第四章根轨迹分析法

(s
j 1 m i 1
n
m n m nm2 nm n m 1 n m 1 sk zi sk p j sk zi sk i 1 j i 1 1 (sk zi ) k
j 1 j i 1 i
m
n
相角条件
K
*
| s z
j 1 i
m
j
| 1
K*
(s p ) (s z )
j 1 j i 1 m i
n
| s p |
i 1
n
模值条件

凡是满足相角条件的点一定是根轨迹上的点（相 角条件是确定根轨迹的充要条件），而其对应的 值由幅值条件求出。
Im
-∞
B
-z
A
0
Re
法则二. 根轨迹的分支数、对称性和连续性

分支数等于系统的闭环极点数，与开环有限零 极点数目中的大者相同。 因为特征方程式的系数为实数，根据韦达定理， 其根一定是实根或共轭复根，所以，根轨迹对 称于实轴。 当根轨迹增益由零到无穷大连续变化时，系统 特征方程的根在复平面上也是连续变化的，因 此，根轨迹是连续曲线。
l
)
开环系统根轨 迹增益
G ( s) H ( s) K *
( s z ) ( s z ) ( s p ) ( s p
j 1 j j 1 i 1 h i i 1 h i j
f
l
)
开环零点
G ( s) H ( s)
K * (s z j )
j 1
m
(s p )
3
p2 z1

2
p1
1
0
Re
计算渐近线与实轴交点 a
sk 位于根轨迹的无穷远处 设渐近线过 a ，
sk a ＝ sk p j ＝ sk zi
K*
(s
j 1 m i 1
n
k
pj ) zi )
(s (s
i 1 j 1 m
n
k
其中，
K K T1T2
1 p1 T1 1 p2 T2
z1 1

p3 0
0 180 (1 2 ) 相角条件： 1 2
L3 1 幅值条件： L L L K 1 2 4 g
sk
Im
L4
L3
L2
L1
3
p2 z1

2
p1
1
j
K
( K 0)
-2
( K 0.5) ( K 0)
-1 0

K
系统的根轨迹
根轨迹变化与系统性能的关系 根轨迹
K
0 1 2 … ∞
来自百度文库
s1
0 -1 -1+j … -1+j∞
s2
稳定性
动态性能
系统稳定 过阻尼系统 -2 临界阻尼系统 -1 欠阻尼系统 -1-j … 无阻尼系统 -1-j∞
G(s) H(s) s 2 (s 1)(s 4) K r (s 2)
试画出该系统根轨迹的渐近线。 解：对于该系统有n=4，m=1，n-m=3；三条渐 近线与实轴交点位置为
1 4 2 σa 1 3
它们与实轴正方向的交角分别是
(2k 1) a : , 3 3
另一方面
K *| s z j |
j 1 m
| s z
1
j 1 n i 1
m
j
|
| s p |
i 1 i
n
| s p |
i
.
1 * K
* K 时，右边 0 当
s zj
或者
s
s zi , 有m条根轨迹终止在开环传递函数的零点。 s ，有（n m）条根轨迹终止在无穷远处。
前向通路根 轨迹增益
G ( s ) K1
( s 1)
s (T j s 1)
j 1 i 1 q i
f
* KG
(s z ) (s p
j 1 i 1 h i j
f
)
H ( s) K * H
反馈通路根 轨迹增益
(s z ) (s p
j 1 i 1 h i j




二. 根轨迹方程

通常，系统的开环零、极点已知，因此建 立开环零、极点与闭环极点之间的关系， 有助于闭环系统根轨迹的绘制。
R(s)
－
G(s) H(s)
G (s) (s) 1 G (s) H (s)
C(s)
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s) 可分别表示成因式相乘的形式：
pj )
sk
nm
n m n m 1 p j zi sk j 1 i 1
(s
j 1 m i 1
n
k
pj ) zi )
.
(s
n
sk n m (n m) a sk n m 1
例:已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
K ( s 1) G (s) s (T1s 1)(T2 s 1)
试画出根轨迹。 解：将开环传函进行变换后得到：
K g ( s z1 ) K ( s 1) G (s) s (T1s 1)(T2 s 1) s ( s p1 )( s p2 )


法则三. 根轨迹的渐近性

当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有 n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m 条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近 线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实 轴上的一点。

