飞行控制系统工作原理-纵向姿态控制
❖ 等效开环传函为：
G等 (S)
L M e (S Z ) S 2 C1d S C2d
❖ 根轨迹如右图所示：
内回路 L ，使短周期
一对复根左移且虚部减小，最
s1
终进入实轴，振荡减小，
阻尼加大。内回路的动态
过程由振荡运动转为按指
z
数规律衰减的单调运动，
s2
L 越大，阻尼作用越强。
j
全系统情况：
图 L 过大时，修正 的过渡过程
要想减弱这一振荡过程，应在控制律中引入 俯仰角速率q，对飞机运动起阻尼作用，也就是 引入微分信号。
（4）一阶微分信号在比例式控制中的作用
t1•
t •
2
t
e
e1 L
e2 L
t
e L L
由图可见，微分作用的物理本质为：
❖
为t1零时，刻当t
在减小但值为正，此时舵e 已
1、比例式自动驾驶仪修正初始俯仰角偏差
（1）稳定过程 0 0 驾驶仪控制律为：
g 0
e L L ( g )
讨论俯仰角稳定过程，认为
e L L
修正 0 的过程：0 0
比例式控制如何减小静差：
❖ 由前面计算可知：
g
Mf Q0Sb Cme
L
❖ ❖
所 要 只以 减 有：小使这b个静， g差就存，可在应使静加静差大差。减L小。Lb2
，所以
❖ 极端情况： b 0（切断硬反馈）就可完全
消除常值干扰下的静差。
2、积分式自动驾驶仪
在舵回路中采用速度反馈或称为软反馈形式的 信号，组成了积分式自动驾驶仪。
1
T s 1
s 2 c1d s c2d
s
内 s
G等 (S)
L M e (S Z ) S 2 C1d S C2d
❖ 根轨迹如右图所示：
内回路 L ，使短周期
一对复根左移且虚部减小，最
s1
终进入实轴，振荡减小，
阻尼加大。内回路的动态
过程由振荡运动转为按指
z
数规律衰减的单调运动，
s2
L 越大，阻尼作用越强。
j
全系统情况：
图 L 过大时，修正 的过渡过程
要想减弱这一振荡过程，应在控制律中引入 俯仰角速率q，对飞机运动起阻尼作用，也就是 引入微分信号。
（4）一阶微分信号在比例式控制中的作用
t1•
t •
2
t
e
e1 L
e2 L
t
e L L
由图可见，微分作用的物理本质为：
❖
为t1零时，刻当t
在减小但值为正，此时舵e 已
1、比例式自动驾驶仪修正初始俯仰角偏差
（1）稳定过程 0 0 驾驶仪控制律为：
g 0
e L L ( g )
讨论俯仰角稳定过程，认为
e L L
修正 0 的过程：0 0
比例式控制如何减小静差：
❖ 由前面计算可知：
g
Mf Q0Sb Cme
L
❖ ❖
所 要 只以 减 有：小使这b个静， g差就存，可在应使静加静差大差。减L小。Lb2
，所以
❖ 极端情况： b 0（切断硬反馈）就可完全
消除常值干扰下的静差。
2、积分式自动驾驶仪
在舵回路中采用速度反馈或称为软反馈形式的 信号，组成了积分式自动驾驶仪。
1
T s 1
s 2 c1d s c2d
s
内 s
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制第五章根轨迹法
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
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绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。 K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动； s2从（2， K1= 0 K1= 0 K1=1 j0）点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为：
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间， 则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在 无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
自动控制原理孙优贤教材
自动控制原理孙优贤教材第一章：控制系统组成和概念控制系统是一种由多个元素和过程组成的整体，它的主要目的是通过调节输入和输出之间的关系，以达到特定的性能指标。
控制系统一般包括控制器、执行器、传感器和被控对象等组成部分。
第二章：控制系统的数学模型控制系统的数学模型是用数学语言描述控制系统的方法，它可以帮助我们分析控制系统的性能和行为。
常用的数学模型包括传递函数模型、状态空间模型和Laplace变换模型等。
这些模型可以用来描述控制系统的动态特性，进行系统分析和设计。
第三章：控制系统的时域分析时域分析法是一种基于时间域的控制系统分析方法。
通过时域分析，可以了解控制系统的稳定性、响应速度、误差等性能指标，进而对系统进行优化设计。
第四章：频率特性分析法频率特性分析法是一种基于频率域的控制系统分析方法。
通过频率特性分析，可以了解控制系统的频率响应、相位和幅值等特性，进而对系统进行优化设计。
第五章：根轨迹分析方法根轨迹分析法是一种基于根轨迹的控制系统分析方法。
通过根轨迹分析，可以了解控制系统的稳定性、响应速度和阻尼比等性能指标，进而对系统进行优化设计。
第六章：采样控制系统采样控制系统是一种数字控制系统，它通过对模拟信号进行采样、量化、编码等处理，将其转化为数字信号进行控制。
采样控制系统的精度高、稳定性好、易于实现远程控制等优点，被广泛应用于工业自动化等领域。
