圆周运动和平抛运动的综合问题

FN-mg=
m
v
2 b
，
联立解得FN=6mg，B项错误；小球由c点平抛，
R
在平抛运动过程中由运动学公式得：x
vc2 R ， x=2R，D项正确，C项错误。
g
3.(2014·三明模拟)如图所示,用内壁光滑的薄壁细圆管弯的 由半圆形APB(圆半径比细管的内径大得多)和直线BC组成的轨 道固定在水平桌面上,已知半圆形APB的半径R=1.0m,BC段 L=1.5m。弹射装置将一个质量为1kg的小球(可视为质点)以 v0=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道,小球从C点离开轨道随即 水平抛出,桌子的高度h=1.25m,不计空气阻力,g取10m/s2,π 取 3.14,求:
热点专题突破系列(三) 圆周运动与平抛运动的综合问题
【热点概述】 圆周运动和平抛运动是两种典型的曲线运动,圆周运动与平抛 运动结合的综合问题,是高考的热点,也是高考的重点。此类综 合问题主要是水平面内的圆周运动与平抛运动的综合考查和竖 直面内圆周运动与平抛运动的综合考查。
【热点透析】 一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 1.此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动,后做平 抛运动,有时还要结合能量关系分析求解,多以选择题或计算题 考查。
【热点集训】
1.小明撑一雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径
为R，现将雨伞绕竖直伞杆以角速度ω 匀速旋转，伞边缘上的
水滴落到地面，落点形成一半径为r的圆形，当地重力加速度
的大小为g，根据以上数据可推知伞边缘距地面的高度应为
()
g(r2 R2) A. 22R2 C. g2(r2RR2)2
（2）小球做平抛运动，h

v
2 y
2g
vy=5 m/s
tan v y 1 v0
解得：θ=45°
答案：（1）25 N 0.928 s （2）45°
4.(2014·东莞模拟)如图所示,一个质量为m=0.6kg的小球以某 一初速度v0从图中P点水平抛出,恰好从光滑圆弧ABC的A点的切 线方向进入圆弧(不计空气阻力,进入圆弧时无机械能损失)。 已知圆弧的半径R=0.3m,θ =60°,小球到达A点时的速度v=4m/s。 (取g=10m/s2)。求:
(1)小球做平抛运动的初速度v0。 (2)P点与A点的水平距离和竖直高度; (3)小球到达圆弧最高点C时的速度和对轨道的压力。
【解析】（1）小球到A点的速度如图所示，由图可知
v0=vcosθ=2 m/s （2）由图可得
vy=vsinθ
又vy=gt
可得 t 3 s
5
所以
xv0t
2 3 5
m0.7 m
h1gt2 0.6m 2
（3）从A到C，由动能定理得：
-mg（R+Rcosθ）=
1 2
mvC2

1 2
mv2
代入数据得：vC 7 m/s
由圆周运动向心力公式得：NC
mg

mvC2 R
代入数据得：NC=8 N
由牛顿第三定律得
小球对轨道的压力大小NC′=NC=8 N，方向竖直向上 答案：（1）2 m/s （2）0.7 m 0.6 m
【规范解答】（1）物块做平抛运动，竖直方向有
H 1 gt2
①
2
水平方向有s=v0t
②
联立①②两式得
g
v0 s
1m/ s 2H
③
（2）物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
μmg= m v 0 2
④
R
联立③④得 v 0 2 0 .2
gR
答案：（1）1 m/s （2）0.2
二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题 1.此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动,后做平抛 运动,有时物体先做平抛运动,后做竖直面内的变速圆周运动, 往往要结合能量关系求解,多以计算题考查。 2.解题关键: (1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻 绳模型”,然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件。 (2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。
【例证2】(2014·揭阳模拟)在娱乐节 目中,选手需要借助悬挂在高处的绳飞 越到水面的浮台上,小明和小阳观看后 对此进行了讨论。如图所示,他们将选 手简化为质量m=60kg的质点,选手抓住绳由静止开始摆动,此时 绳与竖直方向夹角α =53°,绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m。 不考虑空气阻力和绳的质量,浮台露出水面的高度不计,水足够 深,取重力加速度g=10m/s2,sin53°=0.8,cos53° =0.6。
C.小球在直轨道上的落点d与b点的距离为 3 R
2
D.小球从c点落到d点所需时间为 2 R
g
【解析】选A、D。小球在c点时由牛顿第二定律得：m g m v c2 ，
R
vc gR，A项正确；小球由b到c过程中，由机械能守恒定律
得：1 2mvb22mgR1 2mvc2， 小球在b点，由牛顿第二定律得：
2.解题关键: (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源,根据牛顿第二定 律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量,前一个过程的末速 度是后一个过程的初速度。
【例证1】(2012·福建高考)如图,置于圆形水平转台边缘的小 物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转 台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5m,离水平地面的高 度H=0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块 所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度g=10m/s2。 求: (1)物块做平抛运动的初速度大小v0。 (2)物块与转台间的动摩擦因数μ 。
(1)小球在半圆轨道上运动时的向心力大小及从A运动到C点的 时间; (2)小球落地瞬间速度方向与水平方向的夹角。
【解析】（1）小球做匀速圆周运动
向心力大小 Fmv02 25 N
R
小球从A到B的时间 t1vR 0 0.2s0.628s
从B到C的时间
t2

L v0

0.3
s
小球从A到C的时间t=t1+t2=(0.2π+0.3) s=0.928 s
（3） 7 m/s 8 N
【规范解答】（1）选手下摆的过程由动能定理得： mgl(1-cosα)= 1 m v 2
2
选手在最低点由牛顿第二定律得：F′－mg＝m v 2
l
解得：F′=（3-2cosα)mg=1 080 N
由牛顿第三定律得选手对绳的拉力：F=F′=1 080 N
（2）由动能定理得：mg(H-lcosα+d)-(f1+f2)d=0 解得：dmg(Hlcos)1.2m
f1f2mg
(3)选手从最低点开始做平抛运动,则：x=vt
H l 1 gt 2 解得：x2l(Hl)(1cos)
2
当 l H 时，x有最大值，解得：l=1.5 m
2
因此两人的看法均不正确，当绳子越接近1.5 m时，落点距岸
边越远。
答案:（1）1 080 N （2）1.2 m （3）见解析
g(r2 R2) B. 22r2 D.2gr2R2 2
【解析】选A。设伞边缘距地面的高度为h，伞边缘水滴的速
度v＝ωR，水滴下落时间 t ＝ 2 h ， 水滴平抛的水平位移x＝vt
g
＝ R 2 h ， 如图所示。由几何关系，R2＋x2＝r2，可得：
g
h

g(r2 R2 22R2
)，
选项A正确。
2.(双选)（2014·邯郸模拟）水平光滑直轨道ab与半径为R的 竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度v0沿直轨道向右 运动。如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过c点，然后 小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则（ ）
A.小球到达c点的速度为 g R
B.小球到达b点时对轨道的压力为5mg
(1)求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F; (2)若绳长l=2m,选手摆到最高点时松手落入水中。设水对选手 的平均浮力f1=800N,平均阻力f2=700N,求选手落入水中的深度 d; (3)若选手摆到最低点时松手,小明认为绳越长,在浮台上的落 点距岸边越远;小阳认为绳越短,落点距岸边越远,请通过推算 说明你的观点。