二次根式计算乘除法化简
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是指含有根号的代数表达式，通常是一种简化和运算方式，可以将复杂的表达式化简为简单的形式，并进行加减乘除等基本运算。
本文将介绍二次根式化简与运算的基本方法和技巧。
一、二次根式的化简1. 同底数的根式相加减：当根式的底数相同且指数相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持根号不变。
例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的有理化：当二次根式的底数是一个整数，但含有一个或多个根号时，可以通过有理化的方法化简。
例如：√(2/3) = (√2)/(√3) = (√2)/(√3) × (√3)/(√3) = √6/33. 二次根式的合并：当二次根式的底数相同，但系数不同时，可以合并为一个根式，将系数加在一起，并保持底数不变。
例如：3√2 + 2√2 = 5√24. 二次根式的分解：当二次根式的底数是一个整数，且无法进行合并时，可以进行分解，并找出其中可以合并的部分。
例如：√12 = √(4 × 3) = 2√3二、二次根式的运算1. 加减运算：当二次根式的底数和指数都相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持底数和指数不变。
例如：2√5 + 3√5 = 5√52. 乘法运算：当二次根式相乘时，可以将根式的系数分别相乘，并保持底数和指数不变。
例如：2√3 × 3√2 = 6√63. 除法运算：当二次根式相除时，可以将根式的系数分别相除，并保持底数和指数不变。
例如：6√8 ÷ 2√2 = 3√24. 乘方运算：当二次根式进行乘方运算时，可以将指数分别应用到系数和根号上，并保持底数不变。
例如：(2√3)^2 = 2^2 × (√3)^2 = 4 × 3 = 12总结：二次根式的化简与运算是一种常见的数学操作，在代数表达式的计算中经常会遇到。
通过适当的化简和运算，可以简化复杂的根式，得到更加简单和规范的表达形式。
熟练掌握二次根式的化简和运算方法，有助于提高数学计算的效率和准确性。
二次根式的计算和化简
二次根式的计算和化简二次根式是指包含平方根的表达式。
在数学中，我们经常需要进行二次根式的计算和化简。
本文将介绍如何进行二次根式的计算和化简，并提供一些相关的例子和方法。
一、二次根式的计算二次根式的计算主要包括加减乘除四则运算和指数运算。
下面将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，首先要确定根号下的数（即被开方数）是否相同。
如果相同，则可以直接对根号下的数进行加减运算，并保持根号不变。
如果根号下的数不同，则需要进行化简，使根号下的数相同，再进行加减运算。
例如，计算√3+ √5。
由于根号下的数不同，我们可以进行化简。
将√3与√5相加，得到√3 + √5。
这就是最简形式的结果，无法再进行化简。
2. 乘法运算对于两个二次根式的乘法运算，可以直接将根号下的数相乘，并保持根号不变。
例如，计算√3 × √5。
将根号下的数相乘，得到√15。
这就是最简形式的结果。
3. 除法运算对于两个二次根式的除法运算，可以将被除数与除数的根号下的数相除，并保持根号不变。
例如，计算√15 ÷ √3。
将根号下的数相除，得到√5。
这就是最简形式的结果。
4. 指数运算对于二次根式的指数运算，可以将指数应用于根号下的数，并保持根号不变。
例如，计算(√2)²。
将指数应用于根号下的数2，得到2。
因此，(√2)² = 2。
二、二次根式的化简化简二次根式的目的是使根号下的数尽量小。
下面将介绍一些常用的化简方法。
1. 提取公因数如果根号下的数可以被某个数整除，可以将其提取出来，并保持根号不变。
这是一种常见的化简方法。
例如，化简√16。
16可以被4整除，所以可以将16写成4×4，即√(4×4)。
继续化简，得到2×√4。
最后，我们得到2×2 = 4。
因此，√16 = 4。
2. 合并同类项如果有多个二次根式相加或相乘，可以合并同类项，使根号下的数相加或相乘。
二次根式化简的几种方法
二次根式化简的几种方法
一次根式是指根号内没有根号的根式，而二次根式是指根号内还存在根号的根式。
简化二次根式的方法有以下几种：
1.提取公因式法：
如果根号内含有相同因式的项，可以提取其最大公因式。
例如：
√48=√(16*3)=4√3
2.合并同类项法：
如果根号内含有相同根次和相同指数的项，可以合并它们。
例如：√32+√8=4√2+2√2=6√2
3.恒等变形法：
利用一些基本的恒等变形公式来对二次根式进行化简。
如下所示：-分解法则：将被开方数分解成两个因子的乘积，其中一个因子为较大平方数，另一个因子仍为二次根式。
例如：√72=√(36*2)=6√2 -指数与根号交换法则：改变次序或分配根号。
例如：
√(a*b)=√a*√b。
-平方根的分解法则：将平方数分解成每一项的平方根相加或相减。
例如：√18=√(9*2)=√9*√2=3√2
-有理化分母：用分母的共轭复数去除根号内的分母。
例如：
1/√3=(1/√3)*(√3/√3)=√3/3
4.化简四则运算法：
利用加减乘除的性质对二次根式进行化简。