第七章：状态空间方法状态空间法是一种基于状态空间模型的控制系统分析方法。
通过状态空间法，可以了解控制系统的动态特性和状态变量之间的关系，进而对系统进行优化设计。
状态空间法还可以用于控制系统的稳定性和鲁棒性分析等方面。
第八章：非线性系统分析非线性系统是指系统的输入和输出之间存在非线性关系的系统。
非线性系统的分析和设计比线性系统更为复杂，但非线性系统的应用范围更广泛。
非线性系统的分析方法包括相平面法、描述函数法等。
根轨迹和根轨迹方程
3
闭环传递函数决定控制系统的性能：
稳定性（取决于闭环极点） 快速性（动态性能，取决于闭环极点和零点） 准确性（静态误差，取决于增益）
闭环极点难以计算，尤其对于高阶系统，因此需要探索不解 高次代数方程，也能求出系统闭环特征方程的根，进而求出 系统闭环动态特性的有效方法。
根轨迹分析法就是利用开环零、极点确定闭环极点的一 种图解方法。
K
*
K
1 2 L
T1 T2 L
m
Tnv
,
z1
1
1
,
p1
1 T1
,L
根轨迹增益 时常数增益
2
R(s)
C(s)
-
Go (s)
Go (s)
K (1s 1)( 2s 1)L
sv (T1s 1)(T2s 1)L
( ms 1)
(Tnv s 1)
K*(s sv (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pnv )
Go (s)
C(s) 开环传递函数为： Go (s) 闭环传递函数为： (s) Go (s)
1 Go (s)
将 Go (s)写成以下标准型：
m
Go (s)
K*(s (s
z1)(s z2 )L (s zm ) p1)(s p2 )L (s pn )
K*
n
(s
i 1
(s
zi ) pj)
☆充要条件11
[一些约定]：在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示
开环有限值零点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的
方向。“ ”表示根轨迹上的点。
我们先以根轨迹增益 K （* 当然也可以用其它变量）作为变化量
根轨迹法
绘制根迹的数学依据：
绘制根轨迹的基本法则：
1参数根轨迹 2多回路系统的根轨迹 3正反馈回路根轨迹 4非最小相位系统根轨迹
参数根轨迹：
前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增
益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上 述以开环增益K 为可变参量绘制的根轨迹称为常规 根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的 任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数 等，这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘 制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环 零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统性能的 影响。 G(s)=5/s(s+a)
多回路系统的根轨迹：
前面介绍单环系统根迹，不仅适合单环，而
且也适合多环系统。
正反馈回路根轨迹：
前面介绍的绘制根迹的依据、法则，都是针
对负反馈系统的。对于正反馈，前面的依据、 规则，需要作些修改，修改以后的规则，可 被用来画正反馈回路的根迹
非最小相位系统根轨迹：
所谓非最小相位系统:
如果系统的所有极点和零点均位于s左半平面，
根轨迹法
经典控制理论有三种基本分析方法：
1. 时域分析法 2. 根轨迹分析法 3. 频域分析法
根轨迹法定义：
定义1948年，W.R.Evans提出了 一种求特征根的简单方法，并且 在控制系统的分析与设计中得到 广泛的应用。这一方法不直接求 解特征方程，用作图的方法表示 特征方程的根与系统某一参数的 全部数值关系，当这一参数取特 定值时，对应的特征根可在上述 关系图中找到。这种方法叫根轨 迹法。根轨迹法具有直观的特点， 利用系统的根轨迹可以分析结构 和参数已知的闭环系统的稳定性 和瞬态响应特性，还可分析参数 变化对系统性能的影响。在设计 线性控制系统时，可以根据对系 统性能指标的要求确定可调整参 数以及系统开环零极点的位置， 即根轨迹法可以用于系统的分析 与综合。
自动控制理论 线性系统的根轨迹法
z1
p3
3
1
p2
s2
s1
p1 s3
4
z2
2
p4
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°； ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的 相角之和为0°； ③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°； ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°； 所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2 ,－p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。
