大学物理刚体的转动讲解
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
2.6 大学物理 刚体的定轴转动详解
分析：
解:滑轮具有一定的转动惯量。 转动中受阻力矩，两边的张力不 再相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
m
1
T1 T
1
T2 T
2
a m
1
a
m G
2 1
a G
2
m
2
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方 程
分析： 飞轮制动 角加速度
正压力FN
力矩平衡
摩擦力矩
制动力F
分析： 飞轮制动
正压力FN
角加速度
摩擦力矩
l1
l2
F
力矩平衡
制动力F
解： 摩擦力矩是恒力矩，飞 轮做匀角加速度转动
0
t 2 n T
l1
FN
FN
l2
F f
F
由转动定律：M=Jβ 闸瓦对轮的摩擦力矩 M F f R FN R
（设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零）
求 滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力分析 物体 m1：
物体 m2： 滑轮 m：
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
大学物理学——刚体的转动PPT课件
mg
2 3
L cos
Mg
1 2
L cos
arccos(1 3v02 ) 64gL
[思考]
上式对v0值有何限制?
例5-12
圆盘质量M,半径R,J=MR2/2,转轴光滑,人的质量m,开始时，两者静止． 求：人在盘上沿边缘走过一周时，盘对地面转过的角度．
解：
在走动过程中,人－盘系统 L=Const.
解：
d d(at bt 3 ct 4 )
dt
dt
a 3bt 2 4ct 3
d d (a 3bt 2 4ct 3 )
dt dt
6bt 12ct 2
Note:
角速度的矢量表示法：
大小：
方向：//转轴, 符合右手螺旋
r v Ｏr
线速度：
v
r
验证：
大小：
r 方向：
4
F1
an at
F1
4
法向：
F2
mg
sin man 5mg sin
3mg sin
2
F2
2
F
F12 F22
mg 4
99 sin 2 1 (方向?)
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy)
1.力矩的功
F
Ft
d
dr r
(垂直于转轴的截面)
O
mv
①这里v是质点速度在垂直于转轴的平面内的分量值.
②L有正负,取决于转动正方向的选取.
2.刚体对固定轴的角动量
ri
mi vi
3.定轴转动的角动量定理
L miviri miri2
J
⑴微分形式：
刚体的转动惯量(大学物理--刚体部分)解析ppt课件
1
一、转动惯量 刚体的动能等于各 质点动能之和。
2
刚体的动能 与平动动能比较
相当于描写转动惯性的物理量 转动惯量的定义： 单位： 千克 ·米2
3
§4.刚体的转动惯量/ 一、转动惯量
转动惯量
4
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。
细棒转轴通过中 心与棒垂直
l
细棒转轴通过端 点与棒垂直
14
§4.刚体的转动惯量\ 三、典型刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
15
§4.刚体的转动惯量/ 三、典型刚体的转动惯量
四、平行轴定理 定理表述： 刚体绕平行于质心轴的转动惯 量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚 体质量与两轴间的距离平方的乘积。
二.质量连续分布刚体的转动惯量计算
1.计算公式
5
§轻杆的 b 处 3b 处各系质量 为 2m和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 解： 由转动惯量的定义
6
§4.刚体的转动惯量\ 二、转动惯量的计算
例2：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕与 杆垂直的质心轴转动，求转动惯量 J。
建立坐标系，坐标原点选在边缘处。分 割质量元 dm ,长度为 dx ,
9
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
10
§4.刚体的转动惯量/ 二、转动惯量的计算
