第2讲直线绘制
第2讲 位置与方向(二)【高频考点+典例精析+易错精练】-人教版小学六年级数学上册期末易错高频考点
第2讲位置与方向（二）1.确定物体位置的方法：①先找观测点；②再定方向（看方向夹角的度数）；③最终确定距离（看比例尺）。
【例1】（2022春•硚口区期末）依据描述把下面的地点填在相应的框里：学校的东南方是公园，电影院在学校的西北方，书店在电影院的东方，学校在商场的北方，动物园在学校的西方，游泳馆在学校的西南方，医院在学校的东方．【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”以及题目所给的信息，进行解答即可。
【解答】解：标注如下：【点评】此题主要考查地图上的方向辨别方法的机敏应用。
【例2】（2021•武冈市）公园在图书馆北偏东30°方向6千米处，请用1：200000的比例尺在右图中表示出公园位置，先计算出图上距离，再作图（保留作图痕迹。
）【分析】依据平面图上方向的辨别“上北下面，左西右东”，以图书馆的位置为观测点，即可确定确定学校的方向，依据学校与图书馆的实际距离及比例尺，即可计算出学校与图书馆的图上距离，从而即可在图中标出学校的位置。
【解答】解：6千米＝600000厘米600000×＝3（厘米）如图：【点评】此题考查了利用方向与距离在平面图中确定物体位置的方法以及比例尺的机敏应用。
画平面的关键一是方向的确定，二是依据实际距离及比例尺求出图上距离。
【例3】（2022春•紫阳县期末）观看如图游乐场部分示意图，中心是一个圆形花坛。
（1）摩天轮在花坛的面，滑梯在花坛的面，激流勇进在花坛的方向。
（2）花坛的西北方向是碰碰车，西南方向是海盗船；旋转木马在花坛的东南方向；过山车在激流勇进的南面。
依据描述，标注这些具体位置。
【分析】先确定四个基本方向：上北下南左西右东。
再由四个基本方向推导出另四个方向：东北、西北、东南、西南。
【解答】解：（1）摩天轮在花坛的西面，滑梯在花坛的北面，激流勇进在花坛的东北方向。
（2）画图如下：【点评】本题的关键是把握四周八方八个方位，再进行认真确定每一个游乐设施的位置。
第2讲 直线求实长、两直线位置
△Y
P9
a′
O
X O
a′
X
b
Y
△Y
b
Z
a
α
a
⑵ AB倾角α=30°
°
b′
△Z
a′
X
α
O
b
a
9. KM=35, N∈KM，KN=L，求点N
k′ K Y
X
10. AC=AB ，求AC的水平投影
c′ b′
P10
L N
n′ m′
O X
a′
思考：几解？
k Y n m
O
b a
12. 过点A作AB与CD相交，交点B距离H面为20。 c′ c′ c′ (a) (b) (c)
投影面垂直线
名称 铅垂线 （H ） 立体图 投影图
正垂线 （V ）
侧垂线 （W ）
(3) 一般位置直线
V W
b
Z
a
a X b
O
b YW
H
a
YH
投影特性：三个投影皆为倾斜直线，
均不反映实长、夹角.
归纳 直线相对于投影面的位置
一般位置线 投影面平行线 水平线： ∥H面 正平线： ∥V面 侧平线： ∥W面 投影面垂直线 铅垂线： H面 正垂线： V面 侧垂线： W面
直线的投影
直线的投影由两端点同名投影的连线确定 Z b' b"
a' X b a YH o
a"
YW
平行投影法的特性：
实形 性
积聚性
类似 性
(1) 投影面的平行直线
a
A
Z a b a b
b
a
B
2021版新高考数学(山东专用)一轮课件：第8章+第2讲+两条直线的位置关系
解析几何第二讲 两条直线的位置关系1 知识梳理 • 双基自测2 考点突破 • 互动探究3 名师讲坛 • 素养提升知识梳理•双基自测知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括____________________三种情况．(1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．(2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔ _____________.平行、相交、重合 A 1A 2＋B 1B 2＝0 唯一解 无解 无数个解 1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a，b)关于直线x＋y＋m ＝0对称的点坐标为(－b－m，－a－m)，点P(a，b)关于直线x－y＋m＝0对称的点坐标为(b－m，a＋m)．BD题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0C 题组三 考题再现4．(2019·江西抚州七校联考)过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为( )B A．x－3y－1＝0 B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝05．(2019·广东江门模拟)“a＝2”是“两直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0 A平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点突破•互动探究 (1)(2019·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透A 例 1A(3)(2019·宁夏模拟)若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为__________．(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2)，一条直角边所在直线的方程CD 为y＝2x，则另外两边所在直线的方程为( )A．3x＋y－14＝0 B．x＋2y－2＝0C．x－3y＋2＝0 D．x＋2y－14＝0(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．D B 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研2或－6 距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x、y的系数分别相等．AC C 角度1 线关于点的对称 (2020·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0考点三 对称问题——多维探究D 例 3角度2 点关于线的对称(2019·长沙一模)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为 _______________.例 46x －y －6＝0x－6y＋27＝0 [引申]本例中入射光线所在直线的方程为________________.角度3 线关于线的对称 (2019·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0例 5B 〔变式训练3〕已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)(角度2)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)(角度1)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．名师讲坛•素养提升 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．巧用直线系求直线方程例 6[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线l的方程为3x－4y＋8＝0 ________________.1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点(x0，y0)；(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及常数项为0确定定点；(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而确定定点坐标．。
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
第2讲 直线方程
第二讲直线的方程工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：将一根钉子钉进一堵墙。
工程师造了一件万能打钉器，即能把任何一种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。
物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试，进而发展出一项革命性的科技——超低温下超音速打钉技术。
数学家将问题推广到N 维空间，考虑一个1维带扭结的钉子穿透一个N-1维超墙的问题。
很多基本定理被证明...当然啦，这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。