2、根轨迹的对称性
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共 轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
3、根轨迹的支数、起点和终点： n阶特征方程有n个根。当 K* 从0到无穷大变化时，n个根
在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统 阶数。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
j 1
i 1
n
d ln (s p j )
d ln m (s zi )
j1
i1
ds
ds
d
n j 1
ln(s
p j )
d
m i 1
ln(s
zi )
ds
ds
n d ln(s p j ) m d ln(s zi )
j 1
ds
i 1
ds
n
1
m
1
j1 s p j i1 s zi
设 K* Kgd 时，特征方程有重根 d ，则必同时满足
F(d ) 0 和 F'(d ) 0
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
自动控制原理第五章频率特性)
a
c
G( j) a() jb() G( j) e jG( j) c() jd ()
⑧代入
cs (t)
AG(
j) e j jt
2 j
AG( j) e j jt
2j
cs (t) A | G( j) | sin[t G( j)]
时域分析法和根轨迹法的特点
① 时域分析法：时域分析法较为直接，不足之处： 对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析； 当系统中某些元器件或环节的数学模型难以求出时，整个系统
的分析将无法进行； 系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需新求
解系统的时问响应； 系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何伺调整
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s) Tuo0
]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0
]
拉氏反变换得
uo
uo0
1
AT T 2
2
t
eT
A sin(t tg1T ) 1 T 2 2
式中第一项，由于T＞0，将随时间增大而趋于零，为输出的 瞬态分量；第二项正弦信号为输出的稳态分量。
2020/7/21
9
uOs
但对于高频噪声问题，难以建立数学模型等问题仍然无能 为力。Βιβλιοθήκη 2020/7/212
频域法不必求解微分方程，能预示系统性能，同时，又能 指出如何调整系统参数来得到系统预期的性能指标。
时域分析法和根轨迹分析法主要是以单位阶跃输入信号来 研究系统的，而频域分析法主要是以正弦输入信号来研究系统 的。
频域分析：给稳定的系统输入一个正弦信号，系统的稳态 输出也是一个正弦信号，其频率与输入信号同频率，其幅值和 相位随输入信号频率的变化而变化。
第五章根轨迹分析方法自测题__参考答案
第五章 根轨迹分析方法 自测题__参考答案5-1 设闭环系统的开环传递函数为2(5)()0(48)K s G s K s s s +=>++，请用相位条件检验下列S 平面上的点是不是根轨迹上的点，如果是根轨迹上的点，则用幅值条件计算该点所对应的K 值。
（1）（－1，j0）；（2）（-1.5，j2）；（3）（－6，j0）；（4）（－4，j3）；（5）（－3，j2.37）解： （1）是; K ＝5/4（2）是; K ＝5/4（3）不是根轨迹上的点。
（4）不是根轨迹上的点。
（5）是; K ＝7。
5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为：()0(1)KG s K s Ts =>+，，若希望闭环系统所有特征根实部均小于-2，请绘制根轨迹草图确定T 的取值范围。
若再要求系统阻尼比ζ不小于0.5，请画出期望的特征根在S 平面上的分布范围。
解：分离点的位置是： 0<T<1/45-3 控制系统结构如图5-3所示，试由根轨迹的方法确定使闭环系统稳定的KK t 的取值范围。
解：系统开环传递函数为：()(0.251)t KG s s s KK =-+有2个开环极点：120, 4(1)t s s KK ==-由于K>0，故欲保证闭环系统稳定，只需要2个开环极点均位于S 左半平面即可 故101t t KK KK -<⇒>R (s )s )图5-3 控制系统示意图即只要满足条件 1t KK >。
5-4 单位负反馈系统的开环传递函数为：123()()()()()K s z G s s p s p s p +=+++其零、极点分布如图5-4所示，试采用根轨迹方法确定使系统稳定的K 的范围。
解：可以绘制根轨迹的概略图。
从+1、－1出发的2条根轨迹相向而行，在分离点离开实轴进入复域。
由已知的零极点分布容易判断，分离点一定是在左半平面。
渐近线与实轴的交点：－0.5，为平行于虚轴的垂直线容易看出，当一个极点从s=1出发，往S 左半平面移动，过原点为系统稳定与否的分界点。
第五章时域分析、零极点分析和根轨迹法
sys=tf(1.25,[1 1 0]) Gc=feedback(sys,1) [y,t]=step(Gc)
