(自动控制)第四章：根轨迹法

5.在k为有限范围内，二阶系统特征根的实部总是负的 （就这道例题而言），因此根轨迹全在左半s平面。而 三阶或三阶以上系统特征根的实部在k超过某一数值后， 可能变为正值，以致根轨迹由左半s平面穿过虚轴进入 右半s平面，使系统变得不稳定。
6.s=-1的直线是原点0到(-2，j0)点之间负实轴的垂直
平分线，在根轨迹上任取一点s连接s1=0、s2=-2的两点
相角条件:
m
根轨迹的模值条件与相角条件 n
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j j j=1 i=1
k=0, ±1,
±2, … m 绘制根轨迹的充要条件 i=1 m
模值条件:
1+K K = -1 0 1 n = ( s -p︱ ) ∏︱
i=1
n ) ∏︱ ( s - z︱ j p︱ s ︱ ∏ j=1 i * *
伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴的交点为 （ a ，j 0 ），相角为 ，其中
a


( p ) (z )
j 1 j i 1 i
a
n
m
nm
(2k 1) ; k 0,1,2,...n m 1 nm
例2 设一单位反馈控制系统如图 所示，试绘制该系统的根轨迹。
⑷实轴上的0至-1线段和-2 至 线段是根轨迹。

规则6 根轨迹的分离点与会合点
二条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离 点或会合点。如果根轨迹分支在实轴上相交后走向 复平面，则该交点称为根轨迹的分离点。 如果根轨迹分支由复平 面走向实轴，则它们在实轴 上的交点称为会合点。根据 根轨迹的对称性，分离点和 会合点或位于实轴上，或产 生于共轭复数对中。
a.系统响应单调上升（ξ>1）系统具有两个不相等的负实根┈ 过阻尼响应。 b.系统响应衰减振荡（0＜ξ＜1）系统具有一对负实部的共 轭复根┈欠阻尼响应。
c. 系统响应单调上升（ξ＝1）系统具有两个相等的负实 根┈临界阻尼。
d.系统响应为等幅振荡（ξ＝0）系统具有一对虚根┈无 阻尼。
e.系统响应不稳定（ξ＜0）系统的极点位于右半s平面上。 系统的零点对瞬态响应有影响，但不起决定的作用。 因此，对闭环控制系统的瞬态响应来说，函数的极点起 着主导作用。
* ∏(s-z ) ∏(s-p ) KG j i
* k * ∏(s-z )∏(s-z ) ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG H i j=1 j i=1 j=1 i=1 q h i=1 j=1 f l
f
h
比较后两式可以得到以下结论



1、闭环系统根轨迹增益 KG* ，等于开环系统前向通 路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹 增益就等于开环系统根轨迹增益。 2、闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通 路传递函数的极点所组成。对于单位反馈系统，闭环 零点就是开环零点。 3、闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益。 K* 均有关。
∏ ( s -pi) i=1 开环极点“×”, pi
n
=0
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
根轨迹的模值条件与相角条件
因为G(S)、H(S)都是复数函数，
G(S)H(S)=－1包含了二个条件：
相角条件和模值条件。
相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件， 而通过模值条件可以确定根轨迹上的K＊值。 事实上，系统的根轨迹是通过寻找s平面中满足 相角条件的所有s点绘制而成的。
本章重点
尾1型：时间常数表达式
k ( 1 1)( 2 s 2 21 2 s 1) G( s) H ( s) v 2 s (T1 1)(T2 s 2 2 2T2 s 1)
2
首1型：零极点形式
G( s) H ( s)
k * ( s z1 ) ( s z j ) s v ( s p1 ) ( s pn v )
要求解系统的特征根，对于高于三阶的系统，求根比较 困难，如果要研究系统参数变化对特征根的影响时，需要大 量反复的计算，同时还不能直观地看出系统性能随参数变化 的影响趋势。 为了避免直接求解高阶方程的特征根困难，1948年， W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程 式之间的内在联系，提出了一种非常实用的求取闭环特征方 程式根的图解法－根轨迹法。
根轨迹的概念：它是开环系统某一参 数从零变化至无穷时，闭环系统的特征根 在s平面上变化的轨迹。 注意概念，根轨迹是通过开环系统来 研究闭环系统特征根的变化。
根轨迹概念
设控制系统及系统的传 递函数如图所示，当k 从0→∞时，求系统特 征根的变化。
( s )
R(s)
k s(0.5s+1)
k s(0.5s+1)
解 ⑴系统有3 条根轨迹分支，它们的起点为开 环极点（0，-1，-2）；
⑵因系统无开环零点，所以3条根轨迹分支均沿 渐近线趋向无穷远；
⑶渐近线的相角为
(2k 1) 60, 180 ; k 0,1,2...,n m 1 3
渐近线与实轴的交点为
a
0 (1) (2) 0 1 3
s - z︱ i ︱ ∏ j
j=1
确定根轨迹上某点对应的K*值
绘制常规（也叫180度）根轨迹的一般规则