一、自主归纳，自我查验１自主归纳（2）．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔________________________；l1⊥l2⇔________________．（4）．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设P(x ，y)是线段P1P2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＝ ．（5）．关于x ，y 的二元一次方程________________(其中A ，B________________)叫做直线的一般式方程，简称一般式．答案：（1）．y －y0＝k(x －x0) y ＝kx ＋b（2）k1＝k2且b1≠b2 k1k2＝－1 （3）．x a ＋yb ＝1（4）．x1＋x22 y1＋y22 （5）．Ax ＋By ＋C ＝0 不同时为0 （6）．y －y0＝k(x －x0) y ＝kx ＋b y －y1y2－y1＝x －x1x2－x1x a ＋yb ＝1 Ax ＋By ＋C ＝02、自我查验（1）．方程y ＝k(x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 （2）．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线方程为( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－3x －2 D ．y ＝3x －2 （3）．下列说法正确的是( )A ．方程y －y1x －x1＝k 表示过点M(x1，y1)且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb ＝1 C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式 （4）．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 （5）．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0C ．A ·B ≠0D ．A2＋B2≠0 （6）．直线(2m2－5m ＋2)x －(m2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案：（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）D典型例题题型一、借助直线间的平行、垂直关系求直线方程例1 已知在△ＡＢＣ中，Ａ（１，－４），Ｂ（２，６），C （-2,0），AD ⊥ＢＣ于点Ｄ，求直线ＡＤ的点斜式方程．破题思路：首先判断直线的斜率是否存在，然后再根据两直线垂直的判定条件去求解． 解题过程：显然，直线ＡＤ的斜率存在． 设直线AD 的方程为y+4=k ＡＤ（x-1）.由题设知ＫＢＣ=2206+-＝23，又∵AD ⊥ＢＣ， ∴ＫＡＤ．ＫＢＣ＝－１ 解得ＫAD=-32.故直线AD 的点斜式方程为y+4=-32.（x-1）方法与规律：当直线l1⊥l2时，有k2.k1=-1.变式训练：已知两直线l1：x+（1+m ）y+m-2=0:；l2：mx+2y+8=0:，当m 为何值时直线l1与l2分别有下列关系？ l1⊥l2； （2）l1∥l2.破题思路：考虑直线斜率是否存在，进行分类讨论解题过程：（1）当m=-32时，l1⊥l2（2）当m=1时，l1∥l2题型二、选择适当的表达式解直线方程例2、 已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程． 破题思路：本题可选择直线方程的截距式和斜截式求解. 解题过程： 方法一 设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b ． ∵k ＝6，∴方程为y ＝6x ＋b ．令x ＝0，∴y ＝b ，与y 轴的交点为(0，b)；令y ＝0，∴x ＝－b 6，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－b 6，0．根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫－b 62＋b2＝37， ∴b ＝±6．因此直线l 的方程为y ＝6x ±6．方法二 设所求直线为x a ＋yb ＝1，则与x 轴、y 轴的交点分别为(a,0)、(0，b)． 由勾股定理知a2＋b2＝37． 又k ＝－ba ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝37，－b a＝6.解此方程组可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝6.因此所求直线l 的方程为x ＋y －6＝1或－x ＋y6＝1． 方法与规律：选择合适的表达式计算更简单.变式训练：已知直线l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l 的方程． 解答过程：当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上截距均等于0，故直线l 的斜率为17，∴所求直线方程为y ＝17x ， 即x －7y ＝0．当直线l 不过原点时，设其方程x a ＋yb ＝1， 由题意可得a ＋b ＝0， ① 又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b ＝1， ②由①②得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x 6＋y－6＝1，即x －y －6＝0．故所求直线l 的方程为x －7y ＝0或x －y －6＝0．题型三、直线的方程几种表达式的运用根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为3，且经过点A(5,3)； (2)过点B(－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1．破题思路：熟练掌握五种表达式各适用于什么情况. 解题过程：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 即3x －y ＋3－53＝0．(2)x ＝－3，即x ＋3＝0．(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0． (4)y ＝3，即y －3＝0． (5)由两点式方程得y －5－1－5＝x121， 即2x ＋y －3＝0．由截距式方程得x －3＋y－1＝1，即x ＋3y ＋3＝0．方法规律：需注意点斜式，斜截式不能用于斜率不存在的情况应用体验1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ A ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ B ）A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ C ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限4．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足 （ C ）A ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m５．已知直线Ax By C ++=0，系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴； （5）设()P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．解：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零 即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：()00P x y ，在直线Ax By C ++=0上00000,Ax By C C Ax By ∴++==--()()000A x xB y y ∴-+-=。
第八章 第2讲 两条直线的位置关系-2025年高考数学备考
第八章平面解析几何第2讲两条直线的位置关系课标要求命题点五年考情命题分析预测1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.两条直线的位置关系该讲知识是平面解析几何部分的基础，命题热点为两点间与点到直线的距离公式的应用，判断两直线的位置关系及求解有关对称问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等偏易.交点与距离问题2021新高考卷ⅠT11；2021新高考卷ⅡT3；2020全国卷ⅡT5；2020全国卷ⅢT8对称问题2022新高考卷ⅡT15学生用书P1721.两条直线的位置关系记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.2.两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点坐标与方程组1＋1＋1=0，2＋2＋2=0的解一一对应.3.三种距离公式距离类型公式将直线方程化为一般式；（2）求两平行线间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等.1.下列说法正确的是（A ）A.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线不一定相交B.点P （x 0，y 0）到直线y ＝kx ＋bC.当直线l 1和直线l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2D.若两条直线垂直，则他们的斜率之积一定等于－12.设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0，则l 1与l 2的位置关系是（B）A.平行 B.相交C.重合D.不确定解析假设l 1与l 2平行或重合，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得12＋2＝0，与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交.故选B.3.已知直线l 1：3x －y －1＝0，l 2：x ＋2y －5＝0，l 3：x －ay －3＝0不能围成三角形，则实数a 的取值不可能为（A ）A.1B.13C.－2D.－1解析由题意可得，若三条直线不能围成三角形，则其中有两条直线平行或三条直线经过同一点.若其中有两条直线平行，当l 1∥l 3时，可得a ＝13，当l 2∥l 3时，可得a ＝－2；若三条直线经过同一点，由3－=1，+2=5，可得直线l 1与l 2的交点为（1，2），则（1，2）在l 3上，故可得1－2a －3＝0，解得a ＝－1.综上，实数a 的值可能为13，－2，－1.故选A.4.[易错题]直线2x ＋2y ＋1＝0与x ＋y ＋2＝0之间的距离是324.解析先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离d ｜2－12｜.