数值计算方法总结

(2-1)
写成矩阵形式为
Ax b ( A 0)
a11 a12 L a1n
其中 A a21 a22 L
a2n
M M
M
an1 an2 L
ann
x1
x
x2
M
xn
b1
b
b2
M
bn
直接法指的是不计舍入误差时,通过有限次算术运算能求得准确解的方法
第2章 解线性代数方程的直接法
高斯消去法的消去过程,实质上是把系数矩阵A分解为单位下三角矩阵 L与上三角矩阵R的乘积,并且求解方程组Ly=b的过程,回代过程是求解 上三角形方程组Rx=y
i 1
rij aij lik rkj , j i, j 1,..., n 1 k i11
l ji (a ji l jk rki ) / rii , j i 1,.., n k 1
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
设x 为真值, ~x 为真值的近似值
绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对
值，即x x ±x,或 x
绝对误差界：用一个满足 绝对误差的大小，并记为
的数 ,来表示
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
相对误差 相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对
r3n (a3n ) MM
y1 (b1 ) y2 (b2 ) y3 (b3 )
M
ln1(an1) ln2 (an2 ) ln3 (an3 )
rnn (ann ) yn (bn )
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.1 杜里特尔分解法
数值计算方法总结
➢ 数值计算方法的一般概念 ➢ 解线性代数方程组的直接法 ➢ 插值法与最小二乘法 ➢ 数值微积分 ➢ 方程与方程组的迭代解法
第1章 数值计算方法的一般概念
1.1 算法
定义 算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成
的完整的解题步骤.
描述 算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然
收敛性 通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论
解
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2 误差
定义 误差是指近似值与真正值之差
模型误差 数据误差 截断误差 计算误差
误差分类
在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题 由于计算机中数的位数限制而造成的
x1x2
x2
(Fra Baidu bibliotek
x1 x2
)
x1 x2
x1 x22
x2
(
x1 x2
)
x1
x2
(
x) 1 x 2x
(
x) 1x
2
第2章 解线性代数方程的直接法
求解n阶线性代数方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1
a22 x2
L M
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A AMb
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计
高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
分为n -1步,第k步变换n - k行 : 求倍数,再从n 1- k个元素中减去第k行
对应列的倍数,因此所需乘除次数:
N1
n k 1
值，即
相对误差界：用一个满足 相对误差的大小，并记为
的数 ,来表示
相对误差界常用百分数表示
第1章 数值计算方法的一般概念 1.2 误差
准确数字
各位数字皆准确的近似数称为有效数.此时各准确数字也称为 有效数字
第1章 数值计算方法的一般概念 1.2.3 数据误差影响的估计
第1章 数值计算方法的一般概念
2.1 高斯消去法 2.1.1 基本步骤 高斯消去法步骤 1.[消去] 经过n-1步将方程组化为同解的上三角形方程组
第一步消去a11下方元素,第二步消去a22下方元素,..., 第n-1步消去an1,n1下方元素
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第一步得到xn ,第二步得到xn1,...,第n步得到x1
实际计算时, 可以将L和R共同存放到增广矩阵A的位置上
r11 (a11 ) l21 (a21 ) l31 (a31 )
M
r12 (a12 ) r22 (a12 ) l32 (a32 )
M
r13 (a13 ) r23 (a23 ) r33 (a33 )
M
L r1n (a1n ) L r2n (a2n )
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由误差估计式(1 1)可知
(x1 x2 ) x1 x2
(x1
x2 )
x1
x1 x2
x1
x2 x1 x2
x2
(x(1xx21
) x2 )
x2x1
x1
语言来进行描述。
具有的特征 正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、 使用资源少、逻辑结构简单、便于实现 计算结果可靠
第1章 数值计算方法的一般概念
1.1 算法
计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且 应能估计误差。
稳定性 计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算
结果不致产生过大的影响
1.2.3 数据误差影响的估计
在误差估计式(1-1),(1-2)中
y
n i=1
(x1,x 2 ,...,x n
xi
) xi
y
n i=1
(x1,x 2 ,...,x n
xi
) xi
xi
xi
或 xi xi
表示解的误差相对参量xi的误差的放大或缩小"倍数"
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
2.1 高斯消去法 2.1.3 选主元技术
为避免出现小主元, 在第k步的第k列的元素akk , ak1,k ,..., ank中 选出绝对值最大的元素apk ,然后交换第p行和第k行,继续进行消去 过程, 这种消去法称为列主元消去法
选主元方法分为行主元法与全主元法
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.1 杜里特尔分解法
(n
k)(n
1
k
1)
n3 3
n2 2
5n 6
2.回代运算量
求xn需做1次除法, 求xn-1需做1次乘法和1次除法,..., 求x1需n -1次
乘法和1次除法,因此所需乘除次数:
N2 1 因此,N
2 N1
...
n N2
n(n 1)
n3
2 n2
3
n 3
即,运算量为o(n3 )
第2章 解线性代数方程的直接法