赤平投影原理及讲解
赤平投影图原理
赤平投影图原理
赤平投影图是一种地图投影方法，用于将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标。
赤平投影图的原理是将地球表面投影到一个平面上，使得地球上的点在投影平面上的位置与其在地球上的位置保持一致。
赤平投影图的基本原理是将地球投影到一个与地球赤道平行的平面上。
在赤平
投影图中，地球的赤道线被映射为一条直线，而其他纬度线则呈现出一种放射状的形态。
经度线在赤平投影图上呈现为平行于赤道线的直线。
赤平投影图的优点是保持了地球表面上的角度关系和形状关系，使得地球上的
点在投影平面上的位置相对准确。
然而，赤平投影图也存在一些缺点，如在高纬度地区，地图的形状会出现扭曲，使得地图上的距离和面积不再准确。
为了绘制赤平投影图，需要使用一些数学公式和计算方法。
首先，需要确定投
影中心的经度和纬度。
然后，根据地球上的点的经纬度坐标，利用公式计算出该点在投影平面上的坐标。
最后，将计算得到的坐标绘制在地图上，形成赤平投影图。
赤平投影图在地图制作、导航、航海等领域有着广泛的应用。
通过赤平投影图，人们可以更直观地了解地球的地理特征和分布情况。
同时，赤平投影图也为地理信息系统（GIS）的开发和应用提供了基础。
总结起来，赤平投影图是一种将地球表面的经纬度坐标转化为平面坐标的方法。
它通过将地球投影到一个与赤道平行的平面上，保持了地球上点的位置关系。
赤平投影图在地图制作和导航等领域有着广泛的应用，并为GIS的发展提供了基础。
赤平投影原理课件ppt
π图解：
是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。对 圆柱状褶皱来说，同一褶皱面的极点在赤平投影 网上将落在一个特定的大圆上或附近。这个大圆 即π圆，π圆的极点代表褶皱枢纽（β）
实例: 一个背斜两翼的产状数据，求
枢纽的产状 (1)、143∠37, (2)、104∠30,
(3)、直立，走向104，(4)、 154∠44
特定：方法简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。
（6）求两相交直线所决定的平面产状。 将老地层向相同方向旋转相同角度，使老地层ABC大圆达到新位置，将新位置各点拟合大圆即可。 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等）和线，必然与球面相交成球面大圆和点。
（4）、纬向小圆“为一系列走向东西、直立小圆的投影小圆弧组成。 OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。 一个背斜两翼的产状数据，求枢纽的产状
例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新、投影球 2、赤平面:过投影球球心的 水平面 3、基圆:赤平面与球面相交 的大圆（赤平大圆）。 凡过球心的平面与球面相 交的大圆，统称为大圆， 不过球心的平面与球面相 交所成的圆统称小圆。 4、极射点: 球上两极发射 点，分上半球投影和下球 投影
一、面和线的赤平投影
（一）投影原理 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层
赤平投影原理与应用简介汇总
5.岩层产状为330°∠40°，求在335°
方向剖面上该岩层的视倾角
据岩层面产状作其投影弧 EHF。 在基圆上数至335°得 D’ 点。 作D’ 点与圆心O的连线， 交EHF于H’ 点。Ｈ’ 为岩层面与NW335°方向 剖面的交线在下半球的投影。 D’ H’ 间的角距即为 335°方向上的视倾角。
（因此，倾斜岩层的倾角就等于倾斜岩 层与赤平面之间的交角）
2、 径向大圆
过圆心走向 南北、倾角 不等的一系 列倾斜平面 的赤平投影
用途：用来 度量倾斜 岩层面的
倾角
纬向小圆的投影过程＝走向东西、
不过球心、间隔相等的直立平面的投影
纬向小圆代表的平面＝锥轴为南北向、锥 顶角间隔相等（2°）的圆锥与球面的交 线所确定的直立平面
过球心倾斜平面的赤平投影 ＝弦为直径的大圆弧
上极点为发射点时，倾斜平面的 赤平投影获得方法
不过球心的平面的投影 =小圆
投影原理
直线的赤平投影 ＝赤平面上的一个点
二 、赤平投影网的构成
赤平大圆 东西向、南北向直径 径向大圆弧 纬向小圆弧 赤平面大圆中心
1 、赤平大圆
可以看作是代表大地水准面的平面
A点数经线大圆与纬线小圆的
A
交点，读出侧伏角44°（β），
标出该点C″角距γ即为直线 的倾伏角，C′的方位角则为直 线的倾伏角。
7 求两平面交线的产状
据已知的两平面产 状，在吴氏网上分别 求出其投影大圆弧 EHF和JHK。两大圆 弧的交点Ｈ即为两平 面交线与下半球面交 点的投影
圆锥侧面与赤平面的交线，将赤平面 大圆圆周分为角度间隔为2°的180份
用途：以此来表 示面、线在空间 的方位
走向 倾向 倾伏向
赤平投影网
赤平投影图原理
赤平投影图原理赤平投影图是一种常用的地图投影方式，广泛应用于地理学、地图制作、导航系统等领域。
它是一种将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标的方法，以便更方便地表示地球表面的地理信息。
赤平投影图的原理基于地球的形状和旋转。