（注意应用公式时x ，y 的系数分别对应相等）5.[教材改编]已知点A （2，1），B （3，4），C （－2，－1），则△ABC 的面积为5.解析解法一设AB边上的高为h，则h就是点C到AB所在直线的距离.｜AB｜＝（3－2）2＋（4－1）2＝10.由两点式可得AB边所在直线的方程为－1＝－23－2，即3x－y－5＝0.点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h10，所以S△ABC＝12×｜AB｜×h＝12×10×10＝5.解法二易知B ＝（1，3），B ＝（－4，－2），所以△ABC的面积为12×｜1×（－2）－3×（－4）｜＝5.（二级结论：若B ＝（x，y），B ＝（u，v），则S△ABC＝12｜x v－yu｜）学生用书P173命题点1两条直线的位置关系例1（1）[2023四川凉山州二模]已知直线l1：mx－y＋1＝0，直线l2：4x－my＋2＝0，若l1∥l2，则m＝－2.解析因为l1∥l2，所以－2＝－4，2≠4，（注意排除直线重合情况）解得m＝－2.（2）经过点A（2，1）且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＝0.解析因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A（2，1），所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，故所求直线方程为x－2y＝0.方法技巧1.判断两条直线位置关系的注意点（1）斜率不存在的特殊情况；（2）可直接利用直线方程系数间的关系得结论.2.与直线Ax＋By＋C1＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C2＝0，与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2），过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R）（该直线系不含l2）.训练1（1）[2023南昌市模拟]直线l1：ax＋（a＋1）y－1＝0，l2：（a＋1）x－2y＋3＝0，则“a＝2”是“l1⊥l2”的（A）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若l1⊥l2，则a（a＋1）＋（a＋1）×（－2）＝0，解得a＝－1或a＝2，所以“a＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.（2）过点A（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为2x＋3y＋10＝0.解析设所求直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠5），由题意知，2×1＋3×（－4）＋c＝0，解得c＝10，故所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.命题点2交点与距离问题例2（1）[全国卷Ⅲ]点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（B）A.1B.2C.3D.2解析解法一由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d使d最大，需k＞0且k＋1最小，由基本不等式知，k＋1≥2，当且仅当k＝1时，等号成立，所以当k＝1时，d max＝2，故选B.解法二记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y ＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝2，故选B.（2）[2023合肥市期末]若直线y＝x与直线y＝1x－5的交点在直线y＝kx＋3上，则k的值为35.解析由题易得k≠1，由＝1－5，＝，得x＝y＝51－，将（51－，51－）代入y＝kx＋3，得51－＝521－＋3，得k＝35.方法技巧1.求解距离问题的策略（1）点到直线的距离问题可直接利用距离公式求解，但要注意方程必须为一般式.（2）两平行线间的距离：①利用两平行线间的距离公式求解；②将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.训练2（1）直线l过点P（1，2），且点A（2，3），B（4，－5）到l的距离相等，则直线l的方程是（C）A.4x＋y－6＝0B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0D.3x＋2y－7＝0或x＋4y－6＝0解析显然直线l的斜率存在，故设直线l：y－2＝k（x－1），即kx－y－k＋2＝0，则k－1＝3k＋7或k－1＋3k＋7＝0⇒k＝－4或k＝－32，所以l的方程为y－2＝－4（x－1），即4x＋y－6＝0或y－2＝－32（x－1），即3x＋2y－7＝0.故选C.（2）函数f（x）＝2－2+2＋2+2+2的最小值为22.解析f（x）＝2－2+2＋2+2+2＝（－1）2+1＋（+1）2+1，所以函数f（x）的几何意义为点P（x，0）与点A（1，1），点B（－1，1）的距离之和，易知点P为x轴上一动点，且当点P在原点时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值22.命题点3对称问题例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：（1）点A关于直线l的对称点A'的坐标；（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m'的方程；（3）直线l关于点A对称的直线l'的方程.解析（1）设A'（x，y×23＝－1，－12－3×－22+1=0，解得＝－3313，＝413，即A'（－3313，413）.（2）在直线m上任取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m'上.设M关于直线l的对称点为M'（a，b），3×r02+1=0，解得＝613，＝3013，即M'（613，3013）.设m与l的交点为N，则由－1，2－3+1=0，3－2－6=0得N（4，3）.又m'经过点N（4，3），所以由两点式得直线m'的方程为9x－46y＋102＝0.（3）解法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P（1，1），N（4，3），则P，N关于点A的对称点P'，N'均在直线l'上.易知P'（－3，－5），N'（－6，－7），由两点式可得l'的方程为2x－3y－9＝0.解法二设Q（x，y）为l'上任意一点，则Q（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为Q'（－2－x，－4－y），因为点Q'在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0.方法技巧对称问题的解题策略射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝－13x －23射出，则实数a 可以为（AD ）A.2B.－2C.23D.－23解析由题知，直线y ＝－3x ＋3a 2－4a －2与直线y ＝－13x －23关于直线x ＋y ＝0对称.在直线y ＝－13x －23上任意取一点A （x 0，y 0），其关于直线x ＋y ＝0对称的点为（-y 0，-x 0），则0＝－130－23，－0=30+32－4－2，整理得3a 2－4a －4＝0，解得a ＝−23或a ＝2，故选AD.（2）过点P （0，1）作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解析设l 1与l 的交点为A （a ，8－2a ），由题意知，点A 关于点P 的对称点o −，2−6)在l 2上，把点B 的坐标代入l 2的方程得－a －3（2a －6）＋10＝0，解得a ＝4.因为点A （4，0），P （0，1）在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.1.[命题点1]已知点A （－m －3，2），B （－2m －4，4），C （－m ，m ），D （3，3m ＋2），若直线AB ⊥CD ，则m 的值为1或－1.解析解法一∵A ，B 两点的纵坐标不相等，∴AB 与x 轴不平行，又AB ⊥CD ，∴CD 与x 轴不垂直，∴－m ≠3，即m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而当m ＝－1时，点C ，D 的纵坐标均为－1，则CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意.当AB 与x 轴不垂直，即m ≠－1时，k AB ＝4－2－2－4－（－－3）＝2－（r1），k CD ＝3r2－3－（－）＝2（r1）r3.∵AB ⊥CD ，∴k AB ·k CD ＝－1，即2－（r1）·2（r1）r3＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.解法二由题意可得B ·C＝0，所以（－m －1，2）·（3＋m ，2m ＋2）＝0，解得m ＝±1.2.[命题点2/2023武汉市部分学校质检]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则｜c 1－c 2｜＝（B ）A.23B.25C.2D.4解析直线x ＋2y ＋1＝0与x ＋2y ＋3＝0间的距离d 1直线3x －4y ＋c 1＝0与3x －4y ＋c 2＝0间的距离d 2＝｜1－2｜5.由菱形的性质知d 1＝d 2，所以｜1－2｜5＝255，所以｜c 1－c 2｜＝25.3.[命题点2]｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜的最小值为13.