清华大学微积分A习题课_6一致连续 函数的可积性 定积分的性质 不定积分

n
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从 而 在 区 间 I 上 构 造 出 两 个 数 列 { xn } 与 { yn } . 显 然 lim( xn yn ) 0 ， 但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ， 记
M i sup{ f ( x) | xi 1 x xi } ， mi inf{ f ( x) | xi 1 x xi } ， i M i mi ．
u , v [ xi 1 , xi ] ，有
f ( x) max f ( x0 ) 1, f ( x1 ) 1,
即 f ( x) 在 (a, b) 上有界.
, f ( xN ) 1 ， x (a, b)
4. 证明： 函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续的充要条件是： 对区间 I 上的任何两个数列 { xn } 与
微积分 A(1)第七次习题课参考答案（第十一周）
一、一致连续 1. 已知：函数 f ( x) 满足 x, y I ,| f ( x) f ( y ) | L | x y | ，证明： f ( x) 在 I 上一致连 续. 证明：若 L 0 ， f ( x) 为常数函数，一致连续； 若 L 0 ， 0 ，取 故 f ( x) 在 I 上一致连续。 2.证明： f ( x) cos x ， g ( x) cos x 在 (, ) 上一致连续 . 证明： x1 , x2 可知 f ( x) 在 ，由中值定理， cos x1 cos x2 sin ( x1 x2 ) x1 x2 ，由上一题
| exp[ f (u )] exp[ f (v)] | exp( ) | f (u ) f (v) | Mi ，
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其中 介于 所以
f (u ), f (v) 之间， M exp(M ) ．
f
ie M i ，从而
ie
i 1
n
f
xi M i xi ．
ba b a f ( x) f ( x) 1 。记 N 2, xi a i , i 0,1, 2, N
, N ， x (a, b),
i0 {0,1, 2,
, N }, x xi0 ， f ( x) f ( xi0 ) 1 。故
| x y | 时，有 f ( x) f ( y ) ．
由于 lim( xn yn ) 0 ，对上述 0 ， N
n
，对 n N ，都有 | xn yn | , 从而
有 f ( xn ) f ( yn ) , 即 lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 .
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{ yn } ，当 lim( xn yn ) 0 时，有 lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 .并考察 e x ,ln x 在 (0, ) 上是
n
n
否一致连续？ 证明： “ ”. 设函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续，即 0, 0 ，对 x, y I ，当

L
， x1 , x2 I , x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) 。
上一致连续。
g ( x) cos x 在 [1,1] 上一致连续。当 x [1, ) 时，由中值定理， x1 , x2 [1, ) ，
cos x1 cos x2 sin 1 ( x1 x2 ) x1 x2 2 2
故 g ( x) cos x 在 x [1, ) 上一致连续。同理， g ( x) cos x 在 x (, 1] 上一致 连续。因此 g ( x) cos x 在 (, ) 上一致连续。 注意，这个题目对于 g(x)，定义域取正区间。原题目有误。 3.已知 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续，证明： f ( x) 在 (a, b) 上有界. 证明：因为 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续，对于 1, 0, x, x (a, b), x x ,