地球是一个近似于椭球体的三维物体，而赤平投影图是将这个三维物体投影到一个平面上。
在赤平投影图中，地球的赤道被映射到平面的中心，而其他纬度线则以放射状的方式向外展开。
具体来说，赤平投影图的原理如下：1. 坐标系统选择：赤平投影图使用的是赤道坐标系统，其中赤道被定义为坐标系的原点。
经度则以赤道上的某个点为基准，通常选择格林尼治子午线作为起点。
2. 投影方式选择：赤平投影图采用的是等面积投影方式，也称为兰勃托投影。
这意味着在投影过程中，保持了地球表面上各个区域的面积比例，避免了地图上的失真。
3. 投影计算：将地球上的经纬度坐标转换为平面坐标的过程中，需要进行一系列的数学计算。
这些计算包括将经纬度转换为弧度、计算投影中心、计算投影坐标等步骤。
4. 坐标转换：经过投影计算后，地球上的每个点都被映射到了平面上的对应位置。
这些平面坐标可以通过数学公式进行转换，以便在地图上准确表示地理信息。
赤平投影图的优点是能够保持地图上各个区域的面积比例，使得地图更加真实和准确。
它广泛应用于导航系统中，帮助人们更好地理解和使用地图。
此外，赤平投影图也被用于地理学研究中，用于表示地球表面的地理现象和分布规律。
然而，赤平投影图也存在一些缺点。
由于地球是一个三维物体，将其投影到平面上必然会引起一定程度的失真。
在赤平投影图中，纬度线越远离赤道，失真程度越大。
这意味着在极地地区，地图上的地理信息可能会有较大的偏差。
为了解决这个问题，人们还发展了其他类型的地图投影方式，如墨卡托投影、极射投影等。
这些投影方式各有优缺点，适用于不同的地理区域和应用领域。
总结起来，赤平投影图是一种常用的地图投影方式，通过将地球表面的经纬度坐标转换为平面坐标，方便地表示地球表面的地理信息。
极射赤平投影原理和基本操作方法
造面产状
在构造面：N 30°E，45 °SE 侧伏为20°S
吴氏网的使用方法
1. 线的投影 例如一直线的产状为：20°，N30°W
2. 面的投影 例如一个面的产状为： N30°E， 30 ° SE
（ 120 °∠ 30 °)
投影到赤平面上。
二、平面的投影
• 大圆投影（即通过球心的平面的投影) 1. 直立平面的投影为一直立大圆 2. 倾斜平面的投影为一倾斜大圆 3. 水平平面的投影为一水平大圆即基圆
面。
球面上的投影大圆与极射点的连线必然穿过赤平面， 在赤平面上这些穿透点的连线即为相应大圆的极射
赤平投影，简称大圆弧。
• 1. 直立大圆的赤平投影为直线； • 2. 水平大圆的赤平投影为基圆 • 3. 倾斜大圆的赤平投影为以基圆直径为弦
实习目的
• 了解极射持平投影的概念； • 掌握极射持平投影的基本原理； • 掌握简单的面、线在吴氏网上的投影方法
实习内容
一、极射赤平投影的基本原理 （一）概念
1. 极射赤平投影 简称赤平投影，是在平面图上表示三维
空间中的面、线的几何关系的一种方法。
应用范围：天文、航海、测量、地理和地质科 学研究中
（一）面状构造产状及表示方法
N
• 向限角法： 走向+倾角+倾向 （N30°E， 45 ° SE)
N??W
N??E
W
E
S??W
S??E
S
• 方位角法：
0°（N）
倾向+倾角
(120 °∠ 45 °)
270°
90°
180°
（二）线状构造的产状及表 示方法
• 倾伏：倾伏角+倾伏向
赤平投影原理经典实用
•赤平投影原理
•4
(二）、投影网：吴尔福网和施密特网
1、吴氏网的结构及成因原理
吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、
东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。
（1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°-
360°方位角刻度。
（2）、两条直径：EW，SN。
（3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东
•赤平投影原理
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例9: 已知平面产状310°∠50°，如果绕走向SN轴水 平旋转30 °求旋转后的平面产状。
操作步骤： ❖ 投影平面FD； ❖ 将大圆上若干点沿其所在
纬向小圆逆时针旋转30° （箭头所示）到新位置； ❖ 将旋转后得到的新位置点 旋转到同一经向大圆上， 拟合大圆弧即为旋转后的 平面D′F′投影。
•赤平投影原理
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相
同角度，使老地层ABC大圆
达到新位置，将新位置各点
拟合大圆即可。
•赤平投影原理
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作业：
P230 9、11、12、16、18
•赤平投影原理
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•赤平投影原理
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（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
•赤平投影原理