解析设点P （x ，y ），l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：3x ＋4y ＋1＝0，则点P 到l 1的距离d 1＝｜3r4－12｜5，点P 到l 2的距离d 2＝｜3r4r1｜5，则｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜＝5（d 1＋d 2），易得直线l 1∥l 2，所以当点P 位于直线l 1与l 2之间时，｜3x ＋4y －12｜＋｜3x ＋4y ＋1｜最小，最小值为直线l 1与l 2之间的距离的5倍，即d ＝|−12−1|5×5＝13.4.[命题点2，3/2024江西景德镇一中模拟]在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 的坐标为（－4，2），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x －y ＋1＝0，∠B 的角平分线所在的直线方程为2x ＋y －2＝0，则直线BC 的方程为18x －y －38＝0.解析设点B 坐标为（a ，b ），因为点A 的坐标为（－4，2），所以AB 的中点M （K42，r22），所以－42－r22＋1＝0，即a －b －4＝0.因为点B 在直线2x ＋y －2＝0上，所以2a ＋b －2＝0.由－－4=0，2＋－2=0，解得=2，＝－2，所以B （2，－2）.设点A （－4，2）关于直线2x ＋y －2＝0的对称点为A'（m ，n ），r22－2=0，2）＝－1，解得＝125，＝265，所以A'（125，265），所以直线BC的方程为y＋2＝265+2125－2·（x－2），即18x－y－38＝0.5.[命题点3]已知直线l：x－y－1＝0.若直线l上存在一点P，使P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大，则点P的坐标为(103,73)；若直线l上存在一点Q，使Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小，则点Q的坐标为(52,32).解析如图1，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，PB，PB'，=－1，1=0，解得=5，＝－1，∴点B'的坐标为（5，－1）.易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.于是直线AB'的方程为－1－1－1＝－45－4，即2x＋y－9＝0.图1联立直线l与AB'的方程，解得＝103，＝73，即点P的坐标为（103，73）.如图2，设点C关于l的对称点C'的坐标为（m，n），连接CC'，QC，QC'，QA，1=－1，2－1=0，解得=1，=2，图2∴点C'的坐标为（1，2），∴直线AC'的方程为－12－1＝－41－4，即x＋3y－7＝0.易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜≥｜AC'｜，当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.联立直线AC'与l的方程，解得＝52，＝32，即点Q的坐标为（52，32）.学生用书·练习帮P3491.[2024山东鄄城第一中学校考]若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－12x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（A）A.（－52，12）B.（－2，12）C.[－52，－12]D.[－25，12]解析将两直线方程联立得＝+2+1，＝－12+2，得＝2－43，＝2r53，即交点坐标为（2－43，2r53）.2－43>0，2r530，解得－52＜k＜12.故选A.2.[2024天津耀华中学校考]已知A（－2，4），B（－4，6）两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为（A）A.1或2B.3或4C.3D.4解析由题意得2+1＝2+1，整理得｜2a－5｜＝｜4a－7｜，则2a－5＝±(4−7)，解得a＝1或a＝2.故选A.3.已知直线l1：x sinα＋y－1＝0，直线l2：x－3y cosα＋1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（A）A.35B.－35C.23D.－23解析因为l1⊥l2，所以sinα－3cosα＝0，所以tanα＝3，所以sin2α＝2sinαcosα＝2sinBossin2＋cos2＝2tG1+tan2＝35.故选A.4.[2024河北衡水模拟]已知点（a，b）在线段3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）上，则2+ 2−2的取值范围是（B）A.[2，18]B.[2，38]C.[0，38]D.[0，210－2]解析画出3x＋4y－10＝0（－2≤x≤6）的图象如图.（a，b）是图中线段上任意一点，a2＋b2表示原点到点（a，b）的距离的平方，易知图中线段的端点分别为（－2，4），（6，－2），到原点距离的平方分别为20，40，由原点到线段的距离d＝|−10|32＋42＝2，可得2＝4，综上，a2＋b2∈[4，40]，故a2＋b2－2∈[2，38].故选B.5.已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若使｜PA｜＋｜PB｜取得最小值，则P点的坐标是（C）A.（1，－1）B.（－1，1）C.（135，－135）D.（－2，2）解析点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线A'B与直线x＋y ＝0的交点即为所求的点，直线A'B的方程为r3－2+3＝－15－1，即y＝14x－134，与x＋y＝0联立，解得＝135，＝－135.即点P坐标为（135，－135）时，｜PA｜＋｜PB｜取得最小值.6.m是实数，直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，O为坐标原点，则｜OQ｜的最大值是（B）A.2B.22C.23D.4解析解法一由－B－2=0，B＋+2=0，得＝2－22+1，＝－2r22+1，即点Q（2－22+1，－2r22+1）.因为m是实数，O为坐标原点，所以｜OQ−==当m＝0时，｜OQ｜max＝22，所以｜OQ｜的最大值是22.解法二易知直线l1恒过定点A（2，0），直线l2恒过定点B（0，－2），且l1⊥l2.连接AB，数形结合（如图所示）可知，点O，Q均在以AB为直径的圆上，故可得｜OQ｜max＝｜AB｜＝22.7.[多选/2023青岛检测]已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：（m＋2）x－（m＋1）y＋2m＋5＝0（m∈R），则（ACD）A.直线l2过定点（－3，－1）B.当m＝1时，l1⊥l2C.当m＝2时，l1∥l2D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1解析对于A，解法一直线l2的方程可化为2x－y＋5＋m（x－y＋2）＝0，由2－+5=0，－+2=0，解得＝－3，＝－1，即直线l2过定点（－3，－1），故A正确.解法二在直线l2的方程中分别令m＝－1与m＝－2，得x＋3＝0，y＋1＝0，即x＝－3，y＝－1，所以直线l2过定点（－3，－1），故A正确.对于B，若l1⊥l2，则有4（m＋2）＋（－3）·[－（m＋1）]＝0，解得m＝－117，故B不正确.对于C ，若l 1∥l 2，则有4·[－（m ＋1）]－（－3）·（m ＋2）＝0，解得m ＝2，当m ＝2时，l 1与l 2不重合，故C 正确.对于D ，当l 1∥l 2时，由对选项C 的分析可得此时直线l 2的方程为4x －3y ＋9＝0，则l 1，l 21，故D 正确.故选ACD.8.[2024安徽合肥联考]过直线2x －y ＋4＝0与3x －2y ＋9＝0的交点，且垂直于直线−2+1＝0的直线方程是2x ＋y －8＝0.解析由3－2+9=0，2－+4=0，解得=1，=6，即交点坐标为（1，6）.因为所求直线与直线x －2y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－112＝－2，所以所求的直线方程是y －6＝－2（x －1），即2x ＋y －8＝0.9.已知△ABC 的一个顶点A （4，－1），两条角平分线所在直线的方程分别为1:－－1=0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为2x －y ＋3＝0.解析由题知，A （4，－1）不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是角B ，角C 的角平分线所在直线.设点A 关于直线l 1的对称点为A 1（x 1，y 1），关于直线l 2的对称点为A 2（x 2，y 2），则A 1，A 2均在边BC 所在的直线上.×1=－1，21－12－1=0，得1=0，1=3，所以1(0,3).因为l 2：x ＝1，所以易得y 2＝－1，由2+42＝1，得x 2＝－2，所以A 2（－2，－1）.所以BC 边所在直线的方程为－3－1－3＝－0－2－0，即2x －y ＋3＝0.10.过点A （0，73），B （7，0）的直线l 1与过点（2，1），（3，k ＋1）的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k ＝（B ）A.－3B.3C.－6D.6解析若l 1和l 2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则l 1⊥l 2.（圆内接四边形的对角互补）易知直线l 1的斜率1=73−7=−13，直线l 2的斜率k 2＝r1－13－2＝k ，由k 1k 2＝－1，得k ＝3.11.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线x －my －2＝0的距离.当θ，m 变化时，d 的最大值为（C）A.1 B.2C.3D.4解析解法一由题意可得dcos φsin φ＝∵－1≤sin（θ－φ）≤1，d1∴当m＝0时，d取得最大值3，故选C.解法二易知点P（cosθ，sinθ）在单位圆x2＋y2＝1上，直线－B－2＝0恒过定点A（2，0）.如图所示，作OB垂直该直线，垂足为B，则由图可知d≤｜OB｜＋r≤｜OA｜＋r＝2＋1＝3（其中r是单位圆的半径），所以d max＝3，此时A，B重合，直线方程为x＝2.12.