y m y ( ) % 100% y ( )
[mp,tf]=max(y); cs=length(t);
yss=y(cs);
sigma=100*(mp-yss)/yss tp=t(tf)
例子：
a1=[-0.5572 0.7814;0.7814 0]; b1=[1 -1;0 2]; c1=[1.9691 6.4493]; sys1=ss(a1,b1,c1,0); a2=[-0.8572 0.7814;0.7814 0]; b2=[3 -1;0 2]; c2=[6.9691 6.4493]; sys2=ss(a2,b2,c2,0); step(sys1,sys2)
第五章 时域分析、零极点分析 和根轨迹法
获得控制系统的瞬态响应和稳态响应 对系统的瞬态和稳态性能分析 根轨迹绘制和分析
产生信号gensig()
[u,t]=gensig(type,Ta) [u,t]=gensig(type,Ta,Tf,T) Type：信号序列．sin正弦；square方波；pulse脉 冲 Ta：信号周期 Tf：信号的持续时间 T：采样时间
zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2)
5. 调节时间Ts
Ts：进入稳态值附近±5%或±2%的误差带而不 再超出的最小时间
if t2<tp cs=length(t) j=cs+1; if t1>t2 i=cs+1; n=0; n=0; ts=t1 while n==0,j=j-1; while n==0,i=i-1; end if j==1,n=1; if i==1,n=1; elseif y(j)<0.95*yss elseif t2>tp elseif y(i)>1.05*yss if t2<t1 n=1; n=1; ts=t2 end end else ts=t1 end end end t2=t(j); t1=t(i); end
y m y ( ) % 100% y ( )
[mp,tf]=max(y); cs=length(t);
yss=y(cs);
sigma=100*(mp-yss)/yss tp=t(tf)
例子：
a1=[-0.5572 0.7814;0.7814 0]; b1=[1 -1;0 2]; c1=[1.9691 6.4493]; sys1=ss(a1,b1,c1,0); a2=[-0.8572 0.7814;0.7814 0]; b2=[3 -1;0 2]; c2=[6.9691 6.4493]; sys2=ss(a2,b2,c2,0); step(sys1,sys2)
第五章 时域分析、零极点分析 和根轨迹法
获得控制系统的瞬态响应和稳态响应 对系统的瞬态和稳态性能分析 根轨迹绘制和分析
产生信号gensig()
[u,t]=gensig(type,Ta) [u,t]=gensig(type,Ta,Tf,T) Type：信号序列．sin正弦；square方波；pulse脉 冲 Ta：信号周期 Tf：信号的持续时间 T：采样时间
zeta=((log(1/sigma))^2/((pi)^2+(log(1/sigma))^2))^(1/2)
5. 调节时间Ts
Ts：进入稳态值附近±5%或±2%的误差带而不 再超出的最小时间
if t2<tp cs=length(t) j=cs+1; if t1>t2 i=cs+1; n=0; n=0; ts=t1 while n==0,j=j-1; while n==0,i=i-1; end if j==1,n=1; if i==1,n=1; elseif y(j)<0.95*yss elseif t2>tp elseif y(i)>1.05*yss if t2<t1 n=1; n=1; ts=t2 end end else ts=t1 end end end t2=t(j); t1=t(i); end
控制系统的根轨迹分析法
k g ( s 2 2s 4) s( s 4)(s 6)(s 2 1.4s 1)
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 k g的区值范围。
渐进线：与实轴的交点：
实轴上根轨迹区间： (,6),[4,0]
Sunday, January 13, 2019
nm (2k 1) 倾角： , nm 3
画根轨迹 分离（会合）点 分别为-2.93和-17.07， 分离（会合）角为90 度。根轨迹为圆，如 右图所示。
45
Sunday, January 13, 2019
21
当 时，阻尼角 45 ，表示 45 角的直线为OB,其方 2 程为 ，代入特征方程整理后得：
2
D' (s) 5s 4 45.6s3 117s 2 87.2s 24
N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 由： 可以求得分离点。 D ' (s) k gd N ' ( s ) |s d 近似求法：分离点在[-4，0]之间。
1
0
相角条件为：1 2 3
120 tg 1
Sunday, January 13, 2019
4
tg 1
（2） 6 11
s1,2 1.2 j 2.1 。 1.2, 2.1 共轭主导极点为： 由(1)，(2)式解得：
Gk ( s)
Sunday, January 13, 2019
kg s( s 1)
Gk (s)
kg s( s 1)(s 2)
13