例如：(√5+√7)*(√5-√7)=5-7=-2
5.倍角公式和平方差公式：
对二次根式的平方进行化简时，可以利用倍角公式和平方差公式。
例如：
-(√2+√3)^2=2+2√6+3=5+2√6
-(√5-√3)^2=5-2√15+3=8-2√15
这些是常见的二次根式化简方法，根据具体情况选择合适的方法进行化简，可以使计算过程更加简洁和高效。
同时，通过反复练习和深入理解这些方法，可以提高对二次根式的处理能力。
二次根式计算乘除法化简
3 .5 ab -4\ a 3b iia _ 0,b _ 010 •如果「x -3 j x ・（X -3），那么x 的取值范围是（）A x-0B 、x-3C 、0-X-3D 、x 为一切实数2 •化简：（1）•一 27a 3b 2；(2) .： 24a --.i ：18a二 3 •计算：2x^ -旳二J12 ・J27 =i b.(_15)(-27)=2、a 2 b • 8a1 •一般地，对于二次根式的乘法有: 4 •对于 •、a …、b 二a b成立的条件是 5•下列计算正确的是（ )A 4迈式2^3= 6(5 B 、 5 J0 x 513= 5 6C 2^3^373= 6(3 D 、 3恋5 疋 5^13 = 15*15 7 •设 2=a, 3=b,用含a,b 的式了表示"0.54,则下列表示正确的是（）2 2(A)0.3ab. (B)3ab. (C)0.1ab . (D)0.1a b. 8 •对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（） A. C J(a 2 +b 2 j =a 2 +b 2B.D..a 2 b 2 = a b9 •计算：(1)48 3002 .563 x 31次根式乘除法 •、？64 144(4) \ 916911 •下列计算正确的是（— — —3 (一3)6 A 3 一2 4：2 =12 .2 B 、： 3 ：3C J(-9) “一25)汉7^25 =(七)x(_5)=15D J l32 —122 = {(13+12)(13—12) = 512 •若一个正方体的长为 2、6cm ，宽为•- 3cm ，高为2cm ，则它的体积为 cm。
13 •下列各式不是最简二次根式的是()______ >/2b___A.J a +1 B .J 2x +1 c. 4 D. J °.1y7 - . 714 •化简：、7=； 、•、a 3b —.4a(a 0,b 0)=15 •下列二次根式中属于最简二次根式的是（A. 14 B . 48 c 18 16 •把：a 化简的结果应是（'暑—n — (A ) a (B ) a ( c )3a -2a2 .焉(D ) a 17 •长方形的宽为'■3，面积为2 6，则长方形的长约为 （精确到0.01 ）。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
二次根式运算法则
二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。
掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。
一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。
例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。
需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。
例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。
例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。
常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。
例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。
例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。
一般按照先乘除后加减的原则进行。
二次根式的化简及计算
二次根式的化简及计算二次根式是指具有形式 $\sqrt{a}$ 的数，其中 $a$ 是一个非负实数。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行化简和计算。
在本文中，我将对二次根式的化简和计算进行详细介绍。
首先，让我们来了解一些基本的二次根式化简规则。
1. 同号相乘法则：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$；2. 同底数幂法则：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$；3. 分子分母同时乘以二次根式的共轭：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} =\frac{\sqrt{ab}}{b}$。
基于这些规则，我们可以对二次根式进行化简和计算。
第一种情况是对一个二次根式的平方进行化简。
