有理函数逼近

和
( P) f ( x) P( x) ( P).
并且（1.7）中每个区间内只含有一个偏离点. 为证 P( x) 不是最佳者，只须求得（1.1）形有理分式 Q( x) ，使得
(Qi ) M (i 1,2,).
又设 1 , 2 ,, m1 为 (a, b) 内给定的互异点，则对其中任一点 ，必有
q0i m q1i m1 q mi p0i n p1i n 1 p ni q0i m q1i m1 q mi f ( ) f ( ) p0i n p1i n 1 p ni
M max f ( x) .
a x b
从而有正常数 K 存在，使得
q0i m q1i m1 qmi K .
由于多项式 q0i x m q1i x m1 qmi 于 m 1 个点 1 , 2 ,, m1 处的值是有界 的， 比方设它们依次为 K1 , K 2 ,, K m1 ，则按线性方程组
可以具体算出， Rn ( x) 的展开式将含有函数 ln(1 x) 之 Taylor 展开式的前 2n 项 和 T2 n ( x) . 下面来比较 Rn ( x) 与 T2 n ( x) 的逼近误差 . 设以 R 与 分别记 Rn ( x) 与 T2 n ( x) 同
ln(1 x) 之间的误差，并取 x 1.它们误差的对比，如下表：
( R) m , n ( f ) ，
（1.6）
其中 f ( x) 是区间 [a, b] 上连续函数.称满足（1.6）的有理分式为 f ( x) 于（1.1） 所示有理分式类中的最佳一致逼近有理分式.下面的 Tchebyshev 定理对最佳 一致 逼近有理分式的特征作了确切的描述. 定理 3 理 分式 P( x) 由下述特征所唯一确定① . 若将 P( x) 写成 形如（1.1）的有理分式函数中在 [a, b] 上与 f ( x) 偏差最小的有
f ( x) 的偏差 (Q) 取到极小值，即
(Q) min .
证明 只须证明存在形如（1.1）的有理分式 Q( x), 使得
(Q) m,n ( f ) .
下面我们将具体地构造出 Q( x) 来.按下确界的定义，存在无穷函数序列
{Qi ( x)} ，使得
lim (Qi ) m,n ( f ) ，
x1 x2 x N
上以正负交错的符号取异于 0 的值
1 ,2 ,, (1) N 1 N
（不妨假定各个 j 0 ） . 而且 N m n d 2, d min( , ), 则对每一形如 （1.1） 的函数 Q( x), 恒有
(Q) min{1 , 2 , N }.
（1.4） 当 R( x) 0 且 N m 2 （即 d n) 时，此不等式仍然成立. 证明 采用反证法.假若存在一个形如（1.1）的函数 Q( x), 满足
(Q) min{1 , 2 , N }.
考察差
( x) Q( x) R( x)
[ f ( x) R( x)] [ f ( x) Q( x)] .
m,n ( f ) i n fs u pf ( x) Rm,n ( x)
Rm , n a x b
（1.3） 为形如（1.1）的有理分式类： Rm,n def Rm,n ( x)对给定函数 f ( x) 的最佳逼近 或最小
偏差. 关于偏差的下界估计，有： 定 理 1 （ Vall é e-Poussin ） 设 多 项 式
设 f ( x) 是有界闭区间 [a, b] 上的连续函数.定义偏差函数 f ( x) Rm,n ( x) 的 绝对值的上确界为 Rm,n ( x) 与 f ( x) 的最大偏差，简称为偏差：
( Rm,n ) s u pf ( x) Rm,n ( x)
a x b
.
(1.2) 又定义量
lim p ji a j ,lim qli bl .
i i
今作（1.1）型有理分式
P( x)
b0 x m b1 x m1 bm . a0 x n a1 x n1 a n
以下来证明 ( P) max f ( x) P( x) m,n ( f ). 因为 P( x) 只可能在有限多个点
n
1
Rn (1)
0.667
R
0.026
T2 n (1)
0.50
T
0.19
2 3 4
0.692 31 0.693 122 0.693 146 32
0.000 84 0.000 025 0.000 000 76
0.58 0.617 0.634
0.11 0.076 0.058
（ (ln 2 0.693 147 18) 由上表可知， R4 (1) 的精确度竟比 T8 (1) 的精确度高几乎 10 5 倍.这说明开展某些函 数的有 逼近或一般非线性逼近的研究是很有必要的.
d m i n ( , ) .
