高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)

姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________

课程名称：高等数学(上)(A卷) 考试日期：2008年1月10日

注意事项：

1.本试卷满分100分，要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2.考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写

在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3.考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4.如有答题纸，请将答案全部写在答题纸上，否则不给分。考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

一、单选题（每题3分，共15分）

1.lim(sin(x^2-1)/(x-1))，x趋近于1，等于()

A)1；(B)0；(C)2；(D)不存在。

2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则∫e^(-x)f(e^x)dx等于()

A)F(e^x)+c；(B)-F(e^-x)+c；(C)F(e^-x)+c；(D)F(e^-

x^2/2)+c。

3.下列广义积分中()是收敛的。

A)∫sinxdx，从负无穷到正无穷；(B)∫1/|x|dx，从-1到1；

(C)∫x/(1+x^2)dx，从负无穷到正无穷；(D)∫e^x dx，从负无穷到

0.

4.f(x)为定义在[a,b]上的函数，则下列结论错误的是()

A)f(x)可导，则f(x)一定连续；(B)f(x)可微，则f(x)不一定可导；(C)f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D)函数f(x)连续，则∫f(x)dx在[a,b]上一定有定义。

5.设函数f(x)=lim(n→∞)(1+x^2n)^2，则下列结论正确的是()

A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；(C)存在间断点

x=0；(D)存在间断点x=-1.

二、填空题（每题3分，共18分）

1.极限lim(x→∞)(x^2+1-1)/x=______。

2.曲线y=3t在t=2处的切线方程为y=______。

3.已知方程y''-5y'+6y=xe^(2x)的一个特解为-

1/2(x+2x)e^(2x)，则该方程的通解为______。

4.若f(x)=2，则f'(2)=______。

5.设x→2x-2，f(x)=2，则f'(2)的值为______。

答案。

一、1.(B)；2.(B)；3.(A)；4.(A)；5.(C)

二、1.1；2.y=12t-21；3.y=C1e^2x+C2e^3x-x/2-1/4；4.0；

5.4.

五、解：由xy+ey=e，可得y=ln(e-xy)，再对其求导可得

dy/dx=-y/(x+e-y)。将y代入可得dy/dx=-ln(e-xy)/(x+e-ln(e-xy))，再对其求导可得dy/dx=[(x-1)e+xy]/[(x-e+y)^2]。将x=1代入可

得dy/dx=1/2.因此，当x=1时，dy/dx=1/2.6分

六、解：根据题意，可得f(x)=1/3xf(t^3)dt+3x-3.对其求导

可得f'(x)=t^2f(t^3)|t=x，即f'(x)=x^2f(x^3)。因此，f(x)满足微

分方程y'=x^2y(x^3)，解得y=Ce^(1/(2x^2))+x^3-3.由于f(x)有

界可积，所以C=0，因此f(x)=x^3-3.8分

七、解：

1）积分得θ-1/4sin4θ+C，因此不定积分为θ-1/4sin4θ+C。6分

2）令u=arctanx，积分得xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C，因此

不定积分为xarctanx-1/2ln(1+x^2)+C。6分

八、解：当x≤1时，f(x)=x+1；当x>1时，f(x)=1/x^2.因此，定积分为∫1^2(x+1)dx+∫2^3(1/x^2)dx=7-1/2.6分

九、解：f'(x)=1-9x^2=0，解得x=±1/3.由于f''(x)=-18x<0，因此f(x)在(-∞,-1/3)单调递增，在(-1/3,1/3)单调递减，在

(1/3,+∞)单调递增。f(-1/3)=2/3，f(1/3)=2/3，f(-∞)=+∞，

f(+∞)=+∞。f''(x)=-18x<0，因此f(x)在(-∞,-1/3)和(1/3,+∞)上下凸，在(-1/3,1/3)上下凹。拐点坐标为(-1/3,8/27)和(1/3,8/27)。

10分

十、解：将dyy/(x+y^4)=dx两边同时积分，得到y^2/2-

ln(x+y^3/3)=C，其中C为常数。因此，通解为y^2/2-

ln(x+y^3/3)=C。6分

十一、证明：对于x∈(0,π/2)，有sinx2/πx。综上所述，sinx>2/πx，即sinx>2x/π。5分

1.将文章格式调整为正常的段落格式，删除明显有问题的段落。

2.对每一段话进行小幅度的改写，使其表达更加清晰和准确。

1.求解dy/dx = (-e^(-x)cos(3-2x) + 2e^(-x)sin(3-2x))/(1-x)。解：将分子拆开，得到dy/dx = (-e^(-x)cos(3-2x))/(1-x) + (2e^(-x)sin(3-2x))/(1-x)。对于第一项，使用乘法法则和链式法则，

得到dy/dx = e^(-x)(cos(3-2x) - y)/(1-x)。对于第二项，使用乘

法法则和链式法则，得到dy/dx = -y/(1-x) + e^(-x)sin(3-2x)/(1-x)。将两个式子相加，得到dy/dx + y/(1-x) = e^(-x)sin(3-2x)/(1-x)。这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。最终得到y = -e^(-x)sin(3-2x) + ce^x。代入初始条件y(0) = 1，得到c = 1 + sin(3)。因此，最终的解为y = -e^(-x)sin(3-2x) + (1+sin(3))e^x。

2.求解f'(x) = 3f(x) +

3.解：这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以使用常数变易法求解。设f(x) = ce^(3x-1)，对其求导得到f'(x) = 3ce^(3x-1)。将其代入原方程，得到3ce^(3x-1) =