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
第十六章__赤平投影的基本原理和方法
第一节 赤平投影的基本原理
一、赤平投影的要素：
1、投射球； 2、赤平面； 3、基 圆； 4、投射点
1、投影球（投射球）：以任意长为半径作成的球。投 影球表面称为球面。 2、赤平面：过投影球球心的水平面，即赤平投影面。 3、基 圆：赤平投影平面（赤平面）与投影球面相交 所成的大圆。或称赤平大圆，内设东西和南北经线。 注意：凡是过球心的平面与球面相交所成的圆，统称 大圆。 不过球心的平面与球面相交所成的圆，统称小圆。 4、投射点（极射点） ： 球上两极的发射点。由上极 射点把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称下半球 投影。反之，称上半球投影。 我们多采用下半球投影。
二、投影原理
一切过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在 球面上形成大圆和点。面的投影为一个大圆弧，线的投影 则为一个点。
三、投影网（吴尔福网-等角距网、施密特网-等面积网）
吴氏网的结构要素 1．基圆 2、两条直径
3、经线大圆 4、纬线小圆
1．基圆 ：赤道平面与球面的交线，是网的边缘 大圆。由正北顺时针为0〫-360〬，每小格为2〬， 表示方位角。 2、两条直径 ：分别为SN走向和EW走向直立平面 的投影。自圆心向基圆为90-0〬。 3、经线大圆 ：是通过球心的一系列走向SN，向E 或W倾斜的平面的投影。自SN直径向基圆代表倾角 由陡至缓的倾斜平面（90-0〬 ）。 4、纬线小圆：是一系列不通过球心的EW走向直立 平面的投影。它们将SN 向直径、经线大圆等分， 每小格为2〬。
四、投影方法
1.平面的投影方法 (SE120〫∠30〫)
2.直线的投影方法 (NW330˚∠40º )
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 法线的投影方法(E90º ∠40º )
极射赤平投影(整理精装版)
研究。
综合的定量图解。
投影要素
1、投影球 2、赤平面:过投影球球 心的水平面 3、基圆:赤平面与球面 相交的大圆（赤平大 圆）。 凡过球心的平 面与球面相交的大圆，
（一）投影原理
任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、 断层面、节理面或轴面等）和线，必然与球面相交 成球面大圆和点。
球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在 赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆 的赤平投影，简称大圆弧。
(1)、143∠37, (2)、 104∠30, (3)、直立，走 向104，(4)、154∠44
π图解：
是指褶皱面各部
位法线的赤平投影图 解。对圆柱状褶皱来 说，同一褶皱面的极 点在赤平投影网上将 落在一个特定的大圆 上或附近。这个大圆
即π圆，π圆的极点代 表褶皱枢纽（β）
三、两面夹角的测量及面的旋转方法
A.吴尔福网 B. 施密特网 C.极等角度网 D.极等面积网
A
B
C
D
（二）一般操作步骤：
预备阶段 ①将透明纸蒙在吴氏网上， ②画“+”中心， ③标出E、S、W、N方位（顺钟向）。
（1）、平面的赤平投影 投影步骤(口诀):
A、基圆顺钟找倾向； B、东西直径数倾角 （由圆周向圆心数）； C、径向圆弧拟平面； D、复原归位定投影。 例1： 平面产状 120°∠30°投影 操作如
（一）两面夹角及角平分线的测量 两相交平面的公垂面和两平面的投 影大圆弧相交，其间的夹角为所求的 夹角，角的一半为平分线。
例8:有两个平面 ⑴245 °∠30°⑵ 145°∠48°
（二）据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状 为:70°∠60°和 120°∠60°， 求三个主应力轴产 状。
赤平投影原理ppt课件
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二. 赤平投影网的使用方法
(四)求两平面的夹角及其等分面: 5. 在FG大圆弧上数二面角的平分角距, IH间平分为 57 °, 平分点为K, 在FI+HG间平分为33 °。 6. 转动透明纸, 使b点和K点位于同一大圆弧上, 该 大圆弧即为二平面夹角中的平分面(产状267∠85°)
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
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二. 赤平投影网的使用方法
所需工具:
吴氏网(在实习指导书后面) 透明纸(>20×20cm) [硬纸板(>20×20cm)] 图钉一枚或大头针 橡皮擦 铅笔 透明胶带
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二. 赤平投影网的使用方法
