江苏省高校历届专科类数学竞赛试题

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题

第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知

2

1()d f x dx x ⎡⎤=⎣

⎦，则()f x '= ． 2．1

ln 0

lim (tan )x

x x +

→= ．

3

．

= ．

4．若级数11

(2)66n n n

n n a n -∞

=-+∑收敛，则a 的取值为 ． 5．

[()()]sin a

a

f x f x xdx -+-=⎰

．

二、选择题（每小题3分，共15分）

1．函数21

()(1)

x e f x x x -=-的可去间断点为（ ）．

A ．0,1x =

B ．1x =

C ．0x =

D ． 无可去间断点 2．设21

()sin

,()sin f x x g x x x

==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）

． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小

3．设常数0k >，函数()ln x

f x x k e

=-

+在(0,)+∞内零点个数为（ ）

． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0

4．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （ ）．

A ．取得极大值

B ．取得极大值

C ．某个邻域内单调增加

D ．某个邻域内单调减少 5．过点(2,0,3)-且与直线2470,

35210

x y z x y z -+-=⎧⎨

+-+=⎩ 垂直的平面方程是（ ）．

A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=

B ．(2)24(3)0x y z --++=

C ．3(2)52(3)0x y z -+-+=

D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=

三、（8分）设22

20ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ．

四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220

t d y

dx =．

五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有

()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之

间，()g x 至少有一个零点．

六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =++

+，其中12,,,n a a a 是实数，且

|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na ++

+≤

七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线

241y x x =-+-所围成的图形面积最小？

八、（6分）当0x →时，220

()()()x

F x x t f t dt '=-⎰

的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．

九、（8分）求级数

21

(21)n n n x

∞

+=+∑的收敛域及和函数.

十、（8分）将1()arctan

1x

f x x

+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域． 十一、（6分）求58

1

x x

dx x -+⎰． 十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满足

3

()

21

1()(8)3

f x

g x dxx x =-⎰

，试求()f x ．

第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）

1．40ln(1)

lim

1cos(1cos )

x x x →-=-- ． 2

．设0lim

(0)x k

x e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．

3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若lim ()0x f x →+∞

'=，则()f x 在[1,)+∞上有界

B ．若lim ()0x f x →+∞

'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界

C ．若lim ()1x f x →+∞

'=，则()f x 在[1,)+∞上无界

4．设2

ln(1),arctan x t y t t =+=+，则22d y

dx

= ．

5．设由()1y

e

x y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ．

6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰

． 7

．

4

+∞

=⎰

．

8． 幂级数

11112n n x n ∞

=⎛⎫

++

+ ⎪⎝

⎭

∑的收敛域为 ． 二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调减少，0a b <<，求证：

()()b a

a f x dx

b f x dx ≤⎰⎰．

三、（9分）设()sin f x kx x =+．

（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；

（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．