确定渐近线：
1)渐近线与实轴间夹角a 由两个因素决定 2)渐近线与实轴交点 a
n n
当
sk
m n
1 x 0时， 1 x 1-x
sk
m nm
.
sk m zi sk m 1 i 1
1 zi sk 1 i 1
sk
nm
m 1 m n m 1 nm 1 zi sk sk zi sk i 1 i 1
0
Re
4-2 根轨迹绘制的基本法则
一. 绘制根轨迹的基本法则
法则一. 根轨迹的起点和终点
K G ( s) H (s)
*
(s z )
j 1 j i
m
(s p )
i 1
n
* ( s p ) K (s zi ) 0 j j 1 i 1
n
m
s p j ，根轨迹起于开环极点。 当 K * 0 时，
法则五. 分离点/会合点与分离角 •定义 分离点：根轨迹随着值的增加，从实轴上进 入复平面时所对应的点为分离点。 会合点：根轨迹在实轴上会合的那一点。 •特点：分离点与会合点对应的闭环极点是重根。 •通常计算位于实轴上的分离点，复平面上的分离 点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭 复根存在。
k
( n m) k p j z i
j 1 i 1
m
a
p z
j 1 j i 1
n
m
i
nm
法则三. 根轨迹的渐近性
(2k 1) a n m n m p j zi i 1 a j 1 nm
例： 已知系统的开环传递函数为
j
A
a
B -4 -3
180 °
60°
a 0 -2 -1
300°
60°

C
图 根轨迹的渐近线
法则四. 实轴上根轨迹 令 sk 为实轴上的试探点 左侧开环零极点构成 的向量夹角均为零度； 右侧开环零极点构成 的向量夹角均为 ； 一对共轭零点或极点 的向量夹角之和为2 。
p3 j
θ3
i 1 i
n
开环极点
K
*
(s z )
j 1 j i
m
(s p )
i 1
n
1 e j (2 k 1)
K
*
sz
j 1
m
j
e
j ( s z j )

i 1
n
e
j (2 k 1)
s pi e j ( s pi )
(s z ) (s p ) (2k 1)
•
为什么要研究根轨迹
？
图解方法， 简单易行
高阶系统求根困难，难 以分析参数变化对系统 特征根的影响!
研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能 （稳定性、稳态性能、动态性能）
例:已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
K G(s) H( s ) s(0.5s 1)
试分析闭环系统的特征根随系统参数 K 的 变化在s平面上的分布情况。

用根轨迹图来分析自动控制系统十分方便。 对于高阶系统，求解特征方程的根非常困难。 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程 根的影响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（W·R·EVANS）解决了这个问题，提 出了根轨迹法。 根轨迹方法不需要求解闭环系统的特征方程，只 需依据开环传函便可会绘制系统的根轨迹图。
夹角 a 计算： 设试探点 sk 在无穷远处的根轨迹上，所以，渐近 线与实轴交角 a 与到各零极点的幅角均相等。
(s z ) (s p ) (2k 1)
j 1 j i 1 i
m
n
Im
sk
m a n a (2k 1)
L4
L3
L2
L1
(2k 1) a nm
φ2
z2
θ1
0
sk
θ4
法则四.实轴上根轨迹 考虑幅角条件： ( s z j ) ( s pi ) (2k 1)
j 1 i 1 m n
只有当 sk 点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个 数之和为奇数时，才满足相角条件。 结论：实轴上的右边开环零极点个数之和为 奇数时，则此线段为实轴上的根轨迹。
R(s)
＋ －
K s(0.5s 1)
C(s)
解: 系统的闭环传递函数
C(s) G(s) 2K (s) 2 R(s) 1 G(s) H(s) s 2 s 2 K
系统的特征方程为
s 2s 2 K 0
2
特征方程的根是
s1 1 1 2 K , s2 1 1 2 K
n n 1 n n m 1 p j sk p j sk n m 1 j j 1 1 n m 1 p j sk 1 zi sk m m i 1 sk m zi sk m 1 1 zi sk 1 j 1 i 1 i 1
设 K 的变化范围是〔0, ∞﹚，K 当K 0时, s1 0, s 2 2 ; 当 0 K 0.5 时， s1 与 s 2 为不等的两个负实 根: s1 1 1 2 K , s2 1 1 2 K 当 K 0.5 时， s1 s 2 1,为等实根； 当K 0.5 时， s1,2 1 j 2 K 1为共轭复根; 当 K 时， s1、 s 2 的实部都等于-1，是 常数，虚部趋向无穷远处
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-1 根轨迹法的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 (自学)
4-1 根轨迹法的基本概念
一. 根轨迹概念及应用
• • 系统的参数发生变化，其特征方程式的 根的值改变。 当系统参数连续变化时（如从0→∞）， 其特征方程的根在根平面上留下的轨迹， 叫根轨迹。 根轨迹与系统性能密切相关。
a ) a ) ( sk a ) n m sk n m (n m) a sk n m 1
(s
k
k
n n 1 n n 1 sk p j sk ( sk p j ) p j sk n sk j 1 j 1 j 1 m m m 1 m m 1 m m 1 m m m ( sk zi ) sk zi sk sk zi sk sk z i s k i 1 i 1 i 1 i 1