投影前要作的准备工作: 1. 透明纸放在投影网上，用铅笔标记一个 “+” 以注明投影网中心；再用一5×5mm的透明 胶带贴在透明纸上( 贴在投影网中心所在部位) 。 2. 将透明纸上的“+”标记与投影网对准，用 图钉或大头针沿中心扎下去并固定在桌面上，此 时透明纸能绕图钉(投影网中心)作水平方向的旋 转。 3. 用铅笔在透明纸上描下投影网的基圆(圆 周)，并在上端0°处注记一箭头，箭头指向投影 网上0°的刻度处。
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的交线产状: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求其交线 产状 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b, 即为两平面交线的产状 (倾伏向和倾伏角为4∠13°)
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二. 赤平投影网的使用方法 (四)求两平面的夹角及其等分面: 例如: 两平面产状为70∠40°和290∠30°, 求两平面 的夹角及其等分面 1. 按前面所述平面的投影方法, 投影得二大圆弧。 2. 而大圆弧相交与一点b，为二平面的交线。
构造地质实训4极射赤平投影的基本原理及应用
构造地质实训4极射赤平投影的基本原理及应用地质实训是培养学生实践能力的重要环节之一，能够帮助学生将课堂学到的地质知识应用到实际工作中。
4极射赤平投影是地质实训中常用的一种图形展示方式，下面将就其基本原理及应用进行详细讨论。
1.基本原理：4极射赤平投影是一种将地球表面的地理地貌信息以平面图形的形式展示的方法。
它基于地球表面的四个特殊点，即地球两个地轴极点、黄道平面和本初子午线来进行投影。
首先，从地球的黄道平面和本初子午线出发，通过地球的北极点和南极点，在黄道平面上确定一个点，称之为方程点。
方程点的位置取决于观察者所在的位置。
然后，从观察者所在位置引出一条射线，穿过地球的表面并与黄道平面相交。
最后，通过对地轴的绕点旋转变换，将地球的曲面信息转换为平面图形。
2.应用：4极射赤平投影在地质实训中有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：2.1绘制地质剖面图地质剖面图是地质学研究和实践工作中经常使用的工具，它能够以明确的方式展示地下地质结构和构造特征。
通过4极射赤平投影，可以将地球表面的地形和地质信息转换为平面图形，有利于地质学家对地质剖面进行详细分析和研究。
2.2绘制地质地图地质地图是地质学研究中的重要成果之一，它能够全面反映地球表面的地质特征和地质构造。
4极射赤平投影可以将地球表面的地理地貌信息以平面图形的形式展示，为地质学家制作地质地图提供了重要的参考依据。
2.3测量地震活动地震是地球内部活动的重要表现形式之一，对地震活动的监测和研究有助于预测地震的发生和演化。
4极射赤平投影可以帮助地震学家将地震活动的数据以平面图形的形式表示，有助于对地震活动的时空分布进行精确测量和研究。
2.4矿产资源勘探地质资源是人类社会发展的重要支撑，对地质资源的勘探和研究有助于发现新的矿产资源。
4极射赤平投影可以将地球表面的地质特征以平面图形展示，为矿产资源的勘探和开发提供了重要的参考依据。
综上所述，4极射赤平投影是地质实训中常用的一种图形展示方式，它通过对地球四个特殊点的确定和地轴的旋转变换，将地球表面的地理地貌信息转换为平面图形。
构造地质学 实习讲义 第14章 赤平投影原理与应用简介1203
大圆图解。
圆柱状褶皱：各切面交线平行，且平行于褶皱枢纽， 这些经线大圆交于（β）点，即β轴=褶皱枢纽投影。
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D7054 Cam－O 褶 皱 岩 层 产 状 统 计 图
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D7052Cam－O褶 皱 岩 层 产 状 统 计
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1．投影平面245°∠30°；20°∠60°；340°∠40°；120°∠70°。 2．投影直线42°∠62°；130°∠45°；220°∠50°；315°∠32°。 3．投影平面NW318°∠26°的法线（即极点）。 4．投影包含直线258°∠40°及42°∠62°的平面的产状。 5．已知铁矿层产状为154°∠40°，求下列各方向剖面上的视倾角：80°、330°、290°、 240°。 6．在公路转弯处的两陡壁上，测得板状含金石英脉的视倾斜线产状分别为120°∠16°和 227°∠22°，求该板状含金石英脉的产状。 7．岩层面产状为150°∠40°，岩层面上有擦痕线，其侧伏角为30°SW，求擦痕线的倾伏 向和倾伏角。（提示：作出岩层面的大圆弧后，由大圆弧的走向SW端沿大圆弧数其被纬线小 圆弧所分割的30°，即得擦痕投影。） 8．求平面254°∠30°与145°∠48°的交线产状。 9．求平面335°∠30°与平面235∠48°的夹角及夹角平分面的产状。 10．一圆柱状背斜北西翼产状为330°∠45°，北东翼产状为65°∠35°。求：（1）东西向 直立剖面上两翼的视倾角及两翼之间的夹角；（2）横截面的产状、横截面上两翼的侧伏角及 两翼之间的翼间角。 11. 某地灰岩中发育一对共轭剪节理，一组产状为190∠76°，另一组产状为278°∠53°， 假定两组节理的锐角等分线方向为最大主压应力方向，求三个主应力轴的产状。