[多选/2024山西吕梁统考]已知点A（－2，1），B（1，1），且点P在直线G++ 3=0上，则（ACD）A.存在点P，使得｜PA｜＝2B.存在点P，使得PA⊥PBC.存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜D.｜PA｜＋｜PB｜的最小值为29解析设P（a，－a－3）.对于A，若｜PA｜＝2，则(r2)2＋(－－3－1)2＝2，即2+ 6+8=0，解得a＝－2或a＝－4，故存在点P，使得｜PA｜＝2，A正确.对于B，当a＝－2时，直线PA的斜率不存在，又k PB＝23≠0，此时PA与PB不垂直；当=1时，直线PB的斜率不存在，又k PA＝－53≠0，此时PA与PB不垂直；当a≠－2且a≠1时，k PA＝－－4r2，k PB＝－－4－1，若PA⊥PB，则k PA k PB＝－－4r2·－－4－1＝－1，即2a2＋9a＋14＝0，Δ＝92－4×2×14＝－31＜0，方程无解，故不存在点P，使得PA⊥PB，B错误.对于C，若2｜PA｜＝｜PB｜，则2（+2）2＋（－－3－1）2＝（－1）2＋（－－3－1）2，即2a2＋14a＋21＝0，Δ＝142－4×2×21＝28＞0，方程有解，故存在点P，使得2｜PA｜＝｜PB｜，C正确.对于D，设A（－2，1）关于直线l的对称点为A'（a，b1，1+2+3=0，解得＝－4，＝－1，所以A'（－4，－1），所以｜PA｜＋｜PB｜＝｜PA'｜＋｜PB｜≥｜A'B｜＝（－4－1）2＋（－1－1）2＝29，当且仅当A'，P，B三点共线时取等号，故D正确.故选ACD.13.已知点A（5，0），B（0，4），动点P，Q分别在直线y＝x＋2和y＝x上，且PQ与两直线垂直，则｜AQ｜＋｜QP｜＋｜PB解析设Q（x0，x0），因为直线PQ与两直线垂直，所以｜PQ｜＝2，则P（x0－1，x0＋1），故｜AQ｜＋｜BP｜＝(0－5)2＋02＋(0−1)2＋(0－3)2，此式可理解为点o0，0)到A（5，0）及C（1，3）的距离之和，其最小值为｜AC｜＝5.故B+B+ |B|的最小值为5＋2.14.[新定义题]定义点P（x0，y0）到直线l：ax＋by＋c＝0（a2＋b2≠0）的有向距离为d＝已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是真命题的是（D）A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交解析设P1（x1，y1），P2（x2，y2），若d1＝d2＝0，满足d1－d2＝0，d1＋d2＝0，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，直线P1P2与直线l重合，A，B，C错误；对于D，若d1d2＜0，即（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c）＜0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧，所以直线P1P2与直线l相交，D正确.。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲三直线的参数方程
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
x＝3＋ 22t，
解：设直线的参数方程为
y＝4＋
2 2t
(t 为参数)，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得 3(3＋ 22t)＋ 24＋ 22t＝6，解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
[迁移探究] (变换条件，改变问法)过抛物线 y2＝4x
的焦点 F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于 A，B 两点，求这两点之间的距离．
4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线 l 的参数方程是________________．
x＝2＋tcos56π，
解析：直线
l
的参数方程为 y＝－4＋tsin
5 (t 6π
为参
x＝2－ 23t， 数)，即y＝－4＋12t (t 为参数)．
x＝2－ 23t，
答案： y＝－4＋12t
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 y＝2x＋1 的参数方程是xy＝＝2t－t－11，(t 为参 数)．( )
x＝－1＋2t ，
(2)直线的参数方程为 y＝2＋
23t
(t 为参数)，M0(－
1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意
第2讲直线绘制
第2讲直线绘制本讲要点：直线的绘制方式工具点的拾取矩形的绘制多边形的绘制2.1 直线【功能】直线是图形构成的基本要素。
直线功能提供了两点线、平行线、角度线、切线 /法线、角等分线和水平 /铅垂线六种方式。
1、单击主菜单“造型”，指向“曲线生成”，单击“直线”，或者单击按钮。
2、在立即菜单中选取画线方式，根据状态栏提示，完成操作。
2.1.1 两点线【功能】两点线就是在屏幕上按给定两点画一条直线段或按给定的连续条件画连续的直线段。
图2- 1两点线示例图1、单击直线按钮，在立即菜单中选择两点线。
2、按状态栏提示，给出第一点和第二点，两点线生成。
【参数】连续：是指每段直线段相互连接，前一段直线段的终点为下一段直线段的起点。
单个：是指每次绘制的直线段相互独立，互不相关。
非正交：可以画任意方向的直线，包括正交的直线。
正交：是指所画直线与坐标轴平行。
点方式：指定两点来画出正交直线。
长度方式：按指定长度和点来画出正交直线。
2.1.2 平行线【功能】平行线：按给定距离或通过给定的已知点绘制与已知线段平行、且长度相等的平行线段。
过点方式等距方式图 2-2 平行线示例图1、单击按钮，在立即菜单中选择平行线，距离或点方式。
2、若为距离方式，输入距离值和条数。
按状态栏提示拾取直线，给出等距方向，平行线生成。
3、若为点方式，按状态栏提示拾取直线，拾取点，平行线生成。
【参数】过点：是指过一点做已知直线的平行线。
距离：是指按照固定的距离做已知直线的平行线。
条数：可以同时做出的多条平行线的数目。
2.1.3 角度线【功能】角度线：生成与坐标轴或一条直线成一定夹角的直线。
图 2-3 角度线示例图1、单击按钮，在立即菜单中选择角度线，直线夹角或X轴夹角或 Y 轴夹角，输入角度值。
2、若为直线夹角，拾取直线，给出第一点，给出第二点或长度，角度线生成。
3、若为 X或Y 轴夹角，给出第一点，给出第二点或长度，角度线生成。
【参数】夹角类型包括与 X轴夹角、与 Y轴夹角和与直线夹角。
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
直线的方程第2讲教师版
知识点4.已知两点()),(,,222111y x P y x P ，则两点间距离公式：()()21221221y y x x P P -+-=中点坐标公式⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x1. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是(6,7)-．2.已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．分析：由中点公式可求出BC 中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出AM 的长和AM 所在的直线方程．【解】如图，设点(,)x y ．∵点M 是线段BC 的中点，∴241,2x -+==1732y -+==，即M 的坐标为(1,3)．由两点间的距离公式得AM ==因此，BC 边上的中线AM 的长为 由两点式得中线AM 所在的直线方程为315311y x --=---，即40x y +-=．3．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求AP 的最小值． 解:设P 点坐标为(,)P x y ,∵P 在直线70x y --=上，∴7y x =-，22222(2)(4)212202(3)2AP x x x x x =-+-=-+=-+，∴AP ．练.已知(1,2),(3,4A B，直线1l ：20,:0x l y == 和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 .解析：设P 1（0，y ）,则P 1A 2+P 1B 2=（0-1）2+（y-2）2+(0-3)2+(y-4)2=2(y-3)2+12，于是当y=3时P 1与A 、B两点距离平方和最小，故P 1（0，3）。
同理，设P 2（x ，0）,则P 1A 2+P 1B 2=（x-1）2+（0-2）2+(x-3)2+(0-4)2 =2(x-2)2+22，于是当x=2时P 2与A 、B 两点距离平方和最小，故P 2（2，0）。
高中数学课件-第2讲 两条直线的位置关系
点 (x，y)
关于点、线 (a，b) x＝a y＝x x＋y＝k x－y＝k
对称点 (2a－x，2b－y)
(2a－x，y) (y，x)
(k－y，k－x) (k＋y，x－k)
9
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
夯基诊断
1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)点 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离为|kx10＋＋kb2|.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( √ ) (4) 直 线 外 一 点 与 直 线 上 一 点 的 距 离 的 最 小 值 就 是 点 到 直 线 的 距 离.( √ )
因为 l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得 d＝|－8－2（2＋－3120）| ＝2 1313.