例4：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直 于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。 解： 分割质量元 dm 圆环上各质量元到 轴的距离相等，
物理课件2.91刚体的定轴转动力矩转动定律转动惯量
目录
• 刚体的定轴转动 • 力矩 • 转动定律 • 转动惯量
01
刚体的定轴转动
刚体的定义
刚体
在任何力的作用下，其形状和大 小都不会发生变化的物体。刚体 是一个理想化的物理模型，用于 简化对物理现象的研究。
刚体的特点
刚体在力的作用下，只发生平动 或定轴转动，不会发生形变。在 刚体的定轴转动中，其上任意两 点之间的距离保持不变。
刚体的定轴转动
定轴转动
刚体绕某一固定轴作转动。
定轴转动的特点
刚体在定轴转动中，其上任意一点都绕同一固定轴作圆周运动，且各点的角速 度相同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律
转动惯量
刚体绕固定轴转动的角动量守恒。即 刚体在不受外力矩作用时，其角动量 保持不变。
描述刚体转动惯性的物理量，等于刚 体质量与质心到转轴距离平方的乘积 。
转动惯量
描述刚体绕定轴转动的惯性大小的物理量。
转动惯量的定义公式
I = Σ (m * r^2)，其中I是转动惯量，m是质量， r是质点到转轴。
转动惯量的计算
对于细杆，若其质量分布均匀，则其 转动惯量等于质量与质心到转轴距离 平方的乘积。
对于质量分布不均匀的刚体，需要将 刚体分割成若干微元，然后对每个微 元应用转动惯量的定义公式进行计算 。
对于质量分布均匀的圆盘，其转动惯 量等于圆盘质量与半径平方的乘积。
转动惯量的应用
在动力学问题中，转动惯量是描 述刚体转动状态的重要物理量， 可以用于计算刚体的角速度、角
加速度等物理量。
在振动问题中，转动惯量可以影 响刚体的振动频率和振幅。
在陀螺仪和电机控制等领域，转 动惯量也是重要的参数之一。
刚体旋转知识点总结图解
刚体旋转知识点总结图解一、刚体的定义刚体是指形状和大小在一定范围内不改变，结构完整，部分不会随着外力的作用而发生形变的物体。
刚体的旋转是指刚体绕着某个固定轴线旋转的运动。
二、刚体的转动定律1. 刚体的角位移：刚体绕固定轴线旋转时，每个质点的位移方向都与该质点的运动轨迹相切，并且线速度不同，但角速度相同。
2. 刚体的角加速度：刚体绕固定轴线旋转时，各质点的加速度虽然大小不同，但方向都垂直于该质点的运动轨迹，并与其对应的线速度方向一致。
3. 刚体的角动量：刚体绕固定轴线旋转时，当刚体的转动轴不经过质心时，刚体的角动量等于该点相对于质心的角动量之和。
三、刚体的转动定律1. 角动量定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量与外力矩之和等于刚体对旋转轴的角动量的变化率。
2. 动能定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的动能等于刚体的角动量的变化率与角速度的乘积之和。
3. 动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，刚体的角动量改变的原因是外力矩。
如果外力矩为零，则刚体的角动量是守恒的。
四、刚体的转动惯量1. 刚体的转动惯量：刚体绕固定轴线旋转时，刚体对于该轴线的转动惯量等于各质点到该轴线距离的平方与质点质量乘积之和。
2. 转动惯量的计算方法：刚体对于不同轴线的转动惯量计算是以刚体某一坐标轴为基准，按照平行轴定理或垂直轴定理进行转动惯量的计算。
3. 转动惯量的应用：刚体绕固定轴线旋转时，转动惯量的大小决定了刚体旋转的惯性大小。
转动惯量越大，刚体绕轴旋转越困难。
五、刚体的转动动力学1. 合力与合力矩：刚体绕固定轴线旋转时，合力是刚体质心的动力学性质，而合力矩是刚体绕轴线旋转的动力学性质。
2. 麦克尔斯定理：刚体绕固定轴线旋转时，如果刚体受到合力矩的作用，则该合力矩等于刚体在质心处受到的效力矩与刚体到该轴的距离的乘积。
3. 角动量矩定理：刚体绕固定轴线旋转时，角动量矩定理描述了刚体对旋转轴的角动量的变化率等于刚体受到的外力矩。
六、刚体的平衡与稳定1. 刚体的平衡：刚体绕固定轴线旋转时，刚体处于平衡状态可以分为静平衡和动平衡，其中静平衡是指刚体的合外力和合外力矩均为零，而动平衡是指刚体的合外力为零。
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
大学物理第05章-刚体的转动
可近似认为:
角动量守恒，矢量方向 不变表现为转轴方向不 变，大小不变表现为回 转仪的恒定角速率转动
