2020-2021学年高一必修一2.3幂函数同步测试数学试题 答案和解析
高中数学必修一《幂函数》精选习题(含详细解析)
高中数学必修一《幂函数》精选习题（含详细解析）一、选择题1.下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x22.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=13.函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-44若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少?5.在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-16函数y=|x(n∈N,n>9)的图象可能是( )7下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2C.y=x3D.y=8下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=9.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax-的图象可能是( )二、填空题10幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.11若y=a是幂函数,则该函数的值域是.12若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.13.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是.14已知幂函数f=(m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是.三、解答题15.比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.16.已知幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上为增函数,求满足条件(a+1<(3-2a的实数a的取值范围.17幂函数f的图象经过点(,2),点在幂函数g的图象上,(1)求f,g的解析式.(2)x为何值时f>g,x为何值时f<g?18已知幂函数f(x)=(m2-m-1)·x-5m-3在(0,+∞)上是增函数,又g(x)=lo(a>1).(1)求函数g(x)的解析式.(2)当x∈(t,a)时,g(x)的值域为(1,+∞),试求a与t的值.参考答案与解析1【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y==x-1符合幂函数的特征.2【解析】选D.由题意得解得m=1.3【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,所以x=时,取得最大值为4.4【解析】y=x-2在区间上单调递减,所以x=2时,取得最小值为,当x=时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为.5【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).6【解析】选C.因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.又n>9,所以<1.由幂函数在(0,+∞)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.7【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数. 8【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C 不正确;函数y=,y=是奇函数,故A,D不正确.9【解析】选C.当a<0时,函数y=ax-在R上是减函数,此时y=x a在(0,+∞)上也是减函数,同时为减的只有D选项,而函数y=ax-与y轴相交于点,此点在y轴的正半轴上,故D选项不适合.当a>0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=x a在(0,+∞)上是增函数,进一步判断只有C适合.10【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α,所以α=-1,所以f(x)=x-1=,所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).答案:(-∞,0)∪(0,+∞)11【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).答案:[0,+∞)3,12【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log2则f(x)=,于是f====.答案:13【解析】因为y=在x∈(0,+∞)上递增,所以>,即a>c,因为y=在x∈(-∞,+∞)上递减,所以>,即c>b,所以a>c>b.答案:a>c>b14【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1<m<1;因为图象关于原点对称,且m∈Z,所以m=0,所以f=x-1.答案:f=x-115【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.16【解析】因为幂函数y=x3-p(p∈N*)的图象关于y轴对称,所以函数y=x3-p是偶函数.又y=x3-p在(0,+∞)上为增函数,所以3-p是偶数且3-p>0.因为p∈N*,所以p=1,所以不等式(a+1<(3-2a化为:(a+1<(3-2a.因为函数y=是[0,+∞)上的增函数,所以⇒⇒-1≤a<,故实数a的取值范围为.17【解析】(1)设f=xα,则()α=2,所以α=2,所以f=x2.设g=xβ,则(-2)β=,所以β=-2,所以g=x-2(x≠0).(2)从图象可知,当x>1或x<-1时,f>g;当-1<x<0或0<x<1时,f<g.18【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以解得m=-1,所以g(x)=loga.(2)由>0可解得x<-1或x>1,所以g(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞).又a>1,x∈(t,a),可得t≥1,设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,于是x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以-=>0, 所以>.由a>1,有loga >loga,即g(x)在(1,+∞)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+∞),所以得g(a)=loga=1,可化为=a, 解得a=1±,因为a>1,所以a=1+,综上,a=1+,t=1.。
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷及答案解析
17．已知函数f（x）＝x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（Ⅰ）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
18．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2 在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k．
（Ⅰ）求m的值；
5．函数f（x） ，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数y 的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0， ]B．（0， ）C．[0， ]D．[0， ）
7．已知函数f（2x﹣1）＝4x+3（x∈R），若f（a）＝15，则实数a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．幂函数的图象经过点 ，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（ ）
2020-2021学年高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．函数 的定义域为（ ）
A．（﹣1，2]B．[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
【解答】解：函数 ，
令 0，得x﹣2≥0，
解得x≥2，
所以f（x）的定义域为[2，+∞）．
（2）求证：函数f（x）在区间（﹣1，x0]上单调递减．
21．已知函数f（x） ，求：
（1）f（1），f（﹣3）的值；
（2）求f（a+1）的值．
22．已知函数f（x）在定义域R内为偶函数，并且x≥0时解析式为f（x）＝2x2﹣4x+7．求：
（1）x＜0时的解析式；
2024年新高一数学初升高衔接《幂函数》含答案解析
第12讲 幂函数模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解幂函数的概念；2．结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x 的图象，掌握它们的性质；3．能利用幂函数的单调性比较幂的大小.知识点 1 幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2、幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．知识点 2 幂函数的图象与性质1、五个具体幂函数的图象当11,2,312α=-，时，可得到五个幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一直角坐标系中，通过秒点发得到五个幂函数的图象，如下图所示．2、五个具体幂函数的性质观察上图，可以得到五个幂函数的性质如下：函数y x=2y x=3y x =12y x=1y x -=定义域R RR [0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 值域R[0,)+∞R[0,)+∞(,0)(0,)-∞+∞ 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数在(0,)+∞上递增，在(,0]-∞上递减增函数增函数在(,0)-∞和(0,)+∞上递减过定点点(1,1)3、一般幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．知识点 3 作幂函数图象的步骤第一步：画出第一象限的部分。