答案：2
13 13
02
突破核心命题
14
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考 点 一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)(2024·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1 ＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的( C )
(2)已知直线l过点(0，3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是 ________.
由题意，设直线l的方程为x－y＋a＝0， 又过点(0，3)，则0－3＋a＝0，得a＝3， 故直线l的方程为x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0
12
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
(3)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为 ________.
机械工程制图教程第一章第二讲 工程
机械工程制图教程第一章第二讲工程第一章制图的根本知识（1）正六边形由于正六边形的对角线长度就是其外接圆直径，因此作图时可以利用其外接圆作为辅助线绘制。
具体作图见图1—25所示。
正五边形作图方法见图1—26所示。
1）等分半径OB，得中点M。
2）以M为圆心，MC为半径画弧交AO于N。
3）以为弦长依次截取圆周，得正五边形。
用一个半径的圆弧光滑地连接相邻两线段（直线和圆弧）的作图方法，称圆弧连接。
（1）圆弧连接的作图原理圆弧连接在机件的轮廓上经常出现，作图时，应首先求出连接圆弧的圆心和切点，表1—5所列说明了圆弧连接的作图原理。
（1）斜度斜度是指一直线（或平面）对另一直线（或平面）的倾斜程度。
其标注形式见图1—27所示。
锥度是指正圆锥的底圆直径与圆锥高之比。
其标注形式见图1—28所示。
（1）用同心圆法画椭圆的作图步骤见图1—29。
（1）定形尺寸确定平面图形中几何要素形状大小的尺寸，称为定形尺寸。
例如：线段的长度、角度的大小，圆弧的半径。
圆的直径等都是定形尺寸，如图1—31中R10、Φ20、R15、R12、15、Φ5等。
确定平面图形中几何要素相对位置关系的尺寸，称为定位尺寸。
如图1—31中的8、75。
标注定位尺寸时，首先应确定标注尺寸的起点，这个起点即为尺寸基准，平面图形的长度和高度方向都至少应该确定一个基准。
定位尺寸一般选择对称线、中心线、图形的边界线等作为尺寸基准，如图1—31中的A和B。
2．平面图形的线段分析平面图形中的线段（直线或圆弧），根据定位尺寸的完整与否，可分为三类（由于直线连接作图比拟简单，这里只介绍与圆弧连接有关的作图问题）：（1）圆弧具有定形尺寸（半径）和圆心两个定位尺寸的圆弧，称为圆弧。
（2）中间圆弧具有定形尺寸（半径）和圆心一个定位尺寸的圆弧，称为中间圆弧。
（3）连接圆弧具有定形尺寸（半径）而缺少圆心定位尺寸的圆弧，称为连接圆弧。
3．平面图形的绘图方法和步骤（1）准备工作1）对平面图形进行尺寸和线段分析；2）确定绘图比例，选用图幅，固定图纸；）画出边框线、标题栏等。
第2讲AutoCAD常用绘图命令及点坐标指定方法
绘图实例讲解
机电工程系
本次课作业
机电工程系
本次课主要内容
➢ 设置绘图单位及绘图图限； ➢ 常用绘图命令介绍； ➢ 点坐标的栅格捕捉指定方法； ➢ 点坐标的对象特征点捕捉指定方法； ➢ 点坐标的对象追踪指定方法； ➢ 点坐标的极轴追踪指定方法； ➢ 点坐标的直线长度指定方法； ➢ 绘制简单图形。
系统捕捉法：可同时设置多个特征点捕捉为 当前系统的自动捕捉点。
机电工程系
常用的对象特征点
机电工程系
6.点坐标的对象追踪指定方法
• 显示已获得的对象捕捉点的正交（水平/垂 直）对象捕捉追踪路径。通常仅用于正交 追踪模式；
机电工程系
7.点坐标的极轴追踪指定方法
• 将捕捉类型设置为“极轴捕捉”。 如果打开了 “捕捉”模式并在极轴追踪打开的情况下指定点， 光标将沿在“极轴追踪”选项卡上相对于极轴追 踪起点设置的极轴对齐角度进行捕捉。
设置测量单位的当前类型。该 值包括“建筑”、“小数”、“工 程”、“分数”和“科学”
设置当前角度格式
设置线性测量值显示的小数 位数或分数大小
控制插入到当前图形中的块 和图形的测量单位
机电工程系
设置当前角度显示的精度
以顺时针方向计算正的角 度值。默认的正角度方向 是逆时针方向
单击该按钮将打开“方向 控制”对话框，可以设置 起始角度(0°)的方向
第2讲 常用绘图命令及点坐标指定方法
1. 上讲要点回顾； 2. 设置绘图单位及绘图图限； 3. 常用绘图命令介绍； 4. 点坐标的栅格捕捉指定方法； 5. 点坐标的对象特征点捕捉指定方法； 6. 点坐标的对象追踪指定方法； 7. 点坐标的极轴追踪指定方法； 8. 点坐标的直线长度指定方法； 9. 本讲课后作业。
CAD2018课件
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淘课家园 AutoCAD 2018 高端精品课 作者：万老师 第一阶段：CAD基础入门篇
第3讲：斜线画法、角度算法、快速标注技法应用
●知识点 1、画斜线公式：@长度<角度 2、矩形：REC 3、旋转：RO 4、偏移：O 5、移动：M 6、修剪：TR回车二次，对准不要的对象直接点
6、shift+6(转化符号）
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淘课家园 AutoCAD 2018 高端精品课 作者：万老师
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第三阶段：CAD精通实战篇
第46讲：打印 命令：CTRL+P 模型空间出图：需要先设页面，然再进入打印设置 打印比例：首先打印比例不是绘图比例。最终打印显示在图纸的与实物之间比例
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第二阶段：CAD绘画进阶篇
第36讲：图案填充应用 命令：H 笔记 1、比例用于修改填充间距 2、角度用于修改填充图形角度；角度是以45度为基础，也就是正常45度为零 度 3、机械、家具，局部，节点，立面，剖面主要用于表达内部结构。 4、建筑、室内、家具等图纸填充图案一般代表材料。
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第2讲-直线的参数方程
【提示】 过定点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参
x＝x ＋tcos α， 0 数方程为 y＝y0＋tsin α，
(t 为参数)， 其中 t 表示直线 l 上以
M(x，y)为终点的有向线段 M 0 M 的
当 堂 双 基 达 标
定点 M0 为起点，任意一点
课 时 作 业
个关于 t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．
菜 单
新课标 ·数学 选修4-4
x＝1＋2t， 将参数方程 y＝2＋t
【自主解答】
课 前 自 主 导 学
(t 为参数)转化
当 堂 双 基 达 标
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
2 2
课 前 自 主 导 学
2 2 ＋( t) ＝5， 2 即 t2－3 2t＋4＝0， 由于 Δ＝(3 2)2－4×4＝2＞0. 故可设 t1，t2 是(*)式的两个实根． (*)
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
∴t1＋t2＝3 2，且 t1t2＝4. ∴t1>0，t2>0. 又直线 l 过点 P(3， 5)， ∴由 t 的几何意义，得|PA |＋ |PB |＝|t1 |＋ |t2 |＝3 2.