军舰的稳定性
例8. 质量为M0，半径为R的转盘,可绕铅直轴无摩擦转 动,初角速度为零,一质量为m的人,在转盘上从静止开 始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示.求当 人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时,转盘相对地 面转过的角度。
mi Ri vi
sin
z
v i
mi
ri
Ri
Li
O
y
x
Liz
mi ri vi
mi ri 2
刚体对Oz轴的角动量为
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J z miri2
i
kg m2
J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量。
解 dM dF r dmg r
dm
m
R2
2
r
dr
2mrdr R2
dr r o R
dM
2mgr 2dr
R2
M
dM
R 0
2 mgr 2dr
R2
2 3
mgR
M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt 3R d 4 g
dt
2 mr2d 0
(mr 2
1 2
M
0
R2
)
大学物理课件：刚体定轴转动
M f k 2
(1)
由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d
(2)
dt
对上式分离变量并积分得：
0
k
J
t
dt
0
2 0
d 2
(3)
得到所需时间为： t J
(4)
k0
（2）由刚体定轴转动定律得：
k2 J J d d J d
(5)
dt d d
0
对上式分离变量并积分得： k
d
2
设 为两飞轮啮合后共同角速度：
J AA 33.3rad s1
JA JB
例题4.3.2 质量 M 、半径 R 的圆盘，绕过圆心 O
且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动，已知其角速
惯量，故该量有关于刚体，还有关于转轴！ 2.由上述结果看出：
JO
1 3
ml 2
1 12
ml2 +m（ l ）2 2
JO
+m（ l ）2 2
4.2.3 平行轴定理
平行轴定理：质量为 m的刚体，如果
对其质心轴的转动惯量为 JC ，则对任
一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转
动惯量为：
J O J C md 2
2.合力矩等于各分力矩的矢量和 ：
M M1 M2 M3
(2)
3.刚体内力矩互相抵消：
M ij M ji
注意：内力矩对刚体 动力学效应无贡献；
M ij
o
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M ji
例题4.2.1 研磨专用动力卡盘是专门为精密研磨 机所设计，如图所示用于固定被加工工件，卡盘在 绕垂直通过盘心的轴转动时会与接触工件产生滑动 摩擦。试求卡盘转动时受到的摩擦力矩。设其质
转动力学刚体在大学物理中的运动分析
转动力学刚体在大学物理中的运动分析转动力学是大学物理中的一个重要分支领域，研究的是刚体在转动运动下的力学性质和规律。
刚体指的是在运动过程中形状和大小不变的物体。
一、刚体的基本概念和特性刚体是指在外力作用下，各点之间相对位置不变的物体。
刚体可以看作由无穷多个质点组成，质点之间的距离始终保持不变。
在刚体的运动过程中，刚体内部各点都具有相同的转动角度和转动速度。
二、刚体的转动中心和转动轴刚体的转动中心是指在转动过程中，仍然保持位置不变的点。
对于一个刚体而言，转动中心可以是任意点，但通常选择质量分布均匀的位置作为转动中心。
刚体绕着转动轴进行转动，转动轴可以是任意直线，刚体绕转动轴旋转的角速度是一致的。
三、刚体转动的基本量刚体转动的角位移是刚体绕转动轴转过的角度，用Δθ表示。
刚体转动的角速度是指角位移随时间的变化率，用ω表示。
刚体转动的角加速度是指角速度随时间的变化率，用α表示。
四、刚体的转动惯量刚体的转动惯量是刻画刚体难以改变其转动状态的物理量。
刚体的转动惯量与刚体质量的分布有关，质量分布越分散，转动惯量越大。
转动惯量用I表示，单位是kg•m²。
对于简单形状的刚体，可以根据几何形状和质量分布求解转动惯量。
五、刚体的转动动力学刚体的转动动力学是研究刚体在受力作用下转动运动规律的学科。
刚体所受的合外力矩等于刚体转动惯量与刚体角加速度的乘积。
即M = Iα，其中M表示合外力矩，I表示刚体转动惯量，α表示刚体的角加速度。