赤平投影原理及讲解
赤平投影原理及讲解引言赤平投影是地图学中常用的一种投影方式，其最大的优点是可以充分保证地图上任意一点与赤道的角度都相等。
而赤平投影的实现原理，主要是利用了地球的旋转和中心线的垂直位置。
赤平投影原理坐标系在介绍赤平投影原理之前，我们需要先了解一下坐标系。
通常在地图制作中，我们使用的坐标系为地球坐标系。
地球坐标系是将地球上的点用三维坐标系表示的一种数学模型。
其中，地球坐标系的原点为地球质心，地球的赤道为该坐标系的 XY 平面，而该坐标系的 Z 轴即为地球北极点指向质心的连线。
在地球坐标系中，我们一般采用经度和纬度作为解释地球上位置的方式。
经度是一个定点的短圆弧与本初子午线之间的夹角，而纬度则是一个点与赤道之间的夹角。
它们的表示方式为度、分、秒，分别用符号 °、′、″ 表示。
赤平投影原理赤平投影又称为正射平面投影，需要满足投影面与地球的平面垂直，且中心点正好位于地球的北极或南极上。
投影点与赤道面的夹角都相等。
在赤平投影中，将地球的南北极作为坐标轴的原点，与水平面相交的平面即为投影面。
将该平面放在一张纸上，用垂线去描绘地球上的各个点。
这时，地球上的每一个点都可以在平面上找到一个对应的点，使得该点到点 O（即南极或北极）的距离与该点所对应的角度相等。
由于在赤平投影中，地球上的任何一点都可以延长与南北极的连线垂直于平面，这就形成了“正射平面投影”的名称。
在赤平投影中，投影长度与原长之比始终等于该点到南北极的夹角。
赤平投影的应用赤平投影具有保持等角性的特点，在工程制图、城市规划、制造业等领域得到了广泛的应用。
同时，在天文学中，赤平投影也是观测恒星时使用的一种重要工具。
赤平投影的应用广泛且其实现原理简单，只需将地球的南北极作为坐标轴的原点，与平面相交，以垂线去描绘地球上的各个点，便可以获得等角性的投影效果。
赤平投影原理及讲解
一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
赤平投影原理与操作方法
赤平投影原理与操作方法
赤平投影是一种把三维球体表面映射到二维平面上的技术。
技术原理是从球体中心到表面上各点的线段与平面垂直，投影到平面上得到的投影坐标。
操作方法：
1. 选择一个球体，并确定其中心坐标和半径大小。
2. 确定投影平面，通常为xoy 平面或者xoz 平面，也可以自定义一个平面。
3. 将球体表面上的每个点投影到平面上得到对应的坐标点。
4. 将投影得到的坐标点按照一定的规律映射到二维平面上形成图像，通常会使用等距投影或者等面积投影等方法进行映射。
5. 根据需要作出相应的修改，例如旋转角度、缩放大小等。
赤平投影可以有效地呈现球体表面上的信息，并且具有保持距离和角度比例不变、投影区域面积相等等优点。
常用于地图制作、天文学和计算机图形学等领域。
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一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
ﻫ二、极射赤平投影的基本原理(一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括:1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。
2.球面:投影球的表面称为球面。
3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。
当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。
５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。
当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。
6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。
由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上ﻫ的投影称为上半球设影。
一般采用下半球投影。
7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。
铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点);水平直线交基圆上两点;倾斜直线交球面上两点(如图五中A、Ｂ)。
(二）平面的赤平投影平面与球面相交成大圆或小圆,我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P)的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。
１.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径(如图一(ａ)中的NS)；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW)。
