高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________课程名称：高等数学(上)(A卷) 考试日期：2008年1月10日注意事项：1.本试卷满分100分，要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2.考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3.考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4.如有答题纸，请将答案全部写在答题纸上，否则不给分。

考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

一、单选题（每题3分，共15分）1.lim(sin(x^2-1)/(x-1))，x趋近于1，等于()A)1；(B)0；(C)2；(D)不存在。

2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则∫e^(-x)f(e^x)dx等于()A)F(e^x)+c；(B)-F(e^-x)+c；(C)F(e^-x)+c；(D)F(e^-x^2/2)+c。

3.下列广义积分中()是收敛的。

A)∫sinxdx，从负无穷到正无穷；(B)∫1/|x|dx，从-1到1；(C)∫x/(1+x^2)dx，从负无穷到正无穷；(D)∫e^x dx，从负无穷到0.4.f(x)为定义在[a,b]上的函数，则下列结论错误的是()A)f(x)可导，则f(x)一定连续；(B)f(x)可微，则f(x)不一定可导；(C)f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D)函数f(x)连续，则∫f(x)dx在[a,b]上一定有定义。

5.设函数f(x)=lim(n→∞)(1+x^2n)^2，则下列结论正确的是()A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；(C)存在间断点x=0；(D)存在间断点x=-1.二、填空题（每题3分，共18分）1.极限lim(x→∞)(x^2+1-1)/x=______。

2.曲线y=3t在t=2处的切线方程为y=______。

3.已知方程y''-5y'+6y=xe^(2x)的一个特解为-1/2(x+2x)e^(2x)，则该方程的通解为______。

4.若f(x)=2，则f'(2)=______。

5.设x→2x-2，f(x)=2，则f'(2)的值为______。

答案。

一、1.(B)；2.(B)；3.(A)；4.(A)；5.(C)二、1.1；2.y=12t-21；3.y=C1e^2x+C2e^3x-x/2-1/4；4.0；5.4.五、解：由xy+ey=e，可得y=ln(e-xy)，再对其求导可得dy/dx=-y/(x+e-y)。

将y代入可得dy/dx=-ln(e-xy)/(x+e-ln(e-xy))，再对其求导可得dy/dx=[(x-1)e+xy]/[(x-e+y)^2]。

将x=1代入可得dy/dx=1/2.因此，当x=1时，dy/dx=1/2.6分六、解：根据题意，可得f(x)=1/3xf(t^3)dt+3x-3.对其求导可得f'(x)=t^2f(t^3)|t=x，即f'(x)=x^2f(x^3)。

因此，f(x)满足微分方程y'=x^2y(x^3)，解得y=Ce^(1/(2x^2))+x^3-3.由于f(x)有界可积，所以C=0，因此f(x)=x^3-3.8分七、解：1）积分得θ-1/4sin4θ+C，因此不定积分为θ-1/4sin4θ+C。

6分2）令u=arctanx，积分得xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C，因此不定积分为xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C。

6分八、解：当x≤1时，f(x)=x+1；当x>1时，f(x)=1/x^2.因此，定积分为∫1^2(x+1)dx+∫2^3(1/x^2)dx=7-1/2.6分九、解：f'(x)=1-9x^2=0，解得x=±1/3.由于f''(x)=-18x<0，因此f(x)在(-∞,-1/3)单调递增，在(-1/3,1/3)单调递减，在(1/3,+∞)单调递增。