人教版高中数学必修一《幂函数》综合练习题含答案
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
2021年高中数学 2-3 幂函数同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A版必修1(1)
2021年高中数学 2-3 幂函数同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每题5分，共20分)1．以下结论中，正确的选项是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象能够出此刻第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在概念域上是减函数解析： 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，应选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有概念，且y ＝x α(α∈R )，y >0，因此幂函数的图象不可能出此刻第四象限，应选项B 不正确；当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的概念域上不是减函数，应选项D 不正确．答案： C2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x 4C ．y ＝x －2D ．y ＝x 13解析： 函数y ＝x 12概念域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A 不正确； 函数y ＝x 4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，故B 正确；函数y ＝x －2只是点(0,0)，故C 不正确；函数y ＝x 13是奇函数，故D 不正确． 答案： B3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，那么使f (x )＝x α是奇函数且在(0，＋∞)上是单调递减的α的值的个数是( )A ．3B ．4C ．2D ．1解析： 把α逐个代入可知α＝－1时符合．答案： D4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，那么( )A ．－1<n <0,0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析： 由图知，y ＝x m 在[0，＋∞)上是增函数，y ＝x n 在(0，＋∞)上为减函数，因此m >0，n <0.又当x >1时，y ＝x m 的图象在y ＝x 下方，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方，因此m <1，n <－1，从而0<m <1，n <－1.答案： B二、填空题(每题5分，共10分)5．以下六个函数①y ＝x 53，②y ＝x 34，③y ＝x －13，④y ＝x 23，⑤y ＝x －2，⑥y ＝x 2中，概念域为R 的有________．(填序号)解析： 函数①④⑥的概念域为R ，函数②概念域为[0，＋∞)，③⑤的概念域为{x |x ≠0}． 答案： ①④⑥6．假设幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，那么f (25)的值为________． 解析： 设幂函数y ＝x α，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，那么13＝9α， ∴α＝－12， ∴y ＝x －12，那么f (25)＝25－12＝15.答案：1 5三、解答题(每题10分，共20分)7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f (x )的解析式． 解析： ∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，－1<m <3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f (x )＝x 4是偶函数，∴f (x )＝x 4.8．已知幂函数f (x )＝x a 的图象通过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. (1)求实数a 的值；(2)用概念证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．解析： (1)∵f (x )＝x a 的图象通过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝2， 即2－a ＝212，∴a ＝－12. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2－12－x 1－12＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2·x 1＋x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，且x 1x 2·(x 1＋x 2)>0，于是f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，因此f (x )＝x －12在区间(0，＋∞)内是减函数． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知幂函数f(x)＝x 1m2＋m(m∈N*)．(1)试确信该函数的概念域，并指明该函数在其概念域上的单调性；(2)假设函数还通过(2，2)，试确信m的值，并求知足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．解析： (1)∵m ∈N *，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数．令m 2＋m ＝2k ，k ∈N *，那么f (x )＝x 12k ＝2k x ，∴概念域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数．(2)∵2＝21m 2＋m，∴m 2＋m ＝2， 解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，∴f (x )＝x 12，令2－a >a －1≥0，可得1≤a <32.。
浙江省诸暨市牌头中学人教版高一数学必修一2.3幂函数(练习) 答案和解析
浙江省诸暨市牌头中学人教版高一数学必修一2.3幂函数（练习）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下四个函数：y=x 0；y=2x -；y=()21x +；132y x =⋅中是幂函数的有 （ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中：①幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）； ②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，幂函数y=x n 的图象是一条直线； ④当n ＞0时，幂函数y=x n 是增函数；⑤当n ＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x 的值增大而减小． 其中正确的是 （ ） A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤3．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为（ ）A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12D ．.2，12，－2，－124．设p∈1112,1,,,,1,2,3232⎧⎫---⎨⎬⎩⎭，则使p y x =的图象关于原点对称且通过原点的p 值个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．下列函数中是R 上增函数的是（ ） A ．1y x -= B ．2yxC ．35y x =D ．2yx6．已知53()8af x x bx x=++-，且f （-2）=10，则f （2）= （ ） A ．-26 B ．-18C ．-10D ．10二、填空题7．121.2a =，120.9b -=，121.1c =的大小关系为________．8．当01x <<时，幂函数p y x =的图象在直线y=x 的上方，则p 的取值范围是________。
9．函数()()331f x x =-+的图象的对称中心是________。
高一上学期数学(必修一)《第四章 幂函数、指数函数和对数函数》练习题及答案-湘教版
