赤平投影原理及讲解

一、序言

岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。

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二、极射赤平投影的基本原理

(一）投影要素

极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:

1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。

2.球面:投影球的表面称为球面。

3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。

4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。

５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。

6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上

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的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。

7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点);水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点(如图五中A、Ｂ)。

(二）平面的赤平投影

平面与球面相交成大圆或小圆,我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P)的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。

１.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径(如图一(ａ)中的NS)；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW)。

2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化:直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧(如图三ＫD′Ｈ)；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况:⑴当倾斜小圆在赤平面以下时,投影是一个圆,且全部在基圆之内（如图三FG)；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时,投影也是一个圆，但全部在基圆之外；

⑶当倾斜小圆一部分在上半球,另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内,以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时,其赤平投影为一条直线(如图一(c)中PACB的投影为AB);水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中Ａ′Ｂ′），A′B′是一个与基圆同心的圆。

(三)直线的赤平投影

直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点Ａ′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点,两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个,一点在基圆内,另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。

（四)吴氏网及其ＣＡD制作

目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的,简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的,简称施氏网。两者的主要区别在于:球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等,但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等,其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性,不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时,

可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。

1.吴氏网的结构及成图原理

吴氏网（图六)由基圆、南北经向大圆弧（ＮＧS）、东西纬向小圆弧(ACＢ)等经纬线组成。标准吴氏网的基圆

直径为20ｃｍ,经、纬线间的角距为2°。

(1)基圆，由指北方向(N)为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；

(2)经向大圆弧是由一系列通过球心,走向南北,分别向西和向东倾斜,倾角由0°到90°(角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线ＥＷ的交点到端点(Ｅ点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜,倾角为3０°。

（3）纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离,与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示,ＥＤ=SH=WＧ＝NF，角距都为30°。

2.吴氏网的ＣＡD图解

绘制吴氏网,其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢?在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。

(1)绘制大圆弧的原理与步骤

要绘制大圆弧,应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的,是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点Ｂ′,问题就迎刃而解。

①计算OB′长度

根据倾斜平面的倾角、基圆的直径,可按下式计算点O与点B′之间的距离

(公式一）

式中Ｒ——基圆的半径;

α——大圆弧所代表平面的倾角(°）。

②以基圆的圆心为圆心,OB′长为半径画一个圆,该圆与基圆的东西径向线EＷ交于Ｂ′点。

③过N、S、Ｂ′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。

(2)绘制小圆弧的原理与步骤

要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点(如图六所示的A、C、Ｂ三个点)。根据吴氏网的结构与原理，可以通过ＣAD制图确定Ａ、C、B三个点的位置。