复旦大学大学物理 1-7 第7章 刚体的转动
复旦大学物理-力学7刚体

ω
转动平面内:取转心O,参考轴x, 1. 刚体的角位置与角位移 P点:角位置 ϕ 角位移 Δϕ 2. 刚体的角速度 角加速度 O
式中:ω 0
, ϕ0
是 t =0 时刻的角速度和角位置。
说明:作定轴转动时,刚体内各点具有相同的角量, 但不同位置的质点具有不同的线量。
定轴转动定理
只考虑切向外力:
Fit
Fit = mi ai Fit = mi riα
2 r F = m r ∑ i it ∑ i i α i i
Fi mi Fir
O
当 I 增大,ω 就减小,当 I 减小,ω 就增大。 如:芭蕾舞,花样滑冰中的转动, 恒星塌缩 (R0,ω0) → (R,ω) 中子 星的形成等。
例:水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动,初角速度 ω0,一人(m2 )立在台中心,相对转台以恒定速度u沿半径 向边缘走去,计算经时间 t,台转过了多少角度。 解:人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒:
两轮沿轴向结合,结合后两轮达到的共同角速度。 解: 两轮对共同转轴的角动量守恒
I1ω1 = (I1 + I 2 )ω
2
1
I1ω1 ω= ( I1 + I 2 )
ω
例:两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ,对通过盘心垂直于盘面 转轴的转动惯量为I1 、 I2,开始1轮以ω0转动,然后两轮 正交啮合,求啮合后两轮的角速度。 解: 两轮绕不同轴转动,故对两轴分 r 别用角动量定理: ω ω0 1
例: 质点与杆的弹性碰撞。
理论力学第7章 刚体平面运动

基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢?行星齿轮机构行星轮作什么运动?第7章刚体平面运动运动过程中,刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意:平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论:刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一:x yOA SIIx Ay AϕB问题二:随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论:同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动?大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试:基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解:转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向?= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影(大小和正负号)相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解:请比较两种方法A 32如何解释这种现象?观察到了什么现象?[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点,则求解速度问题•基点法•速度投影法优点:缺点:优点:缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢?Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性:瞬时性:不共线,故速度均不为零。
大学物理学——刚体的转动PPT课件

mg
2 3
L cos
Mg
1 2
L cos
arccos(1 3v02 ) 64gL
[思考]
上式对v0值有何限制?
例5-12
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时,两者静止. 求:人在盘上沿边缘走过一周时,盘对地面转过的角度.
解:
在走动过程中,人-盘系统 L=Const.
解:
d d(at bt 3 ct 4 )
dt
dt
a 3bt 2 4ct 3
d d (a 3bt 2 4ct 3 )
dt dt
6bt 12ct 2
Note:
角速度的矢量表示法:
大小:
方向://转轴, 符合右手螺旋
r v Or
线速度:
v
r
验证:
大小:
r 方向:
4
F1
an at
F1
4
法向:
F2
mg
sin man 5mg sin
3mg sin
2
F2
2
F
F12 F22
mg 4
99 sin 2 1 (方向?)
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy)
1.力矩的功
F
Ft
d
dr r
(垂直于转轴的截面)
O
mv
①这里v是质点速度在垂直于转轴的平面内的分量值.
②L有正负,取决于转动正方向的选取.
2.刚体对固定轴的角动量
ri
mi vi
3.定轴转动的角动量定理
L miviri miri2
J
⑴微分形式:
大学物理刚体的转动教学提纲

二、刚体 转动惯量的计算
J miri2 称为刚体对转轴的转动惯量
i
对质量连续分布刚体 J r 2dm
线分布 dm dx 是质量的线密度 面分布 dm ds 是质量的面密度
体分布 dm dv 是质量的体密度
例: 一均匀细棒长 l 质量为 m
1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒 2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒
Lz Liz ?
Mz
rvoi
dLz
vdvit
?
v Li
rvoi mivvi
Li miroivi v
z
Liz
Liz Li sin miroivi sin Li
质元 mi 到转轴的垂直距离
ri roi sin
Liz mirivi vi ri
质心运动定理:
F1 mg sin man
3g sin
lv vF F1 β
mg cos
an
2
1 2
l
F2
3g
ma
sin
2
O
v F2
l
θC
m
a
l 2
3g cos
4
F1
5 2
mg
sin
F2
1 4
mgco s
θθ
mgv
F
F12
F22
1 4
mg
99sin2 1
mgh
1 2
mv
2 c
1 2
J
2
其中,vc是刚体在斜面底端时的质心速率; h
大学物理课的刚体的转动一章