高一上学期数学(必修一)《第四章幂函数、指数函数和对数函数》练习题及答案-湘教版第I卷（选择题）一、单选题1. 已知幂函数f(x)的图象过点(16,18)，则f(4)=( )A. √ 24B. √ 22C. 14D. 122. 设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则．( )A. b<a<cB. c<a<bC. c<b<aD. a<c<b3. 设a=log54，则b=log1513，c=0.5−0.2则a，b，c的大小关系是( )A. a<b<cB. b<a<cC. c<b<aD. c<a<b4. 方程√ x−lnx−2=0的根的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知a>1，则下列命题中正确的是( )A. ∃x0，∀x>x0有a x>x a>log a x成立B. ∃x0，∀x>x0有a x>log a x>x a成立C. ∃x0，∀x>x0有x a>a x>log a x成立D. ∃x0，∀x>x0有x a>log a x>a x成立6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度ℎ与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度(已知lg2≈0.3，结果取整数)( )A. 23天B. 33天C. 43天D. 50天7. 已知函数f(x)={a x−2,x≤−2,x+9,x>−2,(a>0,a≠1)的值域是(7,+∞)，则实数a的取值范围是( )A. 13<a<1 B. 0<a≤13C. a>1D. 0<a<138. 已知函数y=log a(x+3)−1(其中a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)=3x+b 的图象上，则f(log94)的值为( )A. 89B. 79C. 59D. 299. 利用二分法求方程log3x+x−3=0的近似解，可以取的一个区间是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下(不含0.1)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)( )A. 128B. 130C. 132D. 134二、多选题11. 已知幂函数f(x)=(m 2−2m −2)x m 的图象过点(2,12)，则( ) A. f(x)=x 3B. f(x)=x −1C. 函数f(x)在(−∞,0)上为减函数D. 函数f(x)在(0,+∞)上为增函数12. 下列说法正确的有( )A. 命题“∀x ∈R ，x 2+x +1>0”的否定为“∃x ∈R 。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.如图所示，函数的图像大致为（）．A B C D【答案】C【解析】的定义域为,，图像关于轴对称，可排除选项A,B；又因为当时，，所以选C.【考点】函数的图像与性质.2.幂函数的图象经过点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的图象经过点，则有，解得，所以．【考点】幂函数的解析式与图象．3.已知幂函数的图像过点，则【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以得，因此故.【考点】幂函数的解析式.4. .（填“”或“”）.【答案】【解析】幂函数在上单调递增，，所以【考点】幂函数的性质5.对于幂函数，若，则，大小关系是（）A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】根据幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有成立，故答案选A.【考点】幂函数的单调性点评：本题主要考查幂函数的单调性，幂函数的图象特征，属于中档题．6.三个数，，之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为对于比较大小，先分析各自的大致范围，然后确定大小关系。
由于根据指数函数和幂函数和对数函数的性质可知，，，，那么可知选择C.【考点】本试题主要是考查了幂函数、对数函数与指数函数的单调性，以及值域的应用。
属于基础题。
点评：解决该试题的核心是对于幂值、对数值和指数值范围的判定，先分类，再在各个类里面比较大小，注意常用中间变量0，1来比较大小。
7.设f(x)=,用二分法求方程=0在内近似值的过程中得f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【答案】B【解析】因为f(1) < 0,f(1.5) > 0,f (1.25) < 0,所以由函数零点存在定理知，方程的根落在区间（1.25，1.5），选B.【考点】本题主要考查函数零点存在定理。
2020-2021学年北师大版高中数学必修一《函数2-3》课后强化综合检测及答案
最新（新课标）北师大版高中数学必修一第二章 §3一、选择题1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．y ＝1x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝x 0D ．y ＝x 2[答案] D[解析] ∵函数y ＝x 2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y 轴，∴函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．2．若函数y ＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m ＝( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10[答案] C[解析] 函数y ＝5x 2＋mx ＋4的图像为开口向上对称轴是x ＝－m 10的抛物线，要使函数y＝5x 2＋mx ＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则－m10＝－1，∴m ＝10.3．下列函数中，在(－∞，0)上为递增的是( ) A ．f(x)＝－2x ＋1 B ．g(x)＝|x －1| C ．y ＝1xD ．y ＝－1x[答案] D[解析] 熟悉简单函数的图像，并结合图像判断函数单调性，易知选D.4．函数f(x)＝2－3x 在区间[1,3]上的最大值是( )A ．2B ．3C ．－1D ．1[答案] D[解析] 容易判断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1. 5．下列四个函数之中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝3－x B ．f(x)＝x 2－3x C ．f(x)＝－1x ＋1D ．f(x)＝－|x|[答案] C[解析] 分别画出四个函数的图像易知y ＝x 2－3x 在(32，＋∞)为增加的，y ＝3－x 在(0，＋∞)为减少的，y ＝－|x|在(0，＋∞)上是减少的，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上为增加的，故选C.6．函数f(x)＝2x 2－3|x|的递减区间是( ) A ．[34，＋∞)B ．(－∞，－34]C ．[－34，0]和[34，＋∞)D ．(－∞，－34]和[0，34][答案] D[解析] 作出f(x)＝2x 2－3|x|＝⎩⎨⎧2x 2－3x ，x ≥0，2x 2＋3x ，x<0的图像，由图像易知选D.二、填空题7．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x ＋8)的解集是______________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 83<x ≤4 [解析]依题意，由不等式组⎩⎨⎧x ≥0－2x ＋8≥0，x>－2x ＋8解得83<x ≤4.8．函数y ＝|x 2－2x －3|的单调增区间是____________． [答案] [－1,1]，[3，＋∞)[解析] y ＝|x 2－2x －3|的图像如图所示，由图像法直接得出增区间．三、解答题9．已知函数f(x)＝x＋1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；(3)求函数f(x)的最小值．[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．(2)证明：设－1<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋1－x2＋1＝(x1＋1－x2＋1)(x1＋1＋x2＋1)x1＋1＋x2＋1＝(x1＋1)－(x2＋1) x1＋1＋x2＋1＝x1－x2x1＋1＋x2＋1.∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴f(x1)<f(x2)，即Δy＝f(x2)－f(x1)>0，∴函数f(x)在定义域上是增加的．(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增加的，∴f(x)≥f(－1)＝0，即函数f(x)的最小值是0.一、选择题1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f(a)>f(2a) B ．f(a 2)<f(a) C ．f(a 2＋a)<f(a) D ．f(a 2＋1)<f(a)[答案] D[解析] ∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴f(a 2＋1)<f(a)．2．下列命题正确的是( )A ．定义在(a ，b)上的函数f(x)，若存在x 1，x 2∈(a ，b)，使得x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上是增加的B ．定义在(a ，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x 1，x 2∈(a ，b)，使得x 1<x 2时有f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在(a ，b)上是增加的C ．若f(x)在区间I 1上为增加的，在区间I 2上也是增加的，那么f(x)在I 1∪I 2上也一定是增加的D ．若f(x)在区间I 上是增加的且f(x 1)<f(x 2)(x 1，x 2∈I)，那么x 1<x 2 [答案] D[解析] 由单调性定义知，选项A 、B 错；对于C ，可举反例，如y ＝－1x ，在区间(－∞，0)上是增加的，在区间(0，＋∞)上也是增加的，若x 1＝－1，x 2＝1时，x 1<x 2，f(－1)＝1>f(1)＝－1，∴函数y ＝－1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是增加的，注意这种写法的错误性，所以C 错，故选D.二、填空题3．设函数f(x)满足：对任意的x 1、x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．[答案] f(－3)>f(－π)[解析] 由(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)． 4．若f(x)＝x 2－2(1＋a)x ＋2在(－∞，4]上是减少的，则实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥3[解析] ∵函数f(x)＝x 2－2(1＋a)x ＋2的对称轴为x ＝1＋a ，∴要使函数在(－∞，4]上是减少的，应满足1＋a ≥4，∴a ≥3.