不同坐标系之间的变换

§10.6不同坐标系之间的变换
10.6.1欧勒角与旋转矩阵
对于二维直角坐标，如图所示，有：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8)
在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。

如图所示，设旋转次序为： ①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋
转至0
0,OY OX ；
②绕0
OY 旋转Y ε角
10
,OZ OX 旋转至0
2
,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角，
0,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。

Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与
它相对应的旋转矩阵分别为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=X X
X X X R εεεεεcos sin 0sin cos 00
01
)(1 (10-10)
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Y Y
Y Y
Y R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=10
0cos sin 0sin cos )(3Z
Z Z Z
Z R εεεεε (10-12)
令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10-13)
则有：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡
+-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取：
sin sin sin sin sin sin sin ,sin ,sin 1cos cos cos =========Z Y Z X Y X Z
Z Y Y X X Z Y X εεεεεεεεεεεεεεε
于是可化简
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=111
0X
Y
X Z Y Z
R εεεεεε (10-16) 上式称微分旋转矩阵。

10.6.2不同空间直角坐标之间的变换
当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一
个尺度变化参数，共计有七个参数。

相应的坐标变换公式为：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000111111222000)1(Z Y X Z Y X Z Y X m Z Y X X
Y
X Z Y Z
εεεεεε(10-17) 上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有7个转换参数，为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可按最小二乘法求得个参数的最或是值。

10.6.3不同坐标系的变换
对于不同坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同坐标系的换算公式。

由(7-30)式
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡B H e N L B H N L B H N Z Y X sin ])1([sin cos )(cos cos )(2
取全微分得
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡αd da A dH dB dL J dZ dY dX (10-19) 式中
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎣⎡++-++-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=B B H M L B L B H M L B H N L B L B H M L B H N H Z B
Z L
Z H Y B Y L Y H X B X
L X
J sin cos )(0cos cos sin sin )(cos sin )(cos cos cos sin )(sin cos )((10-20)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=)sin cos 1(sin 1sin )1(sin sin cos 1sin cos sin cos cos 1cos cos 222222
B e B B M B e a
N B
L B M L B a
N B L B M L B a N Z a
Z Y a Y X
a X
A ααα
α
αα (10-21)
上式两端乘以1-J 并加以整理得：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--αd da A J dZ dY dX J dH dB dL 11 (10-22)
式中
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111222Z Y X Z Y X dZ dY dX
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111222H B L H B L dH dB dL 顾及（10-21）式及
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
++-
+-++-=-B L
B L B H M B H M L B H M L B B H N L B H N L J sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0
cos )(cos cos )(sin 1
(10-23) （10-22）式可写为：
=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dH dB dL ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡''+'
'+-''+-'
'+''+-000sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin 0
cos )(cos cos )(sin Z Y
X B L
B L B H
M B H M L B H
M L B B H N L
B H N L ρρρρρ ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
'
'''---+Z Y X L
B B Ne L B B Ne L
L
L tgB L tgB εεερρ0cos cos sin sin cos sin 0cos sin 1sin cos 2
2
m
H B e N B B e H M N ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-''+-+)sin 1(cos sin 0
2
22ρ
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----''-+-''++ααραρd da B B e M B e a N B B H M B e M B B e a H M N 2
222
2222sin )sin 1(1)sin 1(cos sin )1)(()
sin 2(cos sin )(0
(10-24)
上式通常称为广义坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。

如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的坐标微分公式。

根据3个以上公共点的两套坐标值，可列出9个以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8个转换参数。