二、转动定律
要揭示转动惯量的物理意义,实际上是要找到一个 类似于牛顿定律的规律——转动定律。
第一定律:一个定轴转动的刚体,当它所受的 合外力矩(对该转轴而言)等于零时,它将保 持原有的转动状态不变即原来静止的仍然静止, 原来转动的则仍保持原来的角速度转动。
第二定律:一个定轴转动的刚体,当它所受的 合外力矩(对该转轴而言)不等于零时,它将 获得角加速度,角加速度的方向与合外力矩的 方向相同;角加速度α 的量值与合外力矩M的 量值成正比,并与转动惯量I成反比 .
面分布
体分布 2 决定 I 的三要素: (1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置
例1 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒,求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
r
dr
2
dr l 2 O´
O´
l
解 设棒的线密度为 处的质量元 dm dr
3
,取一距离转轴OO´为
dI r dm r dr
dm ds 2π rdr
2 3
R
dM rdf r gdm
摩擦力矩
M - dM 0
R
mgR
2 3
由转动定律
M I
0
d dt
mgR
1 2
mR
2
d dt
3R 0 dLeabharlann 0 4gdt3R 0 t 4 g
3.4 力矩的功 转动动能定理
N
2L d d d XO r dt d dt d 3g mg sin( ) d 2L 2 3g d cos d 2L /2 3g cosd 两边积分: d 2L 0 0
大学物理—刚体的动轴转动

25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动,则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动,都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时,如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动,这种运动就叫做转动, 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动: 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动,且在相同时间内转过相同的角度。 特点: (1) 角位移,角速度和角加速度均相同;
F
(3) F1 对转轴的力矩为零,
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
(4)在转轴方向确定后,力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力
ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律,可得: O
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
10
式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量, 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量:
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式:
Lz J
麦克斯韦分布
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 m=0 、 M=0 时,有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
大学物理1-7章知识点梳理

力矩的功、转动动能、
转动动能定理、转动问题中的机械能守恒定律(守恒条件)
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理、角动量守恒定律(守恒条件)
注:角动量守恒定律是本章最重要内容!
4 角动量的两个定义式
17
精选ppt
质点的角动量: L r mv
刚体的角动量:
L I
5 关于绳中张力:
定轴转动问题中绳中张力不是处处相 等,而是分段相等
N
7 速率分布函数的定义式和物理意义
⑴ 定义式: f (v) dN Ndv
⑵ 物理意义: f ( v ) 表示速率在 v 附近“单位速
率区间”宽度内的分子数占总分子数的百分比。
8 具有某一特定速率的分子数为:
22
dNNf之间的分子数为:
NdN Nf(v)dv v2
注意摩尔质量的单位,以及气体摩尔质量的数值
2 理想气体的内能公式
19
★ 一定量理想气体的内能为
精选ppt
E i RT M i RT
2
M mol 2
说明:内能只与温度有关
★ 若温度改变,内能改变量为
E i RT M i RT
2
M mol 2
说明:内能变化只与温度变化有关
3 理想气体压强公式
M I 转动定律内容
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ,与刚体的转动惯量成反比 .
其中:M 是合外力矩,相当于平动问题中的合外力
定义式 M r F
I 是转动惯量,相当于平动问题中的质量
是角加速度,相当于平动问题中的加速度
3 转动定律的两种积分
16
精选ppt
力矩的空间累积效应
(1)确定研究对象
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料

mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
(2)拉力作功。请考虑合外力矩为0, 为什么拉力还作功呢?
W
0
Md
在定义力矩作功 时,我们认为只 有切向力作功, 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中,小 球受的拉力与位 移并不垂直,小 球的运动轨迹为 螺旋线,法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2:光滑斜面倾角为 ,顶端固定一半 径为 R ,质量为 M 的定滑轮,质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑,求:下滑的加速度 a 。
解:物体系中先以
物体 m 研究对象,
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程:
角量、线量关系式
解得:
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0,可得:
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z ω,α v r P r O θ
参考方向
角速度ω 角加速度
= lim
t 0
d t dt
= lim
t 0
d d 2 刚体 定轴 dt t dt 2
线速度和线加速度
dv d d ( r ) r ( r ) dt dt dt
一、 刚体定轴转动的转动动能
由平行轴定理:
o
c
定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转 动和随质心(绕定轴作圆周运动)的平动。
二、力矩的功
外力
内力
1. 平行于定轴的外力对质元不做功。
2. 由于刚体内两质元的相对距离不变,一对内力 做功之和为零。
设作用在质元mi上的外力
位于转动平面内。 z
合外力对刚体做的元功:
o
二、非刚体( I 可变)的角动量守恒
当 I 增大,就减小,当 I 减小,就增大。
spinning skater
Ii > If ωi<ωf
跳水运动员收缩身体,减小转动惯量,则增大旋转速 度,增加转体次数。
中间收缩,增 加转体次数
入水时展开, 减小转动速度
起跳时,平动加转动
恒星的演变、塌缩:
m1
[例] 均质细棒:m1、 l ,水平轴O,小球:m2与棒相 碰,碰前 ,碰后 ,设碰撞时间很短,棒保持竖直, 求碰后棒的角速度。 O
系统对O轴角动量守恒
注意:系统总动量一般不守恒,因为轴承处 的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时, Nx=0,系统的水平动量守恒
§7.5 刚体定轴转动的功能原理
得:
讨论: 当 l =(2/3)l时, Nx =0 ,此时F的作用点称打击中心。 l > (2/3)l 时,Nx >0 ;l < (2/3)l时, Nx <0 。 打击中心就是当给这个点施加一个冲量P后,木棒的上端 瞬时速度是0,这也就是为什么我们用棒球棍击球找一个 打击中心,这样手握的地方振动感最低,最舒服。
取惯性坐标系 ,
描述质点系转动的动力学方程:
1. 对于质点系,由于所有内力对任意参考点的力矩为 零,所以刚体所受相对于原点O 的力矩等于合外力矩。 2. 由于外力矩在垂直于转轴方向上的分量 Mxy 被轴承上 支承力的力矩所抵消,只需要考虑由外力在垂直于转轴 方向的分量产生的沿转轴方向的力矩Mz 。
设第 i 个质元 mi 受外力
, 并假定
垂直于转轴z。 z
所受相对于O点的外力矩为:
被转轴抵消 y 刚体所受的相对于转轴的合力矩: x
二、刚体定轴转动的角动量
刚体所受的相对于O 的角动量:
z
共面
x
y
对整个刚体:
称为刚体对转轴 z 的转动惯量。 为刚体相对于转轴 z 的角动量。
转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量.
2
fr
N 0
N
mR 784 N
I M , R
2
求物块下降加速度。
TR Iຫໍສະໝຸດ mg T ma约束条件:R a
m
2m a g 2m M
若M 0,a g
[例]
均质细棒: m , l ,对水平轴O:
,铅直
位置时,一水平力 F 作用于距 O为 l′ 处,计算O 轴对棒的 作用力(轴反力)。 设轴反力为 Nx,Ny。 由转动定律: 由质心运动定律: O c
刚体特点的说明
说明 1) 理想化的力学模型; 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变;
特点: 1)内力作功为零 2)刚体上任意三点(不在 一条直线上)可以确定刚体 的空间位置
刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间 相对距离保持不变的质点系。
一、刚体运动的基本形式
1. 平动 刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
切向加速度 径向加速度
v r
定轴转动与直线运动的比较:
β
v a
定轴转动
直线运动
d dt
0
d dt t
t
dx v dt dv a dt
v v0 adt
x x0 vdt
0
dt
0
t
0 dt
0
0 t
2. 转动 a. 定轴转动 刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴)作圆周运动。 如:摩天轮,门、 窗的转动等。
特点: 刚体内所有的点具有相同的角位移、角速 度和角加速度。 ——刚体上任一点作圆周运动的 规律即代表了刚体定轴转动的规律
瞬时转轴:
转轴随时间变化 —— 一般转动
定轴转动的特点:
•各质点都作圆周运动; •各质点圆周运动的平面垂直于轴线,圆心在轴线上; •各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。
转过的角度
§7.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理:
当 即
时, 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律:刚体在定轴转动中,当对转 轴的合外力矩为零时,刚体对转轴的角动量保持不变。
适用于刚体,非刚体和物体系。
一、 刚体( I 不变)的角动量守恒
若 M=0,则 I =常量,而刚体的 I 不变,故 的 大小,方向保持不变。 如:直立旋转陀螺不倒。 此时,即使撤去轴承的支撑作用, 只有o点支撑,刚体仍将作定轴 转动——定向回转仪(陀螺 仪)—— 可以作定向装置。 如:炮管和枪管里的来复线(螺旋膛线)。
三、刚体定轴转动定律
由质点系的角动量定理: 对刚体的定轴转动,有: 而且 设转动过程中I不变, 则有: 刚体定轴转动定律: 刚体在作定轴转动时,刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比,与刚体的转动惯 量成反比。 得到:
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 I 可变情形: ——刚体定轴转动的角动量定理
刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心的平行 转轴的转动惯量 Ic 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴 间距离 d 的平方。 Ic I 证明: d o c
在一系列的平行轴中, 对质心的转动惯量最小
在质心系中求质心位置
[例] 计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。 O
平行轴定理
[例] 设一薄板,已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为 Ix、Iy,计算板对z 轴的转动惯量Iz。 z O x 称垂直轴定理 (适用于薄板)。 如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量: y
力矩的功: 功率:
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点,刚体和地球 系统的重力势能:
z
i O
为物体质心的
坐标。
五、 刚体定轴转动的功能原理 外力的功: 将重力矩作的功用 重力势能差表示:
——刚体定轴转动的功能原理 其中,M是除重力以外的其它外力的合力矩。 若M=0,则 ——刚体的机械能守恒定律
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量L和角速度ω. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
dm (2) O dx x
转动惯量因转轴位置而变,故 必须指明是关于某轴的转动惯量。
[例] 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环, (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 (1) 圆环(一维): dm
(2) 圆盘(两维):
o r
dm
转动惯量与刚体的质量分布有关。
二、平行轴定理
[例] 细杆A : (m , l)可绕轴转动,水平处静止释放,在 竖直位置与静止物块B : (m) 发生弹性碰撞,求碰后: (1)物块B的速度 vB ,(2)细杆A 的角速度2 , (3)细杆A A 转过的最大角度 θmax 。 c c B 角动量守恒 机械能守恒
[例] 一质量为m ,长为 l 的均质细杆,转轴在O点,距A 端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求(1) 水平位置的角速度和角加速度。(2)到达垂直位置时的角 速度和角加速度。 c B A O
(1)
方向:
(2)
A
c O
B
[例] 一半径为R,质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水 平面上。若它的初角速度为0,绕中心o旋转,问经过 多长时间圆盘才停止?停止时圆盘转过了多少度?(设 摩擦系数为) 摩擦力的力矩: dr r o d R
0 t
0 1000 r / min 2000 / 60 104 . 7rad/s t 外力矩是摩擦阻力矩,角加速度为负值。 0 t 5s
0 0 20 . 9rad/s 2
M fR NR I mR
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
2g 12 ( sin ) R
L mR
2
[例] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动,初角速 度,一人(m2 )立在台中心,相对转台以恒定速度u沿半 径向边缘走去,计算经时间 t,求转台的角速度。 人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒: m2
mgR cos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgR cos dt d L mgR cos d t
考虑到
d dt , L mRv mR