三、解答题5．利用单调性的定义证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．[解析] 设x 1>x 2>－1，则Δx ＝x 2－x 1<0， Δy ＝y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)∵x 1>x 2>－1，x 1＋1>0，x 2＋1>0， Δx ＝x 2－x 1<0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)<0.Δy ＝y 1－y 2<0.∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减少的．6．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值； (2)解不等式f(m －2)≤3.[解析] (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3.(2)由f(m －2)≤3，得f(m －2)≤f(2)． ∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴⎩⎨⎧m －2≥2m －2>0，解得m ≥4.∴不等式的解集为{m|m ≥4}．7．已知f(x)的定义域为R ，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．[解析] f(x)在(－∞，0)上为增加的．证明：设x1∈(－∞，0)，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1∈(0，＋∞)，－x2∈(0，＋∞)，且－x1>－x2.又f(x)在(0，＋∞)上为减少的，∴f(－x1)<f(－x2)．又∵f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在(－∞，0)上为增加的．。
高一数学幂函数习题及答案
高一数学幂函数习题及答案高一数学幂函数习题及答案在高一数学课程中，幂函数是一个非常重要的概念。
幂函数是指形如f(x) =ax^b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。
在本文中，我们将探讨一些关于幂函数的习题，并提供相应的答案。
1. 习题一：已知函数f(x) = 2x^3，求f(2)的值。
解答：将x替换为2，得到f(2) = 2(2)^3 = 2(8) = 16。
因此，f(2)的值为16。
2. 习题二：已知函数g(x) = 4x^2，求g(0)的值。
解答：将x替换为0，得到g(0) = 4(0)^2 = 4(0) = 0。
因此，g(0)的值为0。
3. 习题三：已知函数h(x) = 5x^-2，求h(1)的值。
解答：将x替换为1，得到h(1) = 5(1)^-2 = 5(1/1^2) = 5(1/1) = 5。
因此，h(1)的值为5。
4. 习题四：已知函数k(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x - 1，求k(-1)的值。
解答：将x替换为-1，得到k(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 2 - 3 - 1 - 1 = -5。
因此，k(-1)的值为-5。
5. 习题五：已知函数m(x) = (1/2)x^2 - 3x + 2，求m(3)的值。
解答：将x替换为3，得到m(3) = (1/2)(3)^2 - 3(3) + 2 = (1/2)(9) - 9 + 2 = 4.5 - 9 + 2 = -2.5。
因此，m(3)的值为-2.5。
通过以上习题，我们可以看到幂函数的计算方法。
对于给定的函数，我们只需将自变量替换为相应的值，然后按照幂函数的定义进行计算即可。
在实际应用中，幂函数常常用于描述各种变化规律，如物体的增长、衰减等。
除了计算习题，我们还可以通过绘制幂函数的图像来更好地理解其特点。
下面是几个常见的幂函数图像：1. 当b>0时，函数f(x) = ax^b的图像呈现出从左下方向右上方递增的趋势。
高一数学幂函数试题及答案
高一数学幂函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=x^3的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D2. 函数y=x^2的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D3. 函数y=x^(-1)的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D4. 函数y=x^2+1的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D5. 函数y=x^3-3x+2的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D6. 函数y=x^2+2x+1的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D7. 函数y=x^(-2)+3的图象是（）A. 一条直线C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D8. 函数y=x^3-6x^2+11x-6的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D9. 函数y=x^4-4x^2+4的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面答案：D10. 函数y=x^5-5x^3+10x的图象是（）A. 一条直线B. 一个平面C. 一个曲面D. 一个曲线答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数y=x^2的图象关于____对称。
答案：y轴12. 函数y=x^3的图象关于____对称。
答案：原点13. 函数y=x^(-1)的图象在第一象限和第三象限。
答案：正确14. 函数y=x^2+1的图象与x轴无交点。
答案：正确15. 函数y=x^3-3x+2的图象有一个拐点。
答案：正确三、解答题（每题10分，共40分）16. 求函数y=x^2-4x+4的最小值。
解：函数y=x^2-4x+4=(x-2)^2，当x=2时，函数取得最小值0。
答案：017. 求函数y=x^3-3x+2的零点。
解：令y=0，得到x^3-3x+2=0，解得x=1或x=-2。
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★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（文））下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．2yx C ．3y x = D ．4y x =【答案】D 【解析】A 选项，函数12y x =的定义域为[)0,+∞，所以函数12y x =是非奇非偶函数，排除A ； B 选项，幂函数2yx 在()0,∞+上单调递减，排除B ；C 选项，函数3y x =的定义域为R ，()33x x -=-，所以函数3y x =是奇函数，排除C ；D 选项，函数4y x =的定义域为R ，且()44x x -=，所以函数4y x =是偶函数；又由幂函数的性质可得，幂函数4y x =在()0,∞+上单调递增，故D 正确；故选：D.2．（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．4．（2020·陕西省高二期末（文））若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（ ） A ．-1 B ．2C ．-1或2D ．3【答案】A 【解析】函数()223()1m m f x m m x+-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-． 故选：A ．5．（2019·贵州省高二学业考试）已知幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，则α=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意，幂函数()f x x α=的图象过点P (2,4)，可得24α=，解答2α=. 故选：C.6．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.7．（2020·上海高一课时练习）下列函数在定义域上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．34y x = B ．13y x =C ．4y x -=D ．43y x =【答案】B 【解析】34y x =在定义域[0,)+∞上是非奇非偶函数，在区间(),0-∞上无定义；所以A 错； 13y x =在定义域(,)-∞+∞上是奇函数，且在区间(),0-∞上是增函数；所以B 对； 4y x -=在定义域(,0)(0,)-∞+∞上是偶函数，在区间(),0-∞上是增函数；所以C 错；43y x =在定义域(,)-∞+∞上是偶函数，且在区间(),0-∞上是减函数；所以D 错；故选：B8．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 故选：B.9．（2020·黄冈市黄州区第一中学高二月考）幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（ ）A B ．3 C ．13D 【答案】A 【解析】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A10．（2020·迁西县第一中学高二期中）幂函数()y f x =的图象经过点，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,)+∞上是增函数 B ．偶函数，且在(0,)+∞上是减函数 C ．奇函数，且在(0,)+∞上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数【答案】D 【解析】设幂函数()af x x =，因为图象经过点，所以3a =，12a =.故()12f x x =，因为0x ≥，所以()f x 为非奇非偶函数，且在(0,)+∞上是增函数. 