2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化:直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧(如图三ＫD′Ｈ)；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况:⑴当倾斜小圆在赤平面以下时,投影是一个圆,且全部在基圆之内（如图三FG)；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时,投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球,另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内,以上部分的投影在基圆之外。
当球面小圆通过上极射点时,其赤平投影为一条直线(如图一(c)中PACB的投影为AB);水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中Ａ′Ｂ′），A′B′是一个与基圆同心的圆。
(三)直线的赤平投影直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点Ａ′、B′。
铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点,两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个,一点在基圆内,另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。
（四)吴氏网及其ＣＡD制作目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。
等角距投影网是由吴尔福发明的,简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的,简称施氏网。
两者的主要区别在于:球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等,但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等,其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。
而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。
使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性,不仅作图方便，而且较为精确。
而使用施氏网时,可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
1.吴氏网的结构及成图原理吴氏网（图六)由基圆、南北经向大圆弧（ＮＧS）、东西纬向小圆弧(ACＢ)等经纬线组成。
标准吴氏网的基圆直径为20ｃｍ,经、纬线间的角距为2°。
(1)基圆，由指北方向(N)为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；(2)经向大圆弧是由一系列通过球心,走向南北,分别向西和向东倾斜,倾角由0°到90°(角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。
这些大圆弧与东西直径线ＥＷ的交点到端点(Ｅ点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。
如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜,倾角为3０°。
（3）纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。
这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。
相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离,与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。
如图六所示,ＥＤ=SH=WＧ＝NF，角距都为30°。
2.吴氏网的ＣＡD图解绘制吴氏网,其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。
那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢?在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。
而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。
(1)绘制大圆弧的原理与步骤要绘制大圆弧,应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的,是已知点。
现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点Ｂ′,问题就迎刃而解。