根据这个关系，可以求解刚体在受力作用下的转动加速度和转动角速度。
六、刚体的转动定律刚体的转动定律包括角动量定理和角动量守恒定律。
角动量定理指出，刚体所受的合外力矩等于刚体角动量的变化率。
角动量守恒定律指出，在没有外力矩作用下，刚体的初始角动量等于其最终角动量。
这两个定律为研究刚体的转动运动提供了基本的理论依据。
七、刚体转动的应用刚体转动的运动规律和性质在实际中有着广泛的应用。
例如，汽车的方向盘、舞蹈中的旋转动作、田径项目中的标枪投掷等都涉及到刚体的转动运动。
刚体的转动知识点总结
一、刚体的基本概念1. 刚体的定义：刚体是一个质点系列，这些质点之间的相对位置在任意时刻都是固定的，不会改变。
2. 刚体的运动方式：除了平动外，刚体还可以进行转动运动。
3. 刚体的主要特征：刚体在转动运动中的主要特征是角位移、角速度和角加速度。
二、刚体的转动定律1. 牛顿第一定律在转动中的应用：刚体静止或匀速转动时，对固定轴的力矩为零。
2. 牛顿第二定律在转动中的应用：刚体转动的加速度和力矩之间的关系。
3. 牛顿第三定律在转动中的应用：力矩的作用对应地产生反作用力矩。
三、刚体的转动运动学1. 角度和弧度的关系：1弧度对应角度2pi，即1弧度=180°/π。
2. 角速度和角位移的关系：角位移是角速度随时间的积分。
3. 角加速度和角速度的关系：角加速度是角速度随时间的导数。
4. 刚体的角度运动学方程：θ=θ0+ω0t+1/2αt²，ω=ω0+αt，ω²=ω0²+2α(θ-θ0)。
四、刚体的转动动力学1. 转动惯量的概念：刚体对任意轴的转动惯量是对角速度与角动量之间关系的比较重要的物理量。
2. 转动惯量与质量的关系：转动惯量与质量和物体形状有关，质量越大，转动惯量越大。
3. 转动惯量的计算方法：在一个轴上转动的刚体对该轴的转动惯量的计算方法是对每个质点的质量进行求和。
4. 牛顿第二定律在转动中的适用条件：转动惯量与角加速度的关系。
五、刚体的转动运动与平动的转换1. 垂直平动和转动的关系：刚体在平动运动中的质心对其转动惯量有影响。
2. 能量守恒在转动中的应用：刚体在转动运动中的动能和势能之间的转换过程与保守力的性质有关。
1. 刚体的转动平衡条件：刚体在平衡时，合外力和合力矩均为零。
2. 刚体的稳定条件：刚体在平衡时，摆子有稳定和不稳定平衡之分。
以上便是刚体的转动知识点总结，这些知识点涵盖了刚体的基本概念、转动定律、转动运动学、转动动力学、转动运动与平动的转换以及转动稳定性等内容。
《刚体的定轴转动》课件
实例二
陀螺在受到外力矩作用后发生定轴转动。分析过程中应用了转动定 律，解释了陀螺的进动现象。
实例三
电风扇在启动时，叶片的角速度从零逐渐增大到稳定值。分析过程中 应用了转动定律，解释了电风扇叶片角速度的变化规律。
CHAPTER
03
刚体的定轴转动的动能与势能
动能与势能的定义
动能定义
物体由于运动而具有的能量，用 符号E表示，单位是焦耳(J)。
势能定义
物体由于相对位置或压缩状态而 具有的能量，常用符号PE表示， 单位是焦耳(J)。
刚体的定轴转动动能与势能的计算
转动动能计算
刚体的转动动能等于刚体绕定轴转动的动能，等于刚体质量与角速度平方乘积的一半， 即E=1/2Iω^2。
势能计算
刚体的势能等于刚体各质点的势能之和，等于各质点的位置坐标与相应的势能函数的乘 积之和。
01
数学表达式：Iα=M
02
转动惯量的计算：根据刚体的质量和形状，可以计算出其转动
惯量。
角加速度的计算：根据作用在刚体上的外力矩和刚体的转动惯
03
量，可以计算出其角加速度。
转动定律的实例分析
实例一
匀速转动的飞轮在受到阻力矩作用后，角速度逐渐减小，直至停止 转动。分析过程中应用了转动定律，解释了飞轮减速直至停止的原 因。
CHAPTER
02
刚体的定轴转动定律
转动定律的内容
刚体定轴转动定律
对于刚体绕固定轴的转动，其转动惯量与角加速度乘积等于作用 在刚体上的外力矩之和。
转动定律的物理意义
描述了刚体在力矩作用下绕固定轴转动的运动规律。
转动定律的适用范围
适用于刚体在力矩作用下的定轴转动，不适用于质点和弹性体的转 动。
大学物理一复习第四章刚体的转动
[A]
期中考题
8、在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现在使物体以初速度VA =4m /s垂直于OA向右滑动，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直。
O
A
受力分析：
物体从静止下落时满足
m：
h
M：
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