故选：D第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·黑龙江省鹤岗一中高二期末（文））幂函数()2f x x -=的单调增区间为______.【答案】(),0-∞ 【解析】因为幂函数()2f x x -=在()0,∞+是减函数，又因为函数()221f x x x -==是偶函数，所以函数在(),0-∞是增函数.故答案为：(),0-∞12．（2020·上海高一课时练习）函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为__________．【答案】1(,]8-∞- 【解析】因为幂函数3y x -=在区间[2,0)-上为减函数，所以当2x =-时，函数取得最大值18-，又当0x →时，y →-∞，所以函数3y x -=在区间[2,0)-上的值域为1(,]8-∞-.故答案为：1(,]8-∞-.13．（2020·浙江省高二期中）幂函数()f x 的图像经过点(4,2)P ，则(9)f =_______. 【答案】3 【解析】设幂函数()f x x α=，()f x 图像经过点(4,2)P ， 42α∴=，12α∴=， ()12f x x ∴=，()12993f ∴==.故答案为：314．（2020·上海高一课时练习）函数()f x 既是幂函数又是二次函数，则()f x =_________；函数()g x 既是幂函数又是反比例函数，则()g x =_________． 【答案】2x 1x - 【解析】因为()f x 是幂函数，所以设()f x x α=（α为常数），又因为()f x 又是二次函数，所以2α=，即2()f x x =因为()g x 是幂函数，所以设()g x x β=（β为常数），又因为()g x 又是反比例函数，所以1β=-，即1()g x x -=故答案为：2x ；1x -15．（2020·浙江省高一期末）幂函数()()f x x R αα=∈的图象经过点(2,8)，则α的值为_________；函数()f x 为_________函数.（填“奇”或“偶”）【答案】3. 奇. 【解析】∵幂函数()f x x α=的图象经过点(2,8)， ∴28α=，得3α=，3()f x x =，∴3()()f x x -=-3()x f x =-=-，函数()f x 的定义域为R ，∴函数函数()f x 为奇函数， 故答案为：3，奇．16．已知幂函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的表达式为______；单调递增区间为______．【答案】 2()f x x -=, (,0)-∞【解析】设幂函数的解析式为()nf x x =,由1(2)4f =,得124n=,解得2n =-, 所以2()f x x -=,递增区间为(,0)-∞.故答案为:2()f x x -=, (,0)-∞17．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数()f x 的图象过点(，则()4f =______，()22y f x =-的定义域为______．【答案】2 ⎡⎣【解析】设幂函数()af x x =，其图象过点(，3a ∴=；解得12a =，()f x ∴=，故()42f =，由220x -≥，解得：x ≤≤()22y f x =-的定义域为：⎡⎣.故答案为2，.⎡⎣三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1）3355 1. 5,1.7；（2）2233( 1.2),( 1.25)----.【答案】（1）3355 1. 5 1.7<；（2）2233( 1.2)( 1.25)--->-. 【解析】（1）∵幂函数35y x =在(0,)+∞上是增函数，且1.5 1.7<，33551.5 1.7∴<.（2）23y x -=在(,0)-∞上是增函数，且 1.2 1.25->-，2233( 1.2)( 1.25)--∴->-.19．（2020·全国高一课时练习）比较下列各题中两个值的大小： （1） 1.12.3和 1.12.5 （2）1232()a -+和132-.【答案】（1） 1.11.12.32.5<；（2）11233(22)a --+≤.【解析】（1）考察幂函数 1.1y x =，因为其在区间[0,)+∞上是增函数，而且2.3 2.5<，所以 1.1 1.12.3 2.5<. （2）考察幂函数13y x =，因为其在区间(0,)+∞上是减函数，而且222a +≥，所以11233(22)a --+≤. 20．（2020·全国高一课时练习）讨论下列函数的定义域、值域. （1）4y x =；（2）14y x =；（3）3y x -=；（4）23y x =.【答案】（1）定义域为R ，值域为[0,)+∞；（2）定义域为[0,)+∞，值域为[0,)+∞；（3）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞；（4）定义域为R ，值域为[0,)+∞.【解析】（1）函数的定义域为R ，值域为[0,)+∞. （2）因为14y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞.（3）因为331y xx-==，所以0x ≠，且0y ≠，所以函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.（4）因为23y x ==R ，值域为[0,)+∞.21．（2019·全国高一课时练习）若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 22．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠. 【解析】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠； 当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.。
高一数学幂函数试题及答案
高一数学幂函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（2，4），则α的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：将点（2，4）代入幂函数y=x^{α}，得到4=2^{α}，解得α=2。
2. 幂函数y=x^{α}（α∈R）在区间（0，+∞）上是增函数，则α的取值范围是（）A. α＜0B. α＞0C. α＜1D. α＞1答案：B解析：幂函数y=x^{α}在区间（0，+∞）上是增函数，说明α＞0。
3. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（1，1），则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：将点（1，1）代入幂函数y=x^{α}，得到1=1^{α}，解得α=1。
4. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像关于y轴对称，则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：幂函数y=x^{α}的图像关于y轴对称，说明α为偶数，且α＞0。
因此，α=2。
5. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（-1，1），则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A解析：将点（-1，1）代入幂函数y=x^{α}，得到1=(-1)^{α}，解得α=0。
6. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（4，16），则α的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：将点（4，16）代入幂函数y=x^{α}，得到16=4^{α}，解得α=2。
7. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（8，1），则α的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A解析：将点（8，1）代入幂函数y=x^{α}，得到1=8^{α}，解得α=0。
8. 幂函数y=x^{α}（α∈R）的图像经过点（1，8），则α的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C解析：将点（1，8）代入幂函数y=x^{α}，得到8=1^{α}，解得α=3。
高中数学必修1单元配套练习试题2.3 幂函数及参考答案
2.3 幂函数姓名:___________班级:______________________1.下列函数中是幂函数的是( )①y＝−x 2;②y＝2x ;③y＝x π;④y＝(x −1)3;⑤y＝1x 2;⑥y＝x 2＋1x .A.①③⑤B.①②⑤C.③⑤ D .只有⑤ 2.幂函数f(x)的图象过点(4,12),那么f(8)的值为( )A.24 B.64 C.2 2 D. 1643.函数f(x)＝(m 2−m −1)1m x-+是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m 的取值集合是( ) A.{m|m ＝−1或m ＝2} B.{m|−1＜m ＜2} C.{2} D.{−1} 4.下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是( ) A. y ＝12x B. y ＝4xC. y ＝2x-D. y ＝13x5.函数f(x)＝1nx x a-+(n∈Z ,a ＞0且a≠1)的图象必过定点( )A.(1,1)B.(1,2)C.( −1,0)D.( −1,1) 6.下列命题中正确的是( )A.当α＝0时,函数y ＝x α的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点C.幂函数y ＝x 0的定义域是RD.幂函数的图象不可能在第四象限7.设α∈{−2,−1,−12,13,12,1,2,3},则使f(x)＝x α为奇函数,且在(0,+∞)上递增的α的个数是( )A.1B.2C.3D.4 8.在同一坐标系内,函数y ＝x a(a≠0)和y ＝ax −1a的图象可能是( )9.比较下列各组数的大小:(1)25.1-与25.09-的大小关系是______;(2)232-⎛- ⎝⎭,23107⎛⎫-⎪⎝⎭,431.1-的大小关系是______.10.