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
三
直线的参数方程
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
1.掌握直线的参数方程及参数的 课标 几何意义． 解读 2.能用直线的参数方程解决简单 问题.
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
直线的参数方程 π 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α(α≠ )的直线 l 的参数方 2
第02讲 直线的点斜式、斜截式方程(三大题型归纳+分层练)(学生版)
第02讲直线的点斜式、斜截式方程一、直线的点斜式方程我们把方程________________称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的________________．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0.二、直线的斜截式方程1．直线l与y轴的交点(0，b)的____________称为直线l在y轴上的截距．2．方程____________叫作直线的斜截式方程．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.(3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程．题型01直线的点斜式方程【解题策略】求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)．(2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外【典例分析】【例1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（ ）A ．7y x =-+B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()52y x -=--【变式演练】【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（ ）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知()3,4A ，()1,0B -，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是 ．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点()2,3A -，斜率为3；(2)经过点()3,0B ，倾斜角是π6； (3)经过点()4,2C --，倾斜角是2π3． 题型02 直线的斜截式方程【解题策略】 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．【典例分析】【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）与直线2y x =-+垂直，且在x 轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =-+D ．4y x =-+【变式演练】【变式1】（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点()2,3A ，且倾斜角为π4的直线的斜截式方程为（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =- C ．=1y x -- D ．1y x =-+【变式2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是3-的直线的斜截式方程为 .【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的斜率为2-，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的斜截式方程．题型03 点斜式直线方程的应用【解题策略】 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的直线必过定点(x 0，y 0)．(2)在求面积时，要将截距转化为距离．【典例分析】【例3】（23-24高二上·广东东莞·期中）直线l 经过点()1,1A -，在x 轴上的截距的取值范围是()2,1-，则其斜率的取值范围为（ ）A ．()1,+∞B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭ 【变式演练】【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线l 经过坐标原点O 和点()4,A y ，则y 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．4- D ．5-【变式2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段AB 的端点()1,3A -，()5,2B ，直线l ：230kx y k ---=与线段AB 相交，则k 的取值范围是 ．【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l 的方程是31y x =+.(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)求过点(3,1)-且与直线l 平行的直线的方程.【夯实基础】一、单选题1．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；①倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；①方程12y k x +=-与方程1(2)y k x +=-可表示同一直线；①直线l 过点()00,P x y ，倾斜角为90︒，则其方程为0x x =．其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①2．（21-22高二上·四川南充·开学考试）与直线210x y --=垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（ ）A ．142y x =-+B ．142y x =-+或142y x =--C ．142y x =+D ．142y x =+或1y x 42=-3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点(2,3)P ，且倾斜角为90︒的直线方程为（ ） A ．2x = B ．3x = C ．2y = D ．3y =4．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（ ） A ．1y x =- B ．1y x =+ C ．3y x =-+ D ．=1y x --二、多选题5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l ：31y x =-，则（ ）A ．直线l 过点)3,2-B ．直线l 3C ．直线l 的倾斜角为60D ．直线l 在y 轴上的截距为16．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l 的倾斜角为45，且过点(1,2)，则在直线上的点是（ ） A ．(0,1) B ．(2,1)--C ．(3,3)D ．(3,2)三、填空题7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点()1,4，斜率为3的直线方程为 ． 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是 . 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是 .四、解答题10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形OABC 中，点()()1,3,3,0C A ．(1)求AB 所在直线方程；(2)过点C 作CD AB ⊥于点D ，求CD 所在直线的方程．。