书例3 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
二、转动定律
三、转动定律应用举例
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
1.确定研究对象。
2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线量关系)。
熟练掌握
角动量定理
03
角动量守恒定律
04
条件：M=0
05
熟练掌握
06
熟练掌握
07
二、基本定理、定律
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度．
解
r
R
β
FT1
FT2
mg
mg
A
B
解得
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面下滑，求:下滑的加速度 a 。 解：物体系中先以物体 m 研究对象，受力分析, 在斜面 x 方向上
大学物理教程刚体的转动
第五章刚体的转动§5—1刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体在外力作用下形状和大小都不变化的物体称为刚体.和这定义等价的另一定义是：如果物体在外力作用下它的任意两点之间的距离保持不变，则这物体称为刚体.刚体是一种理想模型，在自然界中是找不到的.实际上任何物体在外力作用下，它的形状和大小都或多或少要发生变化.但有许多物体，如果外力不甚大的话，它的形状和大小的改变不显著，这样的物体和刚体很接近，刚体力学中的结论对于这样的物体大致与经验符合.因此在实际问题中这样的物体可以当刚体来处理.二、平动和转动刚体的最简单的运动是平动和转动.在§1一3中关于参考系的平动的定义对刚体也适用.即如果刚体运动时，它里面任一直线的方位始终保持不变，则其运动称为平动.平动的特点是，任一时刻刚体中各点的速度和加速度都相等，任一点的运动都可以代表整个刚体的运动.刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一条直线作圆周运动（如图5-1）,则这刚体的运动称为转动，这条直线称为转轴.座钟的指针、CD光碟、涡轮发电机的叶片和车辆的轮子的运动都是转动.转动刚体的转轴可以是固定的（例如涡轮叶片的转轴），也可以是运动的（例如车轮的转轴）.转轴固定的转动称为定轴转动.可以证明，刚体的一般运动可以当作是由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成.例如车轮在地面上滚动（图5-2a）,可以看成是由车轮随轮轴的平动以及车轮绕轮轴的转动组合而成.车轮上任一点P的瞬时速度v,等于轮轴的瞬时速度V0与由于该点随车轮绕轮轴转动所具有的速度v r的矢量和，如图5-2（b）所示.(b)图5—2三、定轴转动如图5—1,P为刚体中一质点，当刚体绕定轴转动时，P作圆周运动，圆心O为转轴与圆平面的交点.由于刚体中任意两点之间的距离是固定不变的，刚体中各质点在同一时间及内具有相同的角位移A也因此在任一时刻各质点具有相同的角速度⑴和角加速度a.所以我们可以用A8⑴和a作为描写刚体绕定轴转动的物理量，称为刚体的角位移、角速度和角加速度.我们在国一4中讲过的角位移、角速度和角加速度等概念都适用于刚体的定轴转动.如果将角位移A912.改为0,则国一4中公式9=wt,⑴=30+诚及9=⑴0t+ot 对刚体的止轴转动2亦适用.至于刚体内各质点的速度和加速度则由于各质点到转轴的距离不同而各不相同，但这些线量与角量之间的关系仍然由(1—49)式、(1—51)式及(1—52)式表不.例题5-1一转速为1.80103r/min 的飞轮，因受制动而均匀地减速，经20.0s 停止转动.(1)求角加速度和从制动开始到停止转动飞轮转过的转数；(2)求制动开始后t=10.0s时飞轮的角速度；(3)设飞轮半径为0.500m,求在t=10.0s 时飞轮边缘上一点的线速度和切向与法向加速度.(1)设30为初角速度，由题意得 .”0,t =20.0s因飞轮均匀减速，其转动为匀变速转动，由§1—4公式，角加速度为；：,；：06022一=二-rad/s=-3兀rad/st20.0从开始制动到停止转动飞轮的角位移。
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Miz | ri Fi | ri Fi sini ri Fi
Mz Miz ri Fi sini
z
Mz
vi
Oi
ri mi
ri
riz
O roi
Fi
Fiz
i
Fi
Lz Liz ?
Mz
dLz dt
?