已知幂函数f(x)＝12x-,若f(a+1)＜f(10−2a),则实数a 的取值范围是________.11.已知实数a 、b 满足等式1132a b =,下列五个关系式:①0＜b ＜a ＜1;②−1＜a ＜b ＜0; ③1＜a ＜b;④−1＜b ＜a ＜0;⑤a＝b. 其中可能成立的式子有________.12.已知函数f(x)＝mx −2x 且f(4)＝72. (1)求m 的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.13.已知点)2在幂函数f(x)的图象上,点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数g(x)的图象上,问当x 为何值时,(1)f(x)＞g(x);(2)f(x)＝g(x);(3)f(x)＜g(x).14.已知幂函数f(x)＝223m m x--+,其中−2＜m ＜2,m∈Z ,满足:(1)f(x)是区间(0,+∞)上的增函数;(2)对任意的x∈R ,都有f(−x) +f(x)＝0.求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时,f(x)的值域.参考答案1.C【解析】y ＝−x 2的系数是−1而不是1,故不是幂函数;y ＝2x 是指数函数;y ＝(x −1)3的底数是x −1而不是x,故不是幂函数;y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式,也不是幂函数.y ＝1x 2＝x −2和y＝x π具有幂函数y ＝x α的形式,所以选C.考点:幂函数的概念. 2.A【解析】设幂函数的解析式为y ＝x α,依题意得,12＝4α,即22α＝2−1,∴α＝−12.∴幂函数的解析式为y ＝12x -,∴f(8)＝128-＝18＝122＝24, 故选A. 考点:幂函数的概念.3.C【解析】由条件知211,10,m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得m ＝2.考点:幂函数的概念. 4.B【解析】函数y ＝12x ,y ＝13x 不是偶函数,函数y ＝2x -是偶函数,但其图象不过点(0,0).函数 y ＝4x 的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选B. 考点:幂函数的简单性质. 5.B【解析】因为f(1)＝111na-+＝1+1＝2,所以f(x)＝1n x x a-+(n∈Z ,a ＞0且a≠1)的图象必过定点(1,2),故选B.考点:幂函数的图象及应用. 6.D【解析】当α＝0时,函数y ＝x α的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象不是直线,故A 和C 不 正确;当α＜0时,函数y ＝x α的图象不过(0,0)点,故B 不正确;当x ＞0,α∈R 时,y ＝x α＞0,则幂函数的图象都不在第四象限,故D 正确. 考点:幂函数的图象. 7.C【解析】f(x)为奇函数,则α＝−1,13,1,3,f(x)在(0,+∞)上递增,则α＝13,1,3,故选C.考点:幂函数的基本性质. 8.C【解析】当a ＜0时,函数y ＝ax −1a 是减函数,且在y 轴上的截距−1a＞0,结合图象排除A,C,D,又y ＝x a在(0,+∞)上是减函数,∴B 项也不正确.当a ＞0时,y ＝ax −1a 是增函数,−1a＜0,结合图象排除B,D 选项,当a ＞0时,y ＝x a在(0,+∞)上是增函数,故A 项不正确,故选C.考点:幂函数的单调性与奇偶性综合. 9.(1) 225.1 5.09--<(2)22433310 1.172--⎛⎛⎫->-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】 1)∵2y x -=在(0,+∞)上为减函数,且5.1＞5.09,∴225.1 5.09--<.(2))22332-⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭,2233101077⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵23y x =在(0,+∞)上为增函数,且1017>>,∴22331017⎛⎫>> ⎪⎝⎭.又44331.1=11--<,∴22433310 1.172--⎛⎛⎫->-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭.考点:幂函数比较大小. 10.(3,5) 【解析】f(x)＝12x-＝1x(x ＞0),易知f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(a+1)＜f(10−2a),∴10,1020,1102,a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩解得1,5,3,a a a >-⎧⎪<⎨⎪>⎩∴3＜a ＜5. 考点:幂函数的单调性. 11.①③⑤【解析】首先画出y ＝12x 与y ＝13x 的图象(如图所示),设1132a b m ==,作直线y ＝m.如果 m ＝0或1,则a ＝b;如果0＜m ＜1,则0＜b ＜a ＜1;如果m ＞1,则1＜a ＜b.从图象看一目了然,故可能成立的是①③⑤.考点:幂函数的图象及单调性. 12. (1)1(2)奇函数(3)略【解析】(1)因为f(4)＝72,所以274=42m -,所以m ＝1. (2)由(1)知f(x)＝2x x-,因为f(x)的定义域为{x|x≠0}, ()()22==f x x x f x x x ⎛⎫-=----- ⎪-⎝⎭,所以f(x)是奇函数. (3) f(x)在(0,+∞)上单调递增.证明如下: 设120x x >>,则()()()1212121212222=1=f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎝⎭⎝-⎪⎭. 因为120x x >>,所以120x x ->,12210x x +>,所以()()12f x f x >, 所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 【考点】幂函数的单调性与奇偶性综合. 13.略【解析】设f(x)＝x α,由题意得2＝α⇒α＝2,∴f(x)＝x 2.同理可求出()2g x x -=,在同一坐标系内作出y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象,如图所示.由图象可知:(1)当x ＞1或x ＜−1时,f(x)＞g(x). (2)当x ＝±1时,f(x)＝g(x).(3)当−1＜x ＜0或0＜x ＜1时,f(x)＜g(x). 考点:幂函数的图象. 14.略【解析】因为−2＜m ＜2,m∈Z ,所以m ＝−1,0,1.因为对任意的x∈R ,都有f(−x) +f(x)＝0,即f(−x)＝−f(x),所以f(x)是奇函数.当m ＝−1时,f(x)＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2);当m ＝1时,f(x)＝x 0,条件(1)、(2)都不满足;当m ＝0时,f(x)＝x 3,条件(1)、(2)都满足,当x∈[0,3]时,函数f(x)的值域为[0, 27]. 考点:幂函数的单调性与奇偶性.。
高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】
幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。
高考数学专题《幂函数》习题含答案解析
专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（ ） A ．幂函数y =x -1是奇函数 B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可. 【详解】 因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确； 因为22()x x -=，所以B 正确； 因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确. 故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( ) A ．2y x -=- B ．23y x =-C ．13y x =-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除； B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(,)22，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1()2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果. 【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =. 故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（ ） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x 可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确； 函数2yx 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， ，则它的单调递增区间是（ ）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可. 【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123， 解得α=12， 所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞). 故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（ ） A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可. 【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误. 