Sunday, January 13, 2019
试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时 k g的区值范围。
渐进线：与实轴的交点：
实轴上根轨迹区间： (,6),[4,0]
Sunday, January 13, 2019
nm (2k 1) 倾角： , nm 3
画根轨迹 分离（会合）点 分别为-2.93和-17.07， 分离（会合）角为90 度。根轨迹为圆，如 右图所示。
45
Sunday, January 13, 2019
21
当 时，阻尼角 45 ，表示 45 角的直线为OB,其方 2 程为 ，代入特征方程整理后得：
2
D' (s) 5s 4 45.6s3 117s 2 87.2s 24
N ' ( s) D( s) N ( s) D ' ( s) 0 由： 可以求得分离点。 D ' (s) k gd N ' ( s ) |s d 近似求法：分离点在[-4，0]之间。
1
0
相角条件为：1 2 3
120 tg 1
Sunday, January 13, 2019
4
tg 1
（2） 6 11
s1,2 1.2 j 2.1 。 1.2, 2.1 共轭主导极点为： 由(1)，(2)式解得：
Gk ( s)
Sunday, January 13, 2019
kg s( s 1)
Gk (s)
kg s( s 1)(s 2)
13
Sunday, January 13, 2019
第五章 ——MATLAB跟轨迹分析
K ( s + 5) ( s + 1)( s + 3)( s + 12) ，
绘制系统的跟轨迹,并在跟轨迹上任选一点 并在跟轨迹上任选一点， 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹 并在跟轨迹上任选一点， 计算该点的增益 K 及其所有极点的位置
4. 已知单位负反馈系统， 已知单位负反馈系统， 系统的开环传递函数为
第五章
5.1 5.2 5. 3 5. 4
MATLAB跟轨迹分析 MATLAB跟轨迹分析
根轨迹法基础 MATLAB根轨迹相关指令 MATLAB根轨迹相关指令 根轨迹分析与设计工具rltool 根轨迹分析与设计工具rltool 用根轨迹分析系统性能
5.1
跟轨迹法基础
一、根轨迹方程 二、基本条件
根轨迹的相角条件 根轨迹的幅值条件
已知单位负反馈系统， 2. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
GH ( s ) = K ( s + 1) ， s (0.5s + 1)(4 s + 1)
绘制系统的跟轨迹。 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹。
已知单位负反馈系统， 3. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
G ( s) =
阻尼比间隔0 阻尼比间隔0.1，范围：0-1； 范围： 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0 pi/10 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0-pi
（3）zgrid（z，wn） zgrid（ wn）
可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn 可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn。 wn。
5. 3
例5-2：绘制如下系统的根轨迹图
0.05s + 0.045 G(s) = 2 ( s − 1.8s + 0.9)( s 2 + 5s + 6)
自动控制原理(胡寿松) 第五章
26
27
（2）相频特性
()arct1a 2T n T2 2
可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→ -
180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及
() =-90°这一点斜对称。
振荡环节具有 相位滞后的作用， 输出滞后于输入的 范围为0º→-180º；
10
5.1 频率特性的基本概念
G(jω)C R • • A Acr 1 2 A(ω) (ω)
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下， 稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。
A()AcG(j) 称为系统的幅频特性
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
=0+3=3dB。
24
6．二阶振荡环节
1
T2s2 2Ts 1
（1）对数幅频特性
L
20lg
T2
j2
1
j2T
1
20lg 12T2 2 2T2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时，L() 20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线
重合。 0≤≤1
25
L 2 0 l g1 2 T 22 2T 2