f(-1/3)=2/3，f(1/3)=2/3，f(-∞)=+∞，f(+∞)=+∞。

f''(x)=-18x<0，因此f(x)在(-∞,-1/3)和(1/3,+∞)上下凸，在(-1/3,1/3)上下凹。

拐点坐标为(-1/3,8/27)和(1/3,8/27)。

10分十、解：将dyy/(x+y^4)=dx两边同时积分，得到y^2/2-ln(x+y^3/3)=C，其中C为常数。

因此，通解为y^2/2-ln(x+y^3/3)=C。

6分十一、证明：对于x∈(0,π/2)，有sinx2/πx。

综上所述，sinx>2/πx，即sinx>2x/π。

5分1.将文章格式调整为正常的段落格式，删除明显有问题的段落。

2.对每一段话进行小幅度的改写，使其表达更加清晰和准确。

1.求解dy/dx = (-e^(-x)cos(3-2x) + 2e^(-x)sin(3-2x))/(1-x)。

解：将分子拆开，得到dy/dx = (-e^(-x)cos(3-2x))/(1-x) + (2e^(-x)sin(3-2x))/(1-x)。

对于第一项，使用乘法法则和链式法则，得到dy/dx = e^(-x)(cos(3-2x) - y)/(1-x)。

对于第二项，使用乘法法则和链式法则，得到dy/dx = -y/(1-x) + e^(-x)sin(3-2x)/(1-x)。

将两个式子相加，得到dy/dx + y/(1-x) = e^(-x)sin(3-2x)/(1-x)。

这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

最终得到y = -e^(-x)sin(3-2x) + ce^x。

代入初始条件y(0) = 1，得到c = 1 + sin(3)。

因此，最终的解为y = -e^(-x)sin(3-2x) + (1+sin(3))e^x。

2.求解f'(x) = 3f(x) +3.解：这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。

设f(x) = ce^(3x-1)，对其求导得到f'(x) = 3ce^(3x-1)。

将其代入原方程，得到3ce^(3x-1) =3ce^(3x-1) + 3，消去相同的项，得到ce^(3x-1) = 1.代入初始条件f(0) = -3，得到c = -2.因此，最终的解为f(x) = -2e^(3x-1)。

3.求解∫(1-sin^3θ)dθ。

解：使用三角恒等式sin^3θ = (3sinθ- sin3θ)/4，将其代入原式，得到∫(1-sin^3θ)dθ = ∫cos^3θdθ =∫cosθ(1-sin^2θ)dθ。

使用代换u = sinθ，得到du/dθ = cosθ，将其代入原式，得到∫(1-sin^3θ)dθ = ∫(1-u^2)du = u - u^3/3 + c。

将u代回原式，得到∫(1-sin^3θ)dθ = θ - sinθcos^2θ/3 + c。

对于∫xarctanxdx，使用分部积分公式，得到∫xarctanxdx = xarctanx - ∫(1+x^2)^(-1)dx = xarctanx - ln(1+x^2)/2 + c。

4.求解∫f(x)dx = ∫(x+1)dx + ∫xdx。

解：根据积分的线性性质，可以将其拆分为∫f(x)dx = ∫xdx + ∫dx + ∫xdx。

最终得到∫f(x)dx = (x^2/2 + x + 1/2) + c。

5.求解f''(x) = x^3.f'(0) = 1.f(0) = 0.解：对于f''(x) = x^3，可以使用两次积分求解，得到f(x) = (x^4/12) + c1x + c2.代入初始条件f'(0) = 1，得到c1 = 1.代入初始条件f(0) = 0，得到c2 = 0.因此，最终的解为f(x) = (x^4/12) + x。

f'(x) = cos(x) - 2/π。

f''(x) = -sin(x)。

x∈(0,π)因为f''(x)。

1/π。

一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当x→∞时，下列函数为无穷小量的是（B）1+x22、函数f(x)在点x处连续是函数在该点可导的（A）必要条件3、设f(x)在(a,b)内单增，则f(x)在(a,b)内（D）f'(x)>04、设f(x)在[a，b]内连续，且f(a)·f(b)<0，则至少存在一点ξ∈(a,b)使（A）f(ξ)=05、广义积分∫a+∞dx/xp(a>0)当（C）p≥1时收敛。

二、填空题（15分，每小题3分）1、若当x→∞时，1-1/(1+ax2)~x2，则a=1/2；2、设由方程xy2=a2所确定的隐函数y=y(x)，则dy=-a2/(x2y)dx；3、函数y=2x+8/x(x>0)在区间(0,1)单减；在区间(1,+∞)单增；4、若f(x)=xe^-λx在x=2处取得极值，则λ=1/2；5、若a∫xf(x)dx=∫f(x)dx，则a=2.三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）1、lim(x→∞)(x/(1+x^2)) = 0；2、lim(x→0)(t∫0^x e^t-1 dt)/x^2 = 1/2.四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、y'=1/(1+t^2)；2、y''=(12x^2-4)/(4x^5-4x)。

五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、∫0^π/2 sin(t) dt = 1；2、∫0^π cos(x)-cos(2x)/(2πx^2) dx = 1/2；3、设f(x)=∫1^x dt/(1+t+arctan(t))。

计算∫0^1 xf(x)dx =ln(2)/2.六、讨论函数f(x)=(cos(x)/2.x<π。

x/π。

x≥π)的类型。

f(x)在x=π处不连续，所以不是连续函数；在x=π处左右极限不相等，所以不是间断可去函数；在x=π处左右极限存在且不相等，所以不是间断跳跃函数。

因此，f(x)是间断函数。

七、证明不等式：当$x>0$时。

ln(1+x)>\frac{x-\frac{x^2}{2}}{x^2}$$证明：对于$x>0$，考虑函数$f(x)=\ln(1+x)-\frac{x-\frac{x^2}{2}}{x^2}$，则f'(x)=\frac{x^2-2x+2}{x^2(x+1)}>0$$因此$f(x)$在$x>0$上单调递增，又$f(0)=0$，故当$x>0$时，有$f(x)>0$，即ln(1+x)>\frac{x-\frac{x^2}{2}}{x^2}$$八、求由曲线$xy=2,y=\frac{4}{x}$，$y=2x(x\geq 1)$所围图形的面积。