高考二轮数学人教版课件：第3部分 第2讲 分类讨论思想
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第三部分 思想篇•素养升华
高考二轮总复习 • 数学
应用二 由图形位置或形状引起的分类与整合
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典例2 (1)(2020·启东中学月考)已知正三棱柱的侧面展开图
是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为
(D )
A．8
3 3
B．4 3
C．2
3 9
D．4
3或8
3 3
(2)(2020·广州质检)抛物线 y2＝4px(p＞0)的焦点为 F，P 为其上的一
第三部分 思想篇•素养升华
高考二轮总复习 • 数学
应用三 由变量或参数引起的分类与整合
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典例3 (2020·南昌模拟)设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，求实数m的 取值范围．
第三部分 思想篇•素养升华
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(2)由题意得 q2＝aa31＋＋aa64＋＋aa97＝9，q＝±3， ①当 q＝3 时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6， S9＝2＋6＋18＝26； ②当 q＝－3 时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6， S9＝2－6＋18＝14，所以 S9＝14 或 26．
则 f(x)max＞m－1．
即－ln m＞m－1，ln m＋m－1＜0 成立，
令 g(x)＝x＋ln x－1(x＞0)，
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因为 g′(x)＝1＋1x＞0， 所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且 g(1)＝0， 所以 0＜m＜1． 所以实数 m 的取值范围是(0,1)．
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【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－2mx＝－2mxx2－1， 当 m≤0 时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 m＞0 时，令 f′(x)＞0，
则 0＜x＜ mm，令 f′(x)＜0，则 x＞ mm，
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(2)当|PO|＝|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置 有两个；当|OP|＝|OF|时，点 P 的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形， 点 P 不存在．事实上，F(p,0)，若设 P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝ x－p2＋y2， 若 x－p2＋y2＝p，
所以
f(x)在0，
mm上单调递增，在
mm，＋∞上单调递减．
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(2)由(1)知，当
f(x)有极值时，m＞0，且
f(x)在0，
mm上单调递增，
在
mm，＋∞上单调递减．
所以
f(x)max＝f
mm＝2ln
mm－m·m1 ＋1＝－ln
m，
若存在 x0，使得 f(x0)＞m－1 成立，
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几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解． (3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
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应用一 由概念、性质、运算引起的分类与整合
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典例1
(1)(2020·江 西 师 范 附 属 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
－2x－lo2－g213，－xx≥，2 x<2 若 f(2－a)＝1，则 f(a)等于
(A )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(2)(2019·阜阳模拟)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18， 则{an}的前 9 项和 S9＝__1_4_或__2_6__.
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【解析】 (1)①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1， 解得 a＝－1， 则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得 a＝－12，舍去．所以 f(a)＝－2．故选 A．
第2讲 分类讨论思想
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分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的 思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类 的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对 象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类 的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．
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数学概念运算公式中常见的分类 (1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向 量的夹角的范围等引起分类讨论． (2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个 数(或式)时的不等号等引起分类讨论． (3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．
点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为__4__.
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【解析】 (1)当 6 是下底面周长，4 是三棱柱的高时， 体积 V＝2× 3×21×4＝4 3； 当 4 是下底面周长，6 是三棱柱的高时， 体积 V＝43×233×12×6＝833.
则有 x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0， 解得 x＝0 或 x＝－2p，当 x＝0 时，不构成三角形． 当 x＝－2p(p＞0)时，与点 P 在抛物线上矛盾． ∴符合要求的点 P 有 4 个．
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图形位置或形状的变化中常见的分类 (1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论． (2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论． (3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差 异分类讨论．
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典例2 (1)(2020·启东中学月考)已知正三棱柱的侧面展开图
是边长分别为 6 和 4 的矩形，则它的体积为
(D )
A．8
3 3
B．4 3
C．2
3 9
D．4
3或8
3 3
(2)(2020·广州质检)抛物线 y2＝4px(p＞0)的焦点为 F，P 为其上的一
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典例3 (2020·南昌模拟)设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)＞m－1成立，求实数m的 取值范围．
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(2)由题意得 q2＝aa31＋＋aa64＋＋aa97＝9，q＝±3， ①当 q＝3 时，a2＋a5＋a8＝3(a1＋a4＋a7)＝6， S9＝2＋6＋18＝26； ②当 q＝－3 时，a2＋a5＋a8＝－3(a1＋a4＋a7)＝－6， S9＝2－6＋18＝14，所以 S9＝14 或 26．
则 f(x)max＞m－1．
即－ln m＞m－1，ln m＋m－1＜0 成立，
令 g(x)＝x＋ln x－1(x＞0)，
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因为 g′(x)＝1＋1x＞0， 所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 且 g(1)＝0， 所以 0＜m＜1． 所以实数 m 的取值范围是(0,1)．
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【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－2mx＝－2mxx2－1， 当 m≤0 时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 m＞0 时，令 f′(x)＞0，
则 0＜x＜ mm，令 f′(x)＜0，则 x＞ mm，
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(2)当|PO|＝|PF|时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置 有两个；当|OP|＝|OF|时，点 P 的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形， 点 P 不存在．事实上，F(p,0)，若设 P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝ x－p2＋y2， 若 x－p2＋y2＝p，
所以
f(x)在0，
mm上单调递增，在
mm，＋∞上单调递减．
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(2)由(1)知，当
f(x)有极值时，m＞0，且
f(x)在0，
mm上单调递增，
在
mm，＋∞上单调递减．
所以
f(x)max＝f
mm＝2ln
mm－m·m1 ＋1＝－ln
m，
若存在 x0，使得 f(x0)＞m－1 成立，
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几种常见的由参数变化引起的分类与整合 (1)含有参数的不等式的求解． (2)含有参数的方程的求解． (3)对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． (4)二元二次方程表示曲线类型的判定等． (5)直线与圆锥曲线位置关系的分类．
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(1)(2020·江 西 师 范 附 属 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
－2x－lo2－g213，－xx≥，2 x<2 若 f(2－a)＝1，则 f(a)等于
(A )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(2)(2019·阜阳模拟)等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18， 则{an}的前 9 项和 S9＝__1_4_或__2_6__.
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【解析】 (1)①当 2－a≥2，即 a≤0 时，22－a－2－1＝1， 解得 a＝－1， 则 f(a)＝f(－1)＝－log2[3－(－1)]＝－2； ②当 2－a<2 即 a>0 时，－log2[3－(2－a)]＝1， 解得 a＝－12，舍去．所以 f(a)＝－2．故选 A．
第2讲 分类讨论思想
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分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的 思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类 的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对 象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类 的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．
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数学概念运算公式中常见的分类 (1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向 量的夹角的范围等引起分类讨论． (2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个 数(或式)时的不等号等引起分类讨论． (3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论．
点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为__4__.
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【解析】 (1)当 6 是下底面周长，4 是三棱柱的高时， 体积 V＝2× 3×21×4＝4 3； 当 4 是下底面周长，6 是三棱柱的高时， 体积 V＝43×233×12×6＝833.
则有 x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0， 解得 x＝0 或 x＝－2p，当 x＝0 时，不构成三角形． 当 x＝－2p(p＞0)时，与点 P 在抛物线上矛盾． ∴符合要求的点 P 有 4 个．
第三部分 思想篇•素养升华
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图形位置或形状的变化中常见的分类 (1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线分类讨论． (2)求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同分类讨论． (3)相关计算中，涉及图形问题时，常按图形的位置不同，大小差 异分类讨论．