故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f(x)=x m 的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m ，c =−log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）练提升A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C 【解析】幂函数f(x)=x m 的图象过点(2,4)， ∴2m ＝4，m ＝2； ∴a =m 12=√2>1， b =(13)m =19∈(0,1)， c =−log m 3＝﹣log 23＜0， ∴√2＞19＞−log 23，∴a >b >c ． 故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小. 【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=， ∴13α=，即13f x x .由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <， 当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项. 故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（ ） A ．330m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n< 【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解. 【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ） A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若1x >，则()1f x > D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确. 当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x xf ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确. 故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()ag x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（ ）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()ag x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果． 【详解】当0x ≤时，()xf x xe =，()()1x f x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '> 所以()xf x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象 与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()ag x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞.故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈{13,12,−1,−2,3}，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】−2 【解析】由题可知，α=−2时，f (x )=x −2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数； α=13,12,−1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=−2． 故答案为：−2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小. （1）求m 值. （2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值； （2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<， 解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2； 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ， 即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩， 所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =， 要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或 即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（ ）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞ 【答案】D【解析】 练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】 23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a = （2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1。
高一数学幂函数试题答案及解析
高一数学幂函数试题答案及解析1.对于幂函数f(x)=，若0＜x1＜x2，则，的大小关系是( )A．＞B．＜C．=D．无法确定【答案】A【解析】可以根据幂函数f(x)＝在（0，+∞）上是增函数，函数的图象是上凸的，则当0＜x1＜x2时，应有＞，由此可得结论．【考点】函数的性质的应用.2.下列说法正确的是（）A．幂函数的图象恒过点B．指数函数的图象恒过点C．对数函数的图象恒在轴右侧D．幂函数的图象恒在轴上方【答案】C【解析】幂函数的图象恒过点，A错；指数函数的图象恒过点，B错；幂函数的图象恒在轴上方，反例，D错.【考点】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图像、性质.3.若幂函数在上是增函数，则=_________．【答案】【解析】因为函数为幂函数，由幂函数的定义可知，，解得或，当时，，在上是增函数，符合题意；当时，，在上是减函数，不符合题意，所以．【考点】本题考查的知识点是幂函数的定义及其性质．4.已知A有限集合，，若的子集个数分别为，且，则 __．【答案】2【解析】不妨设集合A中的元素个数为，则集合B中的元素个数有,所以，，因此，故所求的值为2.【考点】1.集合的元素个数；2.整数幂的运算.5.下列幂函数中过点，的偶函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于幂函数，当是偶数时，它是偶函数，排除A和D；当时，幂函数不通过原点，排除C.【考点】幂函数的性质6.已知幂函数为实常数）的图象过点(2，)，则= .【答案】4【解析】因为幂函数为实常数）的图象过点(2，)，所以，所以【考点】本小题主要考查幂函数的定义和求解.点评：幂函数是形式定义，的系数为1，经常用这条性质解题.7.已知幂函数在增函数，则的取值范围 .【答案】(0,10)【解析】根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
高一幂函数试题及答案
高一幂函数试题及答案一、选择题1. 函数y=x^2+1是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数答案：B解析：偶函数的定义是f(-x)=f(x)。
对于函数y=x^2+1，我们有f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)，因此该函数是偶函数。
2. 函数y=x^3是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数答案：A解析：奇函数的定义是f(-x)=-f(x)。
对于函数y=x^3，我们有f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)，因此该函数是奇函数。
3. 函数y=x^(-1)的定义域是（）A. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)B. (-∞, 0) ∪ [0, +∞)C. [0, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)答案：A解析：函数y=x^(-1)即y=1/x，分母不能为0，因此x不能等于0。
所以定义域为(-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
4. 函数y=x^2的值域是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, +∞)D. (-∞, 0) ∪ (0, +∞)答案：B解析：函数y=x^2的最小值是0（当x=0时），没有最大值，因此值域为[0, +∞)。
二、填空题5. 函数y=x^4的奇偶性是____。
答案：偶函数解析：对于函数y=x^4，我们有f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)，因此该函数是偶函数。
6. 函数y=x^3+1的零点是____。
答案：-1解析：令y=0，得到x^3+1=0，解得x=-1。
7. 函数y=x^(-2)的单调递减区间是____。
答案：(-∞, 0) 和(0, +∞)解析：函数y=x^(-2)即y=1/x^2，在(-∞, 0)和(0, +∞)区间内，随着x的增大，y值减小，因此这两个区间是函数的单调递减区间。
8. 函数y=x^2-4x+4的最小值是____。
答案：0解析：函数y=x^2-4x+4可以写成y=(x-2)^2，这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，即x=2时，此时y=0。
2020-2021学年人教A数学必修1配套训练：2.3 幂函数