①计算OB′长度根据倾斜平面的倾角、基圆的直径,可按下式计算点O与点B′之间的距离(公式一）式中Ｒ——基圆的半径;α——大圆弧所代表平面的倾角(°）。
②以基圆的圆心为圆心,OB′长为半径画一个圆,该圆与基圆的东西径向线EＷ交于Ｂ′点。
③过N、S、Ｂ′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。
(2)绘制小圆弧的原理与步骤要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点(如图六所示的A、C、Ｂ三个点)。
根据吴氏网的结构与原理，可以通过ＣAD制图确定Ａ、C、B三个点的位置。
①确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离,但其中为小圆弧的半径角距;然后以基圆的圆心为圆心,OC长为半径画圆,该圆与基圆的南北径向线ＮS交于C点。
②以基圆的圆心为基点，将南北径线OＮ分别逆时针和顺时针旋转角度,得两条直线,分别与基圆交于A、Ｂ点。
③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。
ﻫ三、赤平投影网CＡD图解的应用利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是:把透明纸(或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心,并用针固定于网心上,使透明纸能够绕网心旋转。
然后在透明纸上标出E、S、W、N,以正北(Ｎ）为０°，顺时针数到３60°。
东西直径EＷ确定倾角，一般是圆周为０°，至圆心为９0°。
这样做具有以下缺点:一是较麻烦,二是当旋转透明纸时,容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。
如果用CAＤ制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。
1.平面赤平投影的ＣAＤ图解（如图七）例１：一平面产状126°∠３0°,绘制其赤平投影图。
(1)绘制一直径为20ｃm的基圆,同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、Ｓ、W、Ｎ。
后面的例子均需要这一步，画法与之相同,所以不再重复。
（２)平面的倾向是126°，则其走向为36°。
将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转３6°到达ＡB位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。
(3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转12６°到达OD位置,与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。
（4）用公式一计算线段OＣ长度。
以基圆的圆心O为圆心，ＯC为半径画圆,交OD于Ｃ点。
(5)采用三点法，即过A、Ｃ、Ｂ三点画圆,并切掉基圆外部分,所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。
2.直线赤平投影的CＡD图解（如图八）例２：一直线产状３3０°∠４0°,绘制其赤平投影图。
(１）将ＯN绕圆心O顺时针旋转33０°后到达OA位置，与基圆交于点A，则OA即为该直线的倾伏向。
(2)用公式一计算OA′值。
以基圆的圆心Ｏ为圆心，OＡ′为半径画圆,交ＯA于A′点,则点Ａ′即为该直线的赤平投影。
ﻫ３.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九)例3:一平面产状为105°∠40°,绘制其法线的赤平投影。
(1)按例１所述方法,绘制产状为105°∠40°平面的赤平投影大圆弧ＮB′S。
（２)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此平面法线的倾角为50°。
用公式一计算OA′。
以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，则A′点为该平面法线的赤面投影,也称其为平面的极点。
由于平面法线倾向与平面倾向相反，相差１80°,平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系,首先计算法线的产状为285°∠50°,然后再按例2方法绘制法线的赤平投影。
4.相交两条直线所构成平面的产状例４:已知两直线180°∠２０°和90°∠3２.３°相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、(b))。
(1）为很好地利用CAＤ制图解决这个问题,引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：taｎ2βsin2γ=tａn２α1＋tanα２-２tanα１tanα2cosγ(公式二)式中β——两条相交直线所构成平面的倾角(°）;α１、α2——分别为两条直线的倾伏角（°);γ——两条直线倾向夹角（°)。