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第2讲直线绘制
本讲要点：直线的绘制方式
工具点的拾取
矩形的绘制
多边形的绘制
2.1直线
【功能】
直线是图形构成的基本要素。
直线功能提供了两点线、平行线、角度线、切线/法线、角等分线和水平/铅垂线六种方式。
1、单击主菜单“造型”，指向“曲线生成”，单击“直线”，或者单击按钮。
2、在立即菜单中选取画线方式，根据状态栏提示，完成操作。
2.1.1两点线
【功能】
两点线就是在屏幕上按给定两点画一条直线段或按给定的连续条件画连续的直线段。
图2-1两点线示例图
1、单击直线按钮，在立即菜单中选择两点线。
2、按状态栏提示，给出第一点和第二点，两点线生成。
【参数】
连续：是指每段直线段相互连接，前一段直线段的终点为下一段直线段的起点。
单个：是指每次绘制的直线段相互独立，互不相关。
非正交：可以画任意方向的直线，包括正交的直线。
正交：是指所画直线与坐标轴平行。
点方式：指定两点来画出正交直线。
长度方式：按指定长度和点来画出正交直线。
2.1.2平行线
【功能】
平行线：按给定距离或通过给定的已知点绘制与已知线段平行、且长度相等的平行线段。
过点方式等距方式
图2-2平行线示例图
1、单击按钮，在立即菜单中选择平行线，距离或点方式。
2、若为距离方式，输入距离值和条数。
按状态栏提示拾取直线，给出等距方向，平行线生成。
3、若为点方式，按状态栏提示拾取直线，拾取点，平行线生成。
【参数】
过点：是指过一点做已知直线的平行线。
距离：是指按照固定的距离做已知直线的平行线。
条数：可以同时做出的多条平行线的数目。
2.1.3角度线
【功能】
角度线：生成与坐标轴或一条直线成一定夹角的直线。
图2-3角度线示例图
1、单击按钮，在立即菜单中选择角度线，直线夹角或X轴夹角或Y轴夹角，输入角度值。
2、若为直线夹角，拾取直线，给出第一点，给出第二点或长度，角度线生成。
3、若为X或Y轴夹角，给出第一点，给出第二点或长度，角度线生成。
【参数】
夹角类型包括与X轴夹角、与Y轴夹角和与直线夹角。
与X轴夹角：所做直线从起点与X轴正方向之间的夹角。
与Y轴夹角：所做直线从起点与Y轴正方向之间的夹角。
与直线夹角：所做直线从起点与已知之间的夹角。
2.1.4切线/法线
【功能】
切线/法线：过给定点作已知曲线的切线或法线。
图2-4切线/法线示例图
1、单击按钮，在立即菜单中选择切线/法线，选择切线或法线，给出长度值。
2、拾取直线，输入直线中点，切线（法线）生成。
2.1.5角等分线
【功能】
角等分线：按给定等分份数、给定长度画条直线段将一个角等分。
图2-5角度分线示例图
1、单击按钮，在立即菜单中选择角等分线，输入份数和长度值。
2、拾取第一条曲线和第二条曲线，角等分线生成。
2.1.6水平/铅垂线
【功能】
水平/铅垂线：生成平行或垂直于当前平面坐标轴的给定长度的直线。
图2-6水平/铅锤线示例图
1、单击按钮，在立即菜单中选择水平/铅垂线，选择水平（铅垂或水平+铅垂线）。
2、输入直线中点，直线生成。
【举例】
例1：利用两点线绘制圆的公切线。
充分利用工具点菜单，可以绘制出多种特殊的直线，这里以利用工具点中的切点绘制出圆和圆弧的切线为例，介绍工具点菜单的使用。
1、单击直线按钮，系统提示“输入第一点”。
2、按空格键弹出工具点菜单，单击“切点”项。
3、然后按提示拾取第一个圆，拾取的位置如图2-7所示“1”所指的位置。
4、在输入第二点时，方法同第一点的拾取方法一样，拾取第二个圆的位置如图中“2”所指的位置，作图结果如右图所示。
操作前操作后
图2-7两圆公切线示例图
这里需要注意的是，在拾取圆时，拾取位置的不同，则切线绘制的位置也不同。
如图9-8，若第二点选在“3”所指位置处，则作出的为两圆的内公切线。
操作前操作后
图2-8两圆公切线示例图
【注意】
点的输入有两种方式：按空格键拾取工具点和按回车键直接输入坐标值。
2.2点
【功能】
在屏幕指定位置处画一个孤立点，或在曲线上画等分点。
（1）单击“造型”，指向“曲线生成”，单击“点”，或者直接单击按钮。
（2）选取画点方式，根据提示，完成操作。
1、单个点
【功能】
生成单个点。
单个点：包括工具点、曲线投影交点、曲面上投影点和曲线曲面交点等。
（1）单击
按钮，选择单个点及其方式。
（2）按状态栏提示操作，生成点。
图2-9 单个点的选择
【参数】
工具点：利用点工具菜单生成单个点。
此时不能利用切点和垂足点生成单个点。
曲线投影交点：对于两条不相交的空间曲线，如果它们在当前平面的投影有交点，则在先拾
取的直线上生成该投影交点。
曲面上投影点：对于一个给定位置的点，通过矢量工具菜单给定一个投影方向，可以在一张
曲面上得到一个投影点。
曲线曲面交点：可以求一条曲线和一张曲面的交点。
2、批量点
【功能】
生成多个点。
批量点：包括等分点、等距点和等角度点等。
图 2-10 批量点的选择
（1）单击
按钮，选择批量点及其方式。
输入数值。
（2）按状态栏提示操作，生成点。
【参数】
等分点：生成曲线上按照指定段数等分点。
等距点：生成曲线上间隔为给定弧长距离的点。
等角度点：生成圆弧上等圆心角间隔的点。
【举例】
例 1．将一条直线三等分。
（1）单击
按钮，在立即菜单中选择“批量点”、“等分点”输入段数 3。
（2）按状态栏提示拾取曲线，按右键确认，生成两个点。
（3）单击“曲线打断”图标，按状态栏提示拾取直线，拾取 1 点。
这时如果再拾取直线，则
可以看到，原来的直线已在 1 点处被打断成两条线段，
（4）用同样的方法可以将剩余的直线在 2 点处打断，原来的直线已被等分为三条互不相关的线段。
用同样的方法，也可以将其它曲线（如圆、圆弧）等分。
图 2-11 等分点示例图
2.3矩形
【功能】
矩形是图形构成的基本要素，为了适应各种情况下矩形的绘制，制造工程师提供了两点矩形和中心_长_宽等两种方式。
（1）单击“造型”，指向“曲线生成”，单击“矩形”，或者直接单击按钮。
（2）选取画矩形方式，根据状态栏提示，完成操作。
1、两点矩形
【功能】
两点矩形：给定对角线上两点绘制矩形。
（1）单击按钮，在立即菜单中选择两点矩形方式。
（2）给出起点和终点，矩形生成。
2、中心_长_宽
【功能】
中心_长_宽：给定长度和宽度尺寸值来绘制矩形。
（1）单击按钮，在立即菜单中选择中心_长_宽方式，输入长度和宽度值。
（2）给出矩形中心，矩形生成。
2-12中心-长-宽绘制矩形
2.4多边形
【功能】
在给定点处绘制一个给定半径、给定边数的正多边形。
其定位方式由菜单及操作提示给出。
（1）、单击“造型”，指向“曲线生成”，单击“多边形”，或者直接单击
按钮。
（2）、在立即菜单中选择方式和参数，按状态栏提示操作即可。
1.边
【功能】
边：根据输入边数绘制正多边形
（1）、单击按钮，在立即菜单中选择边，输入边数。
（2）、输入边的起点和终点，正多边形生成。
图2-13边的选择
2.中心
【功能】
中心：以输入点为中心，绘制内切或外接多边形。
（1）、单击按钮，在立即菜单中选择中心，内接或外接，输入边数。
（2）、输入中心和边终点，正多边形生成。
图2-14正多边形的生成
【举例】
在图2-15中，左图是采用中心方式绘制的正六边形，右图是采用边方式绘制的正六边形，定位点如图所示。
图2-15正多边形示例图。