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两 个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts1
Bode图
对数相频特 性：纵轴均 匀刻度，标 以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及 标值方法与 幅频特性相 同。
27
（2）相频特性
()arct1a 2T n T2 2
可知，当ω=0时，()=0；ω=1/T时，()=-90°；ω→∞时，()→ -
180°。与惯性环节相似，振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及
() =-90°这一点斜对称。
振荡环节具有 相位滞后的作用， 输出滞后于输入的 范围为0º→-180º；
10
5.1 频率特性的基本概念
G(jω)C R • • A Acr 1 2 A(ω) (ω)
R 表示输入正弦量的相量 C 表示输出正弦量的相量
G(jω)称为系统的频率特性，它表示了系统在正弦作用下， 稳态输出的振幅，相位随频率变化的关系。
A()AcG(j) 称为系统的幅频特性
Ar
φ(ω)= ∠G(jω) 称为系统的相频特性
=0+3=3dB。
24
6．二阶振荡环节
1
T2s2 2Ts 1
（1）对数幅频特性
L
20lg
T2
j2
1
j2T
1
20lg 12T2 2 2T2
1.低频段
T<<1(或<<1/T)时，L() 20lg1=0dB，低频渐近线与0dB线
重合。 0≤≤1
25
L 2 0 l g1 2 T 22 2T 2
13
Bode图
5.1 频率特性的基本概念
也称对数频率特性，就是将A(ω)和φ(ω)分别表示在两 个图上，横坐标采用对数刻度。
L(ω)
对数频率特性定义为：
L(ω)=20lgA(ω) dB L(ω)的图形就是Bode图
G(s) 1 Ts1
Bode图
对数相频特 性：纵轴均 匀刻度，标 以φ(ω)值 (单位为度)； 横轴刻度及 标值方法与 幅频特性相 同。
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Kg 0
5
4
Kg 4
2 1
Kg 0
0
j
Kg 5 Kg 8
K g 13
Kg
j2 j3
5.3 绘制根轨迹的一般方法
规则3 根轨迹的对称性 实系数特征方程的根必为实数或共轭复数, 必对称于实轴。 规则4 根轨迹起点与终点 根轨迹的起点(Kg=0时) ：位于开环传递函数的极点处。 根轨迹的终点(Kg=∞时：止于开环传递函数的零点(包括m个有 限零点和n-m个无穷远处的零点)。
l 1
m
n
注意到式（5-14）中有 k=0, 1, 2,…,
5.3 绘制根轨迹的一般方法
故推得n-m个渐近线与实轴的夹角为 （1）渐近线与实轴的夹角
180 360 k , k 0, 1, 2, (5 - 15) nm 180 360 ( l 1) , l 0, 1, 2, n m 1 (5 - 16) nm
Kg>0，系统闭环特征根始终在根平 面的左半部，系统均是稳定的。 0<Kg<4，特征根是两个互不相等的 负实数，系统阶跃响应为单调上升 的非周期过程。 Kg=4，两个相等的负实数，系统阶 跃响应为单调上升的非周期过程。 Kg>4，两个共轭复根，系统的阶跃 响应变为衰减振荡过程，Kg越大， 振荡越剧烈。 Kg的取值不同，系统特征根在s平面 的分布不同，系统具有不同的动态 性能。
Kg
(s) DL ( s) K g N L ( s) 0 (5 - 9)
K g 13
j3 j2
规则1 根轨迹的连续性 闭环特征方程根是根轨迹增益Kg的 连续函数；根轨迹是连续的直线或曲 线。 规则2 根轨迹的分支数 =特征根个数=系统阶数n。
Kg 8 Kg 5
3
j
规定相角以逆时针方向为正， 顺时针方向为负。
s zi
s
j
s pl 1
l1
pl1
x y
s pl 2
x
x y
zi
i
0
y
pl 2
l2
5.2 根轨迹的基本概念
注意事项：
幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取 决于Kg的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而s 平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。 相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与 Kg的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，而s 平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。 由于绘制根轨迹图的目的是通过图上向量计算来进行系 统的性能分析，因此s平面的横坐标和纵坐标必须采用 相同的比例尺。
GL ( s) Kg s( s 3)( s 4)
180
4
j
j4 j3 j2
试在s平面上确定系统根轨迹的渐近线。 解：系统无零点，而有三个开环极点：p1=0，-p2=-3和-p3=-4，因此 有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。 渐近线在实轴上交点的交点为
0 ( 3) ( 4) 0 7 30 3
n
m
zi ) n m 1 s lim 0 pl s s ) s
( 5 13)