例如，对于$\left(\sqrt{2}\right)^2$，我们可以利用同底数幂法则得到$\sqrt{2}^2 = 2$。
第二种情况是对两个二次根式进行乘法计算。
例如，计算 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$，我们可以利用同号相乘法则得到 $\sqrt{2} \cdot\sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$。
第三种情况是对两个二次根式进行除法计算。
例如，计算$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，我们可以分子分母同时乘以$\sqrt{3}$的共轭 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。
第四种情况是对一个二次根式的和或差进行化简。
例如，对于$\sqrt{2} + \sqrt{3}$，我们无法直接化简为一个二次根式。
二次根号的计算方法
二次根号的计算方法
二次根式是数学中的一个重要概念，它涉及到平方根的计算。
二次根式的计算方法主要包括化简、乘除和加减等步骤。
首先，化简二次根式是计算的基础。
化简的目的是将根式转化为最简形式，即根号下没有可以开得尽方的因数或因式。
例如，对于根式√(16a^2)，我们可以将其化简为4|a|，因为16a^2可以分解为(4a)^2，而4a是16a^2的算术平方根。
其次，二次根式的乘除运算需要遵循一定的规则。
对于乘法，我们可以将两个根式相乘，然后将它们的被开方数相乘，得到一个新的根式。
例如，√a ×√b = √(a×b)。
对于除法，我们可以将两个根式相除，然后将它们的被开方数相除，得到一个新的根式。
例如，√a ÷√b = √(a/b)，但需要注意b不能为0。
最后，二次根式的加减运算需要先将根式化简为同类二次根式，然后再进行系数的加减运算。
例如，对于√a + √b和√a - √b，由于它们不是同类二次根式，因此不能直接进行加减运算。
但如果我们将它们分别化简为最简形式后，再进行加减运算，就可以得到正确的结果。
在二次根式的计算过程中，还需要注意一些细节问题。
例如，当根式中的被开方数为负数时，该根式在实数范围内是无意义的。
此外，当根式中的被开方数含有字母时，我们需要根据字母的取值范围来确定根式的意义。
总之，二次根式的计算需要掌握一定的方法和技巧，包括化简、乘除和加减等步骤。
通过不断的练习和实践，我们可以逐渐掌握这些技巧，提高计算速度和准确性。
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二次根式乘除法
1·一般地,对于二次根式的乘法有:=⋅b a 2·化简：(１
；(２
= 3·计算:=•y xy 82 ,=•2712
= 2b a 2
·a b
8＝
４·对于b a b a ⋅=
⋅成立的条件是
5·下列计算正确的是( )A 、563224=⨯ B 、653525=⨯ ６C 、363332=⨯ D 、15153553=⨯
7
=b,用含a,b
,则下列表示正确的是( ) (A ）0.3ab. (B ）3ab. (C)0.１ab 2
. （D)0.1a 2
b. 8·对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是（ ）
Ａ
.
2
a b
=+
a b =+
C ．
22
a b =+
a b
=+
9·计算
:（１
(
)2
(
)(()
30,0a b -≥≥ （4）
10·如果
)3(3-⋅=-⋅x x x x ,那么x 的取值范围是( )
A 、x 0≥
B 、3≥x
C 、03≤≤x Ｄ、x 为一切实数
１1·下列计算正确的是( ）
A 、2122423=⨯
B 、632)3(323
2=⨯-=-
C 、
259)25()9(-⨯-=-⨯-)3(-=15)5(=-⨯
Ｄ、
5)1213)(1213(12132
2=-+=- １2·若一个正方体的长为cm 62,宽为cm 3,高为cm 2，则它的体积为 3
cm 。
13·下列各式不是最简二次根式的是（ ）
C. 4
D.
14·化简：
7
7
7-= ；=>>÷)0,0(43
b a a b a
1５·下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A ．14
B ．48 Ｃ．b a
Ｄ.44+a
16
( )
（Ｃ）3
1
面积为 （精确到0.0１）。
1
８·计算：
_____________
=
１9·计算：=⨯÷182712 ;
20·计算
÷=
２1·已知: 1.69,x =
求2x +的值。
2
(÷=
23·化简
a a 1
-
⋅后得到的正确结果是 （ ）
Ａ． a B ． a -
C ． a - Ｄ. a --
2４·化简:（1
） (２
) (3
（
(
)
5
２5·阅读下面问题:
1
2)12)(12()12(12
11-=-+-⨯=
+；
;
23)
23)(23(2
32
31
-=-+-=
+2
5)
25)(25(252
51-=-+-=
+。
试
求:
（1）671
+的值;(2)17231
+的值;
(3）n n ++11
（ｎ为正整数）的值。
作业
１·计算：(1）25·16 ； （2
= .
（
= ；
= .
