§45 lebesgue可积函数的逼近

112
意 ε > 0, 由 §2.3 定 理 6, 存 在 开 集 G 和 有 界 闭 集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得
m(G − F ) < ε . 由于 F 是有界集, 因此存在半径充分大的开球U (0, r) 使得 F ⊂ U (0, r).
令 B = (G ∩U (0, r))c , 则 B 是闭集并且 F ∩ B = ∅. 由§3.3 引理 3, 存在 Rn 上的连续函
设给定一个测度空间 ( X , F , µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积
∫ 函数 f ∈ L(µ) 和 ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 f − g dµ < ε , 则称可积函数可以用C
中的函数逼近.
一般测度空间上积分的逼近
定理 1 设 ( X , F , µ) 是一个测度空间, f ∈ L(µ). 则对任意 ε > 0, 存在 L(µ) 中的
E
I Ai
− gi
dx < ε 2k ai
.
k
令 g = ai gi , 则 g
i =1
是 R n 上具有紧支集的连续函数. 我们得到
∫ f − g dx = ∫ f −ϕ dx + ∫ ϕ − g dx
E
E
E
∑ ∫ < ε +
2
k i=1
ai
E
I Ai
− gi
dx
<
ε 2
+
ε 2
=ε.
■
n
∑ 设 [a,b] 是直线上的有界闭区间. 称型如 f = ai I Ji 的函数为 [a,b] 上的阶梯函数, i =1
f
−
g
dx
<
ε 2
.
由上面证明的结果,
存在
∫ N > 0,
使得当 n > N 时,
b a
g(x) cos nxdx
<
ε 2
.
于是当 n > N 时有
∫
b
f
(x) cos nxdx
≤
∫
b
(
f
( x) −
g(x)) cos nxdx
+
∫
b
g(x) cos nxdx
a
a
a
∫ ≤
b a
f
−g
dx
+
ε 2
<
ε.
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因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. ■
例 2 设 f 是 R n 上的 L 可积函数, 则
∫ lim f (x + t)− f (x) dx 先设 f 是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球 S (0, r), 使得当 x ∉ S (0, r) 时
f = 0. 由于 f 在 S(0, r) 上连续, 因此 f 在 S(0, r) 上一致连续. 因此对任意 ε > 0, 存在
∫ ∑ 一般情形,
由定理
1,
存在 L(E) 中的简单函数ϕ,
使得
E
f
−
ϕ
dx
<
ε 2
.
k
设 ϕ = ai I Ai . i =1
不妨设 ai ≠ 0, 则 m( Ai ) < +∞, i = 1, , k. 由上面所证的结果, 对每个 i = 1, , k, 存
∫ ∑ 在 Rn 上具有紧支集的连续函数 gi , 使得
且 f n − f → 0 (n → ∞), 利用控制收敛定理得到
∫ lim
n →∞
f n − f dµ =0.
∫ 因此存在一个 n0 , 使得 f n0 − f dµ < ε. 令 g = f n0 即知定理成立.■
Lebesgue 积分的逼近 设 E 是 Rn 中的 L 可测集. 用 L(E) 表示 E 上的 Lebesgue 可积函
∫ ∫ Rn ft − gt dx =
f − g dx < ε .
Rn
3
使得当
于是当 d (0,t) < δ 时, 我们有
∫ ∫ ∫ ∫ Rn ft − f dx ≤
Rn ft − gt dx +
Rn gt − g dx +
g − f dx
Rn
<
ε 3
+
ε 3
+
ε 3
=
ε
.
因此(3)成立.■
小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 本 节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用积分 的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例 1 和例 2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法.
I − I ( A−U )∪(U −A) A
U
dx = m( A−U ) + m(U − A) < ε.
■
定理 4 设 f ∈ L(R1 ). 则对任意 ε > 0, 存在 R1 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g,
∫ 使得 f − g dx < ε. R1 证明 设 f ∈ L(R1 ). 类似于定理 2 的证明, 我们不妨设 f = I A , 其中 m( A) < +∞. 令
= ε.
■
下面是两个关于可积函数的逼近性质应用的例子.
例 1 (Riemann-Lebesgue 引理)设 f ∈ L[a,b]. 则
∫ lim b f (x) cos nxdx = 0.
n→∞ a
(1)
∫ lim b f (x) sin nxdx = 0.
n→∞ a
(2)
证明 先设 f = I (α,β ) , 其中 (α, β ) ⊂ [a, b]. 则
§4.5 Lebesgue 可积函数的逼近
教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理.
教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法.
∫ 简单函数 g, 使得 f − g dµ < ε.
证明 设 f ∈ L(µ). 由§3.1 推论 10, 存在一个简单函数列{ f n }, 使得{ f n }处处收敛
于 f , 并且 f n ≤ f , n ≥ 1. 由于 f 可积, 因此每个 f n 都可积. 注意到 f n − f ≤ 2 f 并
δ > 0, 使 得 当 x′, x′′ ∈ S(0, r), d (x′, x′′) < δ 时 , 成 立 f (x′) − f (x′′) < ε. 记
ft (x) = f (x + t). 于是当 d (0,t) < δ 时, 我们有
∫ ∫ Rn ft − f dx = S(0,r) ft − f dx < ε m(S (0, r)).
习 题 习题四, 第 40 题—第 42 题.
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这表明当 f 是具有紧支集的连续函数时,(3)成立.一般情形, 由定理 2, 存在 Rn 上的具有紧
∫ 支 集 的 连 续 函 数 g , 使 得
f − g dx < ε .
Rn
3
由 上 面 所 证 , 存 在 δ > 0,
∫ d (0,t) < δ 时,
Rn
gt − g
dx
<
ε 3
.
由§4.1 例 4, 有
数 g,
使得 g F = 1,
g B
= 0.
则 g 是 Rn 上具有紧支集的连续函数.
注意到 0 ≤ g(x) ≤ 1,
我们有
∫ f − g dx = ∫ f − g dx + ∫ f − g dx
E
E−A
A
∫ ∫ =
g dx +
f dx
E−A
A−F
≤ m(E − A) + m( A− F )
≤ m(G − F ) < ε.
使得
k −k
ϕ
−g
dx
<
ε. 2
延拓 g 的定义使得 g 在[−k, k]c 上为
零. 则 g 是为 R1 上的具有紧支集的阶梯函数. 我们得到
∫ ∫ ∫ f − g dx ≤ f −ϕ dx + ϕ − g dx
R1
R1
R1
∫ = m( A) − m( Ak0 ) +
k −k
ϕ−g
dx
<
ε 2
+
ε 2
∫ ∫ b f (x) cos nxdx = β f (x) cos nxdx = sin nβ −sin nα → 0, n → ∞.
a
α
n
于是由积分的线性性知道对每个阶梯函数 f , (1)式成立. 现在设 f ∈ L[a,b]. 对任意
∫ ε > 0,
由定理
3,
存在一个阶梯函数 g ,
使得
b a
∪∞
Ak = A ∩ [−k, k], k = 1, 2,
.
则 Ak ↑ 并且 A = Ak .
k =1
于是
lim
k →∞
m(
Ak
)
=
m(
A).
因此对
任意 ε > 0,
存在
k0 使得
m( A)