5.3 绘制根轨迹的一般方法
z2
3 180
p1
j
1 2
3 0
p3
s0
1 2 3 180
z1
0
2 1
z3
由式（5-1）得 K g 与 K 之间的关系 n 为 pl
Kg K
l v 1 m i 1
(5 - 2)
i
z
式（5-2）意味着 K g 与 K 之间的关系与零值的开环极点无关， 同理也与零值的开环零点无关。
5.2 根轨迹的基本概念
例5-1
R( s)
K s (0.25s 1)
Kg
特征方程： 1 GL ( s) 0 (5 - 8) 或
N L ( s) DL ( s ) (5 - 7)
DL ( s) K g N L ( s) 0 (5 - 9)
GL ( s) K g
(s z ) (s p )
l 1 l i 1 n i
m
N L ( s) Kg 1 (5 - 10) DL ( s )
0
Kg
j
j3 j2
K g 13
Kg 8 Kg 5
3
j
Kg 0
5
4
Kg 4
2 1
Kg 0
0
j
Kg 5 Kg 8
K g 13
Kg
j2 j3
y (t )
1
K g 13
Kg 8
Kg 5 Kg 4
t
5.2 根轨迹的基本概念
D( s ) R( s) E (s) B( s)
5.2.2 根轨迹方程
Gc ( s )
G p (s)
Y (s)
H (s)
系统开环传递函数： GL ( s ) Gc ( s )G p ( s ) H ( s ) Gc ( s )G p ( s ) Y ( s) 系统的闭环传递函数： T ( s) R( s ) 1 GL ( s )
j
DL ( s) K g N L ( s) ( s p) F ( s) 0 (5 - 20)
q
b
a
z1 p1
p2
0
dDL ( s ) dN L ( s ) dF ( s ) Kg q( s p ) q 1 F ( s ) ( s p ) q 0 (5 - 21) ds ds ds
j4 j3
(5 - 18)
180
4
j2
60
j
渐近线与实轴的交点：
3
( p ) ( z )
l 1 l i 1 i
n
m
7 3
60
0
j
j2
nm
(5 - 19)
j3 j4
5.3 绘制根轨迹的一般方法
例5-2 已知三阶系统的开环传递函数为
n 1
pl
l 1
Kg s
n m
s
n m
( n m ) s
n m 1
n m
(5 - 17)
5.3 绘制根轨迹的一般方法
j
由比较（5-17）分母多项式系数可得
( n m ) pl zi
l 1 i 1 n m
2 1
p2
规则5 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹在奇数个零点和极点的左侧。 规则6 根轨迹的渐近线 Kg→∞时, 有n-m条根轨迹分支沿着与正实轴夾角, 与实轴的 交点为-的一组渐近线趋于无穷远处。
i 1
i l ( n m ) 180 360 k , k 0, 1, 2, (5 - 14)
由此，根轨迹的分离点或会合点， 重根时的根轨迹增益： 重根必然满足如下式子：
5.2 根轨迹的基本概念
5.2.1 根轨迹图 根轨迹的研究是在一个复平面（简称s平面）上展开的， 这时的复平面就叫根平面。当系统开环传递函数的某一参数 从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹 就称为根轨迹。根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。 根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响， 因此，从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放 大系数K成比例的一个参数Kg，一般称为根轨迹增益。
（2）渐近线在实轴上交点
1 K g in l 1
s zi
m
s zi s
m
m
m 1
s pl
Kg
i 1
zi
i 1 n
m
s pl s
n l 1
n
s Kg
n m
Kg ( pl z i ) s n m 1
l 1 i 1 n m
5.2 根轨迹的基本概念
5.2.1 根轨迹图 考虑开环传递函数的一般形式为
K GL ( s) v s
( i s 1)
i 1 n l v 1
m
(Tl s 1)
1 K g in l 1
( s zi )
m
( s pl )
N L ( s) Kg (5 - 1) DL ( s )
5.2 根轨迹的基本概念
1、幅值条件
2、相角条件
m n i 1 l 1
Kg
l 1
m
m
i 1 n
s zi s pl
n
1
(5 - 11)
( s z ) ( s p ) 180 360 k , k 0, 1, 2, (5 - 12) i l i l i 1 l 1
D L ( s ) K g N L ( s ) 0 D L ( s ) ( s pl ) 0; K g ( s z i ) 0
l 1 i 1
m m m s (1 ( s zi ) 1 i 1 lim in lim n s n s ( s p ) s (1 l l 1 l 1 1 lim K g K 0 g
第五章 根轨迹分析法
5.1 引言
5.2 根轨迹的基本概念
5.3 绘制根轨迹的一般方法
5.4 根轨迹法的扩展应用
5.5 开环零、极点对系统根轨迹的影响 5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹 5.7 小结