2·化简:(1
; （2
= .
3·计算：(
１）＝ ;（２
= .
４·
化简的结果应是( )
A. Ｂ
ﻩＣ
. 3
5·下列计算中,正确的是（ ）
A. = ﻩﻩﻩ
==C ．
13174520=+=
==6
=-，则实数a 的取值范围是( ) A. 0a ≥ﻩﻩﻩB ． 02a ≤≤ ﻩ C. 20a -≤≤ ﻩ D. 2a ≤-
7·下列二次根式中,最简二次根式是( )
A ．
ﻩﻩ
ﻩﻩ
D ．
8·计算：（1
（
（3)4021·9031
(4)155
·3ﻩ （
÷ ﻩﻩ(6)
1
.133·7.2-
９·化简:(１
)ﻩﻩ（
2)
（3
ﻩ
ﻩ
1０·已知: 1.69,x =
求
2x +
11·下列各式不是最简二次根式的是( ）
（A
（
(
Ｃ） （Ｄ
１2
） (A ）它是一个非负数 (B ）它是一个无理数 （C ）它是最简二次根式 （D ）它的最小值为３
13·已知2
33x x +=－x 3+x ,则（ ）
（A ）x ≤0 (B)ｘ≤－3 （C ）x ≥－3 (D ）-3≤ｘ≤0 1４·下列各式中，一定能成立的是( ）
(A)22)5.2()5.2(=- （B ）2
2)(a a =
（C)122+-x x ＝x-1 （Ｄ）3392+⋅-=-x x x 15·当3-=x 时，二次根7522
++x x m 式的值为5,则ｍ等于( )
（A ）2 （B ）22
(C)55 (Ｄ）5
16·化简a
a 3
-(a<0)得（ ） （A)a - （B)-a （Ｃ)-a - （Ｄ)a 17·当a ＜０，b<0时,－a+2ab －b 可变形为（ )
(A)2)(b a + （Ｂ)-2
)(b a - (C ）2)(b a -+- (D ）2)(b a ---
18
_____,______m n ==
1９·若m<0，则332||m m m ++=
20·若35-=x ,则562++x x 的值为
21·计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483(
22·若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3
cm
2３·若3的整数部分是a ，小数部分是ｂ,则=-b a 3 ２4·若
3)3(-•=-m m m m ，则ｍ的取值范围是
25·已知a,ｂ,ｃ为三角形的三边,则2
22)()()(a c b a c b c b a -++--+-+
=
26·计算:（1)21437⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2)
2
25241⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
(3))459(43332-⨯ (4）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-126312817
(
)5 (
)6⎛÷ ⎝
化简
1.实数a,b 在数轴上对应点的位置如图所示,则化简2
222a b ab a -+-的结果为
A.－ｂ Ｂ.2a-b C.b-２a D ．b 2．计算
2
2)53()52(-+-等于
Ａ．5－25 B.1 C.25-５
Ｄ.25-１
3.下列二次根式中,是同类二次根式的是
A.b c a bc
a 3与
B.23b a 与ab
C.a 2与34a
D.b a 与23b a 4.化简12=___＿. 5.
2
)23(-= .
6.
|)1(1|,22
a a +--<化简时当得 ． 7．若三角形的三边a ､
b ､
c 满足a ２
-4a+4+3-b =０,则笫三边c 的取值范围是___＿_____＿
___.
8.如果等式2
x =-ｘ成立,则x 的取值范围是__＿_____. 9.当x____＿__时，2
21x x +-=ｘ-1．
10.若
2
)2(+-x =x+2，则x______＿___.
１1.若m<0，则|ｍ|＋
______33
2=+m m ． 12.当)
169()2(,221
22+--<<x x x x 时=___＿＿___.
1３.已知：42<<x ，化简
()|5|12-+-x x =____＿____.
14．化简:166
27++=________．
１5.()()
2000
1999
5252+⋅-=_______＿_＿.
16. 先化简再求值x x x x x x x x 4
)4
4122(
2
2-÷+----+,其中ｘ＝2+3
1７.化简求值： ，其中a= .
18·化简： ())
35
1.0,0a b a b ≥≥
()2x y
+
()313.
a a a ---
19. 已知12x =222111
x x x
x x ++-
--的值
20. 已知a 、b 均为有理数,并满足等式3
43322
a b a =+，求a 、b 的值.
2１.1的整数部分为a ，小数部分为b ,求
22a b
a b
++的值。