[A 组 学业达标]1．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝C ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：设f (x )＝x α，则2α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝.选B.答案：B2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.答案：A 3．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝x n 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝x n 当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n 当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③ D ．②⑤解析：y ＝x－1不过点(0,0)，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝x n 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2不是增函数，④错误，排除B ；因此答案选D.答案：D4．函数y ＝的图象是( )解析：∵函数y ＝是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C.答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．－1或2D ．2解析：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m 2－2m －3<0解得m ＝2.答案：D6．若f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为__________． 解析：由f (x )的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 7．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1(－2)3＝－18. 答案：－188．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)xm 2＋2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝__________.解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：09．比较下列各题中两个幂的值的大小：10．点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问：当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )?②f (x )＝g (x )？ ③f (x )<g (x )? 解析：设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， 当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．[B 组 能力提升]1．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b解析：因为0<a <b <1，而函数y ＝x a 单调递增，所以a a <b a . 答案：C2．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．答案：D3．若(a ＋1)3＜(3a －2)3，则实数a 的取值范围是__________．解析：构造函数y ＝x 3，它在R 上是增函数，所以a ＋1＜3a －2，解得a ＞32.答案：⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．已知幂函数(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解析：(1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数 (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. ∴m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N *，∴m ＝1. ∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴由f (2－a )＞f (a －1)得{ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
3.3 幂函数-2020-2021高中数学新教材配套提升训练(人教A版必修第一册)(解析版).pdf
1
幂函数 y x11 在
0,
上为增函数,所以,
0.66
1
11
0.77
1
6
7
11
,因此, 0.611
0.711
；
5
5
5
（2） 幂函数
y
x3
0,
0.883
在
上为增函数,
0.893
.
指数幂的大小比较,常用的有如下几种方法：
（1）底数不同,指数相同,可以利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；
（）
A．函数 y x 的图象过原点
B．函数 y x 是偶函数
8
C．函数 y x 是单调减函数 D．函数 y x 的值域为 R
【参考答案】AD
【解析】
由于幂函数 y x 过点 2,8 ,所以 2 8 ,解得 3 ,所以 y x3 . 0, 0 ,满足 y x3 ,A 选项正确.
y x3 是奇函数,所以 B 选项错误.
x
为奇函数,故选
A．
p
8．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数 y x q （ p, q N*, q 1 且 p, q 互质）的图象如图所示,则
（）
p 1
A． p , q 均为奇数,且 q
p 1
B． q 为偶数, p 为奇数,且 q
p 1
C． q 为奇数, p 为偶数,且 q
0 p 1
D． q 为奇数, p 为偶数,且 q
所以 27 3a ,
解得 a 3 ,
所以幂函数 y x3 .
f x x3 x3 f x
因为定义域为 R,且
,
所以 f x 是奇函数,
又因为 a 3 0 ,
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6． （填 亦可）
【分析】
设出幂函数解析式，根据点 求得幂函数的解析式.
【详解】
由于 为幂函数，设 ，将 代入得 ，所以 .
故答案为 （填 亦可）
【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.
7．(2,1)
【解析】
令x=2，则当x=2时，函数 (其中α的值可以是1、2、3、1、 )，
C．当>0时，幂函数 是增函数D．y=x2既是二次函数，也是幂函数
3．下列函数中，在(∞,0)上是增函数的是( )
A．y=x3B．y=x2
C． D．
4．函数y= 在[－1, 1]上是（）
A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数
5．幂函数 ，当 时= 在[0,+∞)上是增函数.
11．讨论函数 的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．
参考答案
1．C
【解析】
形如 为常数）的函数为幂函数，因此A,B,D不正确，
C选项为 满足，
故选C.
2．D
【解析】
①中，幂函数 不可能过原点，不正确；
②中，α<0时，幂函数 在(0,+∞)上为减函数，但不一定幂函数 在整个定义域上是减函数，错误．
山西省忻州市第一中学【最新】高一必修一2.3幂函数同步测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，是幂函数的是( )
A．y=1B．y=2x3C．y= D．y=2x
2．下列结论正确的是( )
A．幂函数的图象一定过原点B．当<0时，幂函数y=x是减函数
可得在[−1,1]上的单调增函数，是奇函数．
故选A.
点睛：对于形如 的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为 ，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.
5．C
【解析】
试题分析：∵ 为幂函数，∴ ，即 ．解得： 或 ．当 时， ， 在 上为减函数；当 时， ， 在 上为常数函数（舍去），∴使幂函数 为 上的减函数的实数 的值 ．故选C.
③中，α=2时，幂函数 在(−∞,0)上为减函数，错误；
④中，函数 既是二次函数，也是幂函数，正确．
故选D.
3．A
【解析】
A.y=x3在(∞,0)上是增函数，成立；
B. y=x2在 单减，在 上单增，不成立；
C. 在 单减，不成立；
D. ,在 上无意义.
故选A.
4．A
【详解】
考查幂函数 .
∵ >0，根据幂函数的图象与性质
A． 或2B．
C． D．
二、填空题
6．已知幂函数 的图象过点 ，则 _____________．
7．关于 的函数 (其中的取值可以是1、2、3、-1、 )的图象恒过定点___
8． 与 的大小关系是________________
9． , , 的大小关系,按从小到大的顺序排列是________________
即函数图象恒过一个定点(2,1).
故答案为(2,1).
8． <
【解析】
函数 在 单调递减，故 ,即 < .
9． < <
【解析】
;
;
.
所以 < < .
10．见解析
【解析】
证明：设 ，则
,
由于0⩽m<n,则 , >0，
则f(m)−f(n)<0,即有f(m)<f(n).
则幂函数f(x)= 在[0，+∞)上是增函数．
11．定义域R；偶函数；图象见解析；在区间(∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．
【详解】
函数 定义域为R，因为 ，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在 单减，在[0,+∞)上单增.
点睛：对于形如 的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为 ，可知定义域及函数奇偶性，幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.