清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答

k =1
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
第4页共5页
（Ⅱ）求曲线段 L 的长． 解：（Ⅰ） D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为
所以 ， ． f (0) = −1 f ′(0) =1
故 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式为
． f (x) = −1+ x + o(x)
12.
求幂级数 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
的收敛域及和函数．
解：因为 ，所以幂级数 的收敛半径为 ． lim n→∞
n n
n
1 +
1
xn
∑ ． ∞ (−1)n
n=0
xn
=
1 1+ x
x ∈ (−1, 1)
记 ∑ ，则 ∑ ． S(x)
=
∞
(−1)n
n=0
1 n +1
xn+1
S ′( x)
=
∞
(−1)n
n=0
xn
=
1 1+ x
x ∈ (−1, 1)
因为 ，所以 ． S(0) = 0
∫ S(x) =
x
01
1 +
t
dt
=
ln(1
．
lim
x→0
f
(x) x
+
e
x2
sin x2
x
=1
求 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式．
解：因为
， f (x) = f (0) + f ′(0)x + o(x)
ex2 sin x = [1 + x2 + o(x2 )] ⋅[x + o(x2 )]
， = x + o(x2 ) 所以
∫ ∫ V =
3 π ln2 xdx = πx ln2 x 3 − 2π
3
ln xdx
1
1
1
= π 3 ln2 3 − 2π(x ln x − x) 1 3
． = π 3 ln2 3 − 2π( 3 ln 3 − 3 +1) （Ⅱ）曲线段 L 的长为
∫ ∫ l =
3 1
1+
1 x2
dx
x=tan t
=
π
3 π
4
sin
t
1 ⋅ cos2
t
dt
∫ u = cos t =
2
2 1
2
(1 −
1 u2 )u2
du
2
=
1 2
ln
1 1
+ −
u u
−
1 u
2 1
2
． = ln 2 + 2 + 2 − 2 6
15．已知函数
f
在区间 (x)
[0,
a]
(a
>
上可导，且点 0)
(0, 0), (a, a)
在曲线
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
6
6
从而 ∫ ∫ I
=
1
2
π
3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
+
6
π
3 π
6
sin2 x (π − 2x)
x
dx
∫ = 1
2
π
3 π
x(π
1 −
2x)
dx
6
∫ = 1
2π
π
3 π
6
1 x
+
π
2 − 2x
dx
π
=
1 2
.
答案：
9. 当且仅当参数 p,q 满足
时 数项级数 收敛 ,
∑∞ 1
n=2 n p lnq n
.
第2页共5页
10.
叙述函数项级数一致收敛的定义．函数项级数
∑∞
un (x)
在区间
I
一致收敛于
S(x)
是
n=1
指：
．
二、解答题（共 6 题，每题 10 分，计 60 分）
注：16（Ⅲ）是附加题，解答正确得 5 分． 11．已知函数 f (x) 在 x = 0 处具有一阶导数，且满足条件
． ． +C
第1页共5页
．数列 的最小项的项数为 3
(n (n
+ −
1)3 1)2
(n
=
2,
3,⋯)
n=
．
答案： 5
设 ，则 4. f (x) = x2ex
f (10) (x) =
．
设数列 单调减少，且 ．又 无界，则幂级数 5.
{an }
lim
n→∞
an
=
0
∑n
Sn = ak (n = 1, 2,⋯)
【往年试题】
清华大学本科生考试试题专用纸
Xxxx 级微积分 B（1）试题（x 卷）
班级
姓名
学号
一、填空题（每题4 分，共10题， 计40 分）
．1 lim sin x − ex + 1 = x→0 1 − 1 + x2
答案：1
2.
∫
x2
x −
+1 3x +
2
dx
=
答案： 3ln x − 2 − 2ln x −1
+ +
3 2
⋅
n n
+ +
1 2
=
1
∑∞ (−1)n
n=0
n+2 n +1
xn
R =1
第3页共5页
又因为当
x
=
±1
时，级数
∑∞
n=0
(−1)n
n n
+ +
2 1
xn
均不收敛，所以其收敛域为
(−1,
1)
．
∑ ∑ ∑ ． ∞ (−1)n
n=0
n+2 n +1
xn
=
∞
(−1)n
n=0
xn
+
∞
(−1)n
n=0
f (x) + ex2 sin x = f (0) + f ′(0)x + o(x) + x + o(x2 )
x
x2
x
x2
． =
f (0) +1 + x
f ′(0) +
o(x) + x
o(x2 ) x2
又因为 ，所以 ，
lim
x→0
f
(x) x
+
e
x2
sin x2
x
=1
lim f (0) + 1 = 1 − f ′(0) x→0 x
y
=
f (x)
上．
证明：
（Ⅰ）存在ξ ∈(0, a) ，使得 f (ξ) = a ； 2
证：（（ⅠⅡ））因存为在f两(x个) 在不区同间的[点0,ηa1],η上2 可∈(导0,，a)所，以使连得续f．′(1η1)
+
f
1 ′(η2 )
=
2
．
又因为 ， f (0) = 0, f (a) = a
cos2 x x(π − 2x)
dx
6
6
6
解：令 ，得 ． x = π − t 2
∫ ∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
6
π
6 π
3
(
sin2 t π − t)2t
(
−
dt)
=
π
3 π
sin2 t (π − 2t)t
dt
6
2
所以 ． ∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)