规则1 根轨迹的连续性
当K 由 0 连续变化到 ∞ 时，系统的闭环特征根也 一定是连续变化的，所以根轨迹也必然是连续的。

规则2 根轨迹的对称性
由于闭环特征方程为实系数代数方程，相应的 特征根或为实数，或为共轭复数，或两者兼而有之。 因此，根轨迹必然对称于实轴。
3、广义根轨迹绘制方法（以系统其它参数为变量）
4、用根轨迹分析系统性能 了解：零度根轨迹
第四章：根轨迹法
根轨迹法是研究控制系统的又一种方法。 从前面的学习我们已知道了，闭环传递函数的极点（闭环系统 的特征根）决定了系统的瞬时响应的基本特征┈模态。 闭环系统的极点（特征根）在s平面上的位置，决定了系统的 响应：
第四章：根轨迹法
教学目的
对于低阶控制系统，我们可以用求解微分方程方法来分析控制 系统，而对于高阶系统，用微分方程的方法求解就比较困难。根轨
迹方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用起来比较
简便，因此在工程设计中获得了广泛应用。 通过本章内容学习，要使学生懂得根轨迹的概念，根轨迹的作 图方法，以及根轨迹与系统性能之间的关系。
C(s)
C ( s) 2k 2 R ( s ) S 2 S 2k
特征方程（闭环）：
S2+2s+2k=0
k s(0.5s+1)
特征根：s1,2= －1±√1－2k k=0时， s1=0, s2=－2
K:0 ~ ∞
0＜k＜0.5 时，两个负实根 ；若s1=－0.25, s2=? k=0.5 时，s1=s2=－1 0.5＜k＜∞时，s1,2=－1±j√2k－1 j
本章重点
1、根轨迹方程
* 1 G(s) H (s) 0 或：G ( s) H ( s) k
(s z )
j
m
s p
模值条件：
n
(s p )
i i 1
j 1 n
1
i
sz
j 1
m j 1 j
i 1 m
k*
j
相角条件：
（0， 1， 2) (s z ) (s p ) (2k 1) k
￣￣ ￣￣ ￣￣ 向量 ￣￣ 与负实轴构成等腰三角形，向量 S1 S 和 S 2 S S1 S 和 S 2 S 与横座标的夹角之和为180°，即θ1+ θ2= 180°
根轨迹与系统性能之间的关系
有了根轨迹，就可以分析系统的稳定性
稳定性：如果从k＝0到k＝∞，根轨迹不会越过虚轴进 入右半s平面，说明系统对所有的k值都是稳定的。 如果越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点 处的k值就是系统稳定与不稳定的临界增益。
注意：一组根对应同一个K；
K一变，一组根变； K一停，一组根停；
-2
-1
0
由以上分析，s1、s2两条根轨迹反映了系统特征根随参 数k变化的规律，组成了系统的根轨迹。 1.二阶系统有两个特征根，它的根轨迹有两条分支； 一个n阶系统的根轨迹则应有n条分支。 2.k＝0时的闭环极点，s1=0、s2=-2正好是开环传递函 数的两个极点，因此说，系统开环极点就是它各条根轨 迹的起点。 3. k＝∞时的闭环极点，是根轨迹的终点。 4.特征方程的重根点是根轨迹的分支离开负实轴进入复 数平面的分支点。
如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之 间，则在这两个相邻极点之间，至少存在一个分离 点。 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点 （其中一个零点可以位于无穷远处）之间，则在这 两个相邻零点之间，至少存在一个会合点。 如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开 环零点（有限零点或无限零点）之间，则在这两个 相邻的极、零点之间，或既不存在分离点也不存在 会合点，或既存在分离点又存在会合点。