若 P( x) 0 ，则 N m 2 . 证明 充分性.设
N mnd 2.
并于定理 1 中取 k ( P) ，则知对任何形如（1.1）的有理分式 Q( x) ，必 有
(Q) ( P).
从而 P( x) 是最佳逼近有理分式. 必要性.采用反证法.设满足要求的偏离点的个数为 N m n d 1， 我们
max f ( x) P( xபைடு நூலகம் m,n ( f ).
a x b
是故 ( P) m,n ( f ). 又显然有
m , n ( f ) ( P ) ,
所以最终证得
( P) m , n ( f ) .
存在性定理 2 证毕. 根据定理 2，存在形如（1.1）的有理分式 R( x) ，使得
a x b
~
~
~
~
~
~
即除去可能在有限个点处外，总有
P( x) N m a xf ( x) M .
a x b
从而上式于区间 [a, b] 上处处成立.即 P( x) 在区间 [a, b] 上处处有限， 所以 （1.5） 式 处处成立. 由于 P( x) 个系数与 Qi ( x) 个相应系数之间的极限关系，不难看出极限关 系式
i
其中
Qi ( x)
q0i x m q1i x m1 q mi . p0i x n p1i x n1 p ni
将 Qi ( x) 如下标准化，使其分母的系数满足
2 2 2 p0 ,2,). i p1i p ni 1(i 1
我们来证明相应的系数 q ji ( j 0,1,, m) 也是有界的.事实上，设
第六章
教学目的和要求：
非线性逼近方法
要求掌握非线性一致逼近、有理函数逼近、Pad e 逼近方法、有理逼近的一些算 法 . 考虑函数 ln(1 x) 的逼近问题.它的 Taylor 展开式为
l n1 ( x) (1) k 1
k 1
'
xk k
(1 x 1) .
记上式右端前 s 项的和为 Ts ( x) ， 显然 Ts ( x) 可以作为 ln(1 x) 的一种近似.由连分 式展开 的方法， ln(1 x) 又有如下的连分式展开式：
A( x) a0 x m am , B( x) b0 x n bn
互质，其中 0 m,0 n, b0 0. 且设
R( x) A( x) / B( x)
于 [a, b] 区间上为有穷，差函数 f ( x) R( x) 在 [a, b] 中的点列
q0i jm q1i jm1 qmi K j ( j 1,2,, m 1) ，
可以解出 q li 的一个表达式 (l 0,, m) .显然这些 qli (l 0,, m) 均有界. 由于 p ji ( j 0,, n) 和 qli (l 0,, m) 有界，根据 Bolzano-Weierstrass 定 理， 在有理分式序列 {Qi ( x)} 中，可以选出某子序列，不妨仍记为 {Qi ( x)} ，使得
a x b
处 变为无穷，而在 [a, b] 区间的其它点 x 处，显然有
lim Qi ( x) P( x)
i ~ ~
~
.
（1.5）
所以
P( x) f ( x) f ( x) Qi ( x) Qi ( x) P( x)
m a xf ( x) (Qi ) i
来证 P( x) 必不是最佳逼近有理分式.将 [a, b] 分为如下的 N ' 个子区间：
[a, 1 ], [1 , 2 ], , [ N ' 1 , b] ，
使之在上述区间上，轮流满足
（1.7）
( P) f ( x) P( x) ( P) ，
①
此处所说的唯一性，乃指经约分化简后为相同的有理分式者.
显然 ( x1 ), ( x2 ),, ( x N ) 不等于 0 且正负交错变号.由于 ( x) 于 [a, b] 上连续，
根据 连续函数的中值定理， ( x) 与 (a, b) 内至少有 N 1 m n d 1 个零点.然而
( x) Q( x) R( x) v( x) / u( x)
§1.
非线性一致逼近
首先讨论如下有理分式， Rm,n Rm,n ：
Rm , n ( x )
Pm ( x) , Qn ( x)
（1.1）
其中 Pm ( x) Pm , Qn ( x) Pn 分别为 x 的 m, n 次多项式.设 Rm, x ( x) 是既约有理分 式，即