Li roi mivi
第三章 刚体的转动
3.1 刚体的运动
刚体: 受力时不改变形状和体积的物体。
刚体的平动、定轴转动和复合运动
A’
A”
一、刚体的平动
A
在运动过程中刚体上的任意一条 直线在各个时刻的位置都相互平行
B B’ B” 刚体的平动
任意质元运动都代表整体运动
用质心运动代表刚体的平动
二、 刚体的定轴转动
（质心运动定理）
l
Z 1 dm dx
dx X
l
o
l
2
2
Z 2 dm dx
dx
X
o
l
J z2 J z1 所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义
例: 匀质圆环半径为 R,总质量为 m,求绕垂直
Z
于环面通过中心轴的转动惯量 如下图:
解: J z R2dm
R dm
例: 匀质圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:
dt
2l
θC θθ
mg
对上式两边分别乘以 dθ ，再进行积分得：
d
3g cos d
0
0
2l
3g sin
l
M 3g cos
J
2l
质心运动定理：
3g sin
l
F
F1 mg sin man
i Fi
Lz (miri2) Jz i
Mz
dLz dt
Jz
d
dt
Jz miri2
i
O
对固定轴
roi
M J
刚体定轴转动定律
M轴外
J
与牛顿第二定律对比： F外 ma
刚体到转轴的转动惯量： J miri2
i
对比刚体的角动量和质点的动量：
z
roi vi Li miroivi
Liz
Liz Li sin miroivi sin Li
质元 mi 到转轴的垂直距离
Mz
vi
Fi
Fiz
ri roi sin
Liz mirivi vi ri
(miri2 )
转动惯量
Oi
ri mi
ri
riz
1. 已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径 R 物体： m 求： a =?
解： 物体m加速运动： mg T ma
滑轮加速转动，由转动定律得： TR J
J 1 MR2 2
线量与角量关系： a R
解得：a＝ g 1＋ J mR 2
M
ω
R
T
T m
a
mg
2. 已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R
圆盘半径为 R, 总质量为 m .
解: J z r 2dm
设质量面密度 m R 2
Z
m
dm
dS
R
r
dr
1. 有关转动惯量计算的几个定理：
Z
1） 转动惯量叠加
B
Jz JA JB JC
A
C
式中: 是A球对z轴的转动惯量
是B棒对z轴的转动惯量
是C球对z轴的转动惯量
h
2） 平行轴定理 J z Jc mh2
a
切向分量 法向分量
dv d a dt r dt r
an
v2 r
r 2
z
v dS
r d P
匀变速直线运动
匀变速定轴转动 O
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
线分布 dm dx 是质量的线密度 面分布 dm ds 是质量的面密度
体分布 dm dv 是质量的体密度
例: 一均匀细棒长 l 质量为 m
1) 轴 z1 过棒的中心且垂直于棒 2) 轴 z2 过棒一端且垂直于棒
求: 上述两种情况下的转动惯量
解: 棒质量的线密度 m
0t
1t2
2
2 02 2
3.2 刚体定轴转动定律
1. 刚体定轴转动定律
质点系的角动量定理 M
Z轴分量
Mz
dLz dt
外
dL dt
?
质元 mi : Fi 对O点的力矩
M i roi Fi
roi Fi roi Fiz
（垂直z轴 ）
roi Fi ri Fi riz Fi
J 1 MR2 2
m2g
转动定律 T1R T2R J
线量与角量关系 a R
m1g
a
m1 m2
g
m1
m2
1 2
M
m1 a
例3.2 已知：匀质杆m 长 l 下落到θ时
求：
F
解：
lm
转动定律
O
M
J
1 mgl cos
2 1 ml2
3g cos
2l
3
d 3g cos
L J
p mv
J 与 m 对应
转动惯量的物理意义:
1. 刚体转动惯性大小的量度;
2. 转动惯量与刚体的质量有关;
3. J 在质量一定的情况下与质量的分布有关; 4. J与转轴的 J miri2 称为刚体对转轴的转动惯量
i
对质量连续分布刚体 J r 2dm
物体： m1 m2 求： a =?
M
R
解： m1g T m1a T m2g m2a
a m1 m2 g m1 m2
T2 TT 2
T1
m1g m2g (m1 m2 )a
对否？
T1 T2 否则滑轮静止或匀速转动，而物体加速运动 m2
TT 1
m1g T1 m1a T2 m2 g m2a
刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）作圆周运动
1. 用角量描述转动 1) 角位移 θ :
在 t 时间内刚体转动角度
2)角速度 :
3)角加速度 α :
z θ
刚体定轴转动
角速度 的方向按右手螺旋法则确定
2. 线量与角量关系
dS r d v ds r d r
dt dt
式中:
关于通过质心轴的转动惯量
m 是刚体质量, h 是 c 到 Z轴的距离
CZ
J z 是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量
3） 垂直轴定理
对于薄板刚体, J z J x J y
薄板刚体对 z 轴的转动惯量
等于对 x 轴的转动惯量 与
x
对y 轴的转动惯量
之和。
z
xi
0 yi
mi
y
2. 刚体定轴转动定律的应用