k * (s z j ) s v ( s pi )
i 1 j 1 n v
m
K*与k的关系： K*是根轨迹增益；k是开环增益
k k
*
( z )
j
m
( pi )
i 1
j 1 n
或：k k
*
1 2
2
T1T2
2
本章要求
1、正确理解根轨迹的概念 2、掌握根轨迹绘制方法（以开环增益k为变量）
动态性能：从根轨迹图可以分析出系统的工作状态，
如过阻尼状态、欠阻尼状态……
根轨迹增益、闭环零极点与开环零极点的关系 l f
* G(s)= KG
∏( s-p ) i i=1
f i i 1 H q
q
∏( s-z ) i i=1
;
l
j=1 * H (s)= KH h
f l m
∏(s-zj )

规则4 根轨迹在实轴上的分布
在s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在 这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为 奇数。
例 1 设一单位反馈控制 系统如图所示，试绘制该系 统的根轨迹。

规则5 根轨迹的渐近线
当开环有限极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根 轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为 的一组 渐近线趋向无穷远处。
G H
∏( s-pj ) j=1
j
G wenku.baidu.com s) H ( s) K G K
(S Z ) (S Z )
j j 1 h
(S P ) (S P )
i j i 1 j 1
K

(S Z )
j 1
q hn i 1
K*为根轨迹增益
(S P )
i
Φ(s)=
s 这样，只需画出 s 上半平面的根轨迹，下半平面 的根轨迹可根据对称性原理作出。

规则3 根轨迹的分支数及其起点和终点
根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数 n中的大者相等。
当K : 0 变化时，根轨迹共有 n 条分支，它们 分别从 n 个开环极点出发，其中 m 条根轨迹分支的 终点为 m 个开环零点，n m 条根轨迹分支的终点在 无穷远处。如果把无穷远处的终点称为无限零点， n m个无限零点。 则根轨迹的终点有 m 个有限零点，
特征方程 1+GH = 0
或：GH＝－1
所以，只要将闭环特征方程化为根轨迹方程，就可以绘
出根轨迹图，由于GH是系统的开环传递函数，这样就达 到了从开环传递函数出发，研究闭环系统的目的。
根轨迹方程
特征方程 1+GH = 0 Zj 开环零点“○”,是常数！
m
* 1+K
∏ ( s - zj )
j=1
也是常数！ 根轨迹增益K* ，不是定数，从 0 ~ ∞变化
结论：根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的 分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭 环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点可由 上式直接得到。

根轨迹方程
由于根轨迹是所有闭环极点的集合，而闭环极点又是 特征方程的特征根，为了求出所有的闭环极点，研究一 下闭环系统的特征方程。
i 1 i
n
本章重点
2、根轨迹的绘制方法，七个法则 3、广义根轨迹的概念
4、根轨迹与系统性能的关系
5、几个基本概念 根轨迹的概念：根轨迹是指开环系统某一参数从零到无穷变 化时，闭环特征根相应在s平面上运动的轨迹。 根轨迹增益k*与开环增益k的关系：根据对传递函数分子多项
式和分母多项式的分解